圆中的相似三角形学案--苏雷
三角形相似的判定教学设计(优秀4篇)
三角形相似的判定教学设计（优秀4篇）《相似三角形》数学教案篇一一、教材内容分析《探索三角形相似的条件》是北师大版试验教科书八年级下册第四章第九节的内容，1课时，它是在学生学习了相似三角形的概念基础上，进一步研究三角形相似的条件，是今后进一步研究其他图形的基础。
二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1、知识目标：（1）使使学生能通过三角形全等的判定来发现三角形相似的判定。
（2）学生掌握相似三角形判定定理1，并了解它的证明。
（3）使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用。
2、能力目标：（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力。
3、情感目标：（1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、类比、归纳；（2）通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征。
三、教学重难点：重点：掌握相似三角形判定定理1及其应用。
难点：定理1的证明方法。
四、教学环境及资源准备1、投影片2、观看相关视频五、教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备（一）、导入新课1、多媒体展示问题，什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？2、到目前为止判定三角形相似的方法有几个？3、什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？学生回答证明三角形的两种方法通过提问既起到复习旧知识又起到引出新问题的作用（二）、探究新知1新课讲解（1）、做一做，做出两个三角形来试验是否相似。
（2）、师生共同总结：两角对应相等的两个三角形相似。
2应用新知教学例1：已知：△ABC和△DEF中A=40，B=80，E=80，F=60求证：△ABC∽△DEF例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似3、例题小结1、学生亲手实践2、学生理解3、边听讲边思考让学生通过亲手实践来体验知识的准确性，理解，消化主要知识例1，例2的练习加强学生，以达对定理的更深一步的理解与掌握。
（三）、随堂练习学生完成教师订正练习应用巩固知识（四）、课时小结通过这节课的学习，你能获得哪些收获？分小组交流后个别回答知识系统化（五）、课后作业习题4.9第1题、第2题。
相似三角形数学教案
相似三角形数学教案《相似三角形》数学教案篇1一、教学目标1、使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1。
2、学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题。
3、进一步培养学生类比的教学思想。
4、通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美二、教法引导先学后教，达标导学三、重点及难点1、教学重点：是性质定理1的应用。
2、教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用。
四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具。
六、教学步骤［复习提问］1、三角形中三种主要线段是什么？2、到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？3、什么叫相似比？［讲解新课］根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
下面我们研究相似三角形的其他性质。
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1。
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比《相似三角形》数学教案篇2教学目标：1、了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似。
2、能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似。
3、理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质。
重点和难点：1、本节教学的重点是相似三角形的概念2、在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点。
知识要点：1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）重要方法：1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1。
2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角。
3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上。
教学过程一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。
一圆为背景的相似三角形计算与证明教案
授课时间第周年月日星期序号主备人复备人课题专题提升：以圆为背景的相似三角形的计算与证明备课时间复备时间组长签字教学目标1、训练学生相似三角形判定定理与性质圆的性质的灵活应用2、能运用圆的性质证明和计算相似三角形的一些实际问题.教学重点相似三角形判定定理与性质的灵活应用，圆中与角度有关性质的运用教学难点准确利用圆的性质证明相似三角形和与相似有关的计算教学过程相似三角形与圆综合探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路【教材原型】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC 于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．(浙教版九下P44作业题第5题)解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝15. ∵AC切半圆O于E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴OEBC＝AOAB，∴R9＝15－R15，解得R＝458，∴AO＝AB－OB＝15－R＝758.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．[2015·贵州]如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知△ADO∽△ACB.∴AD AC ＝ODBC，∴AD ·BC ＝AC·OD，∵OD ＝1，∴AC ＝AD·BC.2．[2014·枣庄]如图Z13－3，A 为⊙O 外一 点，AB 切⊙O 于点B ，AO 交⊙O 于C ， CD ⊥OB 于E ，交⊙O 于点D ，连结OD ， 若AB ＝12，AC ＝8. (1)求OD 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵AB 切⊙O 于点B ，∴AB ⊥OB ，∴△OBA 是直角三角形，又∵AB ＝12，AC ＝8， 由勾股定理得OB2＋AB2＝OA2，即OD2＋122＝(OD ＋8)2，解得OD ＝5；(2(2)∵CD⊥OB，AB ⊥OB ，∴EC ∥AB ，∴EC AB ＝OC OA ，即EC 12＝513，∴EC ＝6013，又∵CD⊥OB，∴CD ＝2EC ＝12013.[2015·怀化]如图Z13－4，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为 直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连结DE.(1)求证：△ABC∽△CBD；(2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BDC，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD；(2)连结DO ，如答图，∵∠BDC＝90°，E 为BC 的中点，∴DE＝CE ＝BE ，∴∠EDC＝∠ECD， 又∵OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB ＝90°，∴∠EDC＋∠ODC＝90°即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE 与⊙O 相切．如图Z13－5，已知AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连结OC ，弦AD∥OC，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝2BC ，求AD∶OC 的值．解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO ＝∠COD.∵OA＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB. 又∵CO＝CO ，OD ＝OB ，∴△COD≌△COB，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D 在⊙O 上，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)由(1)知△COD≌△COB，∴CD ＝CB.∵DE ＝2BC ，∴DE ＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA ∽△ECO ， ∴AD OC ＝DE CE ＝DE DE ＋CD ＝23.[2014·东营]如图Z13－6，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E ，且交⊙O 于点D.F 是为BA 延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD. (1)求证：FD 是⊙O 的一条切线； (2)若AB ＝10，AC ＝8，求DF 的长．解：(1)证明：∵∠CDB＝∠BFD， ∠CDB＝∠CAB，∴∠BFD＝∠CAB，∴FD∥AC，∵OD 垂直于弦AC ，∴OD⊥FD，∴FD 是圆O 的一条切线；(2)∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，∴∠ACB＝90°，半径OA ＝OB ＝OD ＝5，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，由勾股定理得BC ＝6，∵OD ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝12AC ＝4，∵OA ＝OB ，∴OE＝12BC ＝3，∵FD ∥AE ，∴△OAE ∽△OFD ，∴FD AE ＝OD OE ，∴FD ＝OD OE ·AE ＝53×4＝203. ∴DF 的长为203.[2015·湖北改编]如图Z13－7，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连结AC ，BC ，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC 平分∠BAD；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：如答图，连结OC ，∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC 平分∠BAD； (2)线段PB ，AB 之间的数量关系为AB ＝3PB.理由：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC ＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC ，∴∠OCB ＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＝∠PAC，∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PC PA ＝PB PC ，∴PC2＝PB·PA，∵PB ∶PC ＝1∶2，∴PC ＝2PB ，∴PA ＝4PB ，∴AB ＝3PB.[2014·达州]如图Z13－8，直线PQ 与⊙O 相交于点A ，B ，BC 是⊙O 的直径，BD 平分∠CBQ 交⊙O 于点D ，过点D 作DE⊥PQ ，垂足为E. (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)连结AD ，已知BC ＝10，BE ＝2，求sin∠BAD 的值．解：(1)证明：连结OD ，如答图，∵BD 平分∠CBQ 交⊙O 于点D ，∴∠CBD＝∠QBD，∵OB ＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB∴∠ODB＝∠QBD，∴OD∥BQ，∵DE⊥PQ，∴OD⊥DE，∴DE 与⊙O 相切；(2)如答图，连结CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BED ＝90°， ∵∠CBD＝∠QBD，∴Rt△BCD∽△BDE，∴BD BE ＝BCBD ，即BD2＝BC·BE＝20，∴BD ＝2 5.在Rt △BCD 中，sin ∠C ＝BD BC ＝55，∵∠BAD ＝∠C，∴sin ∠BAD ＝sin ∠C ＝55.[2014·遂宁]已知：如图Z13－9，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，过点C 的切线与直径AB的延长线相交于点P ，连结PD. (1)求证：PD 是⊙O 的切线； (2)求证：PD2＝PB·PA；(3)若PD ＝4，tan ∠CDB ＝12，求直径AB 的长．解：(1)证明：连结OD ，OC ，∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC⊥PC ，∴∠OCP ＝90°.∵直径AB⊥CD，∴O，P 是CD 垂直平分线上的点，∴OD＝OC ，PD ＝PC ，∵OP＝OP ，∴△ODP≌△OCP， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°，∴PD 是⊙O 的切线；(2)∵PD 是⊙O 的切线，∴∠PDB＝∠A，又∵∠DPB＝∠APD，∴△DPB∽△APD，∴PD∶PA ＝PB∶PD，∴PD2＝PB·PA；又∵tan ∠CDB ＝12，∴tan ∠A ＝BD AD ＝12∵△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶2，又∵PD＝4，∴PA＝8，PB ＝2，∴AB＝6.【中考预测】如图Z13－10，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，边AC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若∠C＝30°，求证：BE 是△DEC 外接圆的切线；解：(1)如答图，取CD 的中点O ，连结OE.∵点E 为Rt △ABC 斜边AC 的中点，∴BE ＝12AC ＝AE.∴∠A＝∠ABE＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵OE＝OC ，∴∠OEC＝∠C＝30°.∴∠BEO＝180°－∠AEB－∠OEC＝90°， 即BE⊥OE.又∵OE为⊙O的半径，∴BE是△DEC外接圆的切线；(2)设CD的长为x，则BC＝x＋1.∵BE＝3，点E为Rt△ABC斜边AC的中点，∴EC＝BE＝3，AC＝23，∠DEC＝∠AB C＝90°. ∵∠ECD＝∠BCA，∴△CED∽△CBA.∴CECB＝CDCA，即3x＋1＝x23.∴x2＋x－6＝0∴x＝2或x＝－3(不合题意，舍去)．即△DEC外接圆的直径为2.作业1．已知⊙O的半径为35厘米，⊙O'的半径为5厘米．⊙O与⊙O'相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6厘米（圆心O、O'在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O O'的长为（）（A）2厘米（B）10厘米（C）2厘米或10厘米（D）4厘米2．如图，两个等圆⊙O和⊙O'的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于（）（A ） 30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）903．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）1+4π （D ）2－4π 4．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ ） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π 5、如图△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ）6．已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．7．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=，AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ．（1）说明点D 在△ABE 的外接圆上；（2）若∠AED =∠CED ，试判断直线CD 与△ABE 外接圆的位置关系，并说明理由．课 后 反 思圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。
相似三角形教案完美版
面积比与边长比关系
1 2
面积比性质
相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，即 如果AB/A'B' = k，则S△ABC/S△A'B'C' = k^2。
面积比推论
如果两个三角形的面积比已知，可以通过求边长 比来进一步确定这两个三角形的相似关系。
3
应用
在解决与相似三角形有关的问题时，可以通过面 积比和边长比的关系来建立方程或不等式，从而 找到问题的解决方案。
三角形的边、角、顶点、高、中线、 角平分线等。
三角形全等条件
全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的判定条件
SSS（三边全等）、SAS（两边和夹角全等）、ASA（两角和夹边全等）、AAS（两角和 一非夹边全等）和HL（直角边斜边定理）。
推论
如果两个三角形有两个对 应的角分别相等，则这两 个三角形相似。
对应边成比例性质
定义
当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形 相似。
性质
相似三角形的对应边成比例，即如果AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
推论
如果两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等 ，则这两个三角形相似。
相似多边形概念
01
02
03
相似多边形的定义
两个多边形的对应角相等 ，对应边成比例，则这两比值 。
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等 ，对应边成比例，面积比 等于相似比的平方。
03
2019-2020学年九年级数学下册-相似三角形导学案(新版)苏科版
2019-2020学年九年级数学下册 相似三角形导学案（新版）苏科版学习目标：1．经历猜想、探究、证明等过程，理解并掌握相似三角形的判定定理：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”．2．会进行相关定理的简单的证明、计算． 学习重点、难点：重点：从两角对应相等的角度探究三角形相似的条件． 难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题． 学习预备：1． 三角形相似判定定理； 2． 三角板一副；疑惑摘要： 学习过程：一、作图与思考：1．按要求画出下列图形：①△ABC 和△DEF ，其中∠A ＝40°，∠D ＝40°②△ABC 和△DEF ，其中∠A ＝∠D ＝40°，∠B ＝∠E ＝40°思考：（1）比对你画的两组三角形，你有什么发现？（2）这两组三角形各有什么关系？二、探索与思考（一）独立探索、解决问题：（1）动手画一个三角形及三角形的一条中位线， 思考：三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系？大小呢？各角有什么关系？各边有什么关系？（2）在右图中，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′=60°，∠B ＝∠B ′=45°，那么这两个三角形相45︒45︒ABCA'C'B'60︒60︒似吗？ 猜想：探究：（利用全等、相似的传递性证明上面的猜想）已知：在右图中，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′=60°，∠B ＝∠B ′=45° 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′证明：在线段A ′B ′上截取A ′D =AB ，过点D 作DE ∥B ′C ′，交A ′C ′于点E ，由DE ∥B ′C ′，得∠______=∠B ′． ∵∠B =∠B ′， ∴∠B =∠______．又∵______=______，∠A =∠A ′， ∴△______≌△______． ∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′．思考：你还有其它的方法来证明这个结论吗？结论：如果 ，那么 。
相似三角形的性质导学案
年级：九年级班级：学生姓名：制作人：不知名编号：2023-1227.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解相似三角形的性质；2. 会利用相似三角形的性质解决简单的问题。
预学案1. 相似三角形对应角，对应边成。
2. 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于，相似三角形对应线段的比等于。
3. 相似三角形的周长的比等于。
4. 相似三角形的面积的比等于。
探究案【探究1】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？结论：【探究2】相似三角形面积的比与相似比有什么关系？结论：检测案5.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为125，求△DEF的边EF上的高和面积.6.如图，△ABC≌△A′B′C′，相似比为3：4，AD、A′D′分别是∠BAC、∠B'A'C'的平分线，AE⊥BC，A′E′⊥B′C′，E、E′为垂足，则AD：A'D'= ，AE：A'E' .7.已知△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，若AD=8，A′D′=12，则△ABC和△A′B′C′的面积比是（）A. 2：3B. 4：9C. 3：2D. 9：48.已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=8cm，求EF和AC的长.9.如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.（1）求证：△BDE∽△EFC；（2）设12 AFFC.①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积.。
圆中的相似三角形PPT课件
F
A
oE B
D
基础练习
在⊙O中，弦AB，CD相交于点P,
连接AC.已知AC=2，BD=4，AP=1。
(1) 证明△ACP ∽△DBP; (2)的圆周角相等.
B
中考变式
在⊙O中，弦AB，CD相交于点P, 点A为CD弧中点,连接AC,BD,AD,已 知AP=2，BP=4.
BC2 BG BF
证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A， ∵∠A=∠F， ∴∠F=∠BCD=∠BCG，在△BCG 和△BFC中，∴△BCG∽△BFC
BC BF BG BC
BC2 BG BF
解：延长CG交⊙O于点M,
直径AB CM ,
BC=2，求⊙O的 面积。
O
B
ED
C
(1) 证明△ADP ∽△ABD
(2) 求线段AD2 的值
AD
P
C
O
等弧所对的圆周角相等.
B
中考链接
如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,
连接AC,过点C作CD⊥AB于D点，E是AB上一
点,直线CE与⊙O相交于点F,连接AF与线段CD
的延长线交于点G.
(1)试说明:△ACG∽△AFC.
(2)若AG=2，AF=6，求以AC为边的正方形面
(2)四边形ADEF的面积为r2
C P
F
A
OE B
D
巩固练习
练习1
如图AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径. 求证：AB·AC = AE·AD
证明：连结BE
∵ AE⊙O的直径，AD⊥BC
∴ ∠ABE = ∠
= 90°
一圆为背景的相似三角形计算与证明教案
授课时间第周年月日星期序号主备人复备人课题专题提升：以圆为背景的相似三角形的计算与证明备课时间复备时间组长签字教学目标1、训练学生相似三角形判定定理与性质圆的性质的灵活应用2、能运用圆的性质证明和计算相似三角形的一些实际问题.教学重点相似三角形判定定理与性质的灵活应用，圆中与角度有关性质的运用教学难点准确利用圆的性质证明相似三角形和与相似有关的计算教学过程相似三角形与圆综合探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路【教材原型】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC 于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．(浙教版九下P44作业题第5题)解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝15. ∵AC切半圆O于E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴OEBC＝AOAB，∴R9＝15－R15，解得R＝458，∴AO＝AB－OB＝15－R＝758.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．[2015·贵州]如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ，∴△ADO ∽△ACB ；(2)由(1)知△ADO ∽△ACB.∴AD AC ＝ODBC，∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC.2．[2014·枣庄]如图Z13－3，A 为⊙O 外一 点，AB 切⊙O 于点B ，AO 交⊙O 于C ， CD ⊥OB 于E ，交⊙O 于点D ，连结OD ， 若AB ＝12，AC ＝8. (1)求OD 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵AB 切⊙O 于点B ，∴AB ⊥OB ，∴△OBA 是直角三角形，又∵AB ＝12，AC ＝8， 由勾股定理得OB2＋AB2＝OA2，即OD2＋122＝(OD ＋8)2，解得OD ＝5；(2(2)∵CD ⊥OB ，AB ⊥OB ，∴EC ∥AB ，∴EC AB ＝OC OA ，即EC 12＝513，∴EC ＝6013，又∵CD ⊥OB ，∴CD ＝2EC ＝12013.[2015·怀化]如图Z13－4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为 直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连结DE.(1)求证：△ABC ∽△CBD ；(2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠BDC ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△CBD ；(2)连结DO ，如答图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，∴DE ＝CE ＝BE ，∴∠EDC ＝∠ECD ， 又∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°即∠EDO ＝90°，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切．如图Z13－5，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝2BC ，求AD ∶OC 的值．解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＝∠COB ，∠ADO ＝∠COD.∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ，∴∠COD ＝∠COB. 又∵CO ＝CO ，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB ，∴∠CDO ＝∠CBO ＝90°，即OD ⊥CD.又∵点D 在⊙O 上，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)由(1)知△COD ≌△COB ，∴CD ＝CB.∵DE ＝2BC ，∴DE ＝2CD.∵AD ∥OC ，∴△EDA ∽△ECO ， ∴AD OC ＝DE CE ＝DE DE ＋CD ＝23.[2014·东营]如图Z13－6，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E ，且交⊙O 于点D.F 是为BA 延长线上一点，若∠CDB ＝∠BFD. (1)求证：FD 是⊙O 的一条切线； (2)若AB ＝10，AC ＝8，求DF 的长．解：(1)证明：∵∠CDB ＝∠BFD ， ∠CDB ＝∠CAB ，∴∠BFD ＝∠CAB ，∴FD ∥AC ，∵OD 垂直于弦AC ，∴OD ⊥FD ，∴FD 是圆O 的一条切线；(2)∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，∴∠ACB ＝90°，半径OA ＝OB ＝OD ＝5，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，由勾股定理得BC ＝6，∵OD ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝12AC ＝4，∵OA ＝OB ，∴OE＝12BC ＝3，∵FD ∥AE ，∴△OAE ∽△OFD ，∴FD AE ＝OD OE ，∴FD ＝OD OE ·AE ＝53×4＝203. ∴DF 的长为203.[2015·湖北改编]如图Z13－7，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连结AC ，BC ，PB ∶PC ＝1∶2.(1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：如答图，连结OC ，∵PE 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PE ，∵AE ⊥PE ，∴OC ∥AE ， ∴∠DAC ＝∠OCA ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠DAC ＝∠OAC ，∴AC 平分∠BAD ； (2)线段PB ，AB 之间的数量关系为AB ＝3PB.理由：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠ABC ，∵∠PCB ＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＝∠PAC ，∵∠P 是公共角，∴△PCB ∽△PAC ，∴PC PA ＝PB PC ，∴PC2＝PB ·PA ，∵PB ∶PC ＝1∶2，∴PC ＝2PB ，∴PA ＝4PB ，∴AB ＝3PB.[2014·达州]如图Z13－8，直线PQ 与⊙O 相交于点A ，B ，BC 是⊙O 的直径，BD 平分∠CBQ 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥PQ ，垂足为E. (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)连结AD ，已知BC ＝10，BE ＝2，求sin ∠BAD 的值．解：(1)证明：连结OD ，如答图，∵BD 平分∠CBQ 交⊙O 于点D ，∴∠CBD ＝∠QBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ∴∠ODB ＝∠QBD ，∴OD ∥BQ ，∵DE ⊥PQ ，∴OD ⊥DE ，∴DE 与⊙O 相切；(2)如答图，连结CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠BED ＝90°， ∵∠CBD ＝∠QBD ，∴Rt △BCD ∽△BDE ，∴BD BE ＝BCBD ，即BD2＝BC ·BE ＝20，∴BD ＝2 5.在Rt △BCD 中，sin ∠C ＝BD BC ＝55，∵∠BAD ＝∠C ，∴sin ∠BAD ＝sin ∠C ＝55.[2014·遂宁]已知：如图Z13－9，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，过点C 的切线与直径AB 的延长线相交于点P ，连结PD. (1)求证：PD 是⊙O 的切线； (2)求证：PD2＝PB ·PA ；(3)若PD ＝4，tan ∠CDB ＝12，求直径AB 的长．解：(1)证明：连结OD ，OC ，∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ，∴∠OCP ＝90°.∵直径AB ⊥CD ，∴O ，P 是CD 垂直平分线上的点，∴OD ＝OC ，PD ＝PC ，∵OP ＝OP ，∴△ODP ≌△OCP ， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°，∴PD 是⊙O 的切线；(2)∵PD 是⊙O 的切线，∴∠PDB ＝∠A ，又∵∠DPB ＝∠APD ，∴△DPB ∽△APD ，∴PD ∶PA ＝PB ∶PD ，∴PD2＝PB ·PA ；又∵tan ∠CDB ＝12，∴tan ∠A ＝BD AD ＝12∵△DPB ∽△APD ，∴PD ∶PA＝PB ∶PD ＝BD ∶DA ＝1∶2，又∵PD ＝4，∴PA ＝8，PB ＝2，∴AB ＝6.【中考预测】如图Z13－10，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，边AC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若∠C ＝30°，求证：BE 是△DEC 外接圆的切线；解：(1)如答图，取CD 的中点O ，连结OE.∵点E 为Rt △ABC 斜边AC 的中点，∴BE ＝12AC ＝AE.∴∠A ＝∠ABE ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C＝30°.∴∠BEO＝180°－∠AEB－∠OEC＝90°，即BE⊥OE.又∵OE为⊙O的半径，∴BE是△DEC外接圆的切线；(2)设CD的长为x，则BC＝x＋1.∵BE＝3，点E为Rt△ABC斜边AC的中点，∴EC＝BE＝3，AC＝23，∠DEC＝∠ABC＝90°. ∵∠ECD＝∠BCA，∴△CED∽△CBA.∴CECB＝CDCA，即3x＋1＝x23.∴x2＋x－6＝0∴x＝2或x＝－3(不合题意，舍去)．即△DEC外接圆的直径为2.作业1．已知⊙O的半径为35厘米，⊙O'的半径为5厘米．⊙O与⊙O'相交于点D、E．若两圆的公共弦DE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧），则两圆的圆心距O O '的长为 （ ）（A ）2厘米 （B ）10厘米 （C ）2厘米或10厘米 （D ）4厘米 2．如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）903．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）1+4π （D ）2－4π4．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ ） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π5、如图△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截 AB 被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ）6．已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．7．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=，AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ．（1）说明点D 在△ABE 的外接圆上；（2）若∠AED =∠CED ，试判断直线CD 与△ABE 外接圆的位置关系，并说明理由．课 后 反 思圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。
圆中的相似三角形3课件
(1) 证明：△ADP ∽△ABD
(2) 求线段AD2 的值等.
B
圆中的相似三角形3
基础练习2 （黄冈卷）如图，已知AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线 CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O 于点F，连结BF，与直线CD交于点G．
BCBM
CFBMC, B
又CBF是公共角， CF∽ B GCB BC BF
BG BC
BC 2BG BF
直径垂直于弦由垂径定理找等角.
圆中的相似三角形3
巩固练习
练习1
如图AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径. 求证：AB·AC = AE·AD
证明：连结BE ∵ AE⊙O的直径，AD⊥BC ∴ ∠ABE =∠ADC=90° ∵ ∠E =∠C ∴ △ABE∽△ADC
专题学习： 圆中的相似三角形
圆中的相似三角形3
圆中的相似三角形3
思考与探索（一）
如图1，△APC∼△DPB吗？
• 思路：
圆中的相似三角形3
图1
思考与探索（二）
A
如图2，△ADE∼△ACB吗?
1E D
2
• 思路：四 边 形 B C E D 内 接 于 O
C 21800，
O
B
又 121800，从而1C
思路小结
在圆中寻找相似三角形思路如下：
在圆中经常运用定理 判定 “两角分别相等的两个
三角形相似”
三角形相似
在圆中找到相等角的方法: ① 同弧或等弧所对圆周角相等。 ② 圆内接四边形一个外角等于它的内对角
③ 直径垂直于弦,由垂径定理找等角。
圆中的相似三角形3
基础练习1
在⊙O中，弦AB，CD相交于点P, 点A为弧CD中点,连接AC,BD,AD,已知 AP=2，BP=4.
三角形教案相似三角形教案(4篇)
三角形教案相似三角形教案(4篇)如何写三角形教案一（1）回忆任意角、象限角与轴线角的概念．（2）回忆锐角三角函数的定义，有了任意角之后，原来三角函数的定义有局限性，需要对其重新定义，以适用于任意的三角函数．（3）除了锐角的三角函数外，在其它学科中有没有接触到一些特别角的三角函数值？（意图是让学生说出）重新定义的原则有哪些？①和谐的原则，新定义应当包含以前的定义，即当角为锐角时，其定义应与前面的三角形边的比值等价．由此可以确定，新的定义仍应是比值的形式；②传承的原则，新定义应保存旧定义中的一些做法，如可以同样在角的终边上任取一点来定义，且所得结果应与所取点的位置无关．③相容的原则，新定义不能与一些熟识的结论相冲突．如当角为钝角时，其余弦值应为负值．由此可知，新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分；④自然的原则，新定义不能出来得很惊奇，要让人承受必需顺其自然，可在我们前面争论的象限角的根底上进展，换句话说，教师在给出一个任意角的时候，就可以将角直接放在直角坐标系下，由于前面已争论过象限角．按上述几个原则让学生自主探究．如何写三角形教案二（一）教材分析：“三角形的熟悉”是小学数学苏教版国标教材第八册第三单元第一课时的内容。
在此之前，学生已经学习了角，初步熟悉了三角形，但对三角形的三边关系未曾探究,本课将重点引导学生探究三角形的三边关系，理解任意二边之和大于第三边。
教材中，例1让学生在现实情境中找出三角形，并用不同的材料、不同的方法做一个三角形，从而唤起学生的已有阅历，进一步抽象出图形，形成三角形的初步概念。
例2让学生任意选三根小棒围一个三角形,在操作中体会和发觉三角形任意两边之和大于第三边。
“想想做做”安排了不同层次、不同形式的练习，让学生准时稳固所学的学问，并感受数学学问的有用价值。
学好这局部内容，不仅可以从形的方面加深对四周事物的理解，进展学生的空间观念，可以在动手操作、探究规律等方面进展学生的思维和解决实际问题的力量，同时也为学习其他平面图形和立体图形积存学问阅历。
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圆中的相似三角形学案
设计：苏雷 时间：2018-1-4
1、已知:如图,在⊙O中,弦AB与弦CD交于点
P.
(1)求证:△ADP∽△CBP;
(2)判断AP·BP = DP·CP是否成立,并说明理
由.
2、如图,在⊙O中,弦BC,AD交于点E,BE = 1,CE = 3,DE = 2 ,
求△ABE与△CDE的周长比和面积之比.
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD是∠ABC的平分线，交BC于点M，
交⊙O于点D．则图中相似三角形共有（ ）
A．2对
B．4对
C．6对
D．8对
POADCB
E
O
A
D
C
B
4、如图,已知⊙O的两条弦BA,DC的延长线交于点F,AD,BC交于
点E.
(1) 求证: △ABE∽△CDE;
(2) 求证: FA·FB = FC·FD
5、已知：如图5,在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是一条弦，且
CD⊥AB于点.连结BC，AD.求证：PC2 ＝ PA·PB
6、如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上的一个动点(不运动至
A,B),CD⊥AB,D为垂足,AB = 2.设BC = x, BD = y.
(1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
(2)求当BD =41时BC的长.
DBOA
C
E
O
F
A
D
C
B
D
C
B
O
A
P
D
C
B
A
O
E
F
7．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，
F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE
，及
EF
的长．
8、已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边
AB交于点D，点E为弧BD的中点，连接CE交AB于H，AH=AC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC=6，AB=10，求EC的长．
9.如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD
与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；
（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙
O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，
求ACAD 的值．
10.如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点
C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与
A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最
大面积S．