单自由度系统受迫振动(a)

单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
5 4 3 2 1
(s)

0
0 .1
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
0
对应于不同 值, 曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
H ( )
1 k m 2 ic
引入： s 0
外部激励频率与系统固有频率之比
1 1 1 1 H ( ) k 1 m 2 i c k (1 s 2 ) i (2s) k k 1 (1 s 2 ) i(2s) 1 i e [ ] 2 2 2 k k (1 s ) (2s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
振幅放大因子
( s)
( s) tg 1
2s 1 s2
相位差
7
m 2 2 2 s2 k 0
c c 2 2s 2 0 2 2 k m0 0 0
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
(2) s > 1 ( 0 ) (T T0 )
(1) s < 1 ( 0 ) (T T0 )
稳态受迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环
受迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 / 0
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态受迫振动完成多个循环
机械振动理论
单自由度系统受迫振动
1
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0
0
0
19
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段
阻尼越弱，Q 越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
F0 i (t ) x e Aei (t ) 17 k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
以s为横坐标画出 ( s) 曲线 1 2s ( s) tg 1 s2 相频特性曲线 （1）当s<<1（ 0）
显含 t，非齐次微分方程
通解
＝
齐次微分方程
通解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
＋
非齐次微分方程
特解 持续等幅振动
稳态响应
21
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
考虑无阻尼的情况 正弦激励
kx F0 sin t m x
x(0) x0
F0 B k
x B sin t x
系统响应
A B 稳态响应的实振幅
无阻尼情况：
若： F (t ) F0 cost 则： x(t ) A cos(t )
B it F0 1 it x(t ) e e 2 2 1 s k 1 s
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
cx kx F0 e it m x F0 i (t ) x e Aei (t ) k
2 / 0
0
2 /
t
2014年12月3日
26
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
• 稳态响应的特性
• 受迫振动的过渡阶段
• 简谐惯性力激励的受迫振动
10
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 ( s) 曲线
5 4
(s)

0
0 .1
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
Q

Q/ 2
1 记： Q s 1 2
品质因子
2
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应的两点 1 ，2
1 0
1 2
0
s
2 1 带宽
0 Q 与 有关系 ： Q
• 简谐惯性力激励的受迫振动
• 机械阻抗与导纳
20
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 回顾：
cx kx F0 e it m x
非齐次微分方程
s
2 3
( s)
振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降
F0 i (t ) t ) x e Aei (14 k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
持续等幅振动 稳态响应
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
阻尼自由振动 逐渐衰减
＋
暂态响应
本节内容
5
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程：
cx kx F0 e it m x
x ：稳态响应的复振幅
2 2 it 20 x 0 x x B 0 e
设：
x x eit
k 0 m c 2 km
ix eit x
2 x eit x
F0 B k
静变形
(m 2 ic k ) x eit F0eit
x H () F0
H ( ) 1 k m 2 ic
复频响应函数
F0 A k 1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
2s 1 s2
( s) tg 1
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频 率、而相位滞后激振力的简谐振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运 动的方式（即初始条件）无关
5 4 3 2 1
(s)

0
0 .1
max 并不 （5）对于有阻尼系统， 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0 ds
s 1 2
2
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
0
max
1 2 1 2
F0 i (t ) x e Aei (t ) k 15
x(0) x0
(0) x 0 x
B x(t ) c1 cos 0 t c 2 sin 0 t sin t 2 1 s
x(0) x0
(0) x 0 x
c1 x0
B (0) c20 x 1 s2
Bs c2 0 1 s 2
0 x
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
1
5 4 3 2 1
(s)

0
0 .1
（6）当 1/ 2 振幅无极值
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
0
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
受迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 /
0
2 /
t
稳态响应 全响应
0
2 / 0
t
自由伴随 全响应
25
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
零初始条件
Bs B x(t ) sin 0t sin t 2 2 1 s 1 s
x(t )
3
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 弹簧－质量－阻尼系统 设
F (t )
m k c x 0
F (t )
m
m x
F (t ) F0 eit

F0
外力幅值 外力的激励频率
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 受力分析
2 0 2 0
(0) x 0 x s 0
通解：
B x(t ) c1 cos 0 t c 2 sin 0 t sin t 2 1 s
齐次通解 非齐次特解
c1、c2 初始条件决定
22
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
kx F0 sin t m x
cx kx F0 e it m x
x x eit
x H () F0
1 i H ( ) e k
B
F0 k
( s)
1
(1 s 2 ) 2 (2s) 2 2s ( s) tg 1 1 s2
F0 i (t ) x e Aei (t ) k
初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应
0 x
如果是零初始条件
x(t ) Bs B sin t sin t 0 2 2 1 s 1 s
强迫响应
自由伴随振动
24
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
零初始条件
x(t )
Bs B sin t sin t 0 2 2 1 s 1 s
Bs B x(t ) x0 cos0t sin 0t sin 0t sin t 2 2 0 1 s 1 s
初始条件响应 自由伴随振动 特点：以系统 固有频率为振 动频率
0 x
强迫响应
23
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
Bs B x(t ) x0 cos0t sin 0t sin 0t sin t 2 2 0 1 s 1 s
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
5 4 3 2 1
(s)

0
0 .1
（2）当s>>1（ 0 ）
激振频率相对于系统固有 频率很高
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
0
0
结论：响应的振幅 很小
F0 i (t ) x e Aei (t ) k 12
cx kx F0 e x 振动微分方程： m
it
x 为复数变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
4源自文库
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
cx kx F0 e it 振动微分方程： m x
显含时间 t 非齐次微分方程 非齐次微分方程 特解
( s)
180
90
0
0
1
2
3
相位差 0 位移与激振力在相位上几乎相同 （2）当s>>1（ 0 ）
s

（3）当 s 1
位移与激振力反相
0
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
F0 i (t ) ) x e Aei (t 18 k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s ) (2s)
2 2 2
(s)
5 4 3

0
0 .1
0.25 0.375 0 .5 1
（4）当 s 1 0 对应于较小 值， ( s) 迅速增大 当 0 结论：共振
2 1 0 0 1
3
2
0.25 0.375 0 .5 1
幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当s<<1（ 0）
1 0
0
1
2
3
s
激振频率相对于系统固有频率很低
1
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
F0 i (t ) ) x e Aei (t 11 k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性