(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题限时集训(十六)B 圆锥曲线热点问题配套作业 文(解析版)
高考数学二轮复习 专题限时集训(十五)A圆锥曲线热点问题配套作业 文(解析版)
专题限时集训(十五)A[第15讲 圆锥曲线热点问题](时间：45分钟)1．已知方程x2k ＋1＋y23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．k <1或k >3 B ．1<k <3 C ．k >1 D ．k <32．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 3．若直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两不同点，F 是抛物线C 的焦点，则“弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ”是“直线l 经过点F ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，5)5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交于不同两点，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)6．已知抛物线y 2＝8x 的焦点与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( )A.4155B.233C. 3 D ．37．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( )A.22，1 B ．0，22C ．(0，1)D ．0，128．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1C.522－2 D.522－1 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则抛物线方程为________．10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，AM ＝13，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到M 的距离的平方差为89，则P 点的轨迹是________．12．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0<b <10)的左，右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．13．已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0，1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小．14．已知过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 1且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，又原点到l 的距离为b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)对任意一点M ∈C ，试证：总存在θ∈R ，使等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →恒成立．专题限时集训(十五)A【基础演练】1．B [解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，3－k >0，k ＋1>3－k ，解得1<k <3.2．C [解析] 由|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项知|PF 1|＋|PF 2|＝4，故动点P 的轨迹是以定点F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x 24＋y 23＝1.3．C [解析] 若直线l 经过点F ，则弦长|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ；同理，若弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，有直线l 经过点F .所以“弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ”是“直线l 经过点F ”的充分必要条件．4．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由于点(1，2)在上区域，故2>b a，所以e＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2< 5.又e >1，所以所求的范围是(1，5)． 【提升训练】5．C [解析] 圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM |>4即可，而|FM |＝y 0＋2，∴y 0>2.6．B [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，由题意，双曲线x 2a2－y 2＝1中，c ＝2，则c 2＝a 2＋1＝4，解得a ＝ 3.故双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率为e ＝c a ＝23＝233.7．A [解析] 根据已知只能m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2.由于m >0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e <1.8．D [解析] 由抛物线的定义，|PF |＝d 1＋1，d 1＝|PF |－1，d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1，显然当PF 垂直于直线x －y ＋4＝0时，d 1＋d 2最小．此时d 2＋|PF |为点F 到直线x －y ＋4＝0的距离为|1－0＋4|12＋12＝522，∴d 1＋d 2的最小值为522－1. 9．x 2＝－8y [解析] 由题意，可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由抛物线的定义，得点P (k ，－2)与点F 的距离等于点P (k ，－2)与抛物线的准线x ＝p 2的距离，所以p2－(－2)＝4，解得p ＝4.故抛物线的方程为x 2＝－8y .10.263 [解析] 已知即ba＝3，此时b ＝3a 且双曲线的离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以a 2＋e b ＝a 2＋23a ≥22a 3a＝263，等号当且仅当a ＝2时成立．11．抛物线 [解析] 如图，以点A 为坐标原点建立直角坐标系，设P (x ，y )，则P 到A 1D 1`的距离为1＋x 2，P 到点M 的距离为x －132＋y 2，根据已知得1＋x 2－x －132－y 2＝89，化简即得y 2＝23x ，故点P 的轨迹为抛物线．12．解：(1)|PF 1||PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，∴(|PF 1|·|PF 2|)max ＝100.(2)∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563.①⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4c 2， ⇒3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2②，由①②得c ＝6，∴b ＝8.13．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2.由题意可知：b ＝1，c a ＝32.解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由直线l 垂直于x 轴时，则直线l 的方程为x ＝－65.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.不妨设点A 在x 轴上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，则直线AQ 的斜率k AQ ＝45－0－65－（－2）＝1，直线BQ 的斜率k BQ ＝－45－0－65－（－2）＝－1.因为k AQ ·k BQ ＝－1， 所以AQ ⊥BQ ，所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.14．解： (1)由已知直线l 的方程为y ＝x －c ，原点到直线l 的距离为b ＝|c |2，所以c2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，23a 2＝c 2，e ＝63.(2)证明：椭圆C ：x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，直线l ：y ＝x －2b ， 由⎩⎨⎧y ＝x －2b ，x 2＋3y 2＝3b2得4x 2－62bx ＋3b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝322b ，x 1x 2＝34b 2，依据平面向量的基本定理得OM →＝λOA →＋μOB →.设M (x 3，y 3)，可得(x 3，y 3)＝(λx 1＋μx 2，λy 1＋μy 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋μx 2，y 3＝λy 1＋μy 2，所以M (λx 1＋μx 2，λy 1＋μy 2)，代入椭圆方程得(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2， 整理为λ2(x 1＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 也就是λ2·3b 2＋μ2·3b 2＝3b 2，可得λ2＋μ2＝1，若设⎩⎪⎨⎪⎧λ＝cos θ，μ＝sin θ，θ∈R ，则OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故对θ∈R 均有OM →＝cos θOA →＋sinθOB →.。
2020届二轮复习 直线与圆锥曲线 课时作业(全国通用)
第三十七讲 直线与圆锥曲线A 组一、选择题1. 抛物线24y x =的焦点为F ，倾斜角等于45o的直线过F 交该抛物线于,A B 两点，则||AB =（ ）A ．2 B.4 C.8 D. 10【解析】由题可知焦点(1,0)F ，直线AB 的方程1y x =-,设点12(,)A x y ，22(,)B x y 联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩ 可得2610x x -+= ，126x x += ,12628AB x x p =++=+= .2. 斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为 ( )A ．2 B.5 C. 5 D. 5解析：设椭圆交直线于1122(,y ),(,)A x B x y 两点，由2244x y y x t⎧+=⎨=+⎩消去y ，得22584(1)0x tx t ++-=，则有2121284(1),55t x x t x x -+=-=g12AB x ∴=-==，当0t =时，max AB =答案：C 3. 直线2y kx =+与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0 解析：由228y kx y x=+⎧⎨=⎩得28160ky y -+=，若0k =，则2y =，若0k ≠，则0∆=，即64640k -=解得1k =，因此直线2y kx =+与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则0k =或1k =答案：D4.（2017全国1卷理）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A【解析】设直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号.5.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于A 、B两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D. 221189x y += 【解析】选D 本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力。
(浙江专用)高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案-
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考 点 整 合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一 定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27， 直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明 当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6， 所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二 最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7， 由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0， 解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0， 解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k2，直线l 与圆O 相切d ＝r 4m 2＝3(1＋k 2)， ∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1， 此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).探究提高 解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析 根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析 因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点， 故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |， 且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交， 所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2.从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12.答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________. 解析 如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝ |FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x 得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ， 所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0，解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1， 故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值， 即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小， 也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程；(2)求OM →·ON →的取值范围.解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2， 因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ， 联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ， 又点A 在第一象限，点B 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m 1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0， 化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2， 原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k 2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k 2， ∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m 21－4k2＝2，∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k 2－7. ∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。
高考数学复习：圆锥曲线
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）高考数学复习：圆锥曲线已知双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222A (2,1)在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且⊥AM AN ，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值. 利用韦达定理用坐标表示出0AM AN ⋅=,进而可求解，所以0AM AN ⋅=，2．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆+=a b x y :1Γ2222>>a b 0)(的左焦点为−F 1,0)(，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅=. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：+=x 40分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则⋅MK KN 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.的坐标，即可得到CF ，CB ，根据1CF CB ⋅=及，所以(1,CF b =−−)，(,CB a b =−)，由1CF CB ⋅=，可得3．（2023·广东江门·统考一模）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线=y x 垂直，A 为垂足且位于第一象限，直线MB 与直线=−y x 垂直，B 为垂足且位于第四象限，四边形OAMB （O 为原点）的面积为8，动点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)已知T 5,3)(是轨迹C 上一点，直线l 交轨迹C 于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 的斜率之和为1，∠=PTQ tan 1，求TPQ 的面积.，即可求出TPQ 的面积=αk tan ，=−βk tan 1，T 5,3(则>k 1或<−k 1，同时−>k 1+∠=−=βαPTQ 1tan tan tan tan )(=k 3时，直线TP 的方程为y 联立⎩−=⎨⎧=−x y y x 1631222，消y 得：4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知双曲线E 的顶点为−A 1,0)(，,B 10)(，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且△=S OFG 点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程； (2)求证：OP OH ⋅为定值.故OP OH mx m ⋅==⨯=mH 11，得证5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线−=>a b C a b x y :1(,0)2222的实轴长为4，左､右顶点分别为A A ,12，经过点B 4,0)(的直线l 与C 的右支分别交于M N ,两点，其中点M 在x 轴上方.当⊥l x 轴时，=MN (1)设直线MA NA ,12的斜率分别为k k ,12，求k k 12的值； (2)若=∠∠BA N BA M 221，求1A MN 的面积.y或解得43所以1A MN的面积为1A MNS=6．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于P Q ,两点.当⊥PQ x轴时，=PA △PAQ 的面积为3. (1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.（2）方法一：设PQ 方程为=x my ⎩−=⎨⇒−+⎧=−x y m y my x my 3334422222)(以PQ 为直径的圆的方程为−x x 1(−+++−+x x x x x x y y y 12121222()(000EP EQ x t x t y y x x t x x t y y ∴⋅=⇒−−+=⇒−+++=12121212122)()()(，7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点−A (2,0)，B (2,0)，直线P A 与直线PB 的斜率乘积为−43，点P 的轨迹为M ．(1)求M 的方程；(2)分别过−F (1,0)1，F (1,0)2做两条斜率存在的直线分别交M 于C ，D 两点和E ，F 两点，且+=CD EF ||||12117，求直线CD 的斜率与直线EF 的斜率之积．8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知A x y ,11)(，B x y ,22)(，C x y ,33)(三个点在椭圆+=y x 2122，椭圆外一点P 满足2OP AO =，2BP CP =，（O 为坐标原点）. (1)求+x x y y 21212的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.，因为2OP AO =，所以又因为2BP CP =，所以9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线C ：=>y px p 202)(和椭圆E ：++=>a a a x y 11022)(有共同的焦点F(1)求抛物线C 的方程，并写出它的准线方程(2)过F 作直线l 交抛物线C 于P ， Q 两点，交椭圆E 于M ， N 两点，证明：当且仅当⊥l x 轴时，MNPQ取得最小值10．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点P (4,3)在双曲线C ：−=a bx y12222（>a 0，>b 0）上，过P 作x 轴的平行线，分别交双曲线C 的两条渐近线于M ，N 两点，⋅=PM PN ||||4．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l：=+y kx m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．①+=k k112；②=k k1 12．后把求解方程得出k m ,的关系式，从而可得定点，定点问题虽然运算过程繁琐，但是求解思路较为明确.11．（2023·福建漳州·统考二模）已知椭圆+=>>a b C a b x y :1(0)2222的左、右焦点分别为F 1，F 2，且=F F 412．过右焦点F 2的直线l 与C 交于A ，B 两点，1ABF 的周长为(1)求C 的标准方程；(2)过坐标原点O 作一条与垂直的直线'l ，交C 于P ，Q 两点，求PQ AB ||||的取值范围； (3)记点A 关于x 轴的对称点为M （异于B 点），试问直线BM 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．12．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆+=C x y 43:122的左、右顶点分别为A ，B ．直线l与C 相切，且与圆+=O x y :422交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若=MN ||l 的斜率； (2)记直线AM BN ,的斜率分别为k k ,12，证明：k k 12为定值．13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)22122过点P (4,1)，且C 1的焦距是椭圆⎝⎭+ ⎪+=−⎛⎫a b a b C x y a b :2222222222的焦距的3倍．(1)求C 1的标准方程；(2)设M ，N 是C 1上异于点P 的两个动点，且0PM PN ⋅=，试问直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．⋅=列方程，整理后可求得定点坐标PM PN因为0⋅=，所以PM PN由0PM PN ⋅=，得14．（2023·山东青岛·统考一模）已知O 为坐标原点，椭圆+=>>a b C a b x y :102222)(的左，右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 的上顶点，△AF F 12为等腰直角三角形，其面积为1． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为k 1，k 2，△WPQ 的面积为S ．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①=S =−k k 2112；③W 为原点O ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．12AF F S==c 1,∴椭圆C15．（2023·山东济南·一模）已知抛物线=H x py :22（p 为常数，>p 0）．(1)若直线=−+l y kx pk p :22与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：==DE FC BF AD EF DB ||||||||||||． 【答案】(1)=k 2 (2)证明见解析【分析】（1）联立直线l 的方程和抛物线方程，消去y 后利用判别式求得的值.（2）求得过A B C ,,三点的切线方程，进而求得D E F ,,的恒坐标，根据抛物线的知识证得结论成立.【详解】（1）将=−+y kx pk p 22代入=x py 22， 化简得++−=x pkx p k 24(1)022（*），方程（*）的判别式=−−=p k p k p 44440Δ2222)(，化简得−+=k k 4402， 即=k 2．（2）设A x y B x y C x y D x y E x y F x y A A B B C C D D E E F F ,,,,,,,,,,,)()()()()()(， 设抛物线=x py 22在A 点处的切线方程为−=−y y k x x A A A )(，由⎩=⎨−=−⎧x pyy y k x x A A A 22)(消去y 并化简得−+−=x pk x pk x py A A A A 22202， ∆=−−=−+=p k pk x py p k pk x py A A A A A A A A 442248802222)(，16．（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线C ：−=a bx y 12222（>a 0，>b 0）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1． (1)求C 的方程；(2)设点O 0,0)(，M 0,2)(，动直线l ：=+y kx m 与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且∠=∠AFM BFM ，过点O 作⊥OH l ，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．,(2,2FM =−),，则()(2,,2,,FA x y FB x y =−=−1122) 于是()()FA x y x x x =−+=−+−=−223321111112222,同理21FB x =−2,即FA FM FB FM FAFB⋅⋅=17．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆+=>>a b E a b x y :1(0)2222过点⎝⎭ ⎛A . (1)若椭圆E 的离心率⎝⎦⎥ ∈⎛⎤e 20,1，求b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率=e 2，M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆+=x y b 222相切，求线段的最大值.由直线与+=x y 122相切，故联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+y x y kx m 41,,22得++k x 1422)(−km m 844218．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点O 作圆++=C x y :(2)322的两条切线，设切点为P Q ,，直线PQ 恰为抛物=>E y px p :2,(0)2的准线. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A B M N ,,,满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设△TAB 面积为S ，求S 的最大值. 【答案】(1)=y x 22 (2)（i ）0；（ii ）48CPP与由几何性质易得：019．（2023·江苏·统考一模）已知直线l 与抛物线=C y x :212交于两点A x y ,11)(，B x y ,22)(，与抛物线=C y x :422交于两点C x y ,33)(，D x y ,44)(，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限.(1)若直线l 过点M 1,0)(，且−BM AM 11l 的方程； (2)①证明：+=+y y y y 11111234； ②设AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2，（O 为坐标原点），若=AC BD 2，求S S 21.，整理得220y my n 2，，2y y n 12，20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知点A 2,2)(为抛物线y px Γ=:22上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点．(1)若︒∠=BOC 90，求证：直线BC 恒过定点；(2)若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且∠=BFC 7tan 24，求△AFC 的面积和△BFC 的面积之比．）根据∠=BOC 90，可得，OB OC x x y y ⋅=+=01212,利用韦达定理求解；可得7cos ,FA FB =25，利用韦达定理和向量夹角的坐标∵∠=BOC 90∴OB OC x x y y ⋅=+=01212,∵FA x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2,111，FB x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2,122，,x FA FB FA FB FA FB⎛⋅⎝==1+−++m y y y y m y y 111221212)()由于直线BC 过点Q ，B ，C 在21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知A ，B 为椭圆+=a b x y 12222左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D 的坐标为−1)(时，=DF 3． (1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为4,0)(，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．设D x y ,11)(，E x y ,22)(，则++=k x x k 21162122，x x 12∴=+−x x x x 2451212)(，又−A 2,0)(，B 2,0)(， ∴直线AD 的方程为+=+x y x y 2211)(，直线BE 的方程为22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线−=<a bC a b x y :1010,02222)(的右顶点为A ，左焦点−F c ,0)(到其渐近线+=bx ay 0的距离为2，斜率为31的直线l 1交双曲线C 于A ，B 两点，且=AB 3． (1)求双曲线C 的方程；(2)过点T 6,0)(的直线l 2与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线=x 6相交于M ，N 两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．，则6,RM t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−x y 3311，6,RN t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−x y 3322，故(()()6RM RN t ⋅=−+−−x x y y 33912122)y y 923．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆+=>>a bE a b x y :1(0)2222的左、右焦点分别为，F F 12，上顶点为B 1，若△F B F 112为等边三角形，且点⎝⎭ ⎪⎛⎫P 21,3在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为，A A 12，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线、AA BA 12与y 轴的交点分别为M 、N ，若=ON OM ||3||，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.24．（2023·湖南张家界·统考二模）已知曲线C 的方程：−=>x x y 451022)(，倾斜角为α的直线l 过点F 3,02)(，且与曲线C 相交于A ，B 两点. (1)=︒α90时，求三角形ABO 的面积；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使直线l 与曲线C 有两个交点A 、B 的情况下，总有∠=∠OMA OMB 如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.过焦点F 3,02)(，倾斜角为所以△=⨯⨯=S AOB 2235115（2）设直线l 的方程为：=−y k x (整理得−+−k x k x 542436222)(因为直线l 与曲线C 有两个交点，设5与椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222交于P Q ,两点（P 在x 轴上方），且=PQ a 56，设点P 在x 轴上的射影为点N ，PQN ，抛物线=>E y px p :2(0)2的焦点与椭圆C 的焦点重合，斜率为的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于A B ,两，点，与抛物线E 交于C D ,两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ，使+λAB CD ||||为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.26．（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线：−=>>a b C a b x y 1(0,0)2222的右顶点到渐近线的C 的右焦点F 作直线MN （不与x 轴重合）与双曲线C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线l ：=−<<x t a t a )(的垂线ME ，E 为垂足. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ，使得直线EN 过x 轴上的定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.27．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹为圆锥曲线．当<<e 01为椭圆，当=e 1为抛物线，当>e 1为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e 为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．已知点F (1,0)，直线=l x :4动点E 满足到点F 的距离与到定直线l 的距离之比为21(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线=>y px p 2(0)2中，O 为抛物线顶点，过焦点F 的直线交抛物线与A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长交准线l 与D ，C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，以AB 为直径的圆与CD 相切于CD 中点．那么如图在曲线E 中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．圆联立方程，结合韦达定理证明=0CF DF ⋅且，()()9CF DF ⋅=+−−x x y y 2241212 +m 34()()90CF DF ∴⋅=+=−−x x y y 2241212，CF DF ∴⊥28．（2023·广东广州·统考二模）已知直线l 与抛物线=C y x :42交于A ，B 两点，且与x 轴交于点>M a a ,00)()(，过点A ，B 分别作直线=−l x a :1的垂线，垂足依次为A 1，B 1，动点N 在l 1上.(1)当=a 1，且N 为线段A B 11的中点时，证明：⊥AN BN ；(2)记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，是否存在实数λ，使得+=λk k k 123？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.(恰为抛物线当=a1时，M1,0)AM AA 由抛物线的定义可得：=取AB的中点D,连接DN,则DNDA因为D为AB的中点,所以=DA DN可得：在△ADN中，由=29．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)22的右焦点为F ，点−A 2,0)(在椭圆上且=AF ||3．(1)求椭圆C 的方程；(2)点、P Q 分别在椭圆C 和直线=x 4上，∥OQ AP ，M 为AP 的中点，若T 为直线OM 与直线QF 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．进而求出(3x OM FQ ⋅=2代入得0OM FQ ⋅=，从而FQ ，判断出点T （1）因为椭圆=|3，所以+a。
(统考版)高考数学二轮专题复习 课时作业16 函数的图象与性质 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
课时作业16 函数的图象与性质[A·基础达标]1．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ≤12}B ．{x |－4≤x <12}C ．{(x ，y )|x <12且y ≥－4}D ．∅2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝xC ．y ＝|x |D ．y ＝－x 2＋13．[2020·某某市第一次模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．154．[2020·某某市质量检测]函数y ＝x 2e x 的大致图象为( )5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－26．已知函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≥0时，f (x )＝2＋m2x－1，则f (－1)＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－127．将函数f (x )的图象向右平移一个单位长度后，所得图象与曲线y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．ln(x ＋1)B ．ln(x －1)C ．e x ＋1D ．e x －18．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )10．[2020·某某西工大附中3月质检]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则( )A ．sgn f (x )>0B ．f (4 0412)＝1C ．sgn f (2k )＝0(k ∈Z )D ．sgn f (k )＝|sgn k |(k ∈Z ) 11．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)12．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)； ②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0.则f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)，f (3)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)>f (3)B ．f (3)>f (2)>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (3)>f (2)D ．f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)13．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)＝________.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值X 围是________．15．[2020·某某某某一中模拟]黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0,1]上的函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，x ＝q p (p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数)，0，x ＝0，1或无理数.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝________.16．[2020·某某市第一次适应性考试]已知函数f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ，则f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)的值是________．[B·素养提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤e ，ln x ，x >e ，则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －a |＋1，x >1，a x ＋a ，x ≤1(a >0且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B ．(1，＋∞)C.⎝⎛⎦⎤0，23∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞) 3．[2020·某某某某新都诊断测试]已知定义在R 上的函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且满足对∀x ∈R ，都有f (x )－f (－x )＝0，则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1B ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |C ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x4．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为( )A ．3B ．－3C ．－39D ．395．已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于函数f (x )的性质，有以下四个推断：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中推断正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上是增函数．给出以下结论：①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减； ④函数f (x )在[0,100]内有25个零点．其中正确的是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 8．如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1；⑤y ＝x x 2＋1. 其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)在(0，＋∞)上单调递减，可知D 正确．故选D.答案：D3．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.答案：A4．解析：y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B.综上，选A.答案：A5．解析：由题中图象可得a (－1)＋b ＝3. ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1.故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：C6．解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f (x )＝2＋m 2x －1，则f (0)＝2＋m1－1＝0，∴m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝12x －1.∴f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.故选C. 答案：C7．解析：因为y ＝ln x 关于直线y ＝x 的对称图形是函数y ＝e x 的图象，且把y ＝e x 的图象向左平移一个单位长度后，得到函数y ＝e x ＋1的图象，所以f (x )＝e x ＋1.故选C.答案：C8．解析：由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.答案：C9．解析：当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.答案：D10．解析：根据题意得函数f (x )是周期为2的函数，作出函数f (x )的大致图象，如图所示，数形结合易知f (x )∈[0,1]，则sgn f (x )＝0或sgn f (x )＝1，可知A 错误； f ⎝⎛⎭⎫4 0412＝f ⎝⎛⎭⎫2 02012＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，可知B 错误； f (2k )＝0(k ∈Z )，则sgn f (2k )＝0(k ∈Z )，可知C 正确；当k ＝2时，sgn(f (2))＝sgn(0)＝0，|sgn 2|＝1，可知D 错误．答案：C11．解析：由函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，可得其图象关于y 轴对称，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，又f (x )在(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，所以x 1到对称轴的距离比x 2到对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．答案：A12．解析：对任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数；因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；因为对任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)>0，所以该函数在[0,1]上单调递增．因为f (3)＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)＝f (0)，1>12>0，所以f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，故选D. 答案：D13．解析：方法一 令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.方法二 由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.答案：e14．解析：如图，画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)的大致图象，可知函数f (x )是增函数，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则只需要t ＋1>2t －4，解得t <5.答案：(－∞，5)15．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＋f (2－x )＝0， 所以f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以2是函数f (x )的周期，则f ⎝⎛⎭⎫185＝f ⎝⎛⎭⎫185－4＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－R ⎝⎛⎭⎫25＝－15， f (lg 30)＝f (lg 3＋lg 10)＝f (lg 3＋1)＝f (lg3－1)＝－f (1－lg 3)＝－R (1－lg 3)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝－15.答案：－1516．解析：f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ＝x (e x ＋1)＋2e x ＋1＋sin x ＝2e x＋1＋x ＋sin x ，所以f (－x )＝2e －x ＋1－x ＋sin(－x )＝2e x e x ＋1－x －sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋2e xe x ＋1＝2，所以f (0)＋f (0)＝2⇒f (0)＝1，所以 f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝5×2＋1＝11. 答案：11[B·素养提升]＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 7．解析：令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，得f (－2)＝0，由于函数f (x )为偶函数，故f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为4，故①正确．由于函数f (x )为偶函数，故f (－4＋x )＝f (4－x )＝f (4－8－x )＝f (－4－x )，所以直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，画出函数图象的大致趋势如图所示．由图可知，函数f (x )在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (98)＝0，零点的周期为4，所以f (x )在[0,100]内共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的序号有①②④.答案：①②④8．解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1，当x <1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，故其是“H 函数”；对于⑤，y ＝x x 2＋1，当x ≠0时，y ＝1x ＋1x ，不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。
2020浙江高考数学二轮讲义：专题五第3讲 圆锥曲线中的综合问题 Word版含解析
姓名，年级：时间：第3讲圆锥曲线中的综合问题“构造法”求最值(范围)［典型例题]（2019·高考浙江卷）如图，已知点F（1，0)为抛物线y2＝2px（p>0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1,S2。
(1）求p的值及抛物线的准线方程；(2）求错误!的最小值及此时点G的坐标．【解】（1）由题意得错误!＝1，即p＝2.所以抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A（x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C），重心G(x G,y G）．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝错误!y＋1，代入y2＝4x，得y2－错误!y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－错误!,所以B错误!。
又由于x G＝错误!（x A＋x B＋x C），y G＝错误!（y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－错误!＋y C＝0，得C错误!，G错误!.所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q（t2－1,0）．由于Q在焦点F的右侧,故t2>2。
从而错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!。
令m＝t2－2，则m〉0，错误!＝2－错误!＝2－错误!≥2－错误!＝1＋错误!.所以当m＝错误!时，错误!取得最小值1＋错误!,此时G（2，0)．.错误!解决最值(范围）问题的常用方法解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．(2）构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解．(3）数形结合法:利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．[对点训练](2018·高考浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA,PB的中点均在C上．（1)设AB中点为M，证明:PM垂直于y轴；（2)若P是半椭圆x2＋错误!＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解：（1)证明：设P（x0，y0）,A错误!，B错误!.因为PA，PB的中点在拋物线上，所以y1，y2为方程错误!错误!＝4·错误!,即y2－2y0y＋8x0－y错误!＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2）由（1）可知错误!所以|PM|＝错误!（y错误!＋y错误!）－x0＝错误!y错误!－3x0，|y1－y2|＝2错误!。
圆锥曲线热点问题二轮作业
专题限时集训(十七)A[第17讲 圆锥曲线热点问题]1．抛物线y ＝4x 2上一点到直线＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D ．(1,4) 2．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)3．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49B.12C.23D ．与P 点位置有关4．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．1．与两圆x 2＋y 2＝1及x ＋y －8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( )A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上图17－12．如图17－1，已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.37163．过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1164．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.595．若A 为抛物线y ＝14x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AB →·AC →等于________． 6．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2OQ →＝QP →，则点Q 的轨迹方程是________．7.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点M (2，t )(t >0)在直线x ＝a 2c(a 为长半轴，c 为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．8．如图17－2，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A (0，2)，且离心率等于32，过点M (0,2)的直线l 与椭圆相交于不同两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM →||PN →|＝|MQ →||NQ →|＝λ，试求λ的取值范围．图17－2专题限时集训(十七)B[第17讲 圆锥曲线热点问题](时间：10分钟＋35分钟)1．已知两定点A (1,1)，(－1，－1)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线2．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，22 3．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是( )A ．5B ．8C.17－1D.5＋24．过点P (－3,0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )A.916B.34C.169D ．161．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1和直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)3．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2等于( )A.π4B.π3C.π2D.2π3 4．已知|AB →|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 241 C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 291 5．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，e 21＋e 22的最小值是________．6．已知曲线x 2a －y 2b＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．8．如图17－3，已知中心在原点的椭圆Ω的离心率为22，它的一个焦点和抛物线y 2＝－4x 的焦点重合．(1)求椭圆Ω的方程；(2)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上以点(x 0，y 0)为切点的切线方程为：x 0x a 2＋y 0yb2＝1.①过直线l ：x ＝2上点M 引椭圆Ω的两条切线、切点分别为A 、B .求证：直线AB 恒过定点C .②是否存在实数λ，使得|AC →|＋|BC →|＝λ|AC →|·|BC →|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．图17－3专题限时集训(十七)A【基础演练】1．C 【解析】 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋417，显然这个函数当x ＝12时取得最小值，此时y ＝1.2．A 【解析】 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．3．A 【解析】 求出点A ，B 的坐标，设出P 点坐标，根据斜率公式和点P 的坐标适合双曲线方程进行变换．A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－127，－67，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫127，67，P (x 0，y 0)， 则k PA ·k PB ＝y 0＋67x 0＋127·y 0－67x 0－127＝y 20－367x 20－1447，而y 20－367＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 209－1－367＝49⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－9－817 ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－1447， 所以k PA ·k PB ＝y 20－367x 20－1447＝49.4．15 【解析】 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝15.【提升训练】1．B 【解析】 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．A 【解析】 点P 到直线l 2的距离等于到焦点F 的距离，故所求的线段之和的最小值就是焦点F 到直线l 1的距离，即105＝2.3．D【解析】 抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，18，设直线AB的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－116.4．B 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0(x －x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a 2a 2－b 2.又a 2a 2－b2＝a 2c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 2，所以x 0＝94. 5．－3 【解析】 抛物线方程为x 2＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则AB →·AC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得AB →·AC →＝－3.6．2x ＋4y ＋1＝0 【解析】 设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．根据2OQ →＝QP →得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，即为所求轨迹方程．7．【解答】 (1)由题知b ＝1，由点M 在直线x ＝a 2c上，得a 2c ＝2，故1＋c 2c＝2，∴c ＝1，从而a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －t 22＝t 24＋1，其圆心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，t 2， 半径r ＝t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝|3－2t －5|5＝r 2－1＝t2，解得t ＝4，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(3)证法一：设OM ，FN 交于点K ，由平面几何知识知 |ON |2＝|OK ||OM |，直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 2x ，y ＝－2t x －1得x K ＝4t 2＋4，∴|ON |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋t 24x K ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋t 24x M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2，所以线段ON 的长为定值 2. 证法二：设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )，MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)，∵FN →⊥OM →，∴2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴2x 0＋ty 0＝2， 又∵MN →⊥ON →，∴x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0， ∴x 2＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2.所以|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值． 8．【解答】 (1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由于椭圆的一个顶点是A (0，2)，故b 2＝2，根据离心率是32得c a＝a 2－b 2a 2＝32，解得a 2＝8. 所以椭圆的标准方程是x 28y 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)．①若直线l 与y 轴重合，则|PM →||PN →|＝|MQ →||NQ →|＝2－22－y 0＝2＋22＋y 0，解得y 0＝1，得λ＝2；若直线l 与y 轴不重合，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0，根据韦达定理得 x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2.由|PM →||PN →|＝|MQ →||NQ →|，得0－x 1x 0－x 1＝0－x 2x 2－x 0，整理得2x 1x 2＝x 0(x 1＋x 2)， 把上面的等式代入得x 0＝－1k.又点N 在直线y ＝kx ＋2上，所以y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1k ＋2＝1，于是有1<y 1< 2.λ＝2－y 1y 1－1＝1y 1－1－1，由1<y 1<2，得1y 1－1>2＋1，所以λ> 2. 综上所述λ≥ 2.专题限时集训(十七)B【基础演练】1．B 【解析】 由题知PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )，所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆．2．D 【解析】 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ⇒b 2>c 2，即a 2>2c 2⇒c a <22.3．C 【解析】 点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求．4．A 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB 的斜率k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，OM 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2k 1·k 2＝y 22－y 21x 22－x 21，根据双曲线方程y 2＝916(x 2－16)，故y 22－y 21＝916(x 22－x 21)，故k 1·k 2＝916.【提升训练】1．C 【解析】 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．B 【解析】 根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c .只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.3．C 【解析】 方法一：F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213，设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积S ＝12×213|y 0|＝12，故y 20＝12213，代入双曲线方程得x 20＝2513.根据对称性取点P 51313，121313，此时|PF 1|＝51313＋132＋1213132＝ 1318132＋12132＝6232＋2213＝6，根据双曲线定义可得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝4，即三角形F 1PF 2的三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2，故∠F 1PF 2＝π2.方法二：设|PF1→|＝x ，|PF 2→|＝y ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|x －y |＝2，x 2＋y 2－2xy cos ∠F 1PF 2＝52，化简得xy －xy cos ∠F 1PF 2＝24，而12xy sin ∠F 1PF 2＝12，所以1－cos ∠F 1PF 2sin ∠F 1PF 2＝1，即sin ∠F 1PF 2＋cos ∠F 1PF 2＝1.上式平方各得sin ∠F 1PF 2cos ∠F 1PF 2＝0， 而在三角形中sin ∠F 1PF 2≠0， 故cos ∠F 1PF 2＝0，所以∠F 1PF 2＝π2.4．A 【解析】 设A (0，a )，B (b,0)，则由|AB →|＝3得a 2＋b 2＝9.设P (x ，y )，由OP →＝13OA →＋23OB →得(x ，y )＝13(0，a )＋23(b,0)，由此得b ＝32x ，a ＝3y ，代入a 2＋b 2＝9得9y 2＋94x 2＝9⇒x 24＋y 2＝1.5．4 【解析】 e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2b 2，则e 21＋e 22＝a 2＋b 2a2＋a 2＋b 2b 22＋b 2a 2＋a2b2≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 时等号成立)．6．2 【解析】 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1，消去y 得，(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.7．【解答】 (1)由题意知e ＝c a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝12.即a 2＝2b 2.又因为b ＝21＋1，所以a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，化简得k 2<12，x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k2.∵OA →＋OB →＝tOP→，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t 1＋2k 2， ∴y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt 1＋2k 2.∵点P 在椭圆上，∴8k 22t 21＋2k 22＋2－4k 2t 21＋2k 22＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2]<209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤64k41＋2k 22－4·8k 2－21＋2k 2<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12，∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)， ∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，∴83t 2<4，∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2632.8．【解答】 (1)设椭圆Ω的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵抛物线y 2＝－4x 的焦点是(－1,0)，∴c ＝1.又c a ＝22， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆Ω的方程为x 22＋y 2＝1. (2)①证明：设切点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M 点的坐标为(2，t )，则切线方程为x 1x2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1，又两切线均过点M ，即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1.从而A 、B 两点都适合方程x ＋ty ＝1，而两点确定唯一的一条直线．故直线AB 的方程是x ＋ty ＝1，当t ∈R 时，点(1,0)适合方程．故直线AB 恒过定点C (1,0)．②将直线AB 的方程x ＝－ty ＋1代入椭圆方程消去x ，得(t 2＋2)y 2－2ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2<0. 不妨设y 1>0，y 2<0.∴|AC |＝x 1－12＋y 21＝t 2＋1y 1，|BC |＝－t 2＋1y 2，∴1|AC|＋1|BC|＝1t2＋1⎝⎛⎭⎪⎪⎫1y1－1y2＝1t2＋1·y2－y1y1y2＝－1t2＋1·y2－y12y1y2＝－1t2＋1·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2tt2＋22＋4t2＋2－1t2＋2＝1t2＋1·8t2＋1＝22，即|AC|＋|BC|＝22|AC|·|BC|，故存在实数λ＝22，便得|AC→|＋|BC→|＝λ|AC→|·|BC→|.。
圆锥曲线专题—定值问题(全)
圆锥曲线专题—定值问题(全) 题型1线段长度定值问题题型2周长定值问题题型3面积定值问题题型4向量积定值问题题型5角度定值问题题型6运算关系定值问题◆类型1和关系◆类型2差关系◆类型3积关系◆类型4商关系◆类型5平方关系题型7坐标相关定值问题题型9斜率定值问题题型10斜率和定值问题题型11斜率差定值问题题型12斜率积定值问题题型13斜率比定值问题z题型1线段长度定值问题【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：!!"!+#!$!=1(a >b >0)的左焦点为F (−2,0)，点.2,√20在C 上.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交C 于A，B 两点和P，Q 两点，若线段AB，PQ 的中点分别为M，N，且过F 作直线MN 的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得|DH|为定值.【变式1-1】1. （2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知抛物线C:y %=2px (p >0)过点(1,p )，直线l 与该抛物线C 相交于M，N 两点，过点M 作x 轴的垂线，与直线y =−x 交于点G，点M 关于点G 的对称点为P，且O，N，P 三点共线． (1)求抛物线C 的方程； (2)若过点Q (2,0)作QH ⊥l ，垂足为H （不与点Q 重合），是否存在定点T，使得|HT|为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．题型2周长定值问题【例题2】（2023·云南大理·统考模拟预测）已知点M 到定点F (3,0)的距离和它到直线l ：x =%&'的距离的比是常数'&． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y =kx +m 与圆x %+y %=16相切，切点N 在第四象限，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求证：△FAB 的周长为定值．【变式2-1】1. （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P 为圆C：x %+y %−2x −15=0上一动点，点N (−1,0)，线段PN 的垂直平分线交线段PC 于点Q． (1)求点Q 的轨迹方程；(2)点M 在圆x %+y %=3上，且M 在第一象限，过点M 作圆x %+y %=3的切线交Q 点轨迹于A，B 两点，问△ABC 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.⃗⃗x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ⃗=.x +√30i ⃗+yj ⃗，b K ⃗=.x −√30i ⃗+yj ⃗，且|a ⃗|+Lb K ⃗L =4. (1)求点M (x,y )的轨迹C 的方程； (2)设椭圆E ：!!()+#!*=1，曲线C 的切线y =kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值.【变式3-1】1. （2023上·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知椭圆E:!!*+#!'=1的两个焦点分别为F (、F %，直线l:y =kx +m (k,m ∈R )与椭圆交于A、B 两点.(1)若直线l 经过点C (0,3)，且|OA|=|AC|，求点A 的坐标；(2)若直线l 经过点C (0,3)，且S △,-.=S △,-/，求直线l 的方程；(3)若k -,⋅k -/=−'*，则△AOB 的面积是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.题型4向量积定值问题"!$!其离心率为√%，(%被椭圆截得的弦长为2√3．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)圆x %+y %=*&的切线交椭圆C 于A ，B 两点，切点为N ，求证：ANK K K K K K⃗⋅NB K K KK K K⃗是定值．【变式4-1】1. （2023上·四川·高三南江中学校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点C (0,−1),D(−1&,−'&)． (1)求椭圆的方程．(2)设P 是椭圆上一点（异于C,D ），直线PC,PD 与x 轴分别交于M,N 两点．证明在x 轴上存在两点A,B ，使得MBKKKKKK⃗⋅NA K K K K K K⃗是定值，并求此定值．z【例题5】（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点F (，A 分别为椭圆E:!!"!+#!$!=1(a >b >0)的左焦点和右顶点，点F 为抛物线C:y %=16x 的焦点，且OF =2OA =4OF (（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F (作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：∠MF (N 为定值.【变式5-1】1. （2023下·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）已知离心率为2的双曲线E:!!"!−#!$!=1(a >0,b >0)的左右顶点分别为A ，B ，顶点到渐近线的距离为√3.过双曲线E 右焦点F 的直线l 与双曲线E 交于P ，Q （异于点A ，B ）两点. (1)求双曲线E 的标准方程；(2)记△ABP ，△ABQ ，△BPQ 的面积分别为S (，S %，S '，当|3"43!|3#=2√2时，求直线l 的方程；(3)若直线AP ，AQ 分别与直线x =1交于M ，N 两点，试问∠MFN 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.z题型6运算关系定值问题◆类型1和关系【例题6-1】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆C (:!!"!+#!$!=1(a >b >0)的左右焦点分别为F (，F %，点A 为C (上的一个动点(非左右顶点)，连接AF (并延长交C (于点B ，且△ABF %的周长为8，△AF (F %面积的最大值为2．(1)求椭圆C (的标准方程；(2)若椭圆C %的长轴端点为F (,F %，且C %与C (的离心率相等，P 为AB 与C %异于F (的交点，直线PF %交C (于M,N 两点，证明：|AB|+|MN|为定值．【变式6-1】（2022上·浙江嘉兴·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的焦点为F (.−√3,00，F %.√3,00，且满足______，椭圆E 的上、下顶点分别为A,B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴.现有如下两个条件分别为： 条件①；椭圆过点U √3,(%V ，条件②：椭圆的离心率为√'%请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆E 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M .试问：|OM|+2|DN|是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.◆类型2差关系【例题6-2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线!!*−#!5=1与直线l:y =kx +m(k ≠±'%)有唯一的公共点M.(1)若点N (2,9)在直线l 上，求直线l 的方程；(2)过点M 且与直线l 垂直的直线分别交x 轴于A(x (,0)，y 轴于B(0,y ()两点.是否存在定点G，H，使得M 在双曲线上运动时，动点P(x (,y ()使得L|PG|−|PH|L 为定值.【变式6-2】（2023·湖北·模拟预测）已知椭圆E:!!%+y%=1的左、右焦点分别为F(，F%，过T(2,0)的直线l交E于A，B两点，且A在线段TB上.(1)求直线AF%，BF%的斜率之和；(2)设AF(与BF%交于点P，证明：|PF(|−|PF%|为定值.◆类型3积关系【例题6-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:!!"!−#!$!=1(a>0,b>0)的一个顶点为A(2,0)，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，A E的斜率之积为(*．(1)求C的标准方程．(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得|GM||GN|为定值．【变式6-3】（2021上·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知双曲线!!"!−y%=1的渐近线倾斜角分别为30°和150°，F为其左焦点，P为双曲线右支上一个动点．(1)求双曲线方程．◆类型4商关系【例题6-4】（2023上·广西·高三统考阶段练习）已知双曲线!!"!−#!$!=1过点U3,&%V和点.4,√150．(1)求双曲线的离心率；(2)过M(0,1)的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问|67|⋅|69||,/|是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．【变式6-4】1. （2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线C:!!"!−#!"!=1(a>0)的左、右焦点分别为F(，F%.过F%的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为2√2.(1)求C的方程；(2)证明：|6:"||6:!|+|;:"||;:!|为定值.z【变式6-4】2. （2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C ：!!"!+#!$!=1（a >b >0）的左，右焦点为F (，F %，离心率为(%，点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线PF (，PF %分别与椭圆C 交于点A ，B ，△PF (B 的周长为8． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：|7:"||,:"|+|7:!||/:!|为定值．◆类型5平方关系【例题6-5】（2023上·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知A,B 分别是椭圆C:!!"!+#!$!=1(a >b >0)的右顶点和上顶点，|AB|=√5，直线AB 的斜率为−(%.(1)求椭圆的方程；(2)直线l //AB ，与x 轴交于点M ，与椭圆相交于点C,D ，求证：|CM|%+|MD|%为定值.【变式6-5】1.（2023上·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知半椭圆#!"!+!!$!=1(y >0,a >b >0)和半圆x %+y %=b %(y ≤0)组成曲线Γ.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD ，CD 与y 轴交于点G，点P 是半圆上异于A，B 的任意一点.当点P 位于点M(√)',−√'')处时，△AGP 的面积最大.(1)求曲线Γ的方程；(2)连接PC，PD 分别交AB 于点E ，F，求证：|AE|%+|BF|%为定值.题型7坐标相关定值问题【例题7】（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知抛物线C：y %＝4x ，圆M：(x －3)%＋y %＝r %，圆M 上的点到抛物线上的点距离最小值为√2． (1)求圆M 的方程；(2)设P 为x =−√7上一点，P 的纵坐标不等于±√2．过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于两个不同的点A(x (,y ()，B(x %,y %)和点Q(x ',y ')，R(x *,y *)，求证：y (y %y 'y *为定值．【变式7-1】1. （2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过(−2,1)，U1,(*V ，(−2,−2)，(3,−2)四点中的两点.(1)求抛物线T 的方程：(2)已知圆x %+(y −2)%=3，过点P (m ,−1).m ≠±√30作圆的两条切线，分别交抛物线T 于A (x (,y ()，B (x %,y %)和C (x ',y ')，D (x *,y *)四个点，试判断x (x %x 'x *是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.题型8参数相关定值问题【例题8】（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：#!"!+!!$!=1(a >b >0)的离心率为('，上焦点F 到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，与定直线l (：y =9交于点D ，设DP KKKKK⃗=λPFK KK K K⃗，DQ K K K K K K⃗=μQF KKKKK⃗，证明：λ+μ为定值.【变式8-1】1. （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆C:!!"!+#!$!=1(a >b >0)的左、右焦点为F (，F %，离心率为(%．点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线PF (、PF %分别与椭圆C 交于点A、B，△PF (B 的周长为8． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若PF (K KK KK K K⃗=λ(F (A K KK K KK K⃗，PF %KK KK KK K⃗=λ%F %B KK KKK KK⃗，求证：λ(+λ%为定值．y轴，且过点P(3,2)．上，离心率e=(%(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆交于A,B两点，且直线PA,PB的倾斜角互补，判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【变式9-1】1. （2023·河北保定·统考二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P(2,2)，(1)求椭圆C的方程；(2)若A,B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA,PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值．zz【例题10】（2022上·河南商丘·高三校考阶段练习）已知A (，A %，B 是椭圆!!"!+#!$!=1(a >b >0)的顶点（如图），直线l 与椭圆交于异于顶点的P ，Q 两点，且l//A %B ，若椭圆的离心率是√'%，且|A %B|=√5，(1)求此椭圆的方程；(2)设直线A (P 和直线BQ 的斜率分别为k (，k %，证明k (+k %为定值.【变式10-1】1. （2023上·河南许昌·高二统考期末）已知△PAB 的两个顶点A，B 的坐标分别是(0,3),(0,−3),且直线PA，PB 的斜率之积是−3，设点P 的轨迹为曲线H. (1)求曲线H 的方程；(2)经过点(1,3)且斜率为k 的直线与曲线H 交于不同的两点E ，F（均异于A，B），证明：直线B E 与BF 的斜率之和为定值.题型11斜率差定值问题【例题11】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知双曲线C:!!"!−#!$!=1(a >0,b >0)的离心率为√2，点M (3,−1)在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程；(2)若F 为双曲线的左焦点，过点F 作直线l 交C 的左支于A,B 两点.点P (−4,2)，直线AP 交直线x =−2于点Q .设直线QA,QB 的斜率分别k (,k %，求证：k (−k %为定值.【变式11-1】1. （2023·湖北孝感·校联考模拟预测）已知双曲线C：!!"!−#!$!=1(a>0,b>0)经过点U3,√)%V，右焦点为F(c,0)，且c%，a%，b%成等差数列.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x=2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k(，k%，证明：<"4<!3是定值.题型12斜率积定值问题【例题12】（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知双曲线C:!!"!−#!$!=1(a>0,b>0)的实轴长为4，离心率为√2．过点P(4,2)的直线l与双曲线C交于A，B两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点Q(3,4)，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．【变式12-1】1. （2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知椭圆E：!!"!+#!$!=1(a>b>0)的离心率为(%，E的左右焦点分别为F(，F%，P是椭圆上任意一点，满足|PF(|+|PF%|=4.抛物线C：y%=2px(p>0)的焦点F与椭圆E的右焦点F%重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A,B.(1)若直线l与椭圆E相交于D，N两点，且DN的中点为Q U1,(%V，求直线l的方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为k(，k%，证明：k(⋅k%为定值.题型13斜率比定值问题【例题13】（2023上·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆C(：!!*+#!$!=1(0<b<2)，双曲线C%是椭圆C(的“姊妹”圆锥曲线，e(，e%分别为C(，C%的离心率，且e(e%=√(&*，点M，N分别为椭圆C(的左、右顶点，设过点G(4,0)的动直线l 交双曲线C%右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为k,6，k/;.(1)求双曲线C%的方程；(2)试探究k,6与k/;的<$%<&'是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求w=k,6%+%'k/;的取值范围.【变式13-1】1. （2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线C:!!"!−#!$!=1,(a>0,b>0)的实轴长为4，左右两个顶点分别为A(,A%，经过点B(4,0)的直线l交双曲线的右支于M,N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，MN=2√6.(1)求双曲线方程.(2)求证：直线MA(,NA%的斜率之比为定值.z针对性练习1. （2023·广东佛山·校考模拟预测）已知点A 为直线l:x +1=0上的动点，过点A 作射线AP （点P 位于直线l 的右侧）使得AP ⊥l,F (1,0)，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T,PF =TF . (1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q (0,2)的两条射线分别与曲线C 交于点M,N ，设直线QM,QN 的斜率分别为k (,k %，若(<"+(<!=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.2. （2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知椭圆C:!!"!+#!$!=1(a >b >0)的右焦点为F ，有两个不同的点P、Q 在椭圆C 上运动，且|PF|的最小值为√6−√3，椭圆的离心率为√%%.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l:x −2y =0与椭圆C 在第一象限交于点A，若∠PAQ 的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.3. （2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知圆心为D 的动圆经过定点F ((−2,0)，且内切于圆F %:(x −2)%+y %=32．(1)求动点D 的轨迹C 的方程；(2)直线l:x =my +1(m >0)与C 相交于M ,N 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段MN 于点Q，直线OP 的斜率为k （O 为坐标原点），△MPQ 的面积为S (，△NPQ 的面积为S %，若|67||;7|=3"3!，判断：<=是否为定值？并说明理由．4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知双曲线C: x %−#!$!=1(b >0)的左、右焦点分别为F (，F %，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F %的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =(%于M 、N 两点，证明：MF %KKKKKKK K⃗⋅NF %KKKKKKK⃗为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF %A =λ∠PAF %恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由． 5. （2020·江苏扬州·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E:!!"!+#!$!=1(a >b >0)过点U1,√%%V ，且椭圆的离心率为√%%.直线l:y =x +t 与椭圆E 相交于A ､B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ､D 两点.(1)求E 的标准方程；(2)求线段CD 长的最大值；(3)证明：AC K KK K K⃗⋅AD KKKKK⃗为定值，并求此定值.6. （2023·全国·校联考三模）已知椭圆C:#!"!+!!$!=1(a >b >0)的上、下焦点分别为F (，F %，离心率为%'，过点F (作直线l （与y 轴不重合）交椭圆C 于M ，N 两点，△MNF %的周长为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点A 是椭圆C 的上顶点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，k (，k %，当k ≠0时，求证：(<U (<"+(<!V 为定值.7. （2023·山东·山东省实验中学校考一模）在平面直角坐标系xO y 中，点P 到点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C． (1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率不为零的直线l 交椭圆E ：!!*+#!'=1于A，B 两点，交曲线C 于M，N 两点，若>|,/|−(|6;|为定值，求实数λ的值．8. （2023·广西·统考模拟预测）已知M,N 分别为椭圆E:!!"!+#!$!=1(a >b >0)的左，右顶点，F 为其右焦点，|FM|=3|FN|，且点P U1,'%V 在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若过F 的直线l 与椭圆E 交于A,B 两点，且l 与以MN 为直径的圆交于C,D 两点，证明：(%|,/|+|.?|!*为定值．9. （2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C 与定点F (1,0)的距离与C 到定直线l：x =4的距离之比为常数(%.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 作一条不垂直于y 轴的直线，与动点C 的轨迹交于M，N 两点，在直线l 上有一点P (4,t )，记直线PM，PF，PN 的斜率分别为k (，k %，k '，证明：<"@<#<!为定值.10. （2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）已知双曲线C:!!"!−#!$!=1(a >0,b >0)的左、右顶点分别为A (,A %，右焦点为F(2,0)，点P 为C 上一动点（异于A (,A %两点），直线PA (和直线PA %与直线x =1分别交于M，N 两点，当PF 垂直于x 轴时，△PA (A %的面积为2． (1)求C 的方程；(2)求证：∠MFN 为定值，并求出该定值．11. （2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：!!"!+#!$!=1(a >b >0)的离心率为√%%，且过点A (2,1)．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ|为定值．12. （2019·全国·高考真题）已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A，B 且与直线x +2=0相切． （1）若A 在直线x +y=0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 13. （2018·北京·高考真题）已知抛物线C：y %=2p x 经过点P （1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM KKKKKK⃑=λQO K K K K K K⃑，QN K KK KK K⃑=μQO K K K K K K⃑，求证：(>+(A 为定值．。
高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析
圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0， 由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94， 当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14； （2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0， 由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9， 同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ） 由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ） 设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22， 由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)， 所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0， 而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1， 由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1， 即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1， 所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2， 设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
(湖北专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(十五)B圆锥曲线热点问题配套作业 文(解析版).pdf
专题限时集训(十五)B[第15讲 圆锥曲线热点问题](时间：45分钟) 1．与两圆x＋y＝1及x＋y－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( )一个椭圆上 双曲线的一支上一条抛物线上 一个圆上到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是( )＝±＝－3y＝1 ．－3y＝0点P是抛物线x＝y上的点，则点P到直线y＝x－1的距离的最小值( ) B. C. D. 4．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝，则动点P的轨迹C的方程是( )＝4x ．＝－4x＝8x ．＝－8x 5．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F( )－＝1(y≤－1) －＝1－＝－1 －＝1设F，F是双曲线－y＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F的面积为2时，的值为( )若点O和点F(－2，0)分别是双曲线－y＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( )[3－2，＋∞) [3＋2，＋∞)－，＋∞ ，＋∞过椭圆＋＝1上一点M作圆x＋y＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为( ) B. C．1 D. 9．过F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C，使＝0，则双曲线离心率e的取值范围是________抛物线y＝8x的准线为l，点Q在圆C：x＋y＋6x＋8y＋21＝0上，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________过抛物线y＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥，交抛物线于A，B两点，且A点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________设椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，＝0，坐标原点O到直线AF的距离为(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F(－1，0)，交y轴于点M，若|＝2|，求直线l的斜率．已知圆C：(x－4)＋y＝1，圆C：x＋(y－2)＝1，圆C，C关于直线l对称．(1)求直线l的方程；(2)直线l上是否存在点Q，使Q点到点A(－2，0)的距离减去点Q到点B(2，0)的距离的差为4？如果存在求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2，1)．(1)求椭圆的方程；(2)直线l平行于OM，且与椭圆交于A，B两个不同点．若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；求证：直线MA，MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．专题限时集训(十五)【基础演练】 [解析] 圆x＋y－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上． [解析] 设点的坐标为(x，y)，则＝2|y|，整理得－＝0. [解析] 设P(x，y)，则d＝＝＝. 4．A [解析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由＝得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y＝4x.【提升训练】 [解析] 由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋＝＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b＝48，所以轨迹方程为y－＝1(y≤－1)． [解析] 在双曲线中，a＝，b＝1，则c＝2.令＝m，|PF＝n，则得所以＝mn＝3.故选 [解析] 因为F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a＋1＝4，即a＝3，所以双曲线方程为－y＝1.设点P(x，y)，则有－y＝1(x)，解得y＝－1(x)．因为＝(x＋2，y)，＝(x，y)，所以＝x(x0＋2)＋y＝x(x0＋2)＋－1＝＋2x－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x＝－，因为x，所以当x＝时，取得最小值＋2－1＝3＋2，故的取值范围是[3＋2，＋∞)，选 [解析] 设M(x，y)，根据圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x＋y＝2，由此得P，0，Q0，，故△POQ的面积为·＝点M在椭圆上，所以＋＝1≥2，由此得|x，所以，等号当且仅当＝时成立．，＋∞ [解析] 设双曲线的方程为－＝1，－c，，B－c，－，C(0，t)，由＝0，得t＝－c，e≥－2 [解析] 由抛物线的定义得，点P到直线l的距离为m即为点P到抛物线的焦点F(2，0)的距离．设线段FC与圆交于点E，则|FE|即为m＋|PQ|的最小值．圆C：x＋y＋6x＋8y＋21＝0化为标准方程是(x＋3)＋(y＋4)＝4，其半径r＝2，故|FE|＝|FC|－r＝－2＝－2.，1＋ [解析] 取值范围的左端点是＝，右端点是当直线的倾斜角等于时，此时直线方程是y＝x－，代入抛物线方程得x－＋＝0，根据题意点A的横坐标是x＝＝＋，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是＋＋＝＋解： (1)由题意知F(－，0)，F(，0)，其中a>，由于＝0，则有，所以点A的坐标为，故AF所在的直线方程为y＝±，所以坐标原点O到直线AF的距离为，又|＝，所以＝，解得a＝2.故所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知直l的斜率存在．设直线l的斜率为k，直线l的方程为y＝k(x＋1)，则有M(0，k)，设Q(x，y)，由于Q，F，M三点共线，且|＝2|，根据题意，得(x，y－k)＝±2(x＋1，y)，解得或又点Q在椭圆上，所以＋＝1或＋＝1，解得k＝0，k＝±4.综上，直线l的斜率为k＝0，k＝±4.解：(1)因为圆C，C关于直线l对称，圆C的圆心C坐标为(4，0)，圆C的圆心C坐标为(0，2)，显然直线l是线段C的中垂线，线段C中点坐标是(2，1)，直线C的斜率是k＝＝＝－，所以直线l的方程是y－1＝－(x2)，即y＝2x－3.(2)假设这样的Q点存在，因为Q点到A(－2，0)点的距离减去Q点到B(2，0)点的距离的差为4，所以Q点在以A(－2，0)和B(2，0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q点在曲线－＝1上．又Q点在直线l上，Q点的坐标是方程组的解，消元得3x－12x＋13＝0，Δ＝12－4×3×13b>0)，则解得故椭圆的方程为＋＝1.(2)①由直线l平行于OM，得直线l的斜率k＝k＝又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y＝＋m.由得x＋2mx＋2m2－4＝0.又直线l与椭圆交于A、B两不同点．设A(x，y)，B(x，y)，＝(2m)－4(2m－4)>0，于是－2<m<2.为钝角等价于<0且m≠0，·＝x＋y＝x＋＝＋(x＋x)＋m由韦达定理得m，即－，故所求范围是(－，0)∪(0，)．证明：依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k，k.由k＝，k＝而k＋k＝＋＝＝＝＝＝0，∴k＋k＝0，故直线MA、MB的倾斜角互补．故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形． 高考学习网： 高考学习网：。
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专题限时集训(十六)B
[第16讲 圆锥曲线热点问题]
(时间：45分钟)
1．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( )
A．一个椭圆上
B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上
D．一个圆上
2．到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是( )
A．y＝±3x
B．y＝33x
C．x2－3y2＝1
D．x2－3y2＝0
3．点P是抛物线x2＝y上的点，则点P到直线y＝x－1的距离的最小值是( )
A.2 B.34
C.324 D.328
4．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为
点Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
5．已知椭圆C：x24＋y2b＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有
公共点，则实数b的取值范围是( )
A．[1，4) B．[1，＋∞)
C．[1，4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另
一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y2－x248＝1(y≤－1)
B．y2－x248＝1
C．y2－x248＝－1
D．x2－y248＝1
7．若点O和点F(－2，0)分别是双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右
支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为( )
A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞)
C．－74，＋∞ D.74，＋∞
8．过椭圆x29＋y24＝1上一点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直
线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为( )
A.12 B.23
C．1 D.43
9．过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲
线虚轴所在直线上存在一点C，使AC→·BC→＝0，则双曲线离心率e的取值范围是________．
10．抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上，设抛物线上任
意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________．
11．过抛物线y2＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥π4，m交抛物线于A，B两点，且
A
点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________．
12．已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为22的椭
圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于
点Q.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位
置关系？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
图16－2
13．已知点A(m，4)(m>0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，
且l1，l2与抛物线另一个交点分别为B，C.
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
图16－3
14．已知抛物线x2＝y，O为坐标原点，过点O作两相互垂直的弦OM，ON，设M的横坐标
为m，用m表示△OMN的面积，并求△OMN面积的最小值．
专题限时集训(十六)B
【基础演练】
1．B [解析] 圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)
减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．
2．D [解析] 设点的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝2|y|，整理得x2－3y2＝0.
3．D [解析] 设P(x，y)，则d＝|x－y－1|2＝|x－x2－1|2＝x－122＋342≥328.
4．A [解析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QP→·QF→＝FP→·FQ→得(x＋1，0)·(2，－y)
＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x.
【提升训练】
5．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1
且b≠4.
6．A [解析] 由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|
－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.
故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．
又c＝7，a＝1，b2＝48，
所以轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．
7．B [解析] 因为F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双
曲线方程为x23－y2＝1.设点P(x0，y0)，则有x203－y20＝1(x0≥3)，解得y20＝x203－1(x0≥3)．因
为FP→＝(x0＋2，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋2)＋y20＝x0(x0＋2)＋x203－1＝4x203＋2
x
0
－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－34，因为x0≥3，所以当x0＝3时，OP→·
FP
→
取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP→·FP→的取值范围是[3＋23，＋∞)，选B.
8．B [解析] 设M(x0，y0)，根据圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x0x＋
y0y
＝2，由此得P2x0，0，Q0，2y0，故△POQ的面积为12×2x0·2y0＝2|x0y0|.点M在椭圆上，所以
x
2
0
9
＋y204＝1≥2x03·y02，由此得|x0y0|≤3，所以2|x0y0|≥23，等号当且仅当|x0|3＝|y0|2时成立．
9.5＋12，＋∞ [解析] 设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，
A－c，b2a，B－c，－b2a，C(0，t)，由AC→·BC→＝0，得t2＝b4a2－c2≥0，e
≥5＋12.
10.41－2 [解析] 由抛物线的定义得，点P到直线l的距离为m即为点P到抛物线的
焦点F(2，0)的距离．设线段FC与圆交于点E，则|FE|即为m＋|PQ|的最小值．圆C：x2＋
y
2
＋6x＋8y＋21＝0化为标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，其半径r＝2，故|FE|＝|FC|－r＝
（－3－2）2＋（－4－0）2－2＝41－2.
11.14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p2＝14，右端点是当直线的倾斜角等于π4时，
此时直线方程是y＝x－14，代入抛物线方程得x2－32x＋116＝0，根据题意点A的横坐标是x＝
32＋322－1
4
2＝34＋22
，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距
离是34＋22＋14＝1＋22.
12．解：(1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
依题意得a＝2，又e＝ca＝22，所以c＝1，b2＝a2－c2＝1.
所以，椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O保持相切．证明如下：
设P(x0，y0)(x0≠±2)，则y20＝2－x20，
所以kPF＝y0x0＋1，kOQ＝－x0＋1y0.
直线OQ的方程为y＝－x0＋1y0x，所以点Q－2，2x0＋2y0，
于是，kPQ＝y0－2x0＋2y0x0＋2＝y20－（2x0＋2）（x0＋2）y0＝－x20－2x0（x0＋2）y0＝－x0y0.
又kOP＝y0x0.
所以kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ.
故直线PQ与圆O相切．
13．解：(1)证明：A(4，4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kl1＋kl2＝y1－4x1－4＋y2－4x2－4＝x1＋44＋x2＋44＝0，x1＋x2＝－8，
∴kBC＝y2－y1x2－x1＝x1＋x24＝－2.
(2)设直线BC为y＝－2x＋b，存在P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ中点M(x0，
y0)．则kPQ＝x3＋x44＝2x04＝12，∴x0＝1，∴M(1，－2＋b
)．
∵M在抛物线内部，∴y0>x204，－2＋b>14，b>94，
y＝－2x＋b代入x2＝4y得x2＋8x－4b
＝0.
|BC|＝1＋k2|x1－x2|＝564＋16b>105，
∴|BC|∈(105，＋∞)．
14．解：设M(xM，x2M)，N(xN，x2N)，由OM⊥ON得xMxN＝－1，
∵xM＝m，xN＝1m，
∴|OM|＝x2M＋x4M＝m2＋m4，|ON|＝x2N＋x4N＝－1m2＋－1m4＝m2＋1m4，
∴S△OMN＝12|OM||ON|＝12m2＋m4m2＋1m4＝122＋m2＋1m2
≥122＋2m2·1m2＝122＋2＝1.