2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(21)

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2020-2021青岛青大附中高三数学下期末第一次模拟试卷附答案

2020-2021青岛青大附中高三数学下期末第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2yx =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 2．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（） A ．14- B ．14C ．23-D ．233．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．如图所示的组合体，其结构特征是（）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的5．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组C ．8组D ．7组6．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（） A ．-1B ．1C ．2D ．4 7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=ru u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.8．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（） A ．1B ．2C ．3D ．49．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（）A ．158B ．162C ．182D ．32410．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（） A 3B ．2C 6D 511．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（）A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．15．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．16．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.17．已知向量a r与b r的夹角为60°，|a r|=2，|b r|=1，则|a r+2 b r|= ______ . 18．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________. 20．()sin 5013tan10+=oo________________.三、解答题21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.22．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.23．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．24．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.25．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值；（2）证明：2()1xf x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈） 26．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-. （1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】由题意得在线性回归方程$ˆy bxa =+$中 1.23b =$，然后根据回归方程过样本点的中心得到$a的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程$ˆy bxa =+$中，由题意得 1.23b =$， ∴$1.23ˆy x a=+．又回归直线过样本点的中心()4,5，∴$5 1.234a=⨯+， ∴$0.08a=， ∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+．故选A ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.3．A解析：A 【解析】试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系4．D解析：D 【解析】【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．B解析：B 【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.6．C解析：C 【解析】【分析】由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值．【详解】由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），所以11tan tan tantan tan αβαβαβ++==-（），即1tan tan tan tan αβαβ+=-，则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（）．故选C ．【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.7．C解析：C 【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。

2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P （4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．2.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（2，3）， b ⃗⃗ =（3，2），则| a ⃗ −b ⃗⃗ |=___ ．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ．6.（填空题，4分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，则S 7=___ ．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB 的长度，工程人员测得隧道两端的A ，B 两点到C 点的距离分别为AC=3km ，BC=4km ，且∠ACB=60°，则隧道AB 长度为 ___ km ．8.（填空题，4分）若 π2 ≤α≤3π2 ，且sin （2 α+π6 ）= 12 ，则α=___ ．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．11.（填空题，4分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值组成的集合为 ___ ． 12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x 的解的集合是___ ．13.（填空题，4分）已知复数Z n =a n +b n i （a n 、b n ∈R ），满足Z 1=1，Z n+1= Z n +1+2i （n∈N*），其中i 为虚数单位， Z n 表示Z n 的共轭复数，则Z 100=___ ．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 15.（单选题，4分）设复数z=a+bi （其中a 、b∈R ，i 为虚数单位），则“a=0”是“z 为纯虚数”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，4分）已知单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √3 ，则 a ⃗ • b ⃗⃗ =（） A.- 12 B.-2 C. 12 D.217.（单选题，4分）设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=3+4i ，则z 1z 2=（） A.-25 B.25 C.7-24i D.-7-24i18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（） A.若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c （a ，b ，c 为常数）则数列{a n }为等差数列 B.若数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2，则数列{a n }为等差数列C.数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等差数列D.数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等比数列19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于 12的个数的最大值是（） A.0 B.1 C.2 D.320.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题，② 是假命题D. ① 是假命题，② 是真命题π，|a⃗|=1，|b⃗⃗|=2．21.（问答题，12分）已知向量a⃗、b⃗⃗的夹角为23（1）求a⃗• b⃗⃗的值（2）若2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，求实数t的值．．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；处取得最大值，且最大值为（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6a3，求函数f（x）的解析式．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P（4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- 35【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】：解：∵P（4，-3）是角α终边上一点，则x=4，y=-3，r=|OP|= √16+9 =5，∴sinα= yr = −35=- 35，故答案为：- 35．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则| a⃗−b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据平面向量的坐标表示与模长公式，计算即可．【解答】：解：向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则a⃗−b⃗⃗ =（-1，1），所以| a⃗−b⃗⃗ |= √(−1)2+12 = √2．故答案为：√2．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与模长计算问题，是基础题．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．【正确答案】：[1]±3【解析】：直接利用等比中项的应用求出结果．【解答】：解：设1与9的等比中项为t ，所以t 2=9，解得t=±3．故答案为：±3【点评】：本题考查的知识要点：等比中项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：将z=a+bi ，代入方程z 2+4i=0，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2，再结合复数的模的公式，即可求解．【解答】：解：∵z=a+bi ，a ，b∈R ，z 2+4i=0， ∴a 2+2abi-b 2+4i=0，∴ {a 2−b 2=02ab +4=0 ，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2， ∴ |z |=√a 2+b 2=2 ．故答案为：2．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：设z=a+bi ，a ，b∈R ，将z 代入方程中，可得 {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ，b =±3√32，再结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解：设z=a+bi ，a ，b∈R ， ∵z 2-3z+9=0，∴a 2-b 2+2abi-3a-3bi+9=0，∴ {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ， b =±3√32 ， ∴ z =32±3√32， ∴ |z |=√(32)2+(±3√32)2=3 ．故答案为：3．【点评】：本题考查了复数模的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（填空题，4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，则S7=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：先由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．【解答】：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7=2a4，则S7= a1+a72×7=7a4=7，故答案为7．【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC=3km，BC=4km，且∠ACB=60°，则隧道AB长度为___ km．【正确答案】：[1] √13【解析】：应用利用余弦定理求得AB的长度即可．【解答】：解：由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AC⋅AC⋅cosC=√9+16−2×3×4×12=√13 km．故答案为：√13．【点评】：本题主要考查余弦定理及其应用，属于基础题．8.（填空题，4分）若π2≤α≤3π2，且sin（2 α+π6）= 12，则α=___ ．【正确答案】：[1]π或4π3【解析】：由已知求解α的集合，再由α的范围得答案．【解答】：解：∵sin（2 α+π6）= 12，∴ 2α+π6=π6+2kπ或2α+π6=5π6+2kπ，k∈Z．则α=kπ或α=π3+kπ，k∈Z．又π2≤α≤3π2，∴α=π或α=4π3．故答案为：π或 4π3 ．【点评】：本题考查已知三角函数值求角，是基础的计算题．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】：解：由函数的图象可知，（x 0，y 0）与（x 0+ π4 ，-y 0），纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（x 0+ π4 -x 0）= π2 ，所以T= 2πω= π2，所以ω=4．故答案为：4．【点评】：本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力． 10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：画出图形，判断P 的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可．【解答】：解：建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为2，则B （2，0），C （2，2），D （0，2），点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，所以P （2，1）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1）， PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，1），所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1．故答案为：-1．【点评】：本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．11.（填空题，4分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199=0，设b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{97，98，99，100}【解析】：根据{a n}是等差数列，a1+a2+a3+…+a199=0可得199a100=0，即a100=0，又a1＜0，所以{a n}满足：当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，从而数列{b n}满足：当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，所以S97=S98=S99=S100，所以{b n}的前n项和S n最小时，可知n的值组成的集合，【解答】：解：由{a n}是等差数列且a1+a2+a3+…+a199=0，得199a100=0，解得a100=0，又a1＜0，所以{a n}是首项小于零的递增数列，即当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，又b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），则当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，即S97=S98=S99=S100，所以当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为{97，98，99，100}．故答案为：{97，98，99，100}．【点评】：本题主要考查等差数列的性质与前n项和，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x的解的集合是___ ．【正确答案】：[1]{- 14，14}【解析】：讨论x＞0时，方程的右边的最值，再由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，可得方程左边的最值，即可得到所求方程的解集．【解答】：解：当x＞0时，16x+ 1x ≥2 √16x•1x=8，当且仅当x= 14时，取得等号；而16sinπxcosπx=8sin2πx≤8，当且仅当2πx=2kπ+ π2，即x=k+ 14，k∈Z，于是，当x＞0时，有且只有一个实数解x= 14，由于y=16sinπxcosπx-16x- 1x为奇函数，可得x=- 14也是方程y=0的一个解，则原方程的解集为{- 14，14}，故答案为：{- 14，14}．【点评】：本题考查方程的解的集合，注意运用基本不等式和正弦函数的值域，考查函数的奇偶性的运用，考查运算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）已知复数Z n=a n+b n i（a n、b n∈R），满足Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，Z n表示Z n的共轭复数，则Z100=___ ．【正确答案】：[1]100+2i【解析】：先求出Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，结合Z n+1=a n+1+b n+1i，得到a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，由等差数列的定义和通项公式求出a n=n，由周期性求出b100，即可得到答案．【解答】：解：因为Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i，则Z2=a2+b2i= Z1+1+2i=2+2i，所以a1=1，a2=2，b1=0，b2=2，则Z n=a n−b n i，所以Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，又Z n=a n+b n i，则Z n+1=a n+1+b n+1i，所以a n+1=a n+1，b n+1=2-b n，故a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n=n，故a 100=100，因为b 1=0，b 2=2，所以b 3=0，b 4=2，•••，b 100=2，则Z 100=a 100+b 100i=100+2i ．故答案为：100+2i ．【点评】：本题考查了复数与数列的综合应用，等差数列定义以及通项公式的运用，递推数列的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-7【解析】：建立坐标系，根据 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为（a ，-2），（-a ，2），将 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值．【解答】：解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系，则B （2，-2），C （2，2），∴2 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1-2λ）即P 点坐标为（1，1-2λ），设M （a ，-2），则N （-a ，2），-2≤a≤2， ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1，2λ-3）， PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-a-1，2λ+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a 2+4λ2-4λ-3，当a=±2且λ=- −42×4 = 12 时， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值-7．故答案为：-7．【点评】：本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.（单选题，4分）设复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a=0”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据复数的概念可得当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．【解答】：解：复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，则“a=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，故选：B．【点评】：本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．16.（单选题，4分）已知单位向量a⃗，b⃗⃗满足| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，则a⃗• b⃗⃗ =（）A.- 12B.-2C. 12D.2【正确答案】：C【解析】：由已知结合向量数量积的性质即可直接求解．【解答】：解：因为| a⃗ |=| b⃗⃗ |=1，| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，两边同时平方得，b⃗⃗2+4a⃗2−4a⃗•b⃗⃗ =3，．故a⃗•b⃗⃗ = 12故选：C．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质，属于基础题．17.（单选题，4分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i，则z1z2=（）A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i【正确答案】：A【解析】：由已知求得z2，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解z1z2的值．【解答】：解：由复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3+4i，得z2=-3+4i，∴z1z2=（3+4i）（-3+4i）=（4i）2-32=-16-9=-25．故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）A.若数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{a n}为等差数列B.若数列{a n}的前n项和S n=2n+1-2，则数列{a n}为等差数列C.数列{a n}是等差数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等差数列D.数列{a n}是等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列【正确答案】：C【解析】：A、B选项利用和与项之间的关系求出前3项，通过前3项的规律来判断；C、D选项为等差等比数列的片段和性质．也可以通过等差等比数列的前n项和的函数性质进行判断．【解答】：解：A选项，a1=S1=a+b+c，a2=S2-S1=3a+b，a3=S3-S2=5a+b，当c≠0时，a3-a2≠a2-a1，故A选项说法错误．B选项，a1=S1=2，a2=S2-S1=4，a3=S3-S2=8，a1，a2，a3不成等差数列，所以B选项说法错误．D选项，若a n=(−1)n，则当n为偶数时，S n=0，所以S n，S2n-S n，S3n-S2n，⋯不成等比数列，所以D选项说法错误．C选项，设数列{a n}的公差为d，则（S2n-S n）-S n=（a n+1+⋯+a2n）-（a1+⋯+a n）=（a n+1-a1）+⋯+（a2n-a n）=n2d，同理可得(S(k+1)n−S kn)−(S kn−S(k−1)n)=n2d，所以C选项说法正确．故选：C．【点评】：本题考查数列中和与项之间的关系和等差、等比数列的判断，属于中档题．19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：首先利用基本不等式确定sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可．【解答】：解：由基本不等式可得：sinαcosβ≤sin 2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，三式相加，可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα 不可能均大于12．取α=30°，β=60°，γ=45°，则sinαcosβ=14＜12，sinβcosγ=√64＞12，sinγcosα=√64＞12，则三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．20.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题， ② 是假命题D. ① 是假命题， ② 是真命题【正确答案】：D【解析】：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，满足{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但是不满足c n =sinn 是递增数列，对于 ② 根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】：解：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，∴{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但c n =sinn 不是递增数列，故为假命题，对于 ② {a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，不妨设公差为分别为a ，b ，c ， ∴a n +b n -a n-1-b n-1=a ，b n +c n -b n-1-c n-1=b ，a n +c n -a n-1-c n-1=c ，设{a n }，{b n }、{c n }的公差为x ，y ，z ， ∴ {x +y =a y +z =b z +x =c 则x=a−b+c 2 ，y= a+b−c 2 ，z= b+c−a2，故若{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，则{a n }、{b n }、{c n }都是等差数列，故为真命题，故选：D ．【点评】：本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题． 21.（问答题，12分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 的夹角为 23π，|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2 ．（1）求 a ⃗ • b⃗⃗ 的值（2）若 2a ⃗−b ⃗⃗ 和 ta ⃗+b ⃗⃗ 垂直，求实数t 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积公式直接求解得答案；（2）依题意， (2a ⃗−b ⃗⃗)(ta ⃗+b ⃗⃗)=0 ，展开即可求得实数t 的值．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗=|a⃗||b⃗⃗|cos2π3=1×2×(−12)=−1；（2）∵ 2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，∴ (2a⃗−b⃗⃗)•(ta⃗+b⃗⃗)=0，即2ta⃗2+(2−t)a⃗•b⃗⃗−b⃗⃗2=0，∴2t-（2-t）-4=0，∴t=2．【点评】：本题考查平面向量的数量积及两向量垂直的关系，属于基础题．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3= 133，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把x=π6代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】：解：（Ⅰ）由q=3，S3= 133得：a1(1−33)1−3= 133，解得a1= 13，所以a n= 13×3n-1=3n-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n-2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x= π6时，f（x）取得最大值，所以sin（2× π6+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ= π6．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+ π6）．【点评】：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【正确答案】：【解析】：（1）首先由正弦定理求得正弦值，然后结合大边对大角即可确定∠ABC的大小；（2）首先利用（1）的结合结合同角三角函数基本关系求得cos∠ABC的大小，然后结合余弦定理即可求得甲乙两船之间的距离．【解答】：解：（1）根据题意知，AC=24，BC=31，∠CAD=20°+40°=60°，在△ABC中，由正弦定理得，24sin∠ABC =31sin60°．解得sin∠ABC=12√331，由AC＜BC，知∠ABC为锐角，则∠ABC=arcsin12√331．（2）cos∠ABC=√1−sin2∠ABC=2331，在△BCD中，由余弦定理得，CD=√312+202−2×31×20×2331=21（海里），所以，此时甲、乙两船之间的距为21海里．【点评】：本题主要考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，解三角形的实际应用等知识，属于中等题．24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．【正确答案】：【解析】：（1）由于z1，z2是方程3x2-2x+c=0的两个复数根故z1= z2，求出θ，再根据根与系数的关系可求出m，n．（2）直接求出|z1• z2 |的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可．【解答】：解：（1）复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根，所以z1= z2，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以{2cosθ=1 sinθ=sinθ，所以cosθ= 12．m=-z1-z2=-（z1+z2）=-2cosθ-1=-2．n=z1•z2=1+sin2θ= 74．（2）|z1• z2 |=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）| =|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|= √(1+3cos2θ)(1+sin2θ)= √2+2cos2θ+34sin22θ= √3+cos2θ+34−34cos22θ= √154+cos2θ−34cos22θ= √4912−34(cos2θ−13)2∈ [√2，7√36]．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．【正确答案】：【解析】：（1）当k=1时，a n-1+a n+1=2a n，数列{a n}为等差数列，根据条件，由等差数列前n项公式求得即可；（2）当k=2时，a n+2+a n-2=2a n，由条件得a5，a6，由数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式可得所求和；（3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合．【解答】：解：（1）若数列{a n}为1级等差数列，即为a n+1+a n-1=2a n对一切n∈N*，n＞1都成立．则数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1=1，a3=9，可得d= a3−a13−1 = 9−13−1=4，则S n=n+ 12n（n-1）•4=2n2-n；（2）数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得a n+2+a n-2=2a n对一切n∈N*，n＞2都成立．a5=2a3-a1=8-2=6，a6=2a4-a2=6-0=6，a7=2a5-a3=12-4=8，…，可得数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=2n+ 12 n（n-1）•2+ 12n（n-1）•3= 52 n2- 12n；（3）∵{a n}是3级等差数列，∴a n+3+a n-3=2a n，对一切n∈N*，n＞3都成立．即2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n-3）+sin（ωn-3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．，（k∈Z），cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴ω= 2kπ3∴ω∈{ω|ω= 2kπ，k∈Z}∪{ω|ω=kπ，k∈Z}．3【点评】：本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．。

2020-2021高三数学下期末试题附答案(18)

2020-2021高三数学下期末试题附答案(18)一、选择题1．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（） A ．-1B ．1C ．2D ．3 2．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③3．已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 4．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．35．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（） A ．-1 B ．1C ．2D ．4 6．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1.那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k 3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++ 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立.则上述证法（）A ．过程全部正确B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确7．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2511．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30°C ．45︒D ．15︒12．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上（） A ．是减函数，有最小值0B ．是增函数，有最小值0C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值0二、填空题13．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．15．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________16．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.17．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________． 20．函数y=232x x --的定义域是 .三、解答题21．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．22．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值.24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2n n n a C n b *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N L 25．已知(3cos ,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r . （1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.26．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ，所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.3．D解析：D【解析】【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--r r ，由a b λ+r r 与a r 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=-r r r 考点：向量垂直与坐标运算4．C解析：C【解析】函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C5．C解析：C【解析】【分析】由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值．【详解】由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），所以11tan tan tan tan tan αβαβαβ++==-（），即1tan tan tan tan αβαβ+=-，则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（）．故选C ．【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.6．D解析：D【解析】【分析】【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设n k = 1k <+ (1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ．点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.7．A解析：A【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.8．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．A解析：A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．11．C解析：C【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.12．D解析：D【解析】【分析】【详解】因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0，所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.二、填空题13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题解析：22y x =±【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1223a c =⨯，再据222c a b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．【详解】 ∵双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距， ∴1223a c =⨯，3c a =，又222c ab =+，∴22b a = ∴渐近线方程是22b y x x a =±=±，故答案为22y x =±．【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±属于基础题．14．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线解析：6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322z y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322z y x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322z y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)， ∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的纵截距z b的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值． 15．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．16．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考解析：4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ． ∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令解析：22(2)10x y -+=. 【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画解析：画画【解析】以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步，则D 在画画，故答案为画画19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：2,3)【解析】【分析】【详解】因为ABC ∆为锐角三角形，所以02202B A A B πππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以0463A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64A ππ∈，所以sin 2cos sin b B A a A==，所以(2,3)ba ∈. 20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域三、解答题21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35．【解析】【分析】（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数．（Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．【详解】（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为2640026040⨯=人；（Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2615n C ==种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：2426315C P C =-=．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 22．（1）4A π=；（2【解析】【分析】（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理即可得结果. 【详解】（1）∵cos C =，∴sin C ===. 由正弦定理sin sin a c A C==.得sin A =cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角，故4A π=.（2）∵()B A C π=-+，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+⎛=+= ⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b a B A==得b = 在ACD ∆中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅⋅242222=+-⨯=，∴CD =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.23．（1）()2239x y -+=（2）【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +．详解：（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=，即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以又因为（2，1）为直线所过定点，1212PA PB t t t t ∴+=+=-==≥=所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】【分析】(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=L L .【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 25．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()23sin cos cos f x a b x x x =⋅=+r r 3111sin2cos2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈）所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+（k Z ∈）解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 26．（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）【解析】【分析】【详解】（1）为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当时，，故的普通方程为，到的距离所以当时，取得最小值.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.。

2020-2021高三数学下期中试卷含答案(21)

2020-2021高三数学下期中试卷含答案(21)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2C ．2D ．223．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 4．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（） A ．78B ．18C ．78-D ．18-7．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（）A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40368．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或59．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（）A ．2B ．4C ．16D ．810．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111aa a ++⋯+=（） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202011．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71012．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（）A ．2B ．92C ．143D ．5二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 15．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当42b =2a c =，ABC ∆的面积为______.16．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．17．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.18．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .三、解答题21．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }；（2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .23．已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 24．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．25．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以2q =，故21222a a q ===，故选D. 3．C解析：C 【解析】【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键4．D解析：D 【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++，设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32，由3 122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D的直线经过()3,0B a时，直线的斜率k最小，此时011314ka+==+，得314a+=，得1a=.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【解析】【分析】利用三角形面积公式可得2tan1acsinB223tan2bc c BB+=+，结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA1-=，从而得到角A.【详解】∵2tan23tan2bc c BSB+=+∴2tan1acsinB223tan2bc c BB+=+即c tanasinB a3tan13sinb BB B cosB+==++()3sinAsin B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B+=+=++3sinA cosA1-=∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．6．C解析：C 【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=，那么27cos2218A cos A =-=-．故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-，由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >，所以n S 取最大值时的n 为5，故选B ．9．D解析：D 【解析】【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8．故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．10．B解析：B 【解析】【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，即有n≥2时，a n-a n-1=n，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+…+n=12n（n+1），1n=也满足上式1na=()21n n+=2（1n-11n+），则122019111a a a++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020）=2（1-12020）=20191010．故选:B．【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．11．B解析：B【解析】试题分析：如下图：由已知，在ABC∆中，105,45,56ABC ACB BC∠=∠==o o,从而可得：30BAC∠=o 由正弦定理，得：56sin45sin30AB=o o，103AB∴=那么在Rt ADB∆中，60ABD o∠=,3sin6010315AD AB∴===o，即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）.故选B．考点：解三角形在实际问题中的应用．12．B解析：B【解析】【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值．【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…，所以，14912x y ++…，当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92，故选B ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】【分析】先求出sin C =c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且A为锐角，则cos 3A =，故sin 3C =.由正弦定理可得sin sin a c A C =，故3sin 31sin 3a Cc A=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故297223b b =+-⨯即7b =或9b =，因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立解析：(,1]-∞-【解析】【分析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n an ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围．【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++，即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n nn n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-，故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 15．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正解析：7【解析】【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-，所以()2sin 3sin cos B C A B +=，在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =，又0B π<<，所以sin B == 由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =.故ABC ∆的面积为2219696sin sin sin 277S ac B c B c B ======. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax2等价于其中且有故有不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二次方程的解法解析：2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<，不等式的解集为22x a a<<+-，所以11422a <<+解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374a a ≥≤，解得2549916a ≤≤. 考点：含参数的一元二次方程的解法.17．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：31【解析】【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()221133331212311t t x x t t x t t t-+-+++==+-⋅=+≥，当且仅当3t =31x =时，等号成立.故答案为：31．【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】解析：3【解析】【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=，由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，22222262x x=2221238x c a =+-， ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥，故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤，所以3AB BC +的最大值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公解析：63n a n =-【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.20．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行解析：4[,13]5【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22xy+的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.三、解答题21．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】【分析】（1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nnn a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n nn n a =⋅, 所以1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ,则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n nT n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,所以()132134n n n T ++-⋅=【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 22．（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=.则a n 14=⋅（12）n ﹣111()2n +=；（2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+，c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦，则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ]2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）24222n n n n n S +++=-.【解析】试题分析：（1）对121n n n a a a +=+两边取倒数得111111222n n n na a a a ++==+⋅，化简得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.，求得1112nn a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和24222n n n n n S +++=-.试题解析：（1）111211111111,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭Q ，又 11211,132a a =∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即1112n n a =+，设23123 (2222)n n nT =++++， ①则2311121 (22222)n n n n nT +-=++++， ② 由①-②得 21111111111122 (112222222212)nn n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222nn n n T -∴=--.又()1123 (2)n n n +++++=.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-.考点：配凑法求通项，错位相减法.24．（1）AC =2）BD =【解析】【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB 35=，进而可求cos∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cosφ=，sinφ=，从而可求BD 的值．【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，得214BD θ=-，又cos 5θ=-，∴BD = ∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin θ===由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠得：32sin ADB=∠，解得：3sin 5ADB ∠=， ∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2θθ=+⨯-)()157sin 2cos 7sin22θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cosθ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos θ=AC 百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．25．(1) 120.C =o（2【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=Q ，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=ooo 即（2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++o又10,2,sin 2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆26．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2+. 【解析】分析：（12sin cos B B A =．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．。

2020-2021高三数学下期末试卷附答案(1)

2020-2021高三数学下期末试卷附答案(1)一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．B ．C ．D ．2．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙5．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（） A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+6．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（） A 310B ．31010-C 433-D 343-7．已知非零向量a b r r，满足2a b r r =，且ba b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3 D ．5π68．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞U10．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（） A ．1318B ．322C ．1322D ．31811．已知,a b r r是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 12．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（）A ．12BCD二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．17．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r=______．20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.24．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．26．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续．故选C ．本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．B解析：B【解析】试题分析：22(1i)1i,1i 1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.4．A解析：A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．5．D解析：D【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D 【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为0cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=，故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.7．B解析：B 【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8．A解析：A 【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A ．9．C解析：C 【解析】【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)x g x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.10．B解析：B 【解析】【分析】由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可【详解】由题,()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭,故选：B 【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题11．B解析：B 【解析】【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅rrrr ，代入夹角公式即可.【详解】设,a b rr 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥r r r，(2)b a b -⊥，所以222a b a b ==⋅r r r r ，则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=r rr r r r 故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r . 12．A解析：A 【解析】【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(1,0)(1,)-??【解析】【分析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析：8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.17．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间解析：6π-. 【解析】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.18．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答解析：2 【解析】【分析】过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1AD AB 12==，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1cos A AC=，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅u u u v u u u v的值．【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．Rt △ACD 中，1AD AB 12==，可得cosA=11,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC=∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v =2．故答案为2 【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a qL L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用三、解答题21．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()114123312n n n n +++---+⋅【解析】【分析】【详解】（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得2nn a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L错位相减得12111222222212nn n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L所以其前n 项和()1122n n S n +=-+；（3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n n n n n n n n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．120o C =,c = 【解析】试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o （2）由题意得{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o =()(2222210a b ab a b ab ++=+-=-=∴AB =考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8. 【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求. 【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0． (2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩,∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.24．（1）340x y -+=；（2）5【解析】【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解．（2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，，所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线A B=r ．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2) 211b e -≤【解析】【分析】【详解】分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2⇔1+1x﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x﹣lnxx ，g （x ）min 即为所求的b 的值详解：（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x a=，在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1+xb x x-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，令()1ln 1x g x x x=+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=，易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()()22min 11g x g ee ==-，即211b e-≤. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x > 26．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13；(Ⅲ)3．【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得113226MNcos DMN DM ∠==．则异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为13．（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．计算可得34CM sin CDM CD ∠==．即直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DM 22=13AD AM +AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ．在Rt △DAN 中，AN =1，故DN 22=13AD AN +．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得1132cos MNDMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD 13．（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 3ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD 22AC AD +．在Rt △CMD 中，sin CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为4．点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．。

2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(11)

2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(11) 一、选择题 1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的

概率是( )

A．310 B．25 C．12 D．

2．若43iz，则zz（）

A．1 B．1 C．4355i D．

55i

3．已知函数sinfxAx0,0A的图象与直线0yaaA的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则fx的单调递减区间是（） A．6,63kk，kZ B．63,6kk，

kZ

C．6,63kk，kZ D．63,6kk，

kZ

4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，事件B为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A|B)P

等于（）

A．49 B．29 C．12 D．

5．设i为虚数单位，复数z满足21iiz，则复数z的共轭复数等于（） A．1-i B．-1-i C．1+i D．

-1+i

6．若是ABC的一个内角，且1sinθcosθ8=-，则sincos的值为（）

A．32 B．32 C．52 D．

7．圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（） A．2 B．3 C．22 D．

8．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线3x对称的函数是（）

A．2sin23yx B．

2sin26yx





C．2sin23xy D．

2sin23yx





9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为 A．1220 B．

2020-2021高三数学下期中试卷及答案(21)

2020-2021高三数学下期中试卷及答案(21)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =- D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数2．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．3．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．564．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（）A ．16-B ．16C ．31D ．325．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102006．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．167．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n-- D ．()32143n -- 9．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()22234S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．911．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．2412．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.18．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______．三、解答题21．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.22．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25cos 5C ∠=点D 是AB 的中点, 求（1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长23．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，7c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值．24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 31cos a Cc A=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积43ABC S ∆=a 的值. 25．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.26．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.2．D解析：D 【解析】【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.3．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 4．B解析：B 【解析】【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.5．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.6．A解析：A 【解析】【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴=291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.7．A解析：A 【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．8．D解析：D 【解析】先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．D解析：D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10．C解析：C因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 11．C解析：C 【解析】【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

2020-2021石家庄市一中实验学校高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)

2020-2021石家庄市一中实验学校高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．2．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（）A ．536B ．29C ．16D ．193．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 4．下列四个命题中，正确命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈；④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30°C ．45︒D ．15︒6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（）A ．53 B ．35 C ．37D ．57 7．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b ==- D ．1,1a b =-=-8．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 9．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒>B ．22a b a b >⇒>C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒> 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（） A ．513x <<B ．135x <<C ．25x <<D ．55x << 11．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．15．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．17．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.18．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 19．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是20．()sin 5013=o o ________________.三、解答题21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141t xttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110ρθρθ++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；()2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．23．设()34f x x x=-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x=-的定义域；（Ⅱ）若存在实数x满足()1f x ax≤-，试求实数a的取值范围.24．如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ABE60∠=︒，G为BE的中点.(Ⅰ)求证：AG⊥平面ADF；(Ⅱ)求AB3=BC1=，求二面角D CA G--的余弦值.25．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数），直线l2的参数方程为2,,x mmmyk=-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin20lρθθ+=，M为l3与C的交点，求M的极径.26．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，S是11B D的中点，E，F，G分别是BC，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续．故选C ．【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369. 故选D 3．C解析：C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B C a b c==，所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o .所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4．A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A ．5．C解析：C【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.6．A解析：A【解析】由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项. 7．C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为()a i i b i +=+，即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-，故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.8．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．C解析：C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误；选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误；选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题． 10．A解析：A【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得0x <<x 的取值范x << A.考点：余弦定理.11．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ，所以所求平均数为 ()121012101210121012020202a a a b b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L 考点：样本平均数12．C解析：C因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴= 所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B .详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===,因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实解析：(]2,3【解析】【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 15．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查解析：80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。

2020-2021青岛市高三数学下期末一模试题带答案

（1）当 a 1时，解不等式 f (x) 2x 3 ；
（2）若关于 x 的不等式 f (x) 4 2 x a 有解，求实数 a 的取值范围.
25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
=0，所以
a
b
2
b
，所以
cos =
ab ab
| b |2 2 | b |2
1 2
，所以
a
与
b
的夹角为
3
，故选
B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹
角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ] ． 7．B
解析：B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】【分析】
先通过数列性质判断 a6 0 ，再通过数列的正负判断 Sn 的最小值.
【详解】
∵等差数列an中， a3 a9 0 ，∴ a3 a9 2a6 0 ，即 a6 0 .又 a7 0 ，∴an 的
前 n 项和 Sn 的最小值为 S6 .
故答案选 C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将 Sn 的最小值转化为 an 的正负关系是解题的关键.
2．A
解析：A 【解析】【分析】
由正弦定理求出 c ，
【详解】
A 是三角形内角， tan A 1 ，∴ sin A 10 ，
3

人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)

故选：B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）且；
（3）且为等差数列；
（4）为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，所以，即，
又因为为的内角，
所以．
解得，，
，；
（2），
，
又，由题得，即，
，即
由题知且，故，
故，
故只需考虑，时，时，时，
17.（10分）已知中，点 .
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量， .
（1）若，其中，求坐标；
（2）若与的夹角为，求的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】，
，等号成立时， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

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2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(21) 一、选择题 1．已知在ABCV中，::3:2:4sinAsinBsinC，那么cosC的值为（）

A．14 B．14 C．23 D．

3 2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x 1.99 3 4 5.1 6.12

y 1.5 4.04 7.5 12 18.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A．22yx B．1()2xy C．2ylogx D．

2

12yx

3．已知二面角l的大小为60°，b和c是两条异面直线，且,bc，则b与c所成的角的大小为（）

A．120° B．90° C．60° D．

30°

4．62111xx展开式中2x的系数为（） A．15 B．20 C．30 D．

5．已知平面向量ar=（1，－3），br=（4，－2），abrr与ar垂直，则是（）

A．2 B．1 C．－2 D．－1 6．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．

20ix

7．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）

A．34 B．

6 C．1112 D．

8．若,vv是一组基底,向量v=xuv+yuv (x,y∈R),则称(x,y)为向量v在基底uv,uv下的坐标,现已知向量uv在基底puv=(1,-1), qv=(2,1)下的坐标为(-2,2),则uv在另一组基底m

uv=(-1,1),

nv=(1,2)下的坐标为( )

A．(2,0) B．(0,-2) C．(-2,0) D．

(0,2)

9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为

A．1220 B．

C．2125 D．

220

10．已知当m，[1n，1)时，33sinsin22mnnm，则以下判断正确的是( ) A．mn B．

||||mn

C．mn D．m与n的大小关系不确定

11．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式VSh柱体，其中S是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）

A．158 B．

162

C．182 D．

324

12．已知P为双曲线2222:1(0,0)xyCabab上一点，12FF，为双曲线C的左、右焦点，若112PFFF，且直线2PF与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）

A．43yx B．34yx=? C．35yx D．

3yx

二、填空题 13．若不等式|3|4xb的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是

14．事件,,ABC为独立事件，若111,,688PABPBCPABC，则PB_____．

15．已知函数()sin([0,])fxxx和函数1()tan2gxx的图象交于,,ABC三点，则ABC的面积为__________．

16．若x，y满足约束条件xy102xy10x0，则xzy2的最小值为______． 17．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= _________ ． 18．已知四棱锥SABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于_________.

19．34331654+loglog8145________. 20．设 为第四象限角，且sin3sin＝135，则 2tan＝ ________. 三、解答题 21．已知()lnxefxaxaxx.

（1）若0a，讨论函数()fx的单调性；（2）当1a时，若不等式1()()0xfxbxbexx在[1,)上恒成立，求b的取值范围． 22．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDPo. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APDo，求二面角A−PB−C的余弦值. 23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行

统计，得到频率分布直方图如下： (1)已知抽取的100个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分

钟，现从使用A未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率； (2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；

(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订

餐，你会选择哪款？

24．已知函数2fxx2a1x2alnx(a0)． 1求fx的单调区间；

2若fx0在区间1,e上恒成立，求实数a的取值范围．

25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；

已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望． 26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDPV，要求,AB均在线段MN上，,CD均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形ABCD和CDPV的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】【详解】 ::sin:sin:sin3:2:4abcABC ，不妨设3,2,4akbkck，,

则2223241cos2324kkkCkk ，选A. 2．D 解析：D 【解析】【分析】根据,xy的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】根据实验数据可以得出，x近似增加一个单位时，y的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较

接近2112yx，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养. 3．C 解析：C 【解析】【分析】 ,bc，直线,bc的方向向量,bcrr分别是平面,的法向量，根据二面角与法向量

的关系，即可求解. 【详解】设直线,bc的方向向量,bcrr，,bc，所以,bcrr分别是平面,的法向量，二面角l的大小为60°， ,bcrr的夹角为060或0120，

因为异面直线所的角为锐角或直角，所以b与c所成的角为060.

故选:C. 【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题. 4．C 解析：C 【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x的系数. 【详解】