三角形重心知识点总结

三角形重心知识点总结
三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。

一、什么是三角形重心
三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。

而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。

三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。

重心通常用字母G 表示。

二、三角形重心的特点
1. 重心是三条中线交点
三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。

2. 重心到顶点的距离比相等
三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。

也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。

3. 重心所在直线是中位线
连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。

4. 重心将中线按比例分割
以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。

三、三角形重心的性质
1. 重心位于三角形重心所在直线上
三角形三条中线的交点即为三角形的重心。

这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。

2. 重心到三角形各顶点距离之和最小
重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。

3. 重心分离定理
在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。

4. 重心定理
重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。

5. 等腰三角形的重心落在中线交点处
在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。

四、三角形重心相关例题
1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。

解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。

然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。

因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。

我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。

通过这些信息，我们可以得出以下计算步骤：
1) 设K的坐标为(x,y)，则有：
x=(AF-AE)/2+AE=(AF+AE)/2
y=(BD-BC)/2+AF-(EC+AF)/2=(BD+AF-EC)/2
2) 同理，设L的坐标为(p,q)，则有：
p=(CD-BD)/2+BD=(CD+BD)/2
q=(AF-AE)/2+BE-(AF+BE)/2=(BE-AE)/2
3) 最后，设M的坐标为(m,n)，则有：
m=(AC-AD)/2+AD=(AC+AD)/2
n=(BD-BC)/2+AF-BD=(AF+BD-BC)/2
因此，可以得到K(1/2,1/6)，L(3/4,1/6)，M(1/2,1/3)。

通过计算可以得到，KLM三角形的重心为
$(\frac{5}{8},\frac{7}{18})$。

2. 如图，在$\vartriangle ABC$中，$E$和$F$是$AC$、$AB$的中点，$BE$交$CF$于点$G$，$CD$交$AB$于点$H$。

若$GH$平分$EF$，求$\vartriangle ABC$的重心$G$与$AB$的中点之间的距离。

解：由题可知，$EF$被$GH$平分，因此$G$是$EH$的中点，$GH$是$\vartriangle ABC$中一条中线，即$GH$通过$\vartriangle ABC$的重心$G$，所以$G$在$GH$上。

根据重心的性质可知，$\vartriangle ABG$中有
$AG=\frac{2}{3}AD$和$BG=\frac{2}{3}BD$。

由$\vartriangle ADB$和$\vartriangle EFC$的相似性可知，$\frac{EA}{FC}=\frac{BD}{AD}$，因此$EA=\frac{FC}{2}$，$BD=AD$。

因此$BG=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}AD=\frac{3}{4}EA$。

又由$\vartriangle AGE$和$\vartriangle EGF$的相似性可得：
$\frac{EG}{EA}=\frac{GF}{AG}$
即$\frac{EF}{2EA}=\frac{GF}{\frac{2}{3}AD}$。

转换得到：$GF=\frac{EF\cdot AD}{3EA}$。

将$GF$代入$GH$中，得到
$GH=\frac{2}{3}GF=\frac{2}{3}\cdot\frac{EF\cdot
AD}{3EA}=\frac{2}{9}EF$。

因此，$\vartriangle ABG$中
$AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}AB=\frac{4}{9}A
B$，$BG=\frac{3}{4}EA=\frac{3}{8}AB$。

根据中线的定义，$BG=GC$，因此$AC=2BG=\frac{3}{4}AB$。

那么，$\vartriangle ABC$的重心坐标为
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，$AB$的中点坐标为$(\frac{1}{2},0)$。

根据两点之间的距离公式，可知$G$与$AB$的中点之间的距离为：$\sqrt{(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3}-
0)^2}=\frac{1}{6}\sqrt{2}$。

五、总结
三角形重心是三角形内部一个重要的点，其在中位线、中心轴
线等几何形态中也有重要的应用。

本文总结了三角形重心的基本
概念、性质以及相关例题，相信能够帮助读者更好地理解和掌握
三角形的知识。