(精品推荐)2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质
[课时跟踪检测] [基础达标]1．(2017届青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：对于C项，由b⊥β，α∥β可得b⊥α，又a⊂α，得a⊥b，故选C.答案：C2．(2016年浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：∵α∩β＝l，∴l⊂β.∴n⊥β，∴n⊥l.答案：C3．(2017届南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.答案：D4．(2018届遵义模拟)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是( )A．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αB．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γC．若m⊂β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β解析：在A中由线面平行的判定定理得n∥α；在B中由面面垂直的判定得β⊥γ；在C中由线面垂直得m⊥n；在D中，l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．答案：D5．(2017年全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：连B1C，BC1，A1D，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1.∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1DCB1，∵A1E⊂平面A1DCB1，∴A1E⊥BC1.故选C.答案：C6．(2017届安徽合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD，则下列命题中错误的是( )A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D．过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD解析：设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，因为过BD且与PC平行的平面交PA于点M，所以OM∥PC，所以M是PA的中点，故A正确；设N为PB的中点，连接AN.因为PA与AB不一定相等，所以AN与PB不一定垂直，所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B项错误；因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AB，所以PA＝AC，PD＝DC，所以过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点，故C正确；因为AD∥BC，所以BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PCB＝l，所以l∥BC，所以l∥AD，故D正确．故选B.答案：B7．(2018届江淮名校期中)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD.则应补充的一个条件可以是( )A．MD⊥MBB．MD⊥PCC．AB⊥ADD．M是棱PC的中点解析：∵在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：B8．(2017届宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是( )A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.答案：D9．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．解析：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1C1C，则A1C1⊥B1D1.答案：A1C1⊥B1D110．(2017届河南四校调研)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．答案：511．(2017届泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C，点P到平面AD1C的距离，即为BC1与平面AD1C的距离为定值，故正确；对于②，因为平面A1C1B∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，故正确；对于③，DB与BC1成60°角，故错误；对于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面B1DP⊥平面ACD1，故正确．答案：①②④12．(2017年北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．解：(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD .(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC .所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE .因为D 为AC 的中点，所以DE ＝PA ＝1，BD ＝DC ＝.122由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝BD ·DC ·DE ＝.1613[能 力 提 升]1．(2017届浙江丽水一模)在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( )A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BDB ．AD ⊥BC 且AC ⊥BDC ．AC ＝AD 且BC ＝BDD ．AC ⊥BC 且AD ⊥BD解析：对于A 选项，∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD .∵CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .故A 满足；对于B 选项，设A 在平面BCD 的射影为O ，则AO ⊥平面BCD .∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴O 为△BCD 的垂心，连接BO ，则BO⊥CD，又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO.∵AB⊂平面ABO，∴AB⊥CD.故B满足；对于C选项，取CD中点G，连接BG，AG.∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG.∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG.∵AB⊂平面ABG，∴AB⊥CD，故C满足，D不满足要求，故选D.答案：D2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.解析：因为B1D⊥平面A1ACC1，所以CF⊥B1D，所以为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF，设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，所以x2－3ax＋2a2＝0，所以x＝a或x＝2a.答案：a或2a3．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．解析：由题意可知，DK ⊥平面ABCF ，故DK ⊥AK ，DK ⊥FK ，故有AD 2－AK 2＝DK 2＝DF 2－FK 2.在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AK ＝t ，设EF ＝x (0＜x ＜1)，则有AD ＝BC ＝1，DF ＝1＋x ，FK ＝，∴12－t 2＝(1＋x )12＋(x －t ＋1)22－[12＋(x －t ＋1)2]，整理得t ＝，0＜x ＜1，故＜t ＜1.1x ＋112答案：(12，1)4．(2017届吉林东北师大附中联考)如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE －BCF和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥P －ABF 体积的4倍．解：(1)证明：直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE .因为AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AF ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面ABFE .又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由题意得，P 到平面ABF 的距离d ＝1，所以V P －ABF ＝S △ABF ·d ＝××2×2×1＝，13131223所以V P －ABCD ＝S 正方形ABCD ·h ＝×2×2×h ＝4V P －ABF ＝，所以h ＝2.1313835．(2017届黑龙江大庆质检)如图，已知三棱锥A －BPC ，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：BC ⊥平面APC ；(2)若BC ＝3，AB ＝10，求点B 到平面DCM 的距离．解：(1)证明：如图，∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB .又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴MD ∥AP ，∴AP ⊥PB .又已知AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC .(2)记点B 到平面MDC 的距离为h ，则有V M －BCD ＝V B －MDC .∵AB ＝10，∴MB ＝PB ＝5，又BC ＝3，BC ⊥PC ，∴PC ＝4，∴S △BDC ＝S △PBC ＝PC ·BC ＝3.1214又MD ＝，∴V M －BCD ＝MD ·S △BDC ＝.53213532在△PBC 中，CD ＝PB ＝，1252又∵MD ⊥DC ，∴S △MDC ＝MD ·DC ＝，122583∴V B －MDC ＝h ·S △MDC ＝·h ·＝，13132583532∴h ＝.所以点B 到平面DCM 的距离为.125125。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测7-4直线、平面平行的判定及性质
［课时跟踪检测］［基础达标］1. （2017届惠州模拟）设直线I, m,平面a B,则下列条件能推出all B的是（）A. I?a,m? a，且I //p, m // pB. I?a,m? p，且I //mC. 11a m l p，且I //mD. I //a,m// p,，I //m且解析：借助正方体模型进行判断.易排除选项A、B、D，故选C.答案：C2. 如图，在长方体ABCD —A' B' C' D '中，下列直线与平面AD ' C平行的是（）A. B' C'B. A' BC. A' B'D. BB'解析：连接A' B,v A' B l CD'，二A' B//平面AD' C.答案：B3. （2017届台州模拟）设I为直线，a, B是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A .若I// a I // B,贝u all BB. 若I丄a, I 丄B,贝U a// BC. 若I丄a, I // B,贝U all pD. 若al p I// a,贝U I // p解析：画出一个长方体ABCD —A1B1C1D1.对于A , C1D1 //平面ABB1A1, C1D1//平面ABCD，但平面ABB i A i与平面ABCD相交；对于C, BB i丄平面ABCD, BB i//平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB i A i 丄平面ABCD, CD //平面ABB i A i, 但CD?平面ABCD;易知B正确.答案：B4. （2018届江西模拟）设平面a//平面B, A€ a, B€ B, C是AB的中点，当A、B分别在a B内运动时，那么所有的动点C（）A .不共面B. 当且仅当A, B在两条相交直线上移动时才共面C. 当且仅当A, B在两条给定的平行直线上移动时才共面D. 不论A, B如何移动都共面解析：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与a, B都平行的平面上.答案：D5. （2017届上海青浦二模）下列命题正确的是（）A. 若直线l i //平面a直线“//平面a,则l i // I2B. 若直线I上有两个点到平面a的距离相等，贝U I // aC. 直线I与平面a所成角的取值范围是JO, n）D. 若直线l i丄平面a,直线12丄平面a ,则l i / I2解析：对于A ,若直线l i//平面a,直线b//平面a,则l i与I2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；对于B ,若直线I与平面a相交于0点，在交点两侧分别取A , B两点使得0A=0B ,则A , B到平面a的距离相等，但直线I与a不平行,故B错误；对于C ,当直线I? a ,或I // a时，直线I与平面a所成的角为0 ,当I la n时，直线I与平面a所成的角为2,故C错误；对于D ,由垂直于同一个平面的两条直线平行可知D正确,故选D.答案：D6. 如图所示,在空间四边形ABCD中，点E , F分别为边AB , AD上的点,且AE : EB= AF : FD = i : 4,又点H , G分别为BC , CD的中点,则（）.4A. BD //平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B. EF //平面BCD，且四边形EFGH是梯形C. HG //平面ABD，且四边形EFGH是菱形D. EH //平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形1解析：由AE : EB = AF : FD = 1 : 4知EF綊gBD,所以EF //平面BCD.又因1为点H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊qBD，所以EF / HG且EF^ HG. 所以四边形EFGH是梯形.答案：B7. （2018届合肥模拟）若平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面a平行的棱有（）A. 0条B. 1条C. 2条 D . 1条或2条解析：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF // GH，••• EF?平面BCD，GH?平面BCD，••• EF//平面BCD.••• EF?平面ACD，平面BCD n 平面ACD= CD，••• EF// CD，二CD//平面EFGH，同理，AB//平面EFGH.答案：C8. （2018届韶关模拟）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1 的中点，AB= 4,则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）A. 6 2+ 4 5B. 6 .2+ 2 5C. 3.2+ 4 5D. 3 2+ 2 5解析：•••正方体ABCD —A i B i C i D i中，E, F分别是棱AD, DD i的中点,••• EF// AD i // BC i.••• EF?平面BCC i, BC i?平面BCC i,：EF//平面BCC i,由线面平行性质定理，过EF且过B的平面与面BCC i的交线I平行于EF,I即为BC i.由正方体的边长为4,可得截面是以BE= C i F = 2,5为腰，EF= 2 2为上底，BC i = 2EF = 4 2为下底的等腰梯形，故周长为6 2+ 4 5.答案：A9. （20i7届吉林省实验中学一模）已知两条不同直线I, m和两个不同的平面a B,有如下命题：①若I? a, m? a, I // B , m// B,贝U all B;②若I?a, I // B, aA m,则I// m；③若a±B, I 丄B,则I //a其中正确的命题是 _________ .解析：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若a丄B, I丄B,则I / a或I? a,所以③错误.答案：②10. 在正四棱柱ABCD —A i B i C i D i中，O为底面ABCD的中心，P是DD i的中点，设Q是CC i上的点，则点Q满足条件______________ 时,有平面D i BQ //平面PAO.解析：如图所示，假设Q为CC i的中点，因为P为DD i的中点，所以QB// PA.连接DB，因为P, O分别是DD i, DB的中点，所以D i B// PO,又D i B?平面PAO, QB?平面PAO,所以D i B //平面PAO, QB//平面PAO, 又D i B A QB= B,所以平面D i BQ/平面PAO.故Q满足条件Q为CC i的中点时，有平面D i BQ //平面PAO.答案：Q为CC i的中点ii. （20i8届永昌模拟）设平面all B, A、C€ a B、D € B,直线AB与CD交于S,若AS= i8 , BS= 9 , CD = 34 ,则CS= __________ .解析：如图i,由all B可知BD // AC ,如图2,由all B知AC// BD ,i2.（20i8届新津县模拟）在四棱锥P —ABCD中,底面ABCD是直角梯形,/ BAD_Z CBA_ 90° ° 面PAB丄面ABCD , PA_ PB_ AB_ AD _2 , BC_ i，点M 是棱PD的中点..SB_ SDSA T CS ,即i8_ CS—34CS.SA_ CS_ CS 即18 _ CSSB_ SD_ CD —CS ,即9 _ 34 —CSCS_683 .答案: 68或683QcCS_ 68.图2(1)求证：CM //平面FAB;⑵求四棱锥P —ABCD的体积.解：⑴证明：取PA的中点N,连接BN、NM,B C1在^ PAD 中，MN // AD, 且MN = qAD;1又BC// AD, 且BC = qAD ,所以MN // BC, MN = BC,即四边形BCMN为平行四边形，二CM // BN.又CM?平面FAB, BN?平面PAB,故CM //平面PAB.(2)取AB中点E,连接PE,••• PA= PB,A PE丄AB.又•••平面PAB丄平面ABCD,平面PAB A平面ABCD = AB, PE?平面PAB,••• PE丄平面ABCD,1 1 1•••四棱锥P —ABCD 的体积V= 3 S ABCD PE = 3X q x (1 + 2)X 2X .3= 3, 即四棱锥P —ABCD的体积为3.［能力提升］1. （2018届蚌埠期中）过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线, 其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A. 4条B. 6条C. 8 条 D . 12 条解析：作出如图的图形，E, F, G, H是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中.答案：B2. （2018届济南模拟）已知m, n是两条不同直线，a, B, Y是三个不同平面, F 列命题中正确的是（）A. 若CL L Y肚Y贝U all BB. 若m±a,n 丄a ,贝U m // nC. 若m //a,n // a ,贝U m // nD. 若m //a,m // B,则all B解析斤：若a久丄Y B丄Y贝U a与B相父或平行，故A错误；若m l a, n丄a,则由直线与平面垂直的性质得m// n,故B正确；若m// a n// a则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m// a m/ B则a与B相交或平行，故D错误.答案：B3. 如图所示，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设点D是A1C1上的点且A1B //平面B1CD ,贝U A1D : DC1的值为 ________ .由此四点可以组成的直线有:因为A i B I平面B i CD且A i B?平面A i BC i，平面A i BC i A平面B i CD = OD , 所以A iB I OD,因为四边形BCC i B i是菱形，所以点O为BC i的中点，所以点D为A i C i的中点，贝U A i D : DC i = 1.答案：14. 如图所示，正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为a,点P是棱AD上一点,a且AP = 3,过B i, D i, P的平面交底面ABCD于PQ,点Q在直线CD上，则PQ=解析：如图，因为平面A1B1C1D1 II平面ABCD,而平面B i D i P A平面ABCD=PQ,平面B i D i P A 平面A i B i C i D i = B i D i，所以B i D i I PQ.又因为B i D i I BD，所以BD I PQ.设PQ A AB= M，因为AB I CD,C解析：设BC i A B i C = O,2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测又 DB = 2a ，所以 PQ = ^a. 答案：簣a所以△ APM s^ DPQ ，所以 又知△ APM s^ ADB ，所以 PQ PDPM - "PA —PM AP DB AD2, 1 3, 即 PQ = 2PM , 1 所以 PM =3DB ，。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§8.3 空间点、线、面的位置关系
§8.3空间点、线、面的位置关系考纲解读分析解读高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以三个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.考查形式以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,本节内容主要考查学生的空间想象能力,所以在备考复习时应加强训练.五年高考考点空间点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案C2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D4.(2014广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D5.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.教师用书专用(6—9)6.(2013浙江,4,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β答案C7.(2013江西,15,5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.答案 48.(2013安徽,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案①②③⑤9.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点空间点、线、面的位置关系1.(2018河南洛阳期中,5)设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列四个命题中错误的是( )A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α则b∥αB.若a∥α,a⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β答案C2.(2017河南部分重点中学联考,7)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n,有下列四个命题:①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β;④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案D3.(2017贵州六盘水二模,4)α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行答案D4.(2016黑龙江哈尔滨三中期中,5)已知a,b,c是空间中的三条不同直线,命题p:若a⊥b,a⊥c,则b∥c;命题q:若直线a,b,c两两相交,则a,b,c共面,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.p∨qC.(p)∧qD.p∨(q)答案DB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018湖北部分重点中学12月联考,5)设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A.l1⊥m,l1⊥nB.m⊥l1,m⊥l2C.m⊥l1,n⊥l2D.m∥n,l1⊥n答案B2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( )A.①③B.②③C.②④D.②③④答案C3.(2017山西临汾三模,4)已知平面α及直线a,b,则下列说法正确的是( )A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直答案D4.(2016浙江温州二模,4)已知a,b为异面直线,下列结论不正确的是( )A.必存在平面α,使得a∥α,b∥αB.必存在平面α,使得a,b与α所成角相等C.必存在平面α,使得a⊂α,b⊥αD.必存在平面α,使得a,b与α的距离相等答案C二、填空题(共5分)5.(2017湖北武汉武昌调研,16)在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案②C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断空间点、线、面位置关系的方法1.(2018河北石家庄重点中学摸底考试,11)已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,则下列命题:①若a∥b,则a∥c,b∥c;②若a∩b=O,则O∈c;③若a⊥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的命题是( )A.①②③B.②③C.①③D.①②答案D2.(2016浙江宁波二模,5)下列命题中,正确的是( )A.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线B.若a,b是两条直线,且a∥b,则直线a平行于经过直线b的所有平面C.若直线a与平面α不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行D.若直线a∥平面α,点P∈α,则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案D方法2 证明点共线、线共点及点线共面的方法3.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1)∵==2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,又∵EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且=,=,∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD,同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.4.(2017四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:∵A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.。
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：8.2 空间点、线、面的位置关系
评析 本题考查了线面的位置关系和充要条件的判断.
3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线, 则下列命题正确的是 ( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 答案 D 解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异 面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.
(3)证明:连接FH. 因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH, 因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG. 又EG⊥FH,DH∩FH=H, 所以EG⊥平面BFHD. 又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG. 同理DF⊥BG. 又EG∩BG=G, 所以DF⊥平面BEG.
评析 本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知 识,考查空间想象能力、推理论证能力.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点 空间点、线、面的位置关系
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
答案 C ∵α∩β=l,∴l⊂β, ∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.
2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平
l3 l4
⇒l1∥l4或l1与l4相交或l1与l4异面.故l1与l4的位置关系不确定.故答案
为D.
评析 本题考查空间两条直线的位置关系,考查空间想象能力及推理能力.
3.(2011全国,12,5分)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面 得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为 ( ) A.7π B.9π C.11π D.13π
配套K122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-4直线、平面平行的判定及性质 Word版含
[课时跟踪检测][基础达标]1．(2017届惠州模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：借助正方体模型进行判断．易排除选项A、B、D，故选C.答案：C2.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是()A．B′C′B．A′BC．A′B′D．BB′解析：连接A′B，∵A′B∥CD′，∴A′B∥平面AD′C.答案：B3．(2017届台州模拟)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l∥β解析：画出一个长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.对于A ，C 1D 1∥平面ABB 1A 1，C 1D 1∥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ABCD 相交；对于C ，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1∥平面ADD 1A 1，但平面ABCD 与平面ADD 1A 1相交；对于D ，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，CD ∥平面ABB 1A 1，但CD ⊂平面ABCD ；易知B 正确．答案：B4．(2018届江西模拟)设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在α、β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动都共面解析：根据平行平面的性质，不论A 、B 如何运动， 动点C 均在过C 且与α，β都平行的平面上． 答案：D5．(2017届上海青浦二模)下列命题正确的是( ) A ．若直线l 1∥平面α，直线l 2∥平面α，则l 1∥l 2 B ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α C ．直线l 与平面α所成角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．若直线l 1⊥平面α，直线l 2⊥平面α，则l 1∥l 2解析：对于A ，若直线l 1∥平面α，直线l 2∥平面α，则l 1与l 2可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误；对于B ，若直线l 与平面α相交于O 点，在交点两侧分别取A ，B 两点使得OA ＝OB ，则A ，B 到平面α的距离相等，但直线l 与α不平行，故B 错误；对于C ，当直线l ⊂α，或l ∥α时，直线l 与平面α所成的角为0，当l ⊥α时，直线l 与平面α所成的角为π2，故C 错误；对于D，由垂直于同一个平面的两条直线平行可知D正确，故选D.答案：D6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊15BD，所以EF∥平面BCD.又因为点H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊12BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．答案：B7．(2018届合肥模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．1条或2条解析：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH，∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH.答案：C8．(2018届韶关模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为() A．62＋4 5B．62＋2 5C．32＋4 5D．32＋2 5解析：∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，∴EF∥AD1∥BC1.∵EF⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，∴EF∥平面BCC1，由线面平行性质定理，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1.由正方体的边长为4，可得截面是以BE＝C1F＝25为腰，EF＝22为上底，BC1＝2EF＝42为下底的等腰梯形，故周长为62＋4 5.答案：A9．(2017届吉林省实验中学一模)已知两条不同直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l ∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α.其中正确的命题是________．解析：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α或l ⊂α，所以③错误．答案：②10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ， 又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案：Q 为CC 1的中点11．(2018届永昌模拟)设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS ＝18，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.解析：如图1，由α∥β可知BD ∥AC ，∴SB SA ＝SD CS ，即918＝CS －34CS ，∴CS ＝68. 如图2，由α∥β知AC ∥BD ，∴SA SB ＝CS SD ＝CS CD －CS ，即189＝CS 34－CS ，∴CS ＝683.答案：68或68312.(2018届新津县模拟)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠CBA ＝90°，面P AB ⊥面ABCD ，P A ＝PB ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，点M 是棱PD 的中点．(1)求证：CM ∥平面P AB ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)证明：取P A 的中点N ，连接BN 、NM ，在△P AD 中，MN ∥AD ，且MN ＝12AD ； 又BC ∥AD ，且BC ＝12AD ， 所以MN ∥BC ，MN ＝BC ，即四边形BCMN 为平行四边形，∴CM ∥BN . 又CM ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ， 故CM ∥平面P AB .(2)取AB 中点E ，连接PE ，∵P A＝PB，∴PE⊥AB.又∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，PE⊂平面P AB，∴PE⊥平面ABCD，∴四棱锥P－ABCD的体积V＝13·S ABCD·PE＝13×12×(1＋2)×2×3＝3，即四棱锥P－ABCD的体积为 3.[能力提升]1．(2018届蚌埠期中)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析：作出如图的图形，E，F，G，H是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中．由此四点可以组成的直线有：EF，GH，FG，EH，GE，HF共有6条．答案：B2．(2018届济南模拟)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β解析：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．答案：B3．如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设点D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD，因为A1B∥平面B1CD且A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD，因为四边形BCC1B1是菱形，所以点O为BC1的中点，所以点D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案：14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ＝________.解析：如图，因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ . 设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DPQ ，所以PQ PM ＝PDP A ＝2，即PQ ＝2PM ， 又知△APM ∽△ADB ，所以PM DB ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13DB ， 又DB ＝2a ，所以PQ ＝223a . 答案：223a。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-2空间几何体的表面积与体积
[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届吕梁模拟)圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是()A．2πa2B．4πa2C．πa2D．3πa2解析：圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a，故圆锥的侧面积S＝πrl＝2πa2.答案：A2．(2018届遵义模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋12 3 B．24＋5 3C．12＋15 3 D．12＋12 3解析：由三视图可知，几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为3的直角三角形，底面面积为12×4×3＝23，底面周长为6＋23，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S＝2×23＋4×(6＋23)＝24＋12 3.答案：A3.如图所示，E，F分别是边长为1的正方形ABCD边BC，CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为()A.13B.16C.112D.124解析：设B ，D ，C 重合于G ，则V A －EFG ＝13×1×12×12×12＝124. 答案：D4．(2017届山东枣庄模拟)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．48 cm 3B ．98 cm 3C ．88 cm 3D ．78 cm 3解析：由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝6×3×6－13×12×3×5×4＝98答案：B5.(2017年全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面， S 梯形＝12×2×(2＋4)＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12， 故选B. 答案：B6．(2017届长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233D.643解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D.答案：D7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3C ．43πD ．23π解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2332＝16π3. 答案：A8．(2018届郑州模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A.2π3 B.π3 C.2π9D.16π9解析：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与正视图可得，底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2， ∴几何体的体积V ＝120360×13×π×22×4＝16π9，故选D. 答案：D9．三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________．解析：设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案：3＋ 310．(2017届河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为________cm 3.解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示．在三棱锥D －ABC 中，底面ABC 是等腰三角形，设底边AB 的中点为E ，则底边AB 及底边上的高CE 均为4 cm ，侧棱AD ⊥平面ABC ，且AD ＝4 cm ，所以三棱锥D －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AD ＝13×12×4×4×4＝323 cm 3.答案：32311．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________．解析：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，所以12×2×1×sin60°×AA 1＝3，所以AA 1＝2，因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝4＋1－2＝3，所以BC ＝3， 设△ABC 外接圆的半径为R ，则BCsin60°＝2R ，所以R ＝1，所以外接球的半径为1＋1＝2，所以球的表面积等于4π×(2)2＝8π.答案：8π12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝63(cm)．[能力提升]1．(2017届湖北模拟)某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A．18 B．20C．24 D．13解析：由三视图知该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱的一部分，其直观图如图所示，其中，∠BAC＝90°，侧面ACC1A1是矩形，其余两个侧面是直角梯形，∵AC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面ACC 1A 1， ∴AB ⊥平面ACC 1A 1， ∴该几何体的体积为V ＝VB 1－ABC ＋VB 1－ACC 1A 1＝13×12×3×4×2＋13×3×4×4＝20.故选B. 答案：B2．(2017届河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．9＋4(2＋5)B ．10＋2(2＋3)C ．11＋2(2＋5)D ．11＋2(2＋3)解析：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积为2×2＋2×1＋2×2＋2×5＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12－1＝11＋2(2＋5)．答案：C3．(2016年全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2C ．6πD.32π3解析：设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32， ∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.答案：B4．(2018届洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A.22B.52C.62D ．3解析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A －BCDE 的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则S △AED ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝S △ABE ＝12×1×2＝22， S △ACD ＝12×1×5＝52，故选B. 答案：B5．(2016年浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为 2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．答案：8040。
【配套K12】2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质 Word
[课时跟踪检测][基础达标]1．(2017届青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：对于C项，由b⊥β，α∥β可得b⊥α，又a⊂α，得a⊥b，故选C.答案：C2．(2016年浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：∵α∩β＝l，∴l⊂β.∴n⊥β，∴n⊥l.答案：C3．(2017届南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.答案：D4．(2018届遵义模拟)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是()A．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αB．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γC．若m⊂β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β解析：在A中由线面平行的判定定理得n∥α；在B中由面面垂直的判定得β⊥γ；在C中由线面垂直得m⊥n；在D中，l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．答案：D5．(2017年全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：连B1C，BC1，A1D，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1.∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1DCB1，∵A1E⊂平面A1DCB1，∴A1E⊥BC1.故选C.答案：C6．(2017届安徽合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD，则下列命题中错误的是()A．过BD且与PC平行的平面交P A于M点，则M为P A的中点B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D．过P，B，C的平面与平面P AD的交线为直线l，则l∥AD解析：设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，因为过BD且与PC平行的平面交P A于点M，所以OM∥PC，所以M是P A的中点，故A正确；设N为PB的中点，连接AN.因为P A与AB不一定相等，所以AN与PB不一定垂直，所以过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B项错误；因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AB，所以P A＝AC，PD＝DC，所以过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点，故C正确；因为AD∥BC，所以BC∥平面P AD.又平面P AD∩平面PCB＝l，所以l∥BC，所以l∥AD，故D正确．故选B.答案：B7．(2018届江淮名校期中)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD.则应补充的一个条件可以是()A．MD⊥MBB．MD⊥PCC．AB⊥ADD．M是棱PC的中点解析：∵在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥P A，BD⊥AC，∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：B8．(2017届宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是()A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD 内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD ⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.答案：D9．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．解析：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1C1C，则A1C1⊥B1D1.答案：A1C1⊥B1D110．(2017届河南四校调研)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥P A且P A∩AB＝A，可得AD⊥平面P AB.同理可得BC⊥平面P AB、AB⊥平面P AD、CD⊥平面P AD，由面面垂直的判定定理可得，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面ABCD，共有5对．答案：511．(2017届泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C，点P到平面AD1C的距离，即为BC1与平面AD1C的距离为定值，故正确；对于②，因为平面A1C1B∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，故正确；对于③，DB与BC1成60°角，故错误；对于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面B1DP⊥平面ACD1，故正确．答案：①②④12．(2017年北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：P A⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面P AC；(3)当P A∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．解：(1)证明：因为P A⊥AB，P A⊥BC，所以P A⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，P A⊥BD，所以BD⊥平面P AC.所以平面BDE⊥平面P AC.(3)因为P A∥平面BDE，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12P A＝1，BD＝DC＝ 2.由(1)知，P A⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E－BCD的体积V＝16BD·DC·DE＝13.[能力提升]1．(2017届浙江丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD 的是()A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：对于A选项，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，∴AB⊥平面BCD.∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.故A满足；对于B选项，设A在平面BCD的射影为O，则AO⊥平面BCD.∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心，连接BO，则BO⊥CD，又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO.∵AB⊂平面ABO，∴AB⊥CD.故B满足；对于C选项，取CD中点G，连接BG，AG.∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG.∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG.∵AB⊂平面ABG，∴AB⊥CD，故C满足，D不满足要求，故选D.答案：D2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.解析：因为B 1D ⊥平面A 1ACC 1，所以CF ⊥B 1D ，所以为了使CF ⊥平面B 1DF ，只要使CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，所以x 2－3ax ＋2a 2＝0，所以x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a3．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：由题意可知，DK ⊥平面ABCF ，故DK ⊥AK ，DK ⊥FK ，故有AD 2－AK 2＝DK 2＝DF 2－FK 2.在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AK ＝t ，设EF ＝x (0＜x ＜1)，则有AD ＝BC ＝1，DF ＝1＋x ，FK ＝12＋(x －t ＋1)2，∴12－t 2＝(1＋x )2－[12＋(x －t ＋1)2]，整理得t ＝1x ＋1，0＜x ＜1，故12＜t ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14．(2017届吉林东北师大附中联考)如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面P AD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥P －ABF 体积的4倍．解：(1)证明：直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE . 因为AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AF ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面ABFE . 又AD ⊂平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面ABFE . (2)由题意得，P 到平面ABF 的距离d ＝1， 所以V P －ABF ＝13S △ABF ·d ＝13×12×2×2×1＝23，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·h ＝13×2×2×h ＝4V P －ABF ＝83，所以h ＝2. 5．(2017届黑龙江大庆质检)如图，已知三棱锥A －BPC ，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：BC ⊥平面APC ；(2)若BC ＝3，AB ＝10，求点B 到平面DCM 的距离． 解：(1)证明：如图，∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB .又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD ∥AP ，∴AP ⊥PB . 又已知AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC . (2)记点B 到平面MDC 的距离为h ， 则有V M －BCD ＝V B －MDC . ∵AB ＝10，∴MB ＝PB ＝5， 又BC ＝3，BC ⊥PC ，∴PC ＝4， ∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝3.又MD ＝532，∴V M －BCD ＝13MD ·S △BDC ＝532. 在△PBC 中，CD ＝12PB ＝52，又∵MD ⊥DC ，∴S △MDC ＝12MD ·DC ＝2583， ∴V B －MDC ＝13h ·S △MDC ＝13·h ·2583＝532， ∴h ＝125.所以点B 到平面DCM 的距离为125.。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系.pdf
常考题型 选择题
选择题 填空题
预测热度 ★★☆
★★★
分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题
;会用反证法证明有关异面或共面问题 .2.会判定和证明两条直线异面 ;会应用三
线平行公理和等角定理及推论解决有关问题 ,会求两条异面直线所成的角 ;了解两条异面直线间的距离 .3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托 ,
CE,EF 相交的平面个数分别
A.8
B.9
答案 A
C.10 D.11
教师用书专用 (5—8)
5.(2014 广东 ,7,5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l 3,l 4,满足 l1⊥l 2,l 2⊥ l3,l 3⊥ l 4,则下列结论一定正确的是 ( ) A.l 1⊥ l4 B.l 1∥l 4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l 1与 l4的位置关系不确定 答案 D 6.(2013 课标全国 Ⅱ ,4,5 分 )已知 m,n 为异面直线 ,m⊥平面 α ,⊥n 平面 β直．线 l 满足 l ⊥m,l ⊥ n,l?α ,?l β则，( ) A. α∥ β且 l ∥α B. α⊥β且 l⊥ β C. α与 β相交 ,且交线垂直于 l D. α与 β相交 , 且交线平行于 l 答案 D
求异面直线所成的角 ,分值约为 5 分 ,属中档题 .
五年高考
考点一 点、线、面的位置关系
1.(2016 浙江 ,2,5 分)已知互相垂直的平面 α , β交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α ,n⊥β则，( )
A.m ∥l B.m ∥n C.n⊥ l D.m ⊥n 答案 C 2.(2015 广东 ,8,5 分)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等 ,则正整数 n 的取值 ( ) A. 至多等于 3 B. 至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5 答案 B 3.(2015 福建 ,7,5 分)若 l,m 是两条不同的直线 ,m 垂直于平面 α则，“ l⊥ m” 是“ l∥α” 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 4.(2013 江西 ,8,5 分)如图 ,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α上,且 AB ∥CD, 正方体的六个面所在的平面与直线 记为 m,n,那么 m+n=( )
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图
[课时跟踪检测][基础达标]1．下列说法正确的是()A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D．过圆台侧面上一点有无数条母线答案：C2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由俯视图知底面是一个四边形，由正视图及侧视图可知该几何体为锥体，故选B.答案：B3．(2017届山东徳州质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()解析：此几何体的侧视图是从左边往右边看，故其侧视图应选C.答案：C4．(2017届临川一中)以下四个选项中恰有三个是一个正四面体的一组三视图，则不是的为()解析：结合选项可知B、C、D可构成一个正四面体的一组三视图，故选A.答案：A5．(2017届湖南怀化一中模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案：B6．(2017届湖南株洲质检)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．答案：C7．(2017届北京东城区模拟)已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个棱锥的侧面积是()A．4 cm2B．12 cm2C．(8＋42) cm2D．(4＋42＋23) cm2解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，且PD⊥平面ABCD，底面ABCD为一直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝AD＝CD＝2，AB＝4，所以P A＝PC＝BC＝22，PB＝26，所以其侧面积为12×2×2＋12×2×2＋12×22×4＋12×26×2＝4＋42＋23，故选D.答案：D8．(2015年北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．2解析：将三视图还原成几何体的直观图，如图，由三视图可知，底面ABCD 是边长为1的正方形，SB⊥底面ABCD，SB＝AB＝1，由勾股定理可得SA＝SC＝2，SD＝SB2＋DB2＝1＋2＝3，故四棱锥中最长棱的棱长为 3.故选C.答案：C9.如图所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，则这个平面图形的实际面积为________．解析：根据斜二测画法规则可知，该平面图形是直角梯形ABCD，且AB＝6，CD＝4.由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.答案：20 210．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________．解析：由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等，为 2.答案： 211．(2018届蚌山区校级期中)如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.解析：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为22，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是8 cm.答案：812．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.[能 力 提 升]1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是( )A．定B．有C．收D．获解析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．答案：B2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()解析：M，N两点在平面ADD1A1上的射影分别为AA1，AD的中点，故选A.答案：A3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，底边长都是正方体的棱长，P的射影到底边的距离(三角形的高)都是正方体的棱长，所以，三棱锥P －ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.答案：14．已知圆锥的轴截面面积为4 cm2，底面面积为4π cm2，则其母线长为________．解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l . 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2r ×h ＝4，πr 2＝4π，解得⎩⎨⎧r ＝2，h ＝2.所以母线长l ＝r 2＋h 2＝22(cm)． 答案：2 2 cm5．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形的面积为________．解析：因为矩形O ′A ′B ′C ′是一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，所以直观图的面积是6×2＝12. 因为直观图的面积∶原图的面积＝24， 所以原图形的面积是12÷24＝24 2. 答案：24 2。
2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第七篇第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系(36)
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(2)因为EF∥CD1,EF<CD1, 所以CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, 所以P∈直线DA. 所以CE,D1F,DA三线共点.
反思归纳 (1)点线共面问题的思路与方法 先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内. (2)多线共点问题的思路与方法 ①先证其中两条直线交于一点; ②再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前 两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.
跟踪训练 1:如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形,BC
知识梳理
1.平面的基本性质及相关公(定)理
公理 1
公理 2
文字语言 如果一条直 线上的两点 在一个平面 内,那么这条 直线在此平 面内 过不在一条 直线上的三 点,有且只有 一个平面
图形语言
符号语言
Al
Bl A
⇒
l⊂
α
B
作用 判断直线在平面内
A,B,C 三点不共线⇒ 有且只 有一个平面α ,使 A∈α ,B
【例1】 导学号 18702351 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 AB,AA1的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面;
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B. 因为E,F分别是AB,AA1的中点, 所以EF∥A1B. 又A1B∥CD1, 所以EF∥CD1, 所以E,C,D1,F四点共面.
在棱的中点,则表示直线GH,答案的序号)
解析:(2)在图①中,直线GH∥MN; 在图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,N∉GH,因此直线GH与MN异面; 在图③中,连接GM,GM∥HN,因此GH与MN共面; 在图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,G∉MN, 因此GH与MN异面,所以在图②④中GH与MN异面.
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[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标] 1．空间四点中，三点共线是这四点共面的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：三点共线一定推出四点共面，但是四点共面推不出三点一定共线，故选A. 答案：A 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交． 答案：A
3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交，平行或异面，故选D. 答案：D 4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ②若a∥b，a∥c，则b∥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 解析：若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题，故选D. 答案：D 5．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC， ∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1. ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1， ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上． ∴A，M，O三点共线． 答案：A 6．(2017届浙江温州二模)已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( ) A．必存在平面α，使得a∥α，b∥α B．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等 C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥α D．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等 解析：由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O，过O分别作 a，b的平行线，则由过O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故正确； 在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面α使得a，b与α所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故正确； 在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故错误； 在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故正确． 答案：C 7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动
点E，F，且EF＝12，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确；由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确；A到平面BEF的距离即A到平面
DBB1D1的距离为22，且S△BEF＝12BB1×EF＝定值，故VA－BEF为定值，故C正确． 答案：D 8．如图，正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA′与BC的中点，则A′E与BD所成角的余弦值为( )
A．0 B.357 C.147 D.105 解析：取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD， ∴∠FA′E或其补角即为所求．
∵正三棱柱ABC－A′B′C′棱长均为2， ∴A′F＝5，FE＝2，A′E＝7.
∴cos∠FA′E＝357， 故A′E与BD所成角余弦值为357. 答案：B 9．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点； ②三条直线两两平行； ③三条直线共点； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中使三条直线共面的充分条件有________． 解析：易知①中的三条直线一定共面；三棱柱三侧棱两两平行，但不共面，故②错；三棱锥三侧棱交于一点，但不共面，故③错；④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面． 答案：①④ 10．如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．
解析：取AC的中点为M，连接EM，MF， 因为E，F分别是AP、BC的中点， 所以MF∥AB，MF＝12AB＝62＝3，
ME∥PC，ME＝12PC＝102＝5，所以在△EMF中，∠EMF(或其补角)即为AB与PC所成的角(或其补角)． ∴cos∠EMF＝52＋32－722×5×3＝－1530＝－12，所以∠EMF＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°. 答案：60° 11．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．
解析：①中直线QP与直线RS相交，所以四点共面； ②中直线PS与直线QR平行，所以四点共面． ③中直线SR与直线PQ平行，所以四点共面； ④中直线PS与直线RQ异面，所以四点不共面． 答案：①②③ 12．已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点． (1)求证：BC与AD是异面直线； (2)求证：EG与FH相交． 证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α. 所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，所以BC与AD是异面直线． (2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC， 因此EF∥HG； 同理EH∥FG，则四边形EFGH为平行四边形． 又EG，FH是▱EFGH的对角线， 所以EG与FH相交． [能 力 提 升] 1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( ) A．(0，2) B．(0，3) C．(1，2) D．(1，3) 解析：构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝2，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E，连接AE，BE.
则AE＝BE＝22，所以22＋22>a,0答案：A 2．(2017届吉林长春外国语期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n 解析：对于A，当直线m，n与平面α所成的角相等时，不一定有m∥n， ∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m⊂α，n⊂β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选D. 答案：D 3．(2017届辽宁本溪联考)已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题： ①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β； ②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b； ④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线； ⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 上述五个命题中，正确的命题序号是________． 解析：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确； 对于②，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定义，即可得到a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确； 对于③，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确； 对于④，若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确； 对于⑤，根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确． 答案：②⑤ 4．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠
BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．