专题复习 基本不等式练习题(含答案)
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1x－1的最小值为________．(2)已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式精选练习题答案
基本不等式精选练习题答案基本不等式是初中数学中的重要内容，掌握它对于有关不等式的学习和应用都十分重要。
本文就给出一些基本不等式的精选练习题及参考答案，以帮助读者更好地理解和应用基本不等式。
题目一：对于任意正整数 n，证明 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²＞1＋1/2＋1/3＋……＋1/n。
解题思路：利用级数收敛性来证明，由于调和级数收敛，它的平方收敛，而级数 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²大于等于级数 1＋1/2＋1/3＋……＋1/n，即可得证。
题目二：对于任意三个正实数 a，b，c，证明 3(a^2＋b^2＋c^2)＞(a＋b＋c)²。
解题思路：将不等式中的左边展开，可以得到 3(a^2＋b^2＋c^2)＞a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)，再次进行变形可以得到 2(a^2＋b^2＋c^2- ab＋bc＋ca)＞0，由此可以看出原不等式成立。
题目三：对于任意正实数 a，b，c，证明 a/b＋b/c＋c/a≥3。
解题思路：将不等式中的左边按照“平均数大于等于中间数”原理进行拆分，可以得到 a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)^(1/3)/(abc)^(2/3)，即可得证。
题目四：对于任意正实数 a，b，c，证明 a^2/b＋b^2/c＋c^2/a≥a＋b＋c。
解题思路：将不等式左边的分子进行展开，可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b≥a^2bc＋ab^2c＋abc^2，两边同时减去 a^2bc＋ab^2c＋abc^2 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥0，又根据爱德华·魏尔斯不等式 (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2≥0 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥(a-b)²(b-c)²(c-a)²≥0，即可得证。
基本不等式 Word版含答案(训练习题)
第四节 基本不等式 1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”) 易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论 活用几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． [自测练习]1．下列不等式中正确的是( )A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6aB ．若a ，b ∈R ，则a ＋b ab≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b D ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab . ∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lg B. 答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立． 答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1 解析：∵y ＝x ＋4x中x 可取负值， ∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴y ＝sin x ＋4sin x >2sin x ·4sin x＝4， 其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号，∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立． 答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2. [证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a b. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”． 于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，。
专题训练：基本不等式求最值(解析版)
专题训练：基本不等式求最值1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A【解析】因为310xy x y ---=，所以31xy x y -=+，由基本不等式可得312xy x y xy -=+≥，故3210xy xy -≥1xy 13xy -（舍），即1xy ≥ 当且仅当1x y ==时等号成立， 故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b ab+的最小值为（ ） A ．32B 21C ．52D ．3 【答案】D【解析】因为,a b 为正实数且2a b +=，所以2b a =-，所以，2221212211ba b a b a b a ab ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝因为()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a b ==时等号成立； 所以2222213b aba b a a b++=+--=≥，当且仅当1a b ==时等号成立；故选：D3．若0x <，则124x x +-有（ ） A ．最小值1- B ．最小值3- C ．最大值1- D ．最大值3- 【答案】D【解析】因为0x <，所以11122223444x x x x x x ⎛⎫+-=--+-≤--⋅=- ⎪--⎝⎭， 当且仅当14x x-=-，即12x =-时等号成立，故124x x+-有最大值3-．故选：D.4．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ） A ．2 B ．127C ．52 D ．4【答案】D【解析】由42244924x x y y ++=，得()()222222222222425342422x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()2221653x y ≤+，所以22534x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即2226,77x y ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是4.故选：D.5．若正实数x,y 满足29x y +=，则14x y--的最大值是（ ） A 642+ B ．642+ C ．642+ D ．642--【答案】B【解析】由题意可得正实数x,y 满足29x y +=，所以1411418642(2)2499y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=⨯++=+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当8y x x y =即9(21)9(22)x y -==时取等号， 所以14642x y +--≤B ．6．设正实数m ，n 满足2m n +=，则12n m n+的最小值是（ ） A ．32B ．52C ．54D ．94【答案】C【解析】因为正实数m ，n ，2m n +=，所以111522444444n n m n n m n m m n m n m n m n ++=+=++≥⋅=，当且仅当4n m m n =且2m n +=，即43m =，23n =时取等号， 此时取得最小值54，故选：C7．已知正数x 、y 满足()()212x y --=，若不等式2x y m +>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,+∞B ．()4,+∞C ．(),8∞-D ．(),4-∞ 【答案】C【分析】由已知可得出211x y +=，将2x y +与21x y +相乘，利用基本不等式可求得2x y +的最小值，即可得出实数m 的取值范围.【解析】因为0x >，0y >，则()()()21222x y xy x y --=-++=，2x y xy ∴+=，所以，211x y +=，所以()2144224428yxy xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y =时，即4x =，2y =时等号成立．又2x y m +>恒成立，所以8m <．故选：C.8．已知22a b -=，且02a b <+<，则112a b a b++-的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解【解析】因为()()222a b a b a b -=++-=，02a b <+<，所以20a b ->，所以()()2111112222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++-+-⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++ ⎪ ⎪+-+--+⎝⎭⎝⎭1222222a b a b a b a b ⎛+-≥⨯+⋅= -+⎝， 当且仅当22a b a ba b a b+-=-+，即1a =，0b =时等号成立. 所以112a b a b++-的最小值为2.故选：A9．若0x >，则241xx +的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【解析】当0x >时，24421112x x x x x x=≤=++⋅， 当且仅当1x x=，即1x =时等号成立.故选：A.10．已知正实数x 、y 满足144x y x y++=+，则x y +的最小值为（ ） A 132 B ．2 C ．213 D ．214【答案】C【分析】在等式144x y x y ++=+的两边同乘以x y +，结合基本不等式可得出关于x y +的二次不等式，即可解得x y +的最小值.【解析】因为正实数x 、y 满足144x y x y ++=+，等式两边同乘以x y +可得()()()()2444545249y x y x x y x y x y x y x y x y+=++++≥+++⋅=++， 所以，()()2490x y x y +-+-≥，因为0x y +>，解得213x y +≥2y x =时，等号成立. 因此，x y +的最小值为213+故选：C.11．设0a >，0b >，若35a b +=131a b ab++的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．62D ．3【答案】C3ab abab=再利用基本不等式计算可得.【解析】解：因为0a >，0b >且35a b +=，632362ab ab abababab=≥⋅当且仅当3ab ab=，即2a =，1b =时，等号成立．故选：C ．12．若0a >，0b >，且a b ab +=，则2a b +的最小值为（ ） A ．322+ B ．222+ C ．6 D ．322-【答案】A【分析】由a b ab +=，得111ab+=，利用“1”的代换求最值. 【解析】因为0a >，0b >，且a b ab +=，所以111ab+=，所以()112222332322aba b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=时，取等号， 所以2a b +的最小值为322+ A.13．已知正实数,a b ，且22a b +=，则11121a ab ++++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．32C ．54D ．43【答案】C【分析】将22a b +=变为(1)(21)4a b +++=，即可得1121(1)141b a a +=+++， 因此将11121a a b ++++变为111211(1)1214121a b a a b a b ++++=++++++，结合基本不等式即可求得答案.【解析】因为正实数,a b ，22a b +=，故(1)(21)4a b +++=，所以111121[(1)(21)](1)14141b a b a a a +=+++⨯=++++， 故11121111211115(1)2121412144121444a b a b a a b a b a b ++++++=++=+⨯+≥+++++++， 当且仅当15,36a b ==时取得等号，故选：C14．已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12【答案】B【分析】令211a b a b b +=+++-，用1a b b +++分别乘4111a b b +=++ 两边再用均值不等式求解即可.【解析】因为4111a b b +=++，且,a b 为正实数 所以1(414(1))41111)(a b b a b b a b b a b b a bb +++=++++++++=+++++4(1)591a b b b a b++≥+⨯=++， 当且仅当4(1)1a b b b a b++=++即2a b =+时等号成立. 所以219,28a b a b ++≥+≥.故选：B.15．设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y +的最小值等于（ ）A ．2B ．4C ．12 D ．14【答案】B【分析】根据题意得到221144x y x y xy x y xy xy xy+++===+，结合基本不等式，即可求解.【解析】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以221144424x y x y xy xy x y xy xy xy xy+++===+≥⋅=， 当且仅当4xy xy =时，即2xy =等号成立，所以11x y +的最小值为4.故选：B.16．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y +的最小值为（ ）A ．74 B ．92 C ．134D ．1 【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．因为x ，y 都是正数，由基本不等式有：4424y x y x x y x y+≥⋅， 所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2,? 2,y x x y =⎧⎨+=⎩ 即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误.故选：B ．17．已知0a >，0b >，1ab =，则226a b a b+++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．42【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解. 【解析】因为0a >，0b >，1ab =．所以()()2222264644a b ab a b a b a b a b a b a b a b+-+++++===++≥++++，当且仅当1a b ==时，等号成立．故选：B.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的最大值为（ ）A 2B ．3C 3D ．1【答案】C【分析】对原不等式进行化简可得()2262a b x a b ++≤+，再利用基本不等式求最值可得答案.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()2262a b x a b ++≤+（0a >，0b >）恒成立， ∵()()()22266332232244a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++≥=+≥⋅++++ 当且仅当a b =且34a b a b+=+，即3a b ==.∴3x ≤故选：C.19．（多选）已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则（ ） A ．xy 的取值范围是[]1,9 B ．x y +的取值范围是[)2,3 C ．4x y +的最小值是3 D ．2x y +的最小值是423 【答案】BD【分析】根据基本不等式可求得01xy <≤，判断A;将30x y xy ++-=变形为()232x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭结合基本不等式，判断B ；由30x y xy ++-=整理得到411x y =-++ 结合基本不等式可判断C,D.【解析】对于A ，因为0x >，0y >，所以2x y xy +≥x y =时取等号，即32xy xy -≥01xy <≤，即01xy <≤，A 错误；对于B, 由0x >，0y >,()232x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号， 得()()24120x y x y +++-≥，所以2x y +≥,又()03x y xy -+=>，所以3x y +<，B 正确； 对于C, 由0x >，0y >，30x y xy ++-=，得34111y x y y -+==-+++， 则()4441441511x y y y y y +=-++=++-++ ()4241531y y ≥⋅+=+， 当且仅当()4411y y =++，即0y =时等号成立,但0y >，所以43x y +>．（等号取不到）,故C 错误； 对于D ，由C 的分析知：0x >，0y >,411x y =-++,()4421221342311x y y y y y +=-++=++-≥++， 当且仅当()4211y y =++，即21y =时等号成立，D 正确， 故选：BD20．（多选）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最小值14B a b 2C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值12 【答案】BCD【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【解析】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a ba b ab a b =++≤+=2a b ， 当且仅当12a b ==a b 2B 选项正确；由11111111(33)[(2)(2)]22322322⎛⎫⎛⎫+=++=++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭a b a b a b a b a b a b a b a b a b1222322++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭a b a b a b a b 1224223223a b a b a b a b ⎛++≥+⋅= ++⎝， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确； 由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确.故选：BCD.21．（多选）下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是-1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x yx y x y+++的最大值是422-【答案】ABD 【分析】对1221x x +-进行构造，利用基本不等式即可判断A ； 由2x y z ++=得13x y z +++=，进而将411x y z+++转化为()411531y z x x y z +⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦， 结合基本不等式即可判断B ；由228x y xy ++=得()282xy x y =-+，根据2222x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得()()22824x y x y +-+≤，从而可判断C; 令x y t +=，2x y s +=，原式转化成24s tt s--，结合基本不等式即可判断D【解析】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦()12121112x x≤--⋅=--， 当且仅当11212x x-=-，即0x =时等号成立， 所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=， 所以13x y z +++=， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()()44111155233131y z y z x x x y z x y z ⎡++⎡⎤++=++≥+⋅=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥， 解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立， 所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-， 因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号， 所以2224424222x y s t s t x y x y t s t s+=--≤-⋅-++ 当且仅当2s tts=，即2s t 时取等号，所以22xyx y x y +++的最大值是422-D 正确，故选：ABD ．22．（多选）已知实数0a >，0b >，1111a b+=+，则4a b +的值可能是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】BCD【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.【解析】因为0a >，0b >，1111a b+=+， 所以()()1141414114114111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫⎡⎤+=++-=++⋅+-=+++- ⎪⎣⎦++⎝⎭ 41481b a a b+≥+⋅+， 当且仅当4111111b a a ba b +⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，即232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以48a b +≥，可能为8,9,10. 故选：BCD23．已知(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围______．【答案】3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意结合基本不等式可得2234x y xy ++≥，则不等式等价于2311424m m >+，由此即可解出m 的取值范围.【解析】因为(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，所以()222231124x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭， 当且仅当12x y ==时等号成立，又不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，所以2311424m m >+，即2230m m +-<，解得312m -<<．故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.24．已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________. 【答案】936+【分析】设3t a b =+，表达出()18t t -，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.【解析】设3t a b =+，则3418t a b+=-， 所以()()3494941831515227bab at t a b a b a b a b ⎛⎫-=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当23a b =时取等号.所以218270t t -+，解得936936t -+，即3a b +的最大值936+ 当且仅当23a b =，即36a =+262b =. 故答案为：936+25．已知0x >，则423x x--的最大值是_________【答案】243-##432-【分析】直接利用基本不等式求最大值. 【解析】0x，则4442323223243⎛⎫--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭x x x x x x 当且仅当43x x=即23x = 故答案为：243-.26．若正数a ，b 满足11a b +=1，则41611a b +--的最小值为__． 【答案】16【分析】由条件可得11a b b=-，11ba a =-，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.【解析】因为正数a ，b 满足11ab+=1，则有1a=111b bb--=， 则有11a b b=-，1b =111a a a --=，即有11b a a =-， 则有416416416211b a b aa b a b a bb+=+≥⋅=--16， 当且仅当416b a a b =即有b ＝2a ，又11a b+=1， 即有a 32=，b ＝3，取得最小值，且为16． 故答案为：16．27．若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__． 2212【分析】设22,2u a v b =-=-，得到1231123()()222232a b u v a b u v u v +=+-=++---， 结合基本不等式，即可求解.【解析】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>， 所以11212311232()()222232ua b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---123123223221(3)(32)1323222v u v u u v u v =++-≥+⋅-==， 当且仅当632,323v u =-=时，等号成立，取得最小值． 2212．28．设a ，b ≥0，且1a b =，则ab的最小值为___________. 【答案】0 【分析】由题可得()214b a -=，代入ab，结合均值不等式即可得出答案.【解析】因为21a b =，所以()221124b b a --⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以2(1)1111204442442a b b b b b b b -==+-≥⋅=， 当且仅当0,1a b ==时取等. 所以a b的最小值为0. 故答案为：0.29．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值； （2）已知01x <<，求()43x x -的最大值． 【答案】（1）9；（2）43． 【分析】（1）由于10x ->，则()114141511x x x x ++=-++--，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于01x <<，变形得()()()1433433x x x x -=⋅⋅-，然后利用基本不等式求解即可.【解析】（1）因为1x >，所以10x ->，所以()()111414154159111x x x x x x ++=-++≥-⋅=---， 当且仅当()1411x x -=-，即32x =时取等号，所以1411x x ++-的最小值为9．（2）因为01x <<，所以()()()2113434433433323x x x x x x +-⎛⎫-=⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当343x x =-，即23x =时取等号， 故()43x x -的最大值为43．30．（1）已知01x <<，则()43x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ 【答案】（1）23；（2）1.【分析】（1）根据基本不等式，和为定值求积的最大值，（2）由基本不等式即可求解.【解析】（1）()()()2113(43)4433433323x x x x x x +-⎡⎤-=⨯-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =-，即23x =时取等号． 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42=(54)323=1.4554f x x x x x =-+--++≤---＋ 当且仅当154=54x x--，即=1x 时，取等号． 故()14245f x x x =-+-的最大值为1。
高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题
高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
专题07 基本不等式学霸必刷100题(解析版)
基本不等式学霸笔刷100题1．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．212+ B ．312+ C ．32D ．52【答案】B 【解析】 如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC AN μ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+31+，故选B.2．已知,,2a b R a b ∈+=，则221111a b +++的最大值为（ ） A ．1 B ．65C．12D ．2【答案】C 【解析】因为,,2a b R a b ∈+=，则()2222222112111+++=+++++a b a b ab a b ()()()()()()()22222222421626221251414+-+----====++-+-+-+-+a b ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab ab ， 令1=-t ab ，则()()2242142414---=+-+ab t t ab ，再令42-=t m，则42-=mt ， 所以()22242443248324844-===+-+-+-+t m m t m m m m m ，由基本不等式可得32+≥m m，当且仅当m =，2=-t4328≤=+-m m，所以221111a b +++的最大值为12. 故选：C3．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】A 【解析】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数，199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立， 即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A4．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．3【答案】B【解析】x ，y ，z 为正实数，且22340x xy y z -+-=，根据基本不等式得22344z xy x y xy +=+，当且仅当x=2y 取等号，所以x=2y 时，xyz取得最大值1, 此时，221222222212y x y x x x y z xy xy xy x ++--+-=-==224444242x x x x x x--⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭,当1122x x =⇔=时,244x x -+取最大值1，212x y z+-的最大值为1,故选B. 5．已知实数,x y 满足()()22254x y -+-=，则()2221xy x x y -+-的最大值为（ ）AB ．617C ．1225D ．2512【答案】A 【解析】所求式()()2222(1)2121xy x x y x y x y --=+-+-，上下同除以(1)x y -得1211xy y x-+-，又1y x -的几何意义为圆上任意一点(),M x y 到定点()0,1N 的斜率，由图可得，当过()0,1N 的直线与圆相切时取得临界条件．当过M 坐标为()0,5时相切为一个临界条件，另一临界条件设:1(0)MN l y k x -=-，化成一般式得10kx y -+=，因为圆与直线相切，故圆心()2,5到直线10kx y -+=的距离225121k d k -+==+，所以221k k -=+22441k k k -+=+，解得34k =，故134y +x -⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，．设1y k x -=，则112121x y k y xk=-++-，又34k +⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，，故222k k k k +≥⋅=2k =1122124221x y k y xk=≤-++-，故选A ．6．若两个正实数x ，y 2222x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),82,-∞-⋃+∞B ．()(),28,-∞-+∞C ．(),2-∞D ．()2,8-【答案】D2222x y=1x y =.44x y x y x y ⎛⎫=+ 1616448y y x x xy x y ==+182166y xx y≥+⋅=.当且仅当16y xxy=，即64x =，4y =时等号成立， 若使得246x y m m +>-恒成立则需2166m m >-，即26160m m --<，解得28m -<<. 所以实数m 的取值范围是()2,8-.故选：D7．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（） A ．6 B ．3 C ．6D ．3【答案】C【解析】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++. ， 2222222222a a cc c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时等立，21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选:C ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．[6,8)B ．[6,8]C ．[4,6)D ．(4,6]【答案】A【解析】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：3sin A π+=（）40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥ ，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选A ． 9．若正实数x y 、满足1x y +=，则2221x yx y +++的最小值是（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】设x 2s +=，y 1t +=，则s t x y 34+=++=，所以2221x y x y +=++22(2)(1)4142s t s t s t s t --⎛⎫⎛⎫+=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4141()62s t s t s t ⎛⎫⎛⎫=+++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为41141149()5444t s s t s t s t s t ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,1s t ==时取等号. 所以221214x y x y +≥++.故选:B . 10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．22πB ．823π C ．1423π D ．42π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B11．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ） A ．8B ．3C ．3D ．3【答案】B 【解析】a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++22243ab ab cd ab cd ab cd +++=++4234abcd +=+，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+B ．12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（） A．B1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABC a b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C==. ∴tan 14CCπ，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin422ABC S ab C ∆=≤⨯+1=.故选：D .13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2163n n S a++的最小值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴a 32=a 1a 13， ∴（1+2d ）2=1+12d ，d ≠0，解得d =2．∴a n =1+2（n -1）=2n -1．S n =n +()12n n -×2=n 2．∴2163n nS a ++=221622n n ++=()2(1)2191n n n +-+++=n +1+91n +-，当且仅当n +1=91n +时取等号，此时n =2，且2163n nS a ++取到最小值4， 故选:A ．14．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设A 为抛物线上的动点，则AO AF的最大值为（） ABC ．5D ．3【答案】D【解析】由抛物线方程为：22(0)y px p =>，可得：焦点(2pF ，0)， 设(,)A m n ，则22n pm =，0m >，设A 到准线2px =-的距离等于d ，则||||||22AO AO AF d m m =====++． 令24p pm t -=，24p t >-，则4t p m p =+，∴2||11||3AOAF =+=234p t = 时，等号成立）． 故||||AO AF ，故选：D ． 15．若正数a 、b 满足()25ab a b =++，设()()412y a b a b =+---，则y 的最大值是（ ） A ．12 B ．-12C ．16D ．-16【答案】A 【解析】()25ab a b =++52ab a b -∴+=0a >、0b >52ab a b -∴+=≥解得25ab ≥()()412y a b a b =+---5541222ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭132922ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2132912116224ab ab y ab --⎛⎫⎛⎫∴==--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25ab ≥，max 12y ∴=当且仅当25ab =时取得最大值，故选：A16．过抛物线C ：24y x =焦点的直线交该抛物线C 于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点P ，如图所示，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】因为双曲线的焦点(1,0)F ,所以设直线AB 的方程为(1)y k x =-,1122(,),(,)A x y B x y ,则(1,2)P k --,将(1)y k x =-代入到24y x =,整理得2222(24)0k x k x k -++=, 则212222442k x x k k ++==+,21221k x x k==, 所以1212124(1)(1)()2y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=,1212124416164y y x x x x =-⋅=-=-=-, 所以11221212(1,2)(1,2)(1)(1)(2)(2)PA PB x y k x y k x x y k y k ⋅=++⋅++=+++++21212121212()4x x x x y y k y y k =+++++++2244121424k k k k=+++-+⨯+ 222244482488816k k k k =++≥⋅=+=,当且仅当2244k k=,即1k =±时取得等号.故选:C 17．已知01x <<，则1221x x +-的最小值为（ ）. A ．9B ．92C ．5D ．52【答案】B【解析】()111122522221121x x x x x x x x-+=+=++---.01x <<，0x ∴>且10x ->，()()111122222211x x x x x x x x--+⋅=--≥， 当且仅当()11221x x x x -=-，即13x =时，()11221x x x x-+-取得最小值2. 1221x x ∴+-的最小值为59222+=.故选B . 18．如图，在ΔABC 中，∠BAC =3π，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABC的面积为332，则AP 的最小值为（ ）A ．3B 3C 6D ．6【答案】B【解析】因为3AD DB =，所以1223AP mAC AB mAC AD =+=+，由,,C P D 三点共线可得， 213m +=，即13m =，所以1132AP AC AB =+，由向量的模的公式可得，22222111111934964AP AC AB AC AB AC AB AC AB ，而133sin 23ABCS AB AC π==，可得6AB AC =，根据基本不等式， 2221111123964366APAC AB AC AB AB AC AB AC ，所以AP 的最小值为3B ．19．已知0>ω，若()22cos sin cos f x x x x ωωω=+在区间72,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时，ω的取值集合为A ，对()2,x ∀∈+∞不等式902x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()22cos sin cos f x x x x ωωω=+1cos 2112sin 2cos 2sin 21222x x x x ωωωω+=⋅+=++()sin 2A x ωθ=+，可知函数周期22T ππωω==，由题可知函数在区间72,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故该区间长度需小于等于半个周期，及2763121222T ππππωω-=≤=⇒≤，∴(0,6]A ⊆， 对于不等式902x x ω+->-，()2,x ∈+∞；设2x t -=，()0,t ∈+∞，2x t =+； ∴不等式等价于920t tω++->恒成立，及min 92t t ω⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，对于()0,t ∈+∞，96t t +≥=，∴8ω<，及集合()0,8B =，∴A B ⊆， “x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，故选：A 20．已知数列{}n a 满足121a =，14n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A．2- B ．454C ．10D ．11【答案】D【解析】因为121a =，14n n a a n +-=， 所以2141a a -=⨯，3242a a -=⨯⋯14(1)n n a a n --=⨯-累加得：14[123(1)]2(1)n a a n n n -=⨯++++-=-，所以22221n a n n =-+，故2122n a n n n=+-， 由于2121222n n n n+⋅212n n =，即2212n =，由于n N +∈， 所以当3n =时，na n的最小值为67211+-=.故选：D 21．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4 B ．C ．2D【答案】B【解析】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+ ，将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --=，由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄② OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=,可得:12120x x y y +=┄③ ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x+=,结合②可得:4t =AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+= 221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+，根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)，0m <时,2mm+≤-.(当且仅当m=) 所以k ≥故选:B.22．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i i x a x b -+=（1,2,3,,9i =⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ，因为关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，所以()()2129129490a a a b b b ∆=++⋅⋅⋅+-⨯++⋅⋅⋅+≥，即()()21919993622a a b b ++⎡⎤⎡⎤≥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化简得2554a b ≥，所以第五个方程有解.设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆，则()()()()21922191199194442a a ab a b b b +∆+∆=-+-≥-+()()2525552422402a b a b =-⨯=-≥,所以10∆<和90∆<至多一个成立,同理可知,20∆<和80∆<至多一个成立,30∆<和70∆<至多一个成立,40∆<和60∆<至多一个成立, 所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个.故选:B 23．正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[3,)+∞ B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞【答案】D 【解析】190,0,1a b a b >>+=，199()1010216b a b a b a b a b a b a ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立， 若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则241816x x m -++-≤，即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤6m ∴≥ ，实数m 的取值范围是[6,)+∞.故选D.24．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，，则，解得， ，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.25．若正数,x y 满足1915x y x y++=+，且1x y +≤，则（ ） A ．x 为定值，但y 的值不定 B ．x 不为定值，但y 是定值 C ．x ，y 均为定值 D ．x ，y 的值均不确定【答案】C【解析】由题得1999()()1919216y x y x x y x y x y x y++=+++≥++=，因为 1x y +≤，则有191516x y x y ++=+≤且1916x y +≥，故有191516x y x y++=+=，解方程组11916x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得13,44x y ==，x ，y 均为定值，故选C 。
新高考数学复习考点知识与题型专题练习7---基本不等式(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题练习7 基本不等式一、 选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 二、1． 函数2(2)y x x =-2． （其中02x <<）的最大值是（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】因为02x <<，可得022x <-<， 所以222(2)2()22x x y x x +-=-≤⨯= ，当且仅当2x x =-时，即1x =时，等号成立，所以函数2(2)y x x =-的最大值是2．故选：D.3． 已知0a >4． ，0b >，且2ab =，那么（）A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +≥D ．224a b +≤【答案】C【解析】因为0a >，0b >，由基本不等式可得a b +≥=2224a b ab +≥=，上述两个不等式当且仅当a b ==ABD 选项错误，C 选项正确.故选：C.3．设0<x <1，则4x ＋11x -的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．272【答案】B【解析】01x <<，10x ∴->，()4141111x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭()4141552291x xx x -=+++≥+=+⨯=-当且仅当()411x xx x -=-，即23x =时，等号成立．411x x∴+-的最小值为9．故选：B5． 已知a >1，b >1，记M ＝11a b+ 6． ，N，则M 与N 的大小关系为（） A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．不确定【答案】A【解析】因为1,1a b >>，所以11a b M a b ab +=+=≥，当且仅当11a b=取等号，N=>=， 故选：A ．5．已知函数()411y x x x =+>-，则函数的最小值等于（）A ．B ．1C ．5D ．9 【答案】C【解析】因为1x >，所以44(1)11511y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立.故选：C.7． 已知实数a ＞0，b ＞0，且满足ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，则（a +1）（b +2）的最小值为（）8．A ．24B ．13 C ．13D ．25【答案】D【解析】因为ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，所以b 22a a +=-，又a ＞0，b ＞0，所以22a a +-＞0，解得a ＞2，又b 22a a +==-142a+-，所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4＝3a122 a++-7＝3（a﹣2）122a++-131325≥=，当且仅当3（a﹣2）122a=-即a＝4时等号成立，即（a+1）（b+2）的最小值为25．故选：D．7．已知x≥5 2，则y＝24524x xx-+-有（）A．最大值54B．最小值54C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】y＝245 24 x xx-+-＝2(2)12(2)x x -+-＝11[(2)]22x x -+-，因为x ≥52，所以x －2＞0，所以111[(2)]222x x -+≥⋅-当且仅当x －2＝12x -，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1，没有最大值.故选：D9． 已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m10． ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是（）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【解析】依题意有x ＋y 11m n m n =+++111()m n m n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3n mm n =++当且仅当12m n ==时取等号． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列说法正确的是（）A ．()10x xx +>的最小值是2B 2C 22D ．423x x--的最小值是2-【答案】AB【解析】当0x >时，12x x +≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），A 正确； 2=20x ≥2≥B 正确； 222==≥=，即23x =-时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当1x =时，42323452x x--=--=-<-D 错误. 故选:AB.10．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（） A ．当40x =时，y 取得最小值B ．当45x =时，y 取得最小值C ．min 320y =D ．min 360y =【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x =⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =.故选：AC .11．设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法中正确的是（）A ．124m n ->B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2 【答案】ABD【解析】对于A 选项，因为正实数m 、n 满足2m n +=，则02m <<，()()2222,2m n m m m -=--=-∈-，故21224m n -->=，A 对； 对于B 选项，由基本不等式可得212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，B 对；对于C 选项，由基本不等式可得()222m n m n =+++=，02，当且仅当1m n ==时，等号成立，C 错；对于D 选项，()()()()222222222224m n m n m n m n mn m n +=+++≥++=+=， 可得222m n +≥，当且仅当1m n ==时，等号成立，D 对.故选：ABD.12．下列推导过程，正确的为（）A ．因为a ､b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为x ∈R ，所以2111x >+C ．因为0a <，所以44a a +≥D ．因为x ､y R ∈，0xy <，所以2x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦当且仅当x y =时，等号成立..【答案】AD 【解析】对于A 选项，因为a ､b 为正实数，则b a ､a b为正实数，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，211x +≥，所以，21011x <≤+，B 选项错误；对于C 选项，当0a <时，()444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当且仅当2a =-时，等号成立，C 选项错误；对于D 选项，因为x ､y R ∈，0xy <，则y x ､x y 均为负数，由基本不等式可得2x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当x y =时，等号成立，D 选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题．13．已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围_______________ 【答案】23t ≤ 【解析】因为,(0,)x y ∈+∞，23x y +=，则2216x y +++=，[]111111212()(2)(21)(11)22162216221y x x y x y x y x y +++=++++=+++++++++12(263≥+=， 当且仅当221122x y y x =++++，即1x y ==时，等号成立； 因此为使11221t x y ≤+++恒成立，只需23t ≤， 故答案为：23t ≤ 14．若0mn >，143m n +=，则m n +的最小值为______ 【答案】3【解析】因为0mn >，143m n+=，所以0m >，0n >， 所以()11531434n m m n m n m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()115523233⎛≥+=+= ⨯⎝， 当且仅当4143n m m n m n⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即12m n =⎧⎨=⎩时等号成立， 所以m n +的最小值为3．故答案为：3.15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝5210(40)x -，若想每天获得的利润最多，则销售价格每件应定为________元． 【答案】60【解析】解析设销售价格定为每件x (50<x ≤80)元，每天获得利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝5210(50)(40)x x --， 设x －50＝t ，则0<t ≤30，所以y ＝5210(10)t t +＝521020100t t t ++＝31010020t t ++5＝2500， 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2500．故答案为：60．16．已知0a b >>，那么当代数式()24a b a b +-取最小值时，点(),P a b 的坐标为______ 【答案】(2,1)【解析】解：由0a b >>，得0a b ->， 所以22()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当b a b =-，即2a b =时取等号， 所以()22241616a a b a b a+≥+≥-，其中第一个不等式等号成立的条件为2a b =，第二个不等式等号成立的条件为2216a a =， 所以当()24a b a b +-取最小值时，221620a a a b a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩ 所以点(),P a b 的坐标为(2,1)，故答案为：(2,1)四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，0b >，且121a b+=，当ab 取最小值时，求a ，b 的值. 【答案】2a =，4b =【解析】由题意知0a >，0b >，由基本不等式，得12a b +≥.因为121a b +=，所以1≥，故8ab ≥. 当且仅当12a b=，即2a =，4b =时等号成立. 因此，ab 取最小值8时，2a =，4b =.18．（1）若正实数x ，y 满足26x y xy ++=，求xy 的最小值；（2）若实数x ，y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【答案】（1）18；（2【解析】（1）因为266xy x y =++≥，()0t t >，即26t ≥+，即(0t t -+≥，所以t ≥18xy ≥，当且仅当2x y =且26x y xy ++=，即3x =，6y =时等号成立.所以xy 的最小值为18.（2）()()()22223124x y x y xy x y x y +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，所以()243x y ≥+，所以x y +≤，当且仅当0x y =>且221x y xy ++=，即x y ==时等号成立.所以x y +19．已知,a b 为正数，求证：)221142a ba b +≥+.【答案】见解析【解析】证明：因为0,0a b >>，所以2148(2)()6662(1b a a b a b a b ++=++≥+=+当且仅当8b a a b=，即b =时，等号成立，因为20a b +>，所以)221142a ba b +≥+. 20．（1）设302x <<，求4x (3－2x )的最大值； （2）已知a >b >c ，求()11()a c a b b c -+--的最小值． 【答案】（1）92；（2）4． 【解析】（1）∵302x <<，∴3－2x >0， ∴4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤()22329222x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当且仅当2x ＝3－2x ，即34x =时，等号成立． ∴4x (3－2x )的最大值为92. （2）()()()1111()()a c a b b c a b b c a b b c ⎡⎤-+=-+-+⎣⎦---- 2b c a b a b b c--=++-- ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，∴2b c a b b c a b -++≥---， 当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号，∴()11()a c a b b c-+--的最小值为4. 21．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40；（2）a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【解析】（1）设每件定价为t 元,依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯≥⨯ ⎪⎝⎭,整理得26510000t t -+≤,解得：25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.（2）依题意知：当x >25时,不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+有解，等价于 x >25时,1501165a x x ≥++有解.由于15016x x +≥,当且仅当1501=6x x ,即x =30时等号成立,所以a ≥10.2. 当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.22．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等.求证：.bc ac ab a b c a b c++>++ 【答案】证明见解析.【解析】证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴2bc ac c a b +≥，2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥. 当且仅当a=b=c 时上式等号均成立， 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立. 故三个式子相加，得()22.bc ac ab a b c ab c ⎛⎫++>++ ⎪⎝⎭ ∴.bc ac ab a b c a b c++>++.。
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基本不等式练习题
一、选择题
1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋1x B．y＝cosx＋1cosx0 C．y＝x2＋3x2＋2 D．y＝ex＋4ex－2 中等号不成立，故B错；∵x2＋2≥2，∴y＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故 [解析] ∵x>0，y>0，且2x＋1y＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)(2x＋1y)＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时 [解析] ∵12为a、b的等差中项，∴a＋b＝12×2＝1. a＋1a＋b＋1b⇒1＋1a＋1b＝1＋a＋bab＝1＋1ab， ＋1b的最小值是( ) ∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥4.当且仅当a＝b＝12时取等号． 6．已知c是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距，则b＋ca的取值范围是( ) [解析] 由题设条件知，a 二、填空题 即a＝c＝2b＝1－22时等号成立． [解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为xa＋yb＝1， 则aba2＋b2＝1， （3）已知x＜54，求f（x）＝4x－2＋145x的最大值。 解（1）, ， (1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值． ∵QDDC＝AQAP，∴x30＝x＋20AP，
[答案] D
[解析] x<0时，y＝x＋1x≤－2，故A错；∵0
C错，∴选D.
2．已知x>0，y>0，且2x＋1y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2
取等号，又2x＋1y＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需
(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得－4
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案] A
[解析] a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正
数时，由1＝a＋b≥2ab得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未
必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.
4．若a>0，b>0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
∵ab≤a＋b2，∴ab≤a＋b24＝14.∴原式≥1＋4.
∴α＋β的最小值为5.故选D.
5.若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则
1
a
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a
＋b＝1.
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，2) D．(1，2]
[答案] D
∵a2＝b2＋c2，∴b＋c2a2＝b2＋c2＋2bca2≤2b2＋c2a2＝2，∴b＋ca≤2.故选D.
7.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．
[答案] －2
[解析] y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4因为t>0，y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2.
等号在t＝1t，即t＝1时成立．
8．已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则1a＋1b＋1c的最小值为________．
[答案] 6＋42
[解析] 1a＋1b＋1c＝a＋2b＋ca＋a＋2b＋cb＋a＋2b＋cc＝2ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋2bc＋
4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，
等号在2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc同时成立时成立．
9.设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．
[答案] 2
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，
则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.
三、解答题
10．（1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；
当且仅当,时取等号，故的最大值为
（2）
，
当且仅当即时取等号。
（3）
当且仅当,即时,上式成立,故当时,
函数的最大值为.
11.如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一
个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中
AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.
(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？
[解] (1)设DQ＝x米(x>0)，则AQ＝x＋20，
∴AP＝30x＋20x，则S＝12×AP×AQ＝15x＋202x
＝15(x＋400x＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，
∴0
(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0