高考数学试题分类汇编 解析几何

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一、选择题

1.(重庆理8)在圆

06222=--+y x y x 内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为

A .25

B .210 C

.D .220

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【答案】B

2.(浙江理8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点,1

C 的一条渐近线与以

1

C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点,若

1

C 恰好将线段AB 三等分,则

A .2132a =

B .213a =

C .2

12b =

D .22b =

【答案】C

3.(四川理10)在抛物线

2

5(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-,22x =的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆22

5536x y +=相切,则抛

物线顶点的坐标为

A .(2,9)--

B .(0,5)-

C .(2,9)-

D .(1,6)-

【答案】C

【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为

(2)y a x b =-+,则2

23651(2)b a =

+-

又25

64(2,9)(2)y x ax b a y a x b ?=+-?=-?=?--?

=-+?

4.(陕西理2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是

A .28y x =-

B .28y x =

C .

2

4y x =- D .

2

4y x = 【答案】B

5.(山东理8)已知双曲线22

221(0b 0)x y a a b -=>,>的两条渐近线均和圆

C:

22

650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为

A .22154x y -=

B .22145x y -=

C .22136x y -=

D .22

163x y -=

【答案】A

6.(全国新课标理7)已知直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||AB 为C 的实轴长的2倍,C 的离心率为 (A

(B

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(C ) 2 (D ) 3 【答案】B

7.(全国大纲理10)已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线24y x =-与C 交于A ,B 两点.则

cos AFB ∠=

A .45

B .3

5

C .35-

D .4

5-

【答案】D

8.(江西理9)若曲线

1

C :

2220x y x +-=与曲线2C :()0y y mx m --=有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是

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A .

3-

,3) B .

(3-

,0)∪(0

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,3)

C .

[3-

,3]

D .(-∞

3-

)∪(3,+∞)

【答案】B

9.(湖南理5)设双曲线()22

2

109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为

A .4

B .3

C .2

D .1

【答案】C

10.(湖北理4)将两个顶点在抛物线

22(0)y px p =>上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ,则

A .n=0

B .n=1

C . n=2

D .n ≥3

【答案】C

11.(福建理7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r 上存在点P 满足

1122

::PF F F PF =4:3:2,则曲线r 的离心率等于

A .1322或

B .23或2

C .12或2

D .

2332或

【答案】A 12.(北京理8)设

()0,0A ,

()

4,0B ,

()4,4C t +,

()()

,4D t t R ∈.记

()

N t 为平行四边形

ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()

N t 的值域为 A .{}9,10,11 B .{}9,10,12

C .

{}9,11,12 D .{}10,11,12

【答案】C

13.(安徽理2)双曲线

8222=-y x 的实轴长是

(A )2 (B ) 22 (C ) 4 (D )42

【答案】C

14.(辽宁理3)已知F 是抛物线y2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,=3

AF BF +,

则线段AB 的中点到y 轴的距离为

(A )34 (B )1 (C )54 (D )7

4

【答案】C

二、填空题

15.(湖北理14)如图,直角坐标系xOy 所在的平面为α,直角坐标系'

'

x Oy (其中'

y 轴一与

y

轴重合)所在的平面为β,

'45xOx ∠=?。 (Ⅰ)已知平面β内有一点'(22,2)P ,则点'P 在平面α内的射影P 的

坐标为 ;

(Ⅱ)已知平面β内的曲线'C 的方程是

'2'2(2)220x y -+-=,则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 。

【答案】(2,2)

22

(1)1x y -+= 16.(浙江理17)设12,F F 分别为椭圆22

13x y +=的左、右焦点,点,A B 在椭圆上,若

125F A F B =;则点A 的坐标是 .

【答案】(0,1)±

17.(上海理3)设m 为常数,若点(0,5)F 是双曲线22

1

9y x m -=的一个焦点,则

m = 。

【答案】16

18.(江西理14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上,过点(1,12)作圆

22+=1x y 的切线,切点分别为A,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

【答案】22

154x y +=

19.(北京理14)曲线C 是平面内与两个定点F1(-1,0)和F?2(1,0)的距离的积等于常数)

1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论:

① 曲线C 过坐标原点;

② 曲线C 关于坐标原点对称;

③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积大于21a 2

其中,所有正确结论的序号是 。 【答案】②③

20.(四川理14)双曲线22

x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是,那么点P 到左

准线的距离是 .

【答案】56

5

【解析】8,6,10a b c ===,点P 显然在双曲线右支上,点P 到左焦点的距离为14,所以

1455645c d d a ==?=

21.(全国大纲理15)已知F1、F2分别为双曲线C: 2

9x - 227y =1的左、右焦点,点A ∈C ,点

M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = . 【答案】6

22.(辽宁理13)已知点(2,3)在双曲线C :)0,0(122

22>>=+b a b y a x 上,C 的焦距为4,则

它的离心率为 . 【答案】2

23.(重庆理15)设圆C 位于抛物线

22y x =与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C 的半径能取到的最大值为__________ 61

24.(全国新课标理14)(14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点

12

,F F 在

x 轴上,离心率为2

2.过点1F

的直线l 交C 于A ,B 两点,且2ABF ?的周长为16,那么C

的方程为_________.

【答案】22

1

168x y +=

25.(安徽理15)在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点(,)x y 为整点, 下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数,则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点

④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①,③,⑤ 三、解答题

26.(江苏18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆1

242

2=+y x 的顶点,过

坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连

接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解:(1)由题设知,),2,0(),0,2(,2,2--=

=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为

)

22

,1(-

-,由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过坐标原点,

所以

.

2

2

1

2

2

=

-

-

=

k

(2)直线PA的方程

22 21,

42

x y

y x

=+=代入椭圆方程得

解得

).

3

4

,

3

2

(

),

3

4

,

3

2

(

,

3

2

-

-

±

=A

P

x因此

于是

),

0,

3

2

(C

直线AC的斜率为

.0

3

2

,1

3

2

3

2

3

4

=

-

-

=

+

+

y

x

AB的方程为

故直线

.

3

2

2

1

1

|

3

2

3

4

3

2

|

,

2

1

=

+

-

-

=

d

因此

(3)解法一:

将直线PA的方程

kx

y=

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代入

22

1,

42

x y

+==

解得记

)0,

(

),

,

(

),

,

μ

μ

μ

μC

k

A

k

P于是

-

-

故直线AB的斜率为

,

2 0k

k

=

+

+

μ

μ

μ

其方程为

,0

)2

3(

2

)

2(

),

(

2

2

2

2

2

2=

+

-

-

+

-

=k

x

k

x

k

x

k

μ

μ代入椭圆方程得

解得

223

222

(32)(32)

(,) 222

k k k

x x B

k k k μμμ

μ

++

==-

+++

或因此

.

于是直线PB的斜率

.

1

)

2(

2

3

)

2(

2

)2

3(

2

2

2

2

3

2

2

2

3

1k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k-

=

+

-

+

+

-

=

+

+

-

+

=

μ

μ

μ

因此

.

,1

1

PB

PA

k

k⊥

-

=所以

解法二:

)0,

(

),

,

(

,

,0

,0

),

,

(

),

,

(

1

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

x

C

y

x

A

x

x

x

x

y

x

B

y

x

P-

-

>

>

.

设直线PB ,AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上,所以.

2

2)()(011111

2k

x y x x y k ==---=

从而

1

)()

(212112*********+----?--?

=+=+x x y y x x y y k k k k

.044)2(1222

1

2221222

22221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

因此.,11PB PA k k ⊥-=所以

27.(安徽理21)设λ>0,点A 的坐标为(1,1),点B 在抛物线y x 2

=上运动,点Q 满足

QA BQ λ=,经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ,点P 满足MP QM λ=,求点

P 的轨迹方程。

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本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养. 解:由MP QM λ=知Q ,M ,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上,故可设

.

)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①

再设

),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由

解得??

?-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②

将①式代入②式,消去

y ,得

???-+-+=-+=.)1()1(,)1(2

211λλλλλλy x y x x ③

又点B 在抛物线2x y =上,所以211x y =,再将③式代入2

11x y =,得

.

012),1(,0.

0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,

))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ

故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y

28.

(北京理19)

已知椭圆2

2:14x G y +=.过点(m,0)作圆

22

1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ,B 两点. (I )求椭圆G 的焦点坐标和离心率;

(II )将

AB

表示为m 的函数,并求

AB

的最大值.

(19)(共14分)

解:(Ⅰ)由已知得,1,2==b a 所以

.

322--=b a c

所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-

离心率为

.23

==

a c e

(Ⅱ)由题意知,1||≥m .

当1=m 时,切线l 的方程1=x ,点A 、B 的坐标分别为),23

,1(),23,

1(-

此时3||=

AB

当m=-1时,同理可得3||=

AB

当1||>m 时,设切线l 的方程为),(m x k y -=

由0448)41(.14),(222222

2

=-+-+?????=+-=m k mx k x k y x m x k y 得

设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ,则

222212

2214144,418k m k x x k m

k x x +-=+=+

又由l 与圆.

1,11

||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得

相切

所以

2

12212)()(||y y x x AB -+-=

]

41)

44(4)41(64)[1(2222242

k m k k m k k +--++=2

.

3

||342+=

m m

由于当3±=m 时,,3||=AB

所以

),1[]1,(,3

|

|34||2

+∞--∞∈+=

m m m AB .

因为

,

2|

|3

||343

|

|34||2

≤+

=+=

m m m m AB

且当3±=m 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.

29.(福建理17)已知直线l :y=x+m ,m ∈R 。

(I )若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程; (II )若直线l 关于x 轴对称的直线为l ',问直线l '与抛物线C :x2=4y 是否相切?说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一:

(I )依题意,点P 的坐标为(0,m )

因为MP l ⊥,所以011

20m

-?=--,

解得m=2,即点P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径

||r MP ===

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故所求圆的方程为

22

(2)8.x y -+= (II )因为直线l 的方程为,y x m =+ 所以直线'l 的方程为.y x m =--

由22

',

4404y x m x x m x y =--?++=?=?得

244416(1)m m ?=-?=-

(1)当1,0m =?=即时,直线'l 与抛物线C 相切 (2)当1m ≠,那0?≠时,直线'l 与抛物线C 不相切。 综上,当m=1时,直线'l 与抛物线C 相切; 当1m ≠时,直线'l 与抛物线C 不相切。 解法二:

(I )设所求圆的半径为r ,则圆的方程可设为

22

(2).x y r 2-+= 依题意,所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P (0,m ),

则224,

,m r r ?+=?

=

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解得2,m r =???

=??

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所以所求圆的方程为

22

(2)8.x y -+= (II )同解法一。

30.(广东理19)

设圆C

与两圆

2222

(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切,另一个外切。

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(1)求C 的圆心轨迹L 的方程;

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(2)已知点

M F ,且P 为L 上动点,求MP FP -的最大值及此时点P

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的坐标.

(1)解:设C 的圆心的坐标为(,)x y ,由题设条件知

22

22|(5)(5)|4,x y x y ++--+=

化简得L 的方程为2

2 1.

4x y -=

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(2)解:过M ,F 的直线l 方程为2(5)y x =--,将其代入L 的方程得

215325840.x x -+=

解得

121265145652514525

((515551515x x l L T T =

=-故与交点为

因T1在线段MF 外,T2在线段MF 内,故

11||||||2,

MT FT MF -==

22|||||| 2.MT FT MF -<=,若P 不在直线MF 上,在MFP ?中有

|||||| 2.

MP FP MF -<=

||||

MP FP -只在T1点取得最大值2。

31.(湖北理20)

平面内与两定点1(,0)A a -,2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系; (Ⅱ)当1m =-时,对应的曲线为

1

C ;对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为

2

C ,

1

F 、

2

F 是

2

C 的两个焦点。试问:在

1

C 撒谎个,是否存在点N ,使得△

1

F N 2F 的面积

2

||S m a =。若存在,求tan

1

F N 2F 的值;若不存在,请说明理由。

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分) 解:(I )设动点为M ,其坐标为(,)x y ,

当x a ≠±时,由条件可得

12

2

22

,MA MA y y y k k m x a x a x a ?=?==-+-

222

()mx y ma x a -=≠±, 又

12(,0),(,0)

A a A A -的坐标满足

222

,mx y ma -= 故依题意,曲线C 的方程为

222

.mx y ma -= 当1,m <-时曲线C 的方程为22

221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆;

当1m =-时,曲线C 的方程为222x y a +=,C 是圆心在原点的圆;

当10m -<<时,曲线C 的方程为22

221x y a ma +=-,C 是焦点在x 轴上的椭圆;

当0m >时,曲线C 的方程为22

22

1,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线。

(II )由(I )知,当m=-1时,C1的方程为

222

;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时,

C2

的两个焦点分别为

12((F F -

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对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞,

C1上存在点

000(,)(0)

N x y y ≠使得2

||S m a =的充要条件是

22

200020,0,12|||.2x y a y y m a ?+=≠???=??

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由①得

00||,

y a <≤

由②得

0||y =

① ②

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0,0,

a m

<≤≤<

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0m

<≤

时,

存在点N,使S=|m|a2;

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1

,

2

a

>即-1

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m>

时,

不存在满足条件的点N,

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115

,00,

22

m

???+

∈?

??

????时,

由100200

(1),(1,)

NF a m x y NF a x y

=-+--=+-

可得

2222

1200

(1),

NF NF x m a y ma

?=-++=-

令112212

||,||,

NF r NF r F NFθ

==∠=

则由

2

2

121212

cos,

cos

ma

NF NF r r ma r r

θ

θ

?==-=-

可得

从而

2

2

12

1sin1

sin tan

22cos2

ma

S r r ma

θ

θθ

θ

==-=-

于是由

2

||

S m a

=,

可得

22

12||

tan|

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|,tan.

2

m

ma m a

m

θθ

-==-

综上可得:

m

?

∈??

??时,在

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C1上,存在点N,使得

2

12

||,tan2;

S m a F NF

==

1

0,

2

m

?

??时,在C1上,存在点

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N,使得

2

12

||,tan2;

S m a F NF

==-

115

(1,(,)

22

m

+

-+∞

时,在C1上,不存在满足条件的点N。

32.(湖南理21)

如图7,椭圆22122:1(0)

x y C a b a b +=>>的离心率为32,x 轴被曲线22:C y x b =-截得的

线段长等于C1的长半轴长。

(Ⅰ)求C1,C2的方程;

(Ⅱ)设C2与y 轴的焦点为M ,过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E . (i )证明:MD ⊥ME;

(ii )记△MAB,△MDE 的面积分别是

12

,S S .问:是

否存在直线l,使得12

1732S S =?请说明理由。

.1,2,2,2,23======

b a a b b a a

c e 解得又从而

故C1,C2的方程分别为.

1,14222

-==+x y y x

(Ⅱ)(i )由题意知,直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为kx y =.

由????

?-==12x y kx y 得

12=--kx x .

设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根,于是

.1,2121-==+x x k x x

又点M 的坐标为(0,—1),所以

2

121212

212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB

MA +++=

++=+?+=?

.

11

1

22-=-++-=

k k

故MA ⊥MB ,即MD ⊥ME.

(ii )设直线MA 的斜率为k1,则直线MA 的方程为?????-=-=-=1,

1,12

11x y x k y x k y 由解得

???-==???-==1,102

1k y k x y x 或

则点A 的坐标为

)1,(2

11-k k . 又直线MB 的斜率为

11

k -,

同理可得点B 的坐标为

).11

,1(21

1--

k k

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于是

211111111|||||||22||

k S MA MB k k k +=?=-=

由?????=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k

解得1212

1218,140,141

14k x k x y k y k ?

=?+=????=--??=?+?或

则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++

又直线ME 的斜率为k 1-,同理可得点E 的坐标为).44,48(2

121211k k k k +-+- 于是

)4)(1(||)1(32||||21

2

1211212++?+=?=k k k k ME MD S . 因此211221

14(417).64S k S k =++

由题意知,2221112114171

(417),4,.64324

k k k k ++===解得或

又由点A 、B 的坐标可知,

21211111

1

13

,.

12k k k k k k k k -

==-=±+所以

故满足条件的直线l 存在,且有两条,其方程分别为

.2323x y x y -==

33.(辽宁理20)

如图,已知椭圆C1的中心在原点O ,长轴左、右端点M ,N 在x 轴上,椭圆C2的短轴为MN ,且C1,C2的离心率都为e ,直线l ⊥MN ,l 与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .

(I )设

1

2e =

,求BC 与AD 的比值;

(II )当e 变化时,是否存在直线l ,使得BO ∥AN ,并说明理由.

解:(I )因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设

22222

122242:1,:1,(0)

x y b y x C C a b a b a a +=+=>>

设直线:(||)l x t

t a =<,分别与C1,C2的方程联立,求得

2222

(,

),(,).a b A t a t B t a t b a -- ………………4分

当13,,,2A B

e b a y y ==时分别用表示A ,B 的纵坐标,可知

222||3||:||.

2||4B A y b BC AD y a === ………………6分

(II )t=0时的l 不符合题意.0t ≠时,BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN -相等,即

2222

,

b a a t a t a b t t a --=- 解得2222

21.ab e t a a b e -=-=---

因为2212||,01,1, 1.

e t a e e e -<<<<<<又所以解得

所以当

2

02e <≤

时,不存在直线l ,使得BO//AN ;

当12e <<时,存在直线l 使得BO//AN. ………………12分

34.(全国大纲理21)

已知O 为坐标原点,F 为椭圆2

2

:1

2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直

线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++=

(Ⅰ)证明:点P 在C 上;

(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 解:

(I )F (0,1),l 的方程为21y x =+,

代入2

2

1

2y x +=并化简得

242210.x x --=

…………2分 设

112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

122626

x x -+=

=

1212122

2()21,2x x y y x x +=

+=++= 由题意得

3123122

()() 1.2x x x y y y =-+=-

=-+=-

所以点P 的坐标为

2

(1).2-

- 经验证,点P 的坐标为

2

(1)2-

-满足方程

2

1,

2x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分

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(II

)由

(1)P -和题设知,

Q

PQ 的垂直平分线1l

的方程为

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.y x =

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设AB 的中点为M

,则

1(

)

42M ,AB 的垂直平分线为2l 的方程为

1.24y x =

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+

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由①、②得

12

,l l

的交点为

1

()88N -

…………9分

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21||8

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||||2

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||,4

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||8

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||8

NP AB x x AM MN NA ===-==

====

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故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,

由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上 …………12分 35.(全国新课标理20)

在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (0,-1),B 点在直线3y =-上,M 点满足//MB OA ,

MA AB MB BA =,M 点的轨迹为曲线C .

(I )求C 的方程;

(II )P 为C 上动点,l 为C 在点P 处的切线,求O 点到l 距离的最小值.

(20)解:

(Ⅰ)设M(x ,y),由已知得B(x ,-3),A(0,-1). 所以MA =(-x ,-1-y ), MB =(0,-3-y), AB =(x ,-2).

再由题意可知(MA +MB )? AB =0, 即(-x ,-4-2y )? (x ,-2)=0.

所以曲线C 的方程式为y=1

4x 2

-2.

(Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C :y=14x 2-2上一点,因为y '

=12x ,所以l 的斜率为12x 0

因此直线l 的方程为

0001

()2y y x x x -=

-,即2

000220x x y y x -+-=.

则O 点到l

的距离

2

d =

.又

2

00124y x =

-,所以

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2

014

12,

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2x d +==≥

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20

x =0时取等号,所以O 点到l 距离的最小值为2.

36.(山东理22)

已知动直线l 与椭圆C: 22

1

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32x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点,且△OPQ 的面积OPQ S ?

=2

,其中O 为坐标原点.

(Ⅰ)证明

22

12x x +和

22

12y y +均为定值;

(Ⅱ)设线段PQ 的中点为M ,求||||OM PQ ?的最大值;

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(Ⅲ)椭圆C 上是否存在点D,E,G

,使得2ODE ODG OEG S S S ???===

?若存在,判断△DEG

的形状;若不存在,请说明理由.

(I )解:(1)当直线l 的斜率不存在时,P ,Q 两点关于x 轴对称, 所以

2121,.

x x y y ==-

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