10第十章 动量定理
理论力学第十章
第十章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。
注意动量、动量矩、动能与力系的主矢、主矩和做功之间的关系。
注意刚体上的一个重要的点：质心。
重点：动量定理和质心运动定理。
§10--1 动量与冲量1、动量的概念：物体之间的相互作用效应跟质量与速度的乘积有关。
飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。
/ kg m s单位:⑴、质点的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。
()mv 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
⑵、质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
李禄昌1()n i i i p m v ==∑()i i c m r r m∑=质心公式：1()n i i i dr m dt ==∑()i i d m r dt =∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？⑵、质点系的动量：( )c d m r dt = cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
c ωv C =0v Cc ωc o v C2．冲量的概念：I Ft =常力的冲量：I F t =d d 变力的元冲量：0tI F t=⎰d 在作用时间t 内的冲量: 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
冲量：作用力与作用时间的乘积。
冲量是矢量，冲量的单位是N.S 。
在~ 内，速度由~ ，有1t 2t 1v 2v §10-2 动量定理1、质点的动量定理：由牛顿第二定律：()mv Ft =d d ()mv F t=d d 得：质点动量定理的微分形式：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
221t mv mv F t I -==⎰d外力：，内力：()e i F ()i i F 质点动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
第十章-质心运动定理-动量定理
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
理论力学 第十章 动量定理
——质点动量守恒定律
22
第十章 动量定理
二、质点系的动量定理
对质点系内任一质点i
：
d dt
(mivi )
=
Fi
=
F (e) i
+
F (i) i
∑ ∑ ∑ 对整个质点系：
d dt
(mivi
)
=
F (e) i
+
F (i) i
∑ Q Fi(i) = 0
∑ ∑ d dt
(mivi
)
=
d dt
(mivi
)
=
dp dt
∑ d p =
dt
F (e) i
——质点系的动量定理
即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
23
第十章 动量定理
∑ 结论：只有外力才能改变质点系的动 d p =
量，内力不能改变整个质点系的动量。 d t
F (e) i
微分形式
∑ ∑ d p =
Oω
vC
vC
ω
C
C
C
(a)
(b)
(c)
解：(a) 长为 l、质量m的均质细杆，角速度为ω 。
则其动量为
p=
mvC
= m⋅ l ω
2
=
ml ω
2
方向与质心速度方向相同。
12
第十章 动量定理
Oω
vC
vC
C
C
vC = 0
ω
C
(a)
(b)
(c)
(b) 质量为m的均质滚轮，质心的速度为vC 。
p = mvC
2. 与质点动力学基本方程的比较
第十章 第二节 动量定理
例(P217例10-2)质量为m1的矩形板可在垂直于板面的光滑平面上运动， 板上有一半径为R的圆形凹槽，一质量为m2的甲虫以相对速度vr沿凹槽 匀速运动。初始时板静止，甲虫位于圆形凹槽的最右端(即q=0)。试求 甲虫运动到图示位置时，板的速度、加速度及地面对板的约束反力。 解 (1)质点系：板和甲虫 vr (2)受力分析 (质点系一般位置)
二、质点系的动量定理 第i质点 dpi /dt =Fi=Fie+Fii (Fie——质点系外力；Fii ——质点系内力) 质点系 Sdpi /dt = SFie +SFii d(Spi) /dt = SFie dp /dt = SFie 质点系动量定理的微分形式： 质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的 矢量和。 改写为 dp = S Fiedt 积分 p2 - p1 = I e 质点系动量定理的积分形式： 在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作用于 质点系上外力冲量的矢量和。
投影形式
微分形式： dpx /dt =SFixe(三式) 积分形式： p2x- p1x =SIix e
三、动量守恒(质点系动量守恒定律) 如 SFie=0 则 p = p1= p2 =常矢量 如 SFixe=0 则 px = p1x= p2x =常量 注意：1．内力不能改变质点系的动量。 2．内力能改变质点系中各质点的运动(动量)
质点系动量守恒 px=常量 (3)运动分析 甲虫 v1=v1+vr 板 v1 系统动量 p=m1v1+m2v2 初始 px0=0 (4)质点系动量守恒
SFixe＝0
பைடு நூலகம்
q
v1
G1
G2
FN m 2 v r sinq v1 px=m1v1 +m2(v1▬vrsinq ) m1 m 2 2 m 2 vr cos q m2vrq cosq (q vr / R) a1 v1 ( m1 m2 ) R m1 m2 (5)动量定理求FN
第10章 动量定理
第10章 动量定理物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。
同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。
10.1 动量提问下述问题。
一、 质点的动量v m，矢量。
二、 质点系的动量C v M v m K=∑= 表征质系随质心平动强度的量。
问题：某瞬时圆轮轮心速度为O v，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否相等？若沿曲线运动呢？10.2 力和力系的冲量提问下述问题。
一、 力的冲量力在时间上的累积效应。
1. 常力t F S =问题：图中G 和T有冲量吗？2. 任意力元冲量：t F S=d冲量：⎰=21d t t t F S二、 力系的冲量⎰=∑=21d t t i tR S S故力系的冲量等于主矢的冲量三、 内力的冲量 恒为零。
10.3 动量定理一、 质点的动量定理牛顿第二定律：F a m=→ F tv m=d )(d 或S v m d )(d = 微分形式→ S v m v m=-12 积分形式 二、 质点系的动量定理任一质点：)()(d )(d i i e i i i F F tv m+= 求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）：)(d d e F tK∑= 微分形式 )(12e S K K∑=- 积分形式例1（自编）图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
求地面给三角块的反力。
分析：欲求反力，需用动量定理：上式左端实际包含各物体质心加速度，而用动能定理可求。
解：I. 求加速度。
（前面已求）II. 求反力。
研究整体，画受力图如图。
系统动量：αcos ΣC x x v gQmv K -== αsin ΣC y y v gQv g P mv K -== 由动量定理：)(Σd d e xX tK = X a g Q C =-αcosαcos C a gQX -= )(Σd d e F tK=有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）)(Σd d e y Y tK =G Q P Y a gQa g P C ---=-2sin α αsin 2C a gQa g P G Q P Y -+++= 将g QP PQ a a C 2sin +-==α代入上面式，得：可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量矩定理来求。
第十章 动量定理
例题. 水平面上放一均质三
棱柱 A,在此三棱柱上又放一
均质三棱柱B. 两三棱柱的横
截面都是直角三角形,且质量
分别为M和m.设各接触面都 是光滑的,在图示瞬时, 三棱 柱A的速度为v, 三棱柱B相对 于A的速度为u, 求该瞬时系
A
B
统的动量.
解:取系统为研究对象
B v u
P PA PB
PAx = - M v PAy = 0 PBx = - m v + m u cos
二．质点系的动量定理 (e) (i ) 外力: Fi , 内力: F i
(i ) (i ) (i ) F 0 ; m ( F ) 0 或 m ( F i O i x i ) 0 。
质
(e) (i ) 点: d(mi vi ) Fi dt Fi dt
恒矢量
dp x Fx( e ) 0 , 则 px = 恒量 若 dt
小兔子向前走时，船会怎么样？
动量守恒定律
利用动量守恒原理，火箭 的运动
[例] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形 柱体的位移。 解：选两物体组成的系统为研究对象。 (e) 受力分析， Fx 0, 水平方向 Px 常量。
A
PBy = - m u sin
Px = - (M + m) v + m u cos Py = - m u sin
二．冲量
1．力 F 是常矢量：
I F (t2 t1 )
2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量：
dI Fdt
I Fdt
理论力学第十章动量定理
dp d(mv) F 或 d mv Fdt
dt dt
积分形式为：
mv2 mv1
t2 Fdt I
t1
即在某一时间间隔内，质点动量的变化等
于力在此段时间内的冲量。（冲量定理）
★ 质点系的动量定理
对于第i个质点
dpi dt
d(mivi ) dt
F (e) i
F (i) i
对于质点系
求：电动机底座所受的水平和竖直约束力。
解：1、选择包括外壳、定子、转子的电动机作为研
究对象 2、分析系统受力 定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g;
y
o2
e2
o1
x
m1 g
m2 g
底座所受约束力
Fx、Fy、M。
3、确定质心的加
速度
xC
m1
0 m2 e cost
m1 m2
M
Fx
Fy
yC
i
dpi dt
i
d(mivi ) dt
i
F (e) i
i
F (i) i
内力主矢
F(i) i
0
外力主矢
F (e) i
质点系动量定理
dp
dt
i
F (e) i
积分形式
p2 p1
I (e) i
i
§10-2 动量定理 ★ 质点系的动量定理
dp
dt
i
F (e) i
投影形式为:
dpx
4、应用质点系的动量定理确定约束力
d
dt
mivYi
FY
5、分析电动机跳起的条件：当偏心转子质心O2运动到最上方
时， = t = /2，约束力最小：
第十章- 动量定理解析
B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
10动量定理
Fiy dt I iy
(e)
Fiz dt I iz
(e)
理论力学
第十章 动量定理
例题二 锻锤 A 的质量 m = 3 000 kg，从高度 h =
1.45 m处自由下落到锻件 B 上。假设锻锤由接触 锻件到最大变形的时间t = 0.01s，求锻锤作用在 锻件上的平均碰撞力。
F O B
1 2
m1 2m2 )l cos
所以，系统的动量大小为
p p
2 x
p
2 y
1 2
(5m1 4m2 )l
px p , cos( p, y ) py p
方向余弦为为
cos( p, x )
理论力学 例题一
解法二: 第 一 节 动 量 与 冲 量
第十章 动量定理
曲柄OA长 l ，质量是 m1，并以角速度ω绕定轴 O 转动。 规尺BD长2l ，质量是 2m1 ，两滑块的质量都是 m2 。 y vB
C 2
如果初瞬时质心的速度在该轴上的投影也等于零 （即vCx = 0),则质心沿该轴的位置坐标不变。即, xC = xC0 = 常量
理论力学
第十章 动量定理
例题四 如图所示，在静止的小船上，一人自船
头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1 ， 船长l，水的阻力不计。求船的位移。
第 三 节 质 心 运 动 定 理
例题五 图示浮动起重机举起质量为m1=2000kg
x1
x2
px = ∑mivix
，
py = ∑miviy
，
pz = ∑miviz
二、 质点系动量的简捷求法
质点系的质心 C 的矢径表达式可写为
∑miri = m rc
第十章 动量矩定理
= J 1ω1 + ( J 2ω 2 + m 2 v 2 R 2 ) + m 3 v3 R 2 v 3 = v 2 = R 2ω 2 = 1 R1ω 1 2
J1 J2 LO = ( 2 + 2 + m2 + m3 )R2v3 R2 R2
7
§10-2
一．质点的动量矩定理
动量矩定理
d ( mv ) =F dt
2g P M 化简(1) 得： 1 a = 1 − T 2g r1
M1 /r −P 1 3 ∴ = a ⋅2g P +P +2P 1 2 3
21
§10-5 质点系相对于质心的 动量矩定理刚体平面运动微分方程
一．质点系对O的动量矩 质点系对 的动量矩
LO =rC ×mvC +LC r (LC =LC r )
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩， 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。 作转动时的动量矩之和。
6
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 例 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。 解： O = LOA + LOB + LOC L
2．定轴转动刚体 Lz = ．
∑ mz (mi vi ) = ∑ mi ri ⋅ ω = J z ⋅ ω
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。 度的乘积。 J Z = ∑ mi ri 2 称为刚体对轴z的转动惯量 3．平面运动刚体 ．
பைடு நூலகம்
Lz = mz ( mvC ) + J C ⋅ ω