高考数学试题分类汇编 解析几何

高考数学试题分类汇编 解析几何
一、选择题
1.（重庆理8）在圆
06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
A ．25
B ．210 C
．D ．220
【答案】B
2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1
C 的一条渐近线与以
1
C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若
1
C 恰好将线段AB 三等分，则
A ．2132a =
B ．213a =
C ．2
12b =
D ．22b =
【答案】C
3.（四川理10）在抛物线
2
5(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆22
5536x y +=相切，则抛
物线顶点的坐标为
A ．(2,9)--
B ．(0,5)-
C ．(2,9)-
D ．(1,6)-
【答案】C
【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为
(2)y a x b =-+，则2
23651(2)b a =
+-
又25
64(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨
=-+⎩
4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是
A ．28y x =-
B ．28y x =
C ．
2
4y x =- D ．
2
4y x = 【答案】B
5.（山东理8）已知双曲线22
221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆
C:
22
650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为
A ．22154x y -=
B ．22145x y -=
C ．22136x y -=
D ．22
163x y -=
【答案】A
6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 （A
（B
（C ） 2 （D ） 3 【答案】B
7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则
cos AFB ∠=
A ．45
B ．3
5
C ．35-
D ．4
5-
【答案】D
8.（江西理9）若曲线
1
C ：
2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是
A ．
（
3-
，3） B ．
（3-
，0）∪（0
，3）
C ．
[3-
，3]
D ．（-∞
，
3-
）∪（3，+∞）
【答案】B
9.（湖南理5）设双曲线()22
2
109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线
22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则
A ．n=0
B ．n=1
C ． n=2
D ．n ≥3
【答案】C
11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足
1122
::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于
A ．1322或
B ．23或2
C ．12或2
D ．
2332或
【答案】A 12.（北京理8）设
()0,0A ,
()
4,0B ，
()4,4C t +,
()()
,4D t t R ∈.记
()
N t 为平行四边形
ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()
N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12
C ．
{}9,11,12 D ．{}10,11,12
【答案】C
13.（安徽理2）双曲线
8222=-y x 的实轴长是
（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42
【答案】C
14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3
AF BF +，
则线段AB 的中点到y 轴的距离为
（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7
4
【答案】C
二、填空题
15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系'
'
x Oy （其中'
y 轴一与
y
轴重合）所在的平面为β，
'45xOx ∠=︒。

（Ⅰ）已知平面β内有一点'(22,2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的
坐标为 ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线'C 的方程是
'2'2(2)220x y -+-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 。

【答案】（2，2）
22
(1)1x y -+= 16.（浙江理17）设12,F F 分别为椭圆22
13x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若
125F A F B =;则点A 的坐标是 ．
【答案】(0,1)±
17.（上海理3）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22
1
9y x m -=的一个焦点，则
m = 。

【答案】16
18.（江西理14）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆
22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】22
154x y +=
19.（北京理14）曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)
1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C 过坐标原点；
② 曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。

其中，所有正确结论的序号是 。

【答案】②③
20.（四川理14）双曲线22
x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左
准线的距离是 ．
【答案】56
5
【解析】8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以
1455645c d d a ==⇒=
21.（全国大纲理15）已知F1、F2分别为双曲线C: 2
9x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点
M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 【答案】6
22.（辽宁理13）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(122
22>>=+b a b y a x 上，C 的焦距为4，则
它的离心率为 ． 【答案】2
23.（重庆理15）设圆C 位于抛物线
22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________ 61
24.（全国新课标理14）（14） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点
12
,F F 在
x 轴上，离心率为2
2．过点1F
的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C
的方程为_________．
【答案】22
1
168x y +=
25.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①，③，⑤ 三、解答题
26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1
242
2=+y x 的顶点，过
坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连
接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--=
=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为
)
22
,1(-
-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，
所以
.
2
2
1
2
2
=
-
-
=
k
（2）直线PA的方程
22 21,
42
x y
y x
=+=代入椭圆方程得
解得
).
3
4
,
3
2
(
),
3
4
,
3
2
(
,
3
2
-
-
±
=A
P
x因此
于是
),
0,
3
2
(C
直线AC的斜率为
.0
3
2
,1
3
2
3
2
3
4
=
-
-
=
+
+
y
x
AB的方程为
故直线
.
3
2
2
1
1
|
3
2
3
4
3
2
|
,
2
1
=
+
-
-
=
d
因此
（3）解法一：
将直线PA的方程
kx
y=
代入
22
1,
42
x y
xμ
+==
解得记
则
)0,
(
),
,
(
),
,
(μ
μ
μ
μ
μC
k
A
k
P于是
-
-
故直线AB的斜率为
,
2 0k
k
=
+
+
μ
μ
μ
其方程为
,0
)2
3(
2
)
2(
),
(
2
2
2
2
2
2=
+
-
-
+
-
=k
x
k
x
k
x
k
yμ
μ
μ代入椭圆方程得
解得
223
222
(32)(32)
(,) 222
k k k
x x B
k k k μμμ
μ
++
==-
+++
或因此
.
于是直线PB的斜率
.
1
)
2(
2
3
)
2(
2
)2
3(
2
2
2
2
3
2
2
2
3
1k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k-
=
+
-
+
+
-
=
+
+
-
+
=
μ
μ
μ
因此
.
,1
1
PB
PA
k
k⊥
-
=所以
解法二：
设
)0,
(
),
,
(
,
,0
,0
),
,
(
),
,
(
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
x
C
y
x
A
x
x
x
x
y
x
B
y
x
P-
-
≠
>
>
则
.
设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.
2
2)()(011111
2k
x y x x y k ==---=
从而
1
)()
(212112*********+----⋅--⋅
=+=+x x y y x x y y k k k k
.044)2(1222
1
2221222
22221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以
27.（安徽理21）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2
=上运动，点Q 满足
QA BQ λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点
P 的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设
.
)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①
再设
),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由
解得⎩⎨
⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②
将①式代入②式，消去
y ，得
⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2
211λλλλλλy x y x x ③
又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入2
11x y =，得
.
012),1(,0.
0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,
))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y
28.
（北京理19）
已知椭圆2
2:14x G y +=.过点（m,0）作圆
22
1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将
AB
表示为m 的函数，并求
AB
的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以
.
322--=b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-
离心率为
.23
==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23
,1(),23,
1(-
此时3||=
AB
当m=－1时，同理可得3||=
AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由0448)41(.14),(222222
2
=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则
222212
2214144,418k m k x x k m
k x x +-=+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]
41)
44(4)41(64)[1(2222242
k m k k m k k +--++=2
.
3
||342+=
m m
由于当3±=m 时，,3||=AB
所以
),1[]1,(,3
|
|34||2
+∞--∞∈+=
m m m AB .
因为
,
2|
|3
||343
|
|34||2
≤+
=+=
m m m m AB
且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
29.（福建理17）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x2=4y 是否相切？说明理由。

本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：
（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）
因为MP l ⊥，所以011
20m
-⨯=--，
解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径
||r MP ===
故所求圆的方程为
22
(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+ 所以直线'l 的方程为.y x m =--
由22
',
4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得
244416(1)m m ∆=-⨯=-
（1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切； 当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

解法二：
（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为
22
(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），
则224,
,m r r ⎧+=⎪
=
解得2,m r =⎧⎪⎨
=⎪⎩
所以所求圆的方程为
22
(2)8.x y -+= （II ）同解法一。

30.（广东理19）
设圆C
与两圆
2222
(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;
（2）已知点
M F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P
的坐标．
（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知
22
22|(5)(5)|4,x y x y ++--+=
化简得L 的方程为2
2 1.
4x y -=
（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(5)y x =--，将其代入L 的方程得
215325840.x x -+=
解得
121265145652514525
((515551515x x l L T T =
=-故与交点为
因T1在线段MF 外，T2在线段MF 内，故
11||||||2,
MT FT MF -==
22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有
|||||| 2.
MP FP MF -<=
故
||||
MP FP -只在T1点取得最大值2。

31.（湖北理20）
平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； （Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为
1
C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为
2
C ，
设
1
F 、
2
F 是
2
C 的两个焦点。

试问：在
1
C 撒谎个，是否存在点N ，使得△
1
F N 2F 的面积
2
||S m a =。

若存在，求tan
1
F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。

（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，
当x a ≠±时，由条件可得
12
2
22
,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+-
即
222
()mx y ma x a -=≠±， 又
12(,0),(,0)
A a A A -的坐标满足
222
,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为
222
.mx y ma -= 当1,m <-时曲线C 的方程为22
221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆；
当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；
当10m -<<时，曲线C 的方程为22
221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；
当0m >时，曲线C 的方程为22
22
1,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线。

（II ）由（I ）知，当m=-1时，C1的方程为
222
;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，
C2
的两个焦点分别为
12((F F -
对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，
C1上存在点
000(,)(0)
N x y y ≠使得2
||S m a =的充要条件是
22
200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩
由①得
00||,
y a <≤
由②得
0||y =
① ②
当
0,0,
a m
<≤≤<
或
0m
<≤
时，
存在点N，使S=|m|a2；
1
,
2
a
>即-1<m<
或
m>
时，
不存在满足条件的点N，
当
115
,00,
22
m
⎡⎫⎛+
∈⎪
⎢⎪
⎣⎭⎝⎦时，
由100200
(1),(1,)
NF a m x y NF a x y
=-+--=+-
，
可得
2222
1200
(1),
NF NF x m a y ma
⋅=-++=-
令112212
||,||,
NF r NF r F NFθ
==∠=
，
则由
2
2
121212
cos,
cos
ma
NF NF r r ma r r
θ
θ
⋅==-=-
可得
，
从而
2
2
12
1sin1
sin tan
22cos2
ma
S r r ma
θ
θθ
θ
==-=-
，
于是由
2
||
S m a
=，
可得
22
12||
tan|
|,tan.
2
m
ma m a
m
θθ
-==-
即
综上可得：
当
m
⎫
∈⎪⎪
⎣⎭时，在
C1上，存在点N，使得
2
12
||,tan2;
S m a F NF
==
且
当
1
0,
2
m
⎛
∈
⎝⎦时，在C1上，存在点
N，使得
2
12
||,tan2;
S m a F NF
==-
且
当
115
(1,(,)
22
m
+
-+∞
时，在C1上，不存在满足条件的点N。

32.（湖南理21）
如图7，椭圆22122:1(0)
x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的
线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;
（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是
12
,S S ．问：是
否存在直线l,使得12
1732S S =?请说明理由。

解
：
（
Ⅰ
）
由
题
意
知
.1,2,2,2,23======
b a a b b a a
c e 解得又从而
故C1，C2的方程分别为.
1,14222
-==+x y y x
（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.
由⎪⎩⎪⎨
⎧-==12x y kx y 得
12=--kx x .
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为（0，—1），所以
2
121212
212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+⋅+=⋅
.
11
1
22-=-++-=
k k
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.
（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,
1,12
11x y x k y x k y 由解得
⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,102
1k y k x y x 或
则点A 的坐标为
)1,(2
11-k k . 又直线MB 的斜率为
11
k -，
同理可得点B 的坐标为
).11
,1(21
1--
k k
于是
211111111|||||||22||
k S MA MB k k k +=⋅=-=
由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k
解得1212
1218,140,141
14k x k x y k y k ⎧
=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或
则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++
又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2
121211k k k k +-+- 于是
)4)(1(||)1(32||||21
2
1211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S . 因此211221
14(417).64S k S k =++
由题意知，2221112114171
(417),4,.64324
k k k k ++===解得或
又由点A 、B 的坐标可知，
21211111
1
13
,.
12k k k k k k k k -
==-=±+所以
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为
.2323x y x y -==
和
33.（辽宁理20）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．
（I ）设
1
2e =
，求BC 与AD 的比值；
（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．
解：（I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)
x y b y x C C a b a b a a +=+=>>
设直线:(||)l x t
t a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得
2222
(,
),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分
当13,,,2A B
e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知
222||3||:||.
2||4B A y b BC AD y a === ………………6分
（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN -相等，即
2222
,
b a a t a t a b t t a --=- 解得2222
21.ab e t a a b e -=-=---
因为2212||,01,1, 1.
e t a e e e -<<<<<<又所以解得
所以当
2
02e <≤
时，不存在直线l ，使得BO//AN ；
当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分
34.（全国大纲理21）
已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:1
2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直
线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 解：
（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =+，
代入2
2
1
2y x +=并化简得
242210.x x --=
…………2分 设
112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y
则
122626
x x -+=
=
1212122
2()21,2x x y y x x +=
+=++= 由题意得
3123122
()() 1.2x x x y y y =-+=-
=-+=-
所以点P 的坐标为
2
(1).2-
- 经验证，点P 的坐标为
2
(1)2-
-满足方程
2
1,
2x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分
（II
）由
(1)P -和题设知，
Q
PQ 的垂直平分线1l
的方程为
.y x =
①
设AB 的中点为M
，则
1(
)
42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为
1.24y x =
+
②
由①、②得
12
,l l
的交点为
1
()88N -。

…………9分
21||8
||||2
||,4
||8
||8
NP AB x x AM MN NA ===-==
====
故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分 35.（全国新课标理20）
在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，
MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．
（I ）求C 的方程；
（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
(20）解：
(Ⅰ)设M(x ，y)，由已知得B(x ，-3)，A(0，-1). 所以MA =（-x ，-1-y ）， MB =(0，-3-y)， AB =(x ，-2).
再由题意可知（MA +MB ）• AB =0， 即（-x ，-4-2y ）• (x ，-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=1
4x 2
-2.
(Ⅱ)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '
=12x ，所以l 的斜率为12x 0
因此直线l 的方程为
0001
()2y y x x x -=
-，即2
000220x x y y x -+-=．
则O 点到l
的距离
2
d =
.又
2
00124y x =
-，所以
2
014
12,
2x d +==≥
当
20
x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
36.（山东理22）
已知动直线l 与椭圆C: 22
1
32x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆
=2
,其中O 为坐标原点.
（Ⅰ）证明
22
12x x +和
22
12y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G
，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
?若存在，判断△DEG
的形状；若不存在，请说明理由.
（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以
2121,.
x x y y ==-
因为
11(,)
P x y 在椭圆上，
因此22
11132x y +=
①
又因为
OPQ S ∆=
所以
11||||x y ⋅=
②
由①、②得11||,|| 1.2x y =
=
此时
2222
12123,2,
x x y y +=+=
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
1
32x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，
其中
2222
3612(23)(2)0,k m k m ∆=-+-> 即22
32k m +>
…………（*）
又2121222
63(2)
,,2323km m x x x x k k -+=-=++
所以2
||23PQ k ==+
因为点O 到直线l
的距离为
d =
所以
1
||2OPQ S PQ d ∆=
⋅
223k =+
2|23m k =
+
又
OPQ S ∆=
整理得
22322,k m +=且符合（*）式， 此时22
22
21
2
121222
63(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++
222222
121212222(3)(3)4() 2.
333y y x x x x +=-+-=-+=
综上所述，
222212123;2,
x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率存在时，
由（I
）知
11|||||2||2,OM x PQ y ==
==
因此
||||2OM PQ ⋅=
=
（2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知
123,22x x k
m +=
2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m
k m m PQ k k m m ++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++
所以
2222111
||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=
⨯-⨯⨯+
2222
211
(3)(2)113225(
).24m m m m =-
+-++≤= 所以
5||||2OM PQ ⋅≤
，当且仅当2211
32,m m m -=+=即.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.
2
解法二： 因为
222222
121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-
2222
12122[()()]
10.
x x y y =+++=
所以224||||10
2|||| 5.
25OM PQ OM PQ +⋅≤==
即
5
||||,
2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||5OM PQ ==时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为5
.2
（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得
6
.ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
证明：假设存在11226(,),(,),(,)2ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===
满足，
由（I ）得
222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
25
,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从中选取只能从中选取
因此D ，E ，G 只能在
6(,1)2±
±这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与
6
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
矛盾，
所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G. 37.（陕西理17）
如图，设P 是圆
2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且45MD PD =
（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度
解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（xp,yp ）
由已知得,
5,4xp x yp y =⎧⎪⎨=⎪⎩
∵P 在圆上， ∴ 2
2
5254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即C 的方程为22
12516x y +=
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为()4
35y x =-，
设直线与C 的交点为
()()
1122,,,A x y B x y
将直线方程
()4
35y x =
-代入C 的方程，得
()2
2312525x x -+= 即2
380x x --=
∴
1233,22x x +=
= ∴ 线段AB 的长度为
415AB =
===
注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。

38.（上海理23） 已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段
12
,l l 距离相等的点的集合
12{|(,)(,
)}
P d P l d P l Ω==，其中
12,l AB l CD
==，
,,,A B C D 是下列三组点中的一组。

对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。

② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则
||5)
PQ x ==≤≤，当
3
x =时，
min (,)||d P l PQ ==
⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成
12:1(||1),:1(||1)
l y x l y x =≤=-≤，
222212:(1)1(1),:(1)1(1)
C x y x C x y x ++=≤--+=≥
其面积为4S π=+。

⑶ ① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=>
③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

{(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤
2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}x y x y x x y x y x =-<≤--=>
39.（四川理21）
椭圆有两顶点A （-1，0）、B （1，0），过其焦点F （0，1）的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（I ）当
32
2l 的方程；
（II ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ⋅为定值。

解：由已知可得椭圆方程为2
21
2y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率。

则
12122222
22
2
12
122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ⎧
⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩
2422
2
212122222
88889
()()22(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=-++
l ∴的方程为21y x =+
40.（天津理18）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F
分别为椭
圆22
221x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线
2
PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线
2
PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求
点M 的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
（I ）解：设
12(,0),(,0)(0)F c F c c ->
由题意，可得
212||||,
PF F F =
2.c = 整理得22()10,1
c c c
a a a +-==-得（舍）， 或1.2c a =所以
1
.
2e = （II ）解：由（I
）知2,,a c b == 可得椭圆方程为222
3412,x y c += 直线PF2
方程为).y x c =-
A ，B
两点的坐标满足方程组222
3412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨
=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2
580.x cx -=
解得
128
0,.
5x x c ==
得方程组的解
21128,0,5,.x c x y y ⎧
=⎪=⎧⎪⎪
⎨⎨=⎪⎪⎩
=⎪⎩
不妨设8(),(0,)
5A c B
设点M 的坐标为833
(,),(,),(,3)
55x y AM x c y c BM x y c =--=+则， 由
33(),.y x c c x y =-=-
得
于是
833833
(
,),15555AM y x y x =--
(,3).BM x x =由2,AM BM ⋅=-
即833833(
)()3215555y x x y x x -⋅+-⋅=-， 化简得
2
18163150.x xy --= 将223105,0.
316163x y c x y c x x +==-=>代入得
所以0.x >
因此，点M 的轨迹方程是
2
18163150(0).x xy x --=> 41.（浙江理21）
已知抛物线1C :3x ＝y ，圆2C :22(4)1
x y +-=的圆心为点M
（Ⅰ）求点M 到抛物线
1
c 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线
1
c 上一点（异于原点），过点P 作圆
2
c 的两条切线，交抛物线
1
c 于A ，
B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（I ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1,
4y =- 所以圆心M （0，4）到准线的距离是17
.4
（II ）解：设222
001122(,),(,),(,)
P x x A x x B x x ，
则题意得
0012
0,1,x x x x ≠≠±≠，
设过点P 的圆C2的切线方程为2
00()
y x k x x -=-，
即
2
00
y kx kx x =-+ ①
则2
002
1,
1k
=+
即
222220000(1)2(4)(4)10
x k x x k x -+-+--=，
设PA ，PB 的斜率为
1212,()
k k k k ≠，则
12
,k k 是上述方程的两根，所以
22
2000121222
002(4)(4)1
,.11x x x k k k k x x ---+==--
将①代入222000,
y x x kx kx x =-+-=得
由于0
x 是此方程的根，
故
110220
,x k x x k x =-=-，所以
2222
00012
1212002
12002(4)422,.1AB
MP x x x x x k x x k k x x k x x x x ---==+=+-=-=--
由MP AB ⊥，得
22
00002
00
2(4)4(2)(1)1AB MP
x x x k k x x x --⋅=-⋅=--，
解得
2023
,5x =
即点P 的坐标为
2323(,)55±
， 所以直线l 的方程为
3115
4.y x =±
+
42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率
e
2
=
2，一条准线的方程为
x =22．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的
斜率之积为1
-
2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F
12
的坐标；若不存在，说明理由．
解：（I ）由2
2,22,
2c a e a c ===
解得
222
2,2,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为 22 1.42x y +=
（II ）设
1122(,),(,),(,)
P x y M x y N x y ，则由
2OP OM ON =+得
112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.
x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即
因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以 2222
112224,24
x y x y +=+=，
故
222222
121212122(44)2(44)
x y x x x x y y y y +=+++++
2222
112212121212(2)4(2)4(2)
204(2).
x y x y x x y y x x y y =+++++=++
设
,OM ON
k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知
12121
,2
OM ON y y k k x x ⋅=
=-因此
121220,
x x y y +=
所以
22
220.x y += 所以P
2
21
+
=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆
的定义|PF1|+|PF2|
为定值，又因
c ==，因此两焦点的坐标为
12(F F。