象限角与坐标方位角

第四章→第四节→直线定向

二、直线方向的表示方法

（一）方位角

从过直线段一端的基本方向线的北端起，以顺时针方向旋转到该直线的水平角度，称为该直线的方位角。方位角的角值为0°～360°取值。如图4-16所示，因基本方向有三种，所以方位角也有三种，真方位角、磁方位角、坐标方位角。

以真子午线为基本方向线，所得方位角称为真方位角，一般以表示。

以磁子午线为基本方向线，则所得方位角称为磁方位角一般以来表示。

以坐标纵轴为基本方向线所得方位角，称为坐标方位角（有时简称方位角），通常以来表示。

（二）象限角

对于直线定向，有时也用小于90°的角度来确定。从过直线一端的基本方向线的北端或南端，依顺时针（或逆时针）的方向量至直线的锐角，称为该直线的象限角，一般以“”表示。象限角的角值为0°～90°。图4-17所示, 为经过O点的基本方向线，O1、O2、O3、O4为地面直线，则、、、分别为四条直线的象限角。若基本方向线为真子午线，则相应的象限角为真象限角。若基本方向线为磁子午线，则相应的象限角为磁象限角。仅有象限角的角值还不能完全确定直线的位置。因为具有某一角值（例如50°）的象限角，可以从不同的线端（北端或南端）和不同的方向（向东或向西）来度量。所以在用象限角确定直线的方向时，除写出角度的大小外，还应注明该直线所在象限名称：北东、南东、南西、北西等。例如图4-17中，直线O1、O2、O3、O4的象限角相应地要写为北东、南东、南西、北西，它们顺次相应等于第一、二、三、四象限中的象限角。象限角也有正反之分，正反象限角值相等，象限名称相反。

（三）坐标方位角与象限角的关系

同一直线的坐标方位角与象限角之间的关系如表4-2所列。

（四）正反坐标方位角的关系(见图4-18)

相对来说一条直线有正、反两个方向。直线的两端可以按正、反方位角进行定向。若设定直线的正方向为，则直线的方位角为正方位角，而直线ＢＡ的方位角就是直线的反方位角。反之，也是一样。

若以为直线正坐标方位角，则为反坐标方位角，两者有如下的关系；

若＜180°则有：

=+180°

若＞180°则有：

=-180

故正、反方位角的一般关系式为：

=180°（4-14）

任意角所在象限的确定一、引入： 1．回顾角的定义（1）角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. （2）角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：（1）角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．（2）角的名称：（3）角的分类：（4）注意： ①在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ②零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ③角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．（5）练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角顶点 A O

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 °，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°； ⑵640 °； ⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角； ⑵280°,第四象限角； ⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法．正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角

直线定向令狐采学确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。一、标准方向 1．真子午线方向通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。真子午线方向可用天文测量方法测定。 2．磁子午线方向磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。 3．坐标纵轴方向

在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。在同一投影带内，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。二、方位角测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。方位角取值范围是0?～360?。因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用Am表示）和坐标方位角（用α表示）。三、三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图????所示。过点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。

δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为：（????）；（????）；（????）四、坐标方位角的推算．正、反坐标方位角如图?? 所示，以A为起点、B为终点的直线AB的坐标方位角αΑB，称为直线AB的坐标方位角。而直线BA的坐标方位角αBA，称为直线AB的反坐标方位角。由图?? 中可以看出正、反坐标方位角间的关系为：

如何确定一n N 象限的范围 n 一般地，要确定一所在的象限，可以做出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们n 与坐标轴把周角分成4n个区域。从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据所在第几象限时—的终边所落在的区域。 n 如此，一所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出。 n 例：若为第二象限角，试用几何作图法确定—所在的象限。 2 【解析】根据分母值2，将每个象限二等分，然后标号，最后根据为第二象限角确定—的终边所落的区域，从而看出所在的象限。 2 2 ①利用几何作图法，二等分各个象限并标号，如下图： ②因为为第二象限角，所以上图标号为2区域就是一的终边所落在的区域。上图中 2 有两个区域标号为2，分别在第一象限与第三象限，所以一所在的象限为一、三象限。 2 二、一取值范围的确定 n 在确定一的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同角的集合的表示方法： n ①终边落在射线上的角的集合表示方法：=+2k ,k Z, 2 ,2 ； ②终边落在直线上的角的集合表示方法：=+k ,k Z, , 。注意：终边在射线上对应的是2的整数倍；终边在直线上对应的是的整数倍。

例：若为第二象限角，试确定一的取值范围。 2

【解析】在上面我们已经确定了的终边落在了标号为2的区域内，因此的取值范 2 2 围就在标号为2的区域所在的范围，如图: 因为一、三象限的等分线与x正半轴夹角为-，y正半轴对应的角为-，并且这两个角的终边都落在直线上。与一终边相同的角的终边都落在直线y x上，与一终边相同的 4 2 角的终边都落在直线x 0（y轴）上。所以一的取值范围是一k 2 4 巩固练习：若为第四象限角，试确定一所在的象限及其取值范围。 3

二计算坐标与坐标方位角的基本公式控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y ，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和AB α，则待定点B 的坐标为 AB A B AB A B y y y x x x ?+=?+= ｝（5—1）式中 AB x ? 、AB y ?——坐标增量。由图5—5可知 AB AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =?=? ｝（5—2）式中 AB S ——水平边长； AB α——坐标方位角。将式（5-2）代入式（5-1），则有 AB AB A B AB AB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝

（5—3）当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。从图5—5可以看出AB x ?是边长AB S 在x 轴上的投影长度， AB y ?是边长AB S 在 y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A 量到B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。

直线定向确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。一、标准方向 1．真子午线方向通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。真子午线方向可用天文测量方法测定。 2．磁子午线方向磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。 3．坐标纵轴方向在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。在同一投影带内，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。二、方位角测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。方位角取值范围是0?～360?。因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用A m表示）和坐标方位角（用α表示）。三、三种方位角之间的关系

因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图4-19所示。过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。 δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为：（4-14）；

（4-15）；（4-16）四、坐标方位角的推算 1．正、反坐标方位角

2013-2014学年度第二学期高一数学学案班级姓名【课题】5.3.2各象限角的三角函数值的正负号【学习目标】 1.能够熟练判断（00,3600）内的角三角函数在各象限内的正负号 2.能够判断出任意角的三角函数值的正负号【知识点】 1.复习提问：（1）sin α= 、cos α= 、tan α= ．（2）各象限内点坐标的符号共性：设角α的终边上的任意一点(,)P x y ，则有：点P 在第一象限（___ ,___ ); 点P 在第二象限（___ ,___ ) 点P 在第三象限（___ ,___ ); 点P 在第四象限（___ ,___ ) （3)=π 0 3.以点P 在第二象限为例： sin α= 0 ；cos α= 0；tan α= 0． 4.小组讨论：点P 在第一象限：αsin 0 ；αcos 0；αtan 0．第三象限：αsin 0 ；αcos 0；αtan 0．第四象限：αsin 0 ；αcos 0；αtan 0． 5.总结规律：判断αsin 在各象限内的正负号看判断αcos 在各象限内的正负号看判断αtan 在各象限内的正负号看【典型例题】 1.sin2400 0 2.cos10300 0 3.)3 4tan(π - 0 【巩固练习】练习1：（1）000sin135__0;cos260__0;tan330__0 （2）000cos162__0;sin300__0;tan105__0 （3）000tan 236__0;cos347__0;sin189__0 练习2：（1）000sin1300__0;cos880__0;tan(120)__0- （2）000cos1602__0;sin(300)__0;tan905__0- （3）000tan1236__0;cos(47)__0;sin689__0- 练习3:31117sin()__0;cos __0;tan __0436 πππ- 【思考题】 1.已知αsin <0, αcos >0,确定α所在象限答案：第象限 2.设αcos ?αtan >0, 确定α所在象限答案：第象限【自我检测】 sin1680 0 ; cos2690 0; tan2730 0; cos(-6000) 0 sin 6 11π 0

基本计算1直线定向与坐标推算一、直线定向 1、正、反方位角换算对直线AB而言,过始点A的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角αAB就是AB的正方位角,而过端点B的坐标纵轴平行线指北端顺时针至自线的夹角αBA的反方位角,同一条直线的正、反方位角相派180°、,即同一自线的下反方位角 αAB=αBA+180° 上式右端,若αBA＜180°,用“+”号,若αBA＞180°,用“—”号。 2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时一也可用象限角表示,所谓象限角就是揣从坐标纵轴的指北端或指南端起始,至直线的锐角,用R表示,取值范围为0°~90°。为了说明肖线所在的象限,在R前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东〔NE?、南东(5E ) ,南酉(sw)、北西(NW)。象限角与坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。 3、坐标方位角的推算测量工作中一般不直接测定每条边的方向,而就是通过与已知方向进行连测,推算出各边的坐标方位角。设地而有相邻的A、B、C三点,连成折线(图1-17),已知AB边的方位角αAB。,又测定了AB与BC之间的水平角β,求BC边的方位角气αBC,即就是相邻边坐标方位角的推算。水平角β又有左、右之分,前进方向左侧的水平角为β左,前进方向右侧的水平角β右。

设三点相关位置如图1-I7(c)所示,应有 αBC=αAB+β左+180°(1一14) 设三点相关位置如图1-I7沪)所不,应有 αBC=αAB+β左+180°=αAB+β-180°(1一15) 若按折线前进方向将AB视为后边,BC边视为前边,综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式:α前=α后+β左±180°(1一16) 显然,如果测定的就是AB与BC方向之间的前进方向右侧水平角β右,因为有β左=360°-β右。代入上式即得通式:α前=α后-β右±180° 上二式右端,若前两项计算结果＜180°,180°前而用“十”号,否则180°前而用“一”号。二、坐标推算 1、坐标的正算

【例1】若sin2α>0，且cosα<0，试确定α所在的象限. 【思考与分析】用不等式表示出2α，即2kπ<2α<2kπ+π（k∈Z），然后根据k的奇偶性进行分类讨论，进而根据cosα<0判断出α所在的象限. 解：∵sin2α>0，∴2α在第一或第二象限或终边落在y轴的非负半轴上，即2kπ<2α<2kπ+π（k∈Z），从而有kπ<α

如图，由于问是第几象限角，所以将每个象限三等分，再按逆时针方向标出1，2，3，4象限. ∵α是第一象限角， ∴标为数1的为所求，即阴影部分为所在象限位置. ∴选B 【小结】当α是第二象限角时，标有数2的即为所在象限；当α是第三象限角时，标有数3的即为所在象限；当α是第四象限角时，标有数4的即为所在象限.

()n N n α +∈的象限及其范围确定已知α为某象限的角，如何确定n α 所在的象限及其取值范围呢？下面我们介绍一种几何作图法来解决这类问题。一、 n α 所在象限的确定一般地，要确定n α 所在的象限，可以做出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域。从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时n α 的终边所落在的区域。如此，n α 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出。例：若α为第二象限角，试用几何作图法确定2 α 所在的象限。【解析】根据分母值2，将每个象限二等分，然后标号，最后根据α为第二象限角确定2α的终边所落的区域，从而看出2 α 所在的象限。 ①利用几何作图法，二等分各个象限并标号，如下图： x ②因为α为第二象限角，所以上图标号为2区域就是2α 的终边所落在的区域。上图中有两个区域标号为2，分别在第一象限与第三象限，所以2 α 所在的象限为一、三象限。二、n α 取值范围的确定在确定n α 的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同角的集合的表示方法： ①终边落在射线上的角的集合表示方法：(){}=+2,,2,2k k Z ββαπαππ∈∈-； ②终边落在直线上的角的集合表示方法： (){}=+,,,k k Z ββαπαππ∈∈-。注意：终边在射线上对应的是2π的整数倍；终边在直线上对应的是π的整数倍。例：若α为第二象限角，试确定 2 α 的取值范围。

x 【解析】在上面我们已经确定了 2α的终边落在了标号为2的区域内，因此2 α 的取值范围就在标号为2的区域所在的范围，如图： x 因为一、三象限的等分线与x 正半轴夹角为4π，y 正半轴对应的角为2 π ，并且这两个角的终边都落在直线上。与4π终边相同的角的终边都落在直线y x =上，与2 π 终边相同的角的终边都落在直线0x =（y 轴）上。所以 2α的取值范围是,422k k k Z παπππ?? +≤≤+∈???? 。巩固练习：若α为第四象限角，试确定3 α 所在的象限及其取值范围。

如何判断点所在的象限清镇市站街中学邱书伦在初中数学的学习中，平面直角坐标系是一个很重要的内容，在数学上平面直角坐标系把一个平面分成四个象限，分别称为第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。但每个象限内点的坐标的正负符号特征有所不同。在平面直角坐标系中要判断一个点所在的象限，通常只需要判断点的横坐标和纵坐标的符号是正还是负就可以确定它所在的象限了。在实际教学中，我们通常见到以下两种类型的判断。一、点的坐标为具体数字对于点的横纵坐标为具体数字的题目，我们一般归纳为：横纵坐标同是正数在第一象限，横坐标负数纵坐标正数在第二象限，横纵坐标同是负数在第三象限，横坐标正数纵坐标负数在第四象限。为了方便学生记忆，我们可以把它编成以下四句话：正正在第一，负正在第二，负负在第三，正负在第四。应用以上知识点，我们就可以很方便的作出点所在象限的判断。如点A（4，7）在第一象限，点B（-2，5）在第二象限，点C(-4,-1)在第三象限，点D（2，-6）在第四象限。二、横坐标为字母或宗坐标为相关的代数式针对这些特殊的点的判断，例如横坐标是X，纵坐标也是一个关于X的代数式时，因为纵坐标可以用Y表示，所以本人认为还可以把纵坐标转化为一个以X为自变量的函数，根据函数所经过的象限，就可以判断点有可能在哪些象限，不经过哪些象限，具体来说有以下

几种常见的类型。 1、转化为一次函数例：点P21 x x- （，）不在第象限。对于以上问题，我们把纵坐标转化成函数y=21 x-,这是一个一次函数，根据一次函数中k＞0，b＜0时一次函数过一、三、四象限，就可以知道一次函数y=21 x-过一、三、四象限，不会经过第二象限。因此，点P21 （，）不会在第二象限。贵阳市的中考以这种类型比较x x- 多见。 2、转化为反比例函数例：点P（6 ，）不在第象限。 x x ，由于k 对于以上问题，我们把纵坐标转化成反比例函数y=6 x ＞0时反比例函数在一、三象限，所以反比例函数y=6 在第一、三象 x 限，不在二、四象限。因此点P（6 ，）不在第二、四象限。 x x 3、转化为二次函数例1：点P（2 -）不在第象限。 x x x ,2 对于以上问题，我们把纵坐标转化成二次函数y=22 -，这个二 x x 次函数开口向上，对称轴x= 1 ，顶点坐标（1，-1）。与y 轴交点为O，作出草图后就知道二次函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限。因此点P（2 -）不在第三象限。 ,2 x x x 例2：点P（2 -+）不在第象限。 ,22 x x x 对于以上内容，我们可以把纵坐标转化为二次函数y=222 -+， x x 配方成顶点式得y=2 x-+，知道这个二次函数开口向上，对称轴 (1)1

等分角所在象限的判断方法在解决这类问题时，我们既可以采用常规的代数法，也可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对 n α角所在的象限做出正确判断。一、代数法就是利用已知条件写出α的范围，由此确定 n α角的范围，再根据n α角的范围确定所在的象限；【例1】已知α为第一项限角，求 2α角所在的象限。解：∵ α为第一项限角 ∴ οοοππ90360360+??k k α )(Z k ∈ ο οο ππ451802180+??k k α )(Z k ∈ 若)(2Z n n k ∈=,则οοο ππ 453602360+??n n α )(Z n ∈ ∴ 2 α角是第一象限角；若)(12Z n n k ∈+=，则)(2253602180360Z n n n ∈+?+?οοοοππα ∴ 2α角是第三象限角；因此，2 α角是第一项限或第三象限角【例2】已知α为第二项限角，求2 α角所在的象限。解：∵ α为第二项限角 ∴ οοοοππ180******** +?+?k k α )(Z k ∈ οοο οππ 90180245180+?+?k k α )(Z k ∈ 若)(2Z n n k ∈=,则οοοοππ 90360245360+?+?n n α )(Z n ∈ ∴ 2 α角是第一象限角；若)(12Z n n k ∈+=，则)(2703602225360Z n n n ∈+?+?οοοοππα

∴ 2α角是第三象限角；因此，2 α角是第一项限或第三象限角二、图示法就是在平面直角坐标系中，将坐标系的每个象限n 等分，通过“标号”、“选号”和“定象限”几个步骤最后确定 n α角所在的象限；【例3】已知α为第三项限角，求3α角所在的象限。解：第一步：因为要求3 α角所在的象限，所以画出直角坐标系，如图1所示，把每个象限等分三等份；第二步：标号，如图所示，从靠近x 轴非负半轴的第一项限内区域开始，按顺时针方向，在图中一次标上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为α为第三项限角，所以在图中将数字3的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限，阴影部分在哪一部分， 3α角的终边就在那个象限；由以上步骤可知，α为第三项限角， 3α角为第一、第三或第四象限角。【例4】已知α为第四项限角，求2 α角所在的象限。解：第一步：因为要求2 α如图2所示，把每个象限等分二等份；第二步：标号，如图所示，从靠近x 轴非负半轴的第一项限内区域开始，按顺时针方向，在图中一次标上1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为α为第四项限角，所以在图中将数字4的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，2α角的终边就在那个象限；

如何判定角的终边所在的象限重庆慕泽刚对角的终边所在的象限的判定是一类基础题型，掌握好此类题的解法，可为后面学好三角打下坚实基础，因此要引起重视．下面介绍几种切实可行的方法．一、利用终边相同的角确定象限例1 确定角所在的象限：（1）1410- ；（2）390π7 ．解：（1）1410436030-=-?+ ，与30 角的终边相同， 1410∴- 在第一象限．（2）39012π54ππ77=+ ，与12π7 的终边相同， 390π7 ∴在第四象限．评注：判定一个角的终边所在的象限，可先将此角化为360(0360)k k αα+<∈Z ·，≤或2π(02π)k k αα+<∈Z ，≤的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角所在的象限．二、利用角的范围确定象限例2 已知角α是第一象限的角，则角 2 α所在象限为（）Ａ．第一、三象限Ｂ．第一、四象限Ｃ．第二、三象限Ｄ．第三、四象限解：α 是第一象限的角，则36036090k k α<<+ ··， 180180452 k k α∴<<+ ··，当2()k n n =∈Z 时，360360452 n n α<<+ ··， 2 α∴为第一象限的角；当21()k n n =+∈Z 时，3601803602252 n n α+<<+ ··， 2 α∴为第三象限的角； 2 α∴为第一或第三象限的角，故选（Ａ）．评注：已知一个角α所在的象限，判定一个与之相关的角()n n α*∈N 所在的象限，可分n 种情况进行分类讨论．三、利用旋转与对称确定象限例3 若角θ是第四象限的角，则角π2θ-是（）

三、三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图4-19所示。过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。 δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为： δ+=m A A （4-14）； γα+=A （4-15）； γδα-+=M A （4-16）四、坐标方位角的推算 1．正、反坐标方位角 2 图4-19 三种方位角之间的关系

如图4-20所示，以A 为起点、B 为终点的直线AB 的坐标方位角αΑB ，称为直线AB 的坐标方位角。而直线BA 的坐标方位角αBA ，称为直线AB 的反坐标方位角。由图4-20中可以看出正、反坐标方位角间的关系为： ?±=180BA AB αα （4-17） 2．坐标方位角的推算在实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。如图4-21所示，已知直线12的坐标方位角α12，观测了水平角β2和β3，要求推算直线23和直线34的坐标方位角。 y 图4-20 正、反坐标方位角

由图4-21可以看出： 21222123180βαβαα-?+=-= 32333234180βαβαα+?+=+= 因β2在推算路线前进方向的右侧，该转折角称为右角；β3在左侧，称为左角。从而可归纳出推算坐标方位角的一般公式为：左后前βαα+?+=180 （4-18）右后前βαα-?+=180 （4-19）计算中，如果α前＞360?，应自动减去360°；如果α前＜0?，则自动加上360?。五、象限角 1 3 4 图4-21 坐标方位角的推算

图示法速找α/n、nα的终边寻求α/n、nα角终边的问题，一般是建立不等式，对k进行分类讨论后得出结论，但在选择题中我们并不需要如此繁琐——我们可以用形象直观的图示法来求解（也叫等分象限法）。例1.已知α为第三象限角，求α/2，2α终边所在位置。解法一（一般法）：由题知2kπ+π<α<2kπ+3/2π（k∈z）求2α: 知2(2k+1)π<2α<2(2k+1)π+π ∴2α终边在第一、二象限或x轴正半轴求α：知kπ+π/2<α/2

解：由题知sinα<0,cosα>0， ∴α在第四象限图示法如下：注意到四象限标有3、4及一条分割线，故2α终边在三、四象限或y轴负半轴扩展·说明： ①求α/n、nα终边的问题需将坐标轴各象限等分成n份，然后按上面的做法进行。 ②若n为负数，则需要将等分好的象限按顺时针方向标注1、2、3、4，其他不变 ③关于α/n的问题一般只涉及n=2、3的问题，因为n太大了会出现所有象限均有可能的情况；图示法应用于有些解答题自己需要确定α/n的位置 ④求nα终边时应特别注意角在象间的可能

如何判定角的终边所在的象限 224100 江苏省大丰市南阳中学潘锦明对角的终边所在的象限的判定是一类基础题型，掌握好此类题的解法，可为后面学好三角打下坚实基础，因此要引起重视．下面介绍几种切实可行的方法．一、利用终边相同的角确定象限例1 确定角所在的象限：（1）1410- ；（2） 390π7．解：（1）1410436030-=-?+ ，与30 角的终边相同， 1410∴- 在第一象限．（2）39012π54ππ77=+ ，与12π7 的终边相同， 390π7 ∴在第四象限．评注：判定一个角的终边所在的象限，可先将此角化为360(0360)k k αα+<∈Z ，≤或2π(02π)k k αα+<∈Z ，≤的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角所在的象限．二、利用角的范围确定象限例2 已知角α是第一象限的角，则角2 α所在象限为（）．Ａ．第一、三象限Ｂ．第一、四象限Ｃ．第二、三象限Ｄ．第三、四象限解：α 是第一象限的角，则36036090k k α<<+ ， 180180452k k α ∴<<+ ，当2()k n n =∈Z 时，360360452n n α<<+ ， 2α ∴为第一象限的角；当21()k n n =+∈Z 时，3601803602252n n α+<<+ ， 2α∴ 为第三象限的角． 2 α ∴为第一或第三象限的角．故选Ａ．评注：已知一个角α所在的象限，判定一个与之相关的角 *()n n α∈N 所在的象限，可分n 种情况进行分类讨论．三、利用旋转与对称确定象限

例3若角θ是第四象限的角，则角π 2 θ -是（）．Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角Ｃ．第三象限角Ｄ．第四象限角解：角θ是第四象限的角，且θ-与θ关于x轴对称，θ ∴-是第一象限的角，此时， π2 θ -可以看成是角θ-按逆时针方向旋转 π 2 弧度所成的角，即为第二象限的角，故选Ｂ．评注：注意旋转与“±”号的关系：“＋”号表示按照逆时针方向旋转；“－”号表示按照顺时针方向旋转．反之也亦然．上面三种方法是判定角的终边所在象限的最常用最基本的方法，我们还可以利用三角函数的符号，构成三角形的条件及三角函数的定义等来确定角所在的象限，在后面的学习中，我们将陆续学习到．

一、直线定向 1、正、反方位角换算对直线而言，过始点的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角是的正方位角，而过端点的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角则是的反方位角，同一条直线的正、反方位角相差，即同一直线的正反方位角＝ (1-13) 上式右端，若< ，用“＋”号，若，用“－”号。 2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时也可用象限角表示。所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用表示，取值范围为。为了说明直线所在的象限，在前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东（NE）、南东（SE）、南西(SW)、北西(NW)。象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。

表1-4 象限角与方位角关系表象限角与方位角换算公式 = =－ =＋ =－ 3、坐标方位角的推算测量工作中一般并不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角。设地面有相邻的、、三点，连成折线（图1-17），已知边的方位角，又测定了和之间的水平角，求边的方位角，即是相邻边坐标方位角的推算。水平角又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为，前进方向右侧的水平角。

设三点相关位置如图1-17()所示，应有＝＋＋ (1-14) 设三点相关位置如图1-17()所示，应有＝＋＋－＝＋－ (1-15) 若按折线前进方向将视为后边，视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式：＝＋(1-16) 显然，如果测定的是和之间的前进方向右侧水平角，因为有＝－，代入上式即得通式＝－ (1-17) 上二式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则前面用“－”号。

求解倍角与分角所在象限的策略例（1）已知α是锐角，那么2α是（） A 第一象限角 B 第二象限角 C 小于1800的正角 D 第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么 2 α 是（） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第一或第二象限角 D 第一或第三象限角分析：已知条件α所在角情况，确定α的倍角αn 或分角n α 所在象限，是一种重要题型，我们可以根据已知直接法求解。解：（1）因为α是锐角，所以<00 90<α，所以<00 1802<α，所以选择C 。（2）因为α是第一象限角，所以所以Z k k k ∈+<<,22 2ππ θπ，故Z k k k ∈+< < ,4 2 ππ θ π，k 的取值有两种情形：奇数和偶数。当k 为奇数时，可设)(12Z m m k ∈+=，则有Z m m m ∈+< <+,24 52 2ππ θ ππ，此时 2 θ 是第三象限的角；当k 为偶数时，可设)(2Z m m k ∈=，则有Z m m m ∈+< <,242 2ππ θ π，此时2 θ 是第一象限的角。综上， 2 θ 是第一、第三象限的角，故选C. 点评：第一题任意忽视终边在y 轴正半轴，错误选择D 这个答案；第二问重点是考查分类讨论思想，正确对实际问题分类讨论是关键；根据θ的象限把 )(+∈N n n θ 表示出来后，要对k 进行分类讨论，k 一般按nm ，nm ＋1，nm ＋2，…，nm ＋（n －1）)(Z m ∈分成n 类，如 3 θ 就要把k 分成k ＝3m ，k ＝3m ＋1，k ＝3m ＋2)(Z m ∈三类来求解。子题一：已知α是第二象限的角，试求：（1）2α所在的象限；（2）3 α所在的象限。分析：本题与教材第二题几乎完全相同，所以可以直接求解，解法如下：解：（1）因为α是第二象限的角，所以Z k k k ∈+<<+,22 2ππαπ π，所以Z k k k ∈+ << + ,2 2 4 π πα π π，

（5—3）当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。从图5—5可以看出AB x ?是边长AB S 在x 轴上的投影长度， AB y ?是边长AB S 在y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A 量到B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。

基本计算1直线定向和坐标推算一、直线定向 1、正、反方位角换算对直线AB而言，过始点A的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角αAB是AB的正方位角，而过端点B的坐标纵轴平行线指北端顺时针至自线的夹角αBA的反方位角，同一条直线的正、反方位角相派180°.，即同一自线的下反方位角 αAB=αBA+180° 上式右端，若αBA＜180°，用“+”号，若αBA＞180°，用“—”号。 2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时一也可用象限角表示，所谓象限角是揣从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用R表示，取值范围为0°~90°。为了说明肖线所在的象限，在R前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东〔NE?、南东(5E ) ,南酉（sw)、北西(NW)。象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。 3、坐标方位角的推算测量工作中一般不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角。设地而有相邻的A、B、C三点，连成折线(图1-17)，已知AB边的方位角αAB。，又测定了AB和BC之间的水平角β，求BC边的方位角气αBC，即是相邻边坐标方位角的推算。水平角β又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为β左，前进方向右侧的水平角β右。

设三点相关位置如图1-I7（c）所示，应有 αBC=αAB+β左+180°（1一14）设三点相关位置如图1-I7沪)所不，应有 αBC=αAB+β左+180°=αAB+β-180°（1一15）若按折线前进方向将AB视为后边，BC边视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式:α前=α后+β左±180°（1一16）显然，如果测定的是AB和BC方向之间的前进方向右侧水平角β右，因为有β左=360°-β右。代入上式即得通式：α前=α后-β右±180° 上二式右端，若前两项计算结果＜180°，180°前而用“十”号，否则180°前而用“一”号。二、坐标推算 1、坐标的正算

如何判定角的终边所在的象限对角的终边所在的象限的判定是一类基础题型，掌握好此类题的解法，可为后面学好三角打下坚实基础，因此要引起重视．下面介绍几种切实可行的方法．一、利用终边相同的角确定象限例1 确定角所在的象限：（1）1410-o ；（2）390π7 ．解：（1）1410436030-=-?+o o o Q ，与30o 角的终边相同， 1410∴-o 在第一象限．（2）39012π54ππ77=+Q ，与12π7 的终边相同， 390π7 ∴在第四象限．评注：判定一个角的终边所在的象限，可先将此角化为360(0360)k k αα+<∈Z o o o ·，≤或2π(02π)k k αα+<∈Z ，≤的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角所在的象限．二、利用角的范围确定象限例2 已知角α是第一象限的角，则角 2 α所在象限为（）Ａ．第一、三象限Ｂ．第一、四象限Ｃ．第二、三象限Ｄ．第三、四象限解：αQ 是第一象限的角，则36036090k k α<<+o o o ··， 180180452 k k α∴<<+o o o ··，当2()k n n =∈Z 时，360360452 n n α<<+o o o ··， 2 α∴为第一象限的角；当21()k n n =+∈Z 时，3601803602252 n n α+<<+o o o o ··， 2 α∴为第三象限的角； 2 α∴为第一或第三象限的角，故选（Ａ）．评注：已知一个角α所在的象限，判定一个与之相关的角()n n α*∈N 所在的象限，可分n 种情况进行分类讨论．三、利用旋转与对称确定象限例3 若角θ是第四象限的角，则角π2 θ-是（）Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角

第四章→第四节→直线定向二、直线方向的表示方法（一）方位角从过直线段一端的基本方向线的北端起，以顺时针方向旋转到该直线的水平角度，称为该直线的方位角。方位角的角值为0°～360°取值。如图4-16所示，因基本方向有三种，所以方位角也有三种，真方位角、磁方位角、坐标方位角。以真子午线为基本方向线，所得方位角称为真方位角，一般以表示。以磁子午线为基本方向线，则所得方位角称为磁方位角一般以来表示。以坐标纵轴为基本方向线所得方位角，称为坐标方位角（有时简称方位角），通常以来表示。（二）象限角对于直线定向，有时也用小于90°的角度来确定。从过直线一端的基本方向线的北端或南端，依顺时针（或逆时针）的方向量至直线的锐角，称为该直线的象限角，一般以“”表示。象限角的角值为0°～90°。图4-17所示, 为经过O点的基本方向线，O1、O2、O3、O4为地面直线，则、、、分别为四条直线的象限角。若基本方向线为真子午线，则相应的象限角为真象限角。若基本方向线为磁子午线，则相应的象限角为磁象限角。仅有象限角的角值还不能完全确定直线的位置。因为具有某一角值（例如50°）的象限角，可以从不同的线端（北端或南端）和不同的方向（向东或向西）来度量。所以在用象限角确定直线的方向时，除写出角度的大小外，还应注明该直线所在象限名称：北东、南东、南西、北西等。例如图4-17中，直线O1、O2、O3、O4的象限角相应地要写为北东、南东、南西、北西，它们顺次相应等于第一、二、三、四象限中的象限角。象限角也有正反之分，正反象限角值相等，象限名称相反。（三）坐标方位角与象限角的关系同一直线的坐标方位角与象限角之间的关系如表4-2所列。（四）正反坐标方位角的关系(见图4-18) 相对来说一条直线有正、反两个方向。直线的两端可以按正、反方位角进行定向。若设定直线的正方向为，则直线的方位角为正方位角，而直线ＢＡ的方位角就是直线的反方位角。反之，也是一样。若以为直线正坐标方位角，则为反坐标方位角，两者有如下的关系；若＜180°则有： =+180° 若＞180°则有： =-180 故正、反方位角的一般关系式为： =180°（4-14）