高考数学试题分类汇编 解析几何

高考数学试题分类汇编 解析几何

一、选择题

1.（重庆理8）在圆

06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为

A ．25

B ．210 C

．D ．220

【答案】B

2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1

C 的一条渐近线与以

1

C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若

1

C 恰好将线段AB 三等分，则

A ．2132a =

B ．213a =

C ．2

12b =

D ．22b =

【答案】C

3.（四川理10）在抛物线

2

5(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆22

5536x y +=相切，则抛

物线顶点的坐标为

A ．(2,9)--

B ．(0,5)-

C ．(2,9)-

D ．(1,6)-

【答案】C

【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为

(2)y a x b =-+，则2

23651(2)b a =

+-

又25

64(2,9)(2)y x ax b a y a x b ?=+-?=-?=?--?

=-+?

4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是

A ．28y x =-

B ．28y x =

C ．

2

4y x =- D ．

2

4y x = 【答案】B

5.（山东理8）已知双曲线22

221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆

C:

22

650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为

A ．22154x y -=

B ．22145x y -=

C ．22136x y -=

D ．22

163x y -=

【答案】A

6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 （A

（B

（C ） 2 （D ） 3 【答案】B

7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则

cos AFB ∠=

A ．45

B ．3

5

C ．35-

D ．4

5-

【答案】D

8.（江西理9）若曲线

1

C ：

2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是

A ．

（

3-

，3） B ．

（3-

，0）∪（0

，3）

C ．

[3-

，3]

D ．（-∞

，

3-

）∪（3，+∞）

【答案】B

9.（湖南理5）设双曲线()22

2

109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】C

10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线

22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则

A ．n=0

B ．n=1

C ． n=2

D ．n ≥3

【答案】C

11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足

1122

::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于

A ．1322或

B ．23或2

C ．12或2

D ．

2332或

【答案】A 12.（北京理8）设

()0,0A ,

()

4,0B ，

()4,4C t +,

()()

,4D t t R ∈.记

()

N t 为平行四边形

ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()

N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12

C ．

{}9,11,12 D ．{}10,11,12

【答案】C

13.（安徽理2）双曲线

8222=-y x 的实轴长是

（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42

【答案】C

14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3

AF BF +，

则线段AB 的中点到y 轴的距离为

（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7

4

【答案】C

二、填空题

15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系'

'

x Oy （其中'

y 轴一与

y

轴重合）所在的平面为β，

'45xOx ∠=?。 （Ⅰ）已知平面β内有一点'(22,2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的

坐标为 ；

（Ⅱ）已知平面β内的曲线'C 的方程是

'2'2(2)220x y -+-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 。

【答案】（2，2）

22

(1)1x y -+= 16.（浙江理17）设12,F F 分别为椭圆22

13x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若

125F A F B =;则点A 的坐标是 ．

【答案】(0,1)±

17.（上海理3）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22

1

9y x m -=的一个焦点，则

m = 。

【答案】16

18.（江西理14）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆

22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

【答案】22

154x y +=

19.（北京理14）曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数)

1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C 过坐标原点；

② 曲线C 关于坐标原点对称；

③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2

。

其中，所有正确结论的序号是 。 【答案】②③

20.（四川理14）双曲线22

x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左

准线的距离是 ．

【答案】56

5

【解析】8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以

1455645c d d a ==?=

21.（全国大纲理15）已知F1、F2分别为双曲线C: 2

9x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点

M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 【答案】6

22.（辽宁理13）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(122

22>>=+b a b y a x 上，C 的焦距为4，则

它的离心率为 ． 【答案】2

23.（重庆理15）设圆C 位于抛物线

22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________ 61

24.（全国新课标理14）（14） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点

12

,F F 在

x 轴上，离心率为2

2．过点1F

的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ?的周长为16，那么C

的方程为_________．

【答案】22

1

168x y +=

25.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点

④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①，③，⑤ 三、解答题

26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1

242

2=+y x 的顶点，过

坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连

接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--=

=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为

)

22

,1(-

-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，

所以

.

2

2

1

2

2

=

-

-

=

k

（2）直线PA的方程

22 21,

42

x y

y x

=+=代入椭圆方程得

解得

).

3

4

,

3

2

(

),

3

4

,

3

2

(

,

3

2

-

-

±

=A

P

x因此

于是

),

0,

3

2

(C

直线AC的斜率为

.0

3

2

,1

3

2

3

2

3

4

=

-

-

=

+

+

y

x

AB的方程为

故直线

.

3

2

2

1

1

|

3

2

3

4

3

2

|

,

2

1

=

+

-

-

=

d

因此

（3）解法一：

将直线PA的方程

kx

y=

代入

22

1,

42

x y

xμ

+==

解得记

则

)0,

(

),

,

(

),

,

(μ

μ

μ

μ

μC

k

A

k

P于是

-

-

故直线AB的斜率为

,

2 0k

k

=

+

+

μ

μ

μ

其方程为

,0

)2

3(

2

)

2(

),

(

2

2

2

2

2

2=

+

-

-

+

-

=k

x

k

x

k

x

k

yμ

μ

μ代入椭圆方程得

解得

223

222

(32)(32)

(,) 222

k k k

x x B

k k k μμμ

μ

++

==-

+++

或因此

.

于是直线PB的斜率

.

1

)

2(

2

3

)

2(

2

)2

3(

2

2

2

2

3

2

2

2

3

1k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k-

=

+

-

+

+

-

=

+

+

-

+

=

μ

μ

μ

因此

.

,1

1

PB

PA

k

k⊥

-

=所以

解法二：

设

)0,

(

),

,

(

,

,0

,0

),

,

(

),

,

(

1

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

x

C

y

x

A

x

x

x

x

y

x

B

y

x

P-

-

≠

>

>

则

.

设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.

2

2)()(011111

2k

x y x x y k ==---=

从而

1

)()

(212112*********+----?--?

=+=+x x y y x x y y k k k k

.044)2(1222

1

2221222

22221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

因此.,11PB PA k k ⊥-=所以

27.（安徽理21）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2

=上运动，点Q 满足

QA BQ λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点

P 的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MP QM λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设

.

)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①

再设

),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由

解得??

?-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②

将①式代入②式，消去

y ，得

???-+-+=-+=.)1()1(,)1(2

211λλλλλλy x y x x ③

又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入2

11x y =，得

.

012),1(,0.

0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,

))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ

故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y

28.

（北京理19）

已知椭圆2

2:14x G y +=.过点（m,0）作圆

22

1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；

（II ）将

AB

表示为m 的函数，并求

AB

的最大值.

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以

.

322--=b a c

所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-

离心率为

.23

==

a c e

（Ⅱ）由题意知，1||≥m .

当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23

,1(),23,

1(-

此时3||=

AB

当m=－1时，同理可得3||=

AB

当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=

由0448)41(.14),(222222

2

=-+-+?????=+-=m k mx k x k y x m x k y 得

设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则

222212

2214144,418k m k x x k m

k x x +-=+=+

又由l 与圆.

1,11

||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得

相切

所以

2

12212)()(||y y x x AB -+-=

]

41)

44(4)41(64)[1(2222242

k m k k m k k +--++=2

.

3

||342+=

m m

由于当3±=m 时，,3||=AB

所以

),1[]1,(,3

|

|34||2

+∞--∞∈+=

m m m AB .

因为

,

2|

|3

||343

|

|34||2

≤+

=+=

m m m m AB

且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

29.（福建理17）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x2=4y 是否相切？说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：

（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）

因为MP l ⊥，所以011

20m

-?=--，

解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径

||r MP ===

故所求圆的方程为

22

(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+ 所以直线'l 的方程为.y x m =--

由22

',

4404y x m x x m x y =--?++=?=?得

244416(1)m m ?=-?=-

（1）当1,0m =?=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0?≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。 综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切； 当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。 解法二：

（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为

22

(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），

则224,

,m r r ?+=?

=

解得2,m r =???

=??

所以所求圆的方程为

22

(2)8.x y -+= （II ）同解法一。

30.（广东理19）

设圆C

与两圆

2222

(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;

（2）已知点

M F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P

的坐标．

（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知

22

22|(5)(5)|4,x y x y ++--+=

化简得L 的方程为2

2 1.

4x y -=

（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(5)y x =--，将其代入L 的方程得

215325840.x x -+=

解得

121265145652514525

((515551515x x l L T T =

=-故与交点为

因T1在线段MF 外，T2在线段MF 内，故

11||||||2,

MT FT MF -==

22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ?中有

|||||| 2.

MP FP MF -<=

故

||||

MP FP -只在T1点取得最大值2。

31.（湖北理20）

平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； （Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为

1

C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为

2

C ，

设

1

F 、

2

F 是

2

C 的两个焦点。试问：在

1

C 撒谎个，是否存在点N ，使得△

1

F N 2F 的面积

2

||S m a =。若存在，求tan

1

F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，

当x a ≠±时，由条件可得

12

2

22

,MA MA y y y k k m x a x a x a ?=?==-+-

即

222

()mx y ma x a -=≠±， 又

12(,0),(,0)

A a A A -的坐标满足

222

,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为

222

.mx y ma -= 当1,m <-时曲线C 的方程为22

221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆；

当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；

当10m -<<时，曲线C 的方程为22

221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；

当0m >时，曲线C 的方程为22

22

1,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线。

（II ）由（I ）知，当m=-1时，C1的方程为

222

;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，

C2

的两个焦点分别为

12((F F -

对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，

C1上存在点

000(,)(0)

N x y y ≠使得2

||S m a =的充要条件是

22

200020,0,12|||.2x y a y y m a ?+=≠???=??

由①得

00||,

y a <≤

由②得

0||y =

① ②

当

0,0,

a m

<≤≤<

或

0m

<≤

时，

存在点N，使S=|m|a2；

1

,

2

a

>即-1

或

m>

时，

不存在满足条件的点N，

当

115

,00,

22

m

???+

∈?

??

????时，

由100200

(1),(1,)

NF a m x y NF a x y

=-+--=+-

，

可得

2222

1200

(1),

NF NF x m a y ma

?=-++=-

令112212

||,||,

NF r NF r F NFθ

==∠=

，

则由

2

2

121212

cos,

cos

ma

NF NF r r ma r r

θ

θ

?==-=-

可得

，

从而

2

2

12

1sin1

sin tan

22cos2

ma

S r r ma

θ

θθ

θ

==-=-

，

于是由

2

||

S m a

=，

可得

22

12||

tan|

|,tan.

2

m

ma m a

m

θθ

-==-

即

综上可得：

当

m

?

∈??

??时，在

C1上，存在点N，使得

2

12

||,tan2;

S m a F NF

==

且

当

1

0,

2

m

?

∈

??时，在C1上，存在点

N，使得

2

12

||,tan2;

S m a F NF

==-

且

当

115

(1,(,)

22

m

+

-+∞

时，在C1上，不存在满足条件的点N。

32.（湖南理21）

如图7，椭圆22122:1(0)

x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的

线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;

（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是

12

,S S ．问：是

否存在直线l,使得12

1732S S =?请说明理由。

解

：

（

Ⅰ

）

由

题

意

知

.1,2,2,2,23======

b a a b b a a

c e 解得又从而

故C1，C2的方程分别为.

1,14222

-==+x y y x

（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.

由????

?-==12x y kx y 得

12=--kx x .

设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是

.1,2121-==+x x k x x

又点M 的坐标为（0，—1），所以

2

121212

212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB

MA +++=

++=+?+=?

.

11

1

22-=-++-=

k k

故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.

（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为?????-=-=-=1,

1,12

11x y x k y x k y 由解得

???-==???-==1,102

1k y k x y x 或

则点A 的坐标为

)1,(2

11-k k . 又直线MB 的斜率为

11

k -，

同理可得点B 的坐标为

).11

,1(21

1--

k k

于是

211111111|||||||22||

k S MA MB k k k +=?=-=

由?????=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k

解得1212

1218,140,141

14k x k x y k y k ?

=?+=????=--??=?+?或

则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++

又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2

121211k k k k +-+- 于是

)4)(1(||)1(32||||21

2

1211212++?+=?=k k k k ME MD S . 因此211221

14(417).64S k S k =++

由题意知，2221112114171

(417),4,.64324

k k k k ++===解得或

又由点A 、B 的坐标可知，

21211111

1

13

,.

12k k k k k k k k -

==-=±+所以

故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为

.2323x y x y -==

和

33.（辽宁理20）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．

（I ）设

1

2e =

，求BC 与AD 的比值；

（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．

解：（I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

22222

122242:1,:1,(0)

x y b y x C C a b a b a a +=+=>>

设直线:(||)l x t

t a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得

2222

(,

),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分

当13,,,2A B

e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知

222||3||:||.

2||4B A y b BC AD y a === ………………6分

（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN -相等，即

2222

,

b a a t a t a b t t a --=- 解得2222

21.ab e t a a b e -=-=---

因为2212||,01,1, 1.

e t a e e e -<<<<<<又所以解得

所以当

2

02e <≤

时，不存在直线l ，使得BO//AN ；

当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分

34.（全国大纲理21）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:1

2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直

线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 解：

（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =+，

代入2

2

1

2y x +=并化简得

242210.x x --=

…………2分 设

112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

则

122626

x x -+=

=

1212122

2()21,2x x y y x x +=

+=++= 由题意得

3123122

()() 1.2x x x y y y =-+=-

=-+=-

所以点P 的坐标为

2

(1).2-

- 经验证，点P 的坐标为

2

(1)2-

-满足方程

2

1,

2x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分

（II

）由

(1)P -和题设知，

Q

PQ 的垂直平分线1l

的方程为

.y x =

①

设AB 的中点为M

，则

1(

)

42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为

1.24y x =

+

②

由①、②得

12

,l l

的交点为

1

()88N -

。

…………9分

21||8

||||2

||,4

||8

||8

NP AB x x AM MN NA ===-==

====

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分 35.（全国新课标理20）

在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，

MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．

（I ）求C 的方程；

（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．

(20）解：

(Ⅰ)设M(x ，y)，由已知得B(x ，-3)，A(0，-1). 所以MA =（-x ，-1-y ）， MB =(0，-3-y)， AB =(x ，-2).

再由题意可知（MA +MB ）? AB =0， 即（-x ，-4-2y ）? (x ，-2)=0.

所以曲线C 的方程式为y=1

4x 2

-2.

(Ⅱ)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '

=12x ，所以l 的斜率为12x 0

因此直线l 的方程为

0001

()2y y x x x -=

-，即2

000220x x y y x -+-=．

则O 点到l

的距离

2

d =

.又

2

00124y x =

-，所以

2

014

12,

2x d +==≥

当

20

x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.

36.（山东理22）

已知动直线l 与椭圆C: 22

1

32x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?

=2

,其中O 为坐标原点.

（Ⅰ）证明

22

12x x +和

22

12y y +均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G

，使得2ODE ODG OEG S S S ???===

?若存在，判断△DEG

的形状；若不存在，请说明理由.

（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以

2121,.

x x y y ==-

因为

11(,)

P x y 在椭圆上，

因此22

11132x y +=

①

又因为

OPQ S ?=

所以

11||||x y ?=

②

由①、②得11||,|| 1.2x y =

=

此时

2222

12123,2,

x x y y +=+=

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+

由题意知m 0≠，将其代入22

1

32x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，

其中

2222

3612(23)(2)0,k m k m ?=-+-> 即22

32k m +>

…………（*）

又2121222

63(2)

,,2323km m x x x x k k -+=-=++

所以2

||23PQ k ==+

因为点O 到直线l

的距离为

d =

所以

1

||2OPQ S PQ d ?=

?

223k =+

2|23m k =

+