2.1 静电场中的导体

ES ES ES ES侧
1 2
σ1
σ2
σ3
σ4

2 S1 3 S 2 0

2 3 0
1
S
S1 S2 S侧 • P' • • P'' P
∵ E内 0
∴ ES ES
ES侧 0
0
2
又
E侧 S侧
ES 0
2
2 0
2 0

2 0

d

2 0
3 c o s s in d iˆ
0 R
2 2
4 0
iˆ
F左
R
2
4 0
iˆ
四 孤立导体形状对电荷分布的影响 前面给出了导体表面附近点的电荷密度和附近点场 强的对应关系，它并不能告诉我们在导体表面上电荷 究竟是怎样分布的。定量地研究这一问题比较复杂。 下面作定性的说明。
∴
ˆ E = n 2 0
2 1 2 ˆ ˆ F SE Sn 0E Sn ∴ 2 0 2 单位面元所受的力为： F 1 2 ˆ f 0E n S 2
例1(补充)：习题2.1.1(不讲)
解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力
场分布 电荷分布 此时要定量计算 E 、 V 分 布 ，在普通物理范围内很困
并且
相互影响，相互制约
难，故在此作定性讨论。实际上把静电场的性质定性 为电场线的两个性质，结合静电平衡时 E 内 0 推出的 结论得讨论方法：
静电场的性质 + （结合）静电平衡的性质 = 讨论静电场中的导体（讨论方法） 例题1：例题2：例题3： P49-51 自学 例题4：例题5：例题6： P51-53 为小字部分， 选看一下。 六 平行板导体组例题 补充例：P53 例1的前半部分。 证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（1） 相向的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相反； （2）相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号 相同。 证明：（1）平板导体所带电荷分布于表面，因为 无限大，所以均匀分布，设1、2、3、4面分别带电荷 面密度为 1、 2、 3、 4。 选取如图的高斯面，有
电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型 这一概念，场强在带电面上有突变（P23小字），如 果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论 问题又太复杂，所以只谈“表面附近”而不谈表面上。 三 带电导体所受的静电力 在导体表面任取一面元 S ， 其上面电荷密度为 。 因为 S 取得很小，可视为点电荷，故面元受力为：
2 ˆ dF dS n 2 0
利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向。 右半球所受的力：
F右
2

2
c o s d S iˆ
0
2
0
2 3 c o s d S iˆ 0
F右

2
0 R
2
0
2 3 2 c o s R s in d d iˆ 0
说明： （1）此条件为充分必要条件
是就不是静电平衡。换句话说，导体达到平衡时，其 内部必定处处 E 0。 充分性：导体内处处 E 0 时，导体达到静电平衡。 用电动力学中静电场边值问题的唯一性定理证明， 这里略。
（2）“内部各点”指导体内部的“宏观点”（即物 理无限小体积元），对于微观的点，比如电子附近的 一个几何点，不一定满足 0。 E （3）此条件在电荷不受非静电力的情况下成立 如果有非静电力存在，为了达到静电平衡，导体内 部某些点的场强恰恰不能为零，以便抵消非静电力的 作用（由化学原因引起的“化学力”，核子间作用力 等都为非静电力）。 更恰当的表述：导体内部可移动的电荷所受的一切 力的合力为零。 3、静电平衡时导体的性质 P43 E内 0 B （1）导体是等势体，表面是等势面。 A 在导体中取任意两点A、B，沿A、B 作任一路径，沿此路径做场强积分得：
度大，但这不是一个绝对的结论，也有例外的情形。 如P48小字部分。（两个相距很近的球形导体，曲率 半径相同但电荷非均匀分布，这是一例外情形）
五 导体静电平衡问题的讨论方法
1、讨论真空中静电场：由电荷分布求 E 、 V 分 布
场的性质：由高斯定理、环路定理决定 2、有导体存在时的静电场，出现静电感应现象， 最后达到静电平衡。
根据叠加原理，有：
E S ： S 上的电荷在P点所产生的场强，且 ˆ E S n 2 0
E 也必垂直于导体表面。 即三矢量 E P 、 E S 、 E 平行共线。
E P E S E E E P E S

E P、 E S
ˆ EP Enn ˆ E n 为 E P 在 n 方向的投影，E n 可正可负。
过P点取一小圆形面元 S 1 ，以 S 1 为底作一圆柱形 高斯面，圆柱面的另一底 S 2 在导体内部。有
S


S1
E ds
S

S1
E d s E d s E d s
第二章 有导体时的静电场
在静电场中引入导体，讨论静电场和导体之间的 相互作用和相互影响。
在静电场中引入导体后，将引起静电感应现象， 在导体的表面上出现等值异号的感应电荷，感应电荷 的出现又反过来影响原有的静电场。
§2.1 静电场中的导体
一 导体 1、导体的分类（按是否带电） （1）带电导体： 所带总电荷不为零 。 （2）中性导体： 所带总电荷为零。 （3）孤立导体： 与其它物体距离足够远的导体。 “足够远”指其它物体的电荷在该导体上激发的场强
1、电荷在导体表面的分布不仅与其自身形状有关， 而且与外界条件也都有关。
①孤立带电导体 的分布由自身决定 例如，一个球形的带电导体，由球面的 对称性分析知，电荷在球面上应均匀分 布： ˆ E 内 0， E 外 n 球面 =常数
0
+ + + + + B + + +
E内 E 0 E 0
A +
-
B
+ + +
（2）静电场中有导体存在时，电场的分布和电荷的 分布相互影响、制约，必须满足一定的条件，导体才 能达到静电平衡。
2、静电平衡的条件 P43 导体内部各点场强为零。 导体内处处
E E0 0
A +
-
E
B
E0 + + +
必要性：如果达平衡，则导体内部处处 E 0； 反证法证明：如果 E 0，则在 E 0 的地方必定 于 有自由电荷移动（因自由电荷受力 F q E 0） ，

2
ˆ n
2

3
0


3
（2）在导体内任取一点P（任意的）
3
2 0
E内 P 0 E1 E 2 E 3 E 4 0
ˆ n
2
2 0
ˆ n
4
1
2 0
ˆ n
4
2 0
ˆ n 0
1
如果P点在导体外，如图中的P'点，则
3 E P
可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷 面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个 关系始终成立。
ˆ ③ E n中 的 E 是场中全部电荷贡献的合场强，
0
并非只是高斯面内电荷 S 的贡献。
④ 一般不谈导体表面上的点的场强
导体内部 E 0， 表面外附近 E ˆ 没提表面上的。 n； 0
二 静电平衡 1、静电平衡状态 定义：当导体中的自由电子不作宏观运动（没有电
流）时，就说导体处在静电平衡的状态。
一个电中性的导体，在周围没有带电体时，它的 内部及表面上净电荷的体密度为零，从而内部各点场 强为零，这是一种最简单的静电平衡状态（如一个孤 立的导体B）。
注意：（1）导体的静电平衡状 态是相对的，可以由于外部条件 的变化而受到破坏，但在新的条 件下又将达到新的平衡状态。如 在孤立导体B附近放一带电体A （如图）。
2
0
0
如果P点在导体外，如图中的P''点，则
E P
4
0

1 0
P53 例1，P54 例2： 自学。 习题： 2.1.1； 2.1.4
F qE SE
ˆቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
P P'
S ( )
E 是除 S 上的电荷以外，
其余电荷在面元处所产生的 P、P'无限接近表面 电场。 在所取面元 S 附近取两点P、P′，则
ˆ EP n， E P 0 （ 指 总 场 强 ）
0
（1）对图中的P点， E P E S E
VA VB

B A
E dl 0
∴
VA VB
而A、B是任意的点，所以导体处于静电平衡时，导 体内部各点和表面各点的电势均相等，即导体为等势 体，表面为等势面。 （2）导体内部没有电荷，电荷只能分布在表面上。 在导体内任取一点A，围绕A点 作 E内 0 一高斯面，高斯面上任一点 E 0。 B 由高斯定理得面内q =0，即内部无净 A 电荷，电荷体密度 0， 所以电荷 只能分布在表面上。 注意：上述证明方法不适用于表面上的点，如B点， 绕B点作高斯面，面作得再小也有一部分在导体外，此 时面上不一定处处 E 0。 当然q不一定为零。实际上， 导体内部q =0，则电荷必分布在表面，即 表 面 0。