第七章Fourier变换1
f(t)=1的傅里叶变换过程
f(t)=1的傅里叶变换过程傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数表示为不同频率的正弦波的叠加。
在这里，我们考虑一个函数 f(t) = 1。
这个函数表示一个恒定的振幅为1的信号。
我们将对这个函数进行傅里叶变换，以了解它在频域中的表示。
傅里叶变换的定义是:F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω) 是频域中的函数，ω是角频率，e 是自然对数的底。
对于我们的函数 f(t) = 1，我们可以将这个函数带入傅里叶变换的定义中：F(ω) = ∫[1 * e^(-iωt)] dt在这个特殊的例子中，这个积分非常简单。
由于 f(t) = 1 是一个常数，我们可以将其提到积分之外：F(ω) = 1 * ∫[e^(-iωt)] dt这个积分是一个标准的傅里叶变换的形式，我们可以使用傅里叶变换表格或计算工具来求解它。
根据傅里叶变换的性质，我们知道 e^(-i ωt) 的傅里叶变换是一个脉冲函数，其频谱在ω处具有幅度为1的峰值。
因此，我们可以得出结论，对于函数 f(t) = 1，其傅里叶变换 F(ω) 是一个具有频谱在ω处具有幅度为1的脉冲函数。
这个结果在实际应用中具有重要意义。
例如，在信号处理领域，傅里叶变换可以帮助我们将一个信号分解成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
对于常数信号，傅里叶变换告诉我们，它在频域中只有一个频率成分，且幅度为1。
总结起来，对于函数 f(t) = 1，其傅里叶变换是一个在频域中具有幅度为1的脉冲函数。
这个结果不仅在理论上有意义，也在实际应用中有重要的应用。
傅里叶变换为我们理解和处理信号提供了强大的工具。
拉普拉斯变换 (1)
• 7.1 拉普拉斯变换的概念和存在定理 • 7.2 逆变换的计算和位移性质 • 7.3 拉普拉斯变换的微分性质与积分 性质及其应用
§ 7.1 拉普拉斯（Laplace）变换的 概念和存在定理
1.定义
place变换存在定理
和象函数的微分性质
1. Laplace变换的概念
-
(t t0 ) f ( n) (t )dt.
ℒ (t )
(t )
( n)
(t )e dt (t )(s)e st dt s.
ℒ
s
n
place变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函 f (t )满足 数 如下 两个 条件 ：
1
n
I F ( s )e st ds 0, ( t 0). C R*
n
k 1
1 i 2)当t 0时， f ( t ) F ( s )e st ds 0. 2i i
推论：
若函数 F ( s)为有理真分式，则定理
例1. 计算下式.
ℒ
1
1 1 s s e 2i
1 s ( t 1 ) i se ds u(t 1).
i
u (t )
ℒ
1 , (Re(s ) 0). s
place变换的延迟性质
设： f (t ) u(t ) f (t )
对任意 t0 0时
积分 , t 0).
定义1：
F (s )
0
f (t )e st dt为f (t )的拉普拉斯 ( Laplace)变换;
(t+1)u(t+1)的傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier transform）是一种重要的数学工具，它可以将一个函数在不同频率上的振幅和相位信息分解出来。
对于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域来说，傅里叶变换都具有非常重要的意义。
在本篇文章中，我将以(t+1)u(t+1)的傅里叶变换为主题，探讨它在信号处理中的应用，并共享一些个人观点和理解。
一、基本概念介绍(t+1)u(t+1)是一个单位阶跃函数，表示在时刻t=0时从0跃升到1的函数。
傅里叶变换可以将这样一个时域函数转换为频域函数，从而揭示其包含的频率成分。
在傅里叶变换中，频率的表示通常用复数指数形式，即e^(-iωt)，其中ω为频率。
二、时域与频域的关系通过对(t+1)u(t+1)进行傅里叶变换，可以得到其在频域上的表示。
这个表示将告诉我们(t+1)u(t+1) 同种含有哪些频率成分，并且给出了它们的振幅和相位信息。
这对于信号处理来说非常重要，因为通过对不同频率成分的分析，我们可以更好地理解信号的特性，例如频谱宽度、频谱分布等。
三、应用举例在实际工程中，(t+1)u(t+1)的傅里叶变换在很多地方都有应用。
比如在通信系统中，我们可以通过分析信号的频率成分来设计滤波器，提取出我们需要的信息。
又比如在图像处理中，傅里叶变换也可以帮助我们对图像进行频域滤波，提取出图像中的特定模式和结构。
四、个人观点与理解对我来说，(t+1)u(t+1)的傅里叶变换代表着信号处理中的一种重要手段。
它将时域信号转换为频域表示，让我们能够更清晰地看到信号的频率特性。
通过对频率成分的分析，我们可以更好地理解信号的特点，并且更好地处理信号，提取我们需要的信息。
总结回顾通过本篇文章的探讨，我们了解了(t+1)u(t+1)的傅里叶变换在信号处理中的重要意义，以及其在不同领域的应用。
通过傅里叶变换，我们能够更好地理解信号的频率特性，从而更好地处理信号。
我相信，在未来的工程实践中，对于傅里叶变换的深入理解将会给我们带来更多的启发与帮助。
复变函数与积分变换
x2
2x ( y 1)2
0
于是有 2x 0
x2 y2 1 0
x 2 y 2 1 2x
x0
x2 y2 1
(x 1)2 y 2 2
它表示在圆 (x 1)2 y 2 2 外且属于左半平面的所有点的集合
定理一
lim f (z) A a ib
zz0
lim u(x, y) a
x x0 y y0
lim v(x, y) b
x x0 y y0
定理二 lim [ f (z) g(z)] lim f (z) lim g(z)
zz0
zz0
zz0
lim [ f (z)g(z)] lim f (z) lim g(z)
例： 指出不等式
0 arg z i
zi 4
中点z的轨迹所在范围。
解： z i x2 y2 1 i 2x z i x2 ( y 1)2 x2 ( y 1)2
因为 0 arg z i , 所以
zi 4
x2 y2 1 x2 ( y 1)2
i
复变函数
设 D 是复平面内的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值 与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做
w f (z) (z D)
注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合f D所在的复平面称作w平 面
单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。
4
arg(z i) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴
73-利用频率采样法设计FIR滤波器
n 0
N1
(7.1.1)
H(e j ) Hg ()e j()
( )
N 1 2
(7.1.2)
第七章 FIR-DF的设计
H g ( ) H g ( 2 ), N 奇数 H g ( ) H g ( 2 ), N 偶数
在=0~2之间等间隔采样N点，
即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。
第七章 FIR-DF的设计
用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数
设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔采样N点，N≥M，有
X( z ) x ( n ) z n
N1 n 0
X(k) X(z) |
(7.3.4)
令
1 z k ( z) 1 WNk z 1
1 N
N
(7.3.5)
(7.3.6)
则
X ( z ) X (k ) k ( z )
k 0
N 1
式(7.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式， k (z) 称为内插函数。
第七章 FIR-DF的设计
当z e j 时，式(7.3.5)和(7.3.6)就成为x(n)的FT X(e j )
sin( N / 2) j ( N21 ) k ( ) e sin( / 2)
1 N
第七章 FIR-DF的设计 设计条件： 第一类线性相位条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2是 偶对称，即 h(n) h( N n 1)
H(e j ) h(n)e jn
(k )
N 1 k , N
上面公式中kc 是小于等于cN/(2)的最大整数
常见的傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐一介绍一下这些变换对。
一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。
傅里叶级数是将周期信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在频域中的谱线。
当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。
因此，离散傅里叶变换与傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。
二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种高效的计算方法。
它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。
三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号的方法。
与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变换可以对非周期信号进行变换。
CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。
这两种变换方法都是将信号从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周期信号的处理。
四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。
与傅里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号在时间域上不同尺度的局部信息。
小波变换是一种时频分析方法，可以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高分辨率。
傅里叶变换光学课件
相因子判断法
• 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进 而完全确定接收场。
• 但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难， 完全确定屏函数几乎是不可能的。
• 采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。 • 了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改
变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。 • 一般都是在傍轴近似下进行判断。
52
除0级外，全开放 53
振动（电场强度）分布 像平面
4F系统
• 物平面O，变换平面T，像平面I：OTI系统
54
空间频率滤波举例 1. 网格实验
频 谱
像
(a)
(b)
(c)
焦平面 谱面
像面
(d)
55
➢若只让焦平面上的亮点透过在象平面上出现清洁 的光栅图形--其它图形滤掉。 ➢若挡住焦平面上的亮点在象平面上出现消除了光栅 线条的图形。
45
空间滤波
• 空间频率与波的衍射角相关， 可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置
衍射屏或物的空间频率
低通
高通
带通
46
低通
高通
带通
47
阿贝（1874）—波特（1906）空间滤波实验 • 以黑白光栅为物，单色平行光照射 • 在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化
48
像平面 可调光阑
傅氏面
黑白光栅
49
(c)
(d)
61
θ调制
0级
x
1级
光缝
花白 底白 叶白
蓝绿红 蓝绿红 蓝绿红
花
叶
底 红 绿蓝
白
底
蓝绿 红
花 叶
62
相衬显微镜
• 很薄的透明样品，例如生物切片，对光的 吸收很小，因而不同的部分反差较小，在 显微镜下观察，不容易分辨细节。这类样 品，不会引起透射光振幅的改变，所以不 是振幅型的；但由于各处折射率并不相同， 因而透射光的相位会有改变，是相位型的。
f(t)=1的傅里叶变换过程
f(t)=1的傅里叶变换过程
傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域中的表示转换为频域中的表示。
在信号处理和通信领域中，傅里叶变换被广泛应用于信号的分析、滤波和合成等方面。
假设有一个函数f(t)，它的定义域为时间t，取值为1。
我们想要求解这个函数的傅里叶变换F(ω)，其中ω表示频率。
根据傅里叶变换的定义，F(ω)可以通过积分的方式来计算：
F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt
在我们的例子中，f(t)的取值恒为1，因此上述积分可以简化为：
F(ω) = ∫[e^(-iωt)] dt
积分的结果可以通过数学计算得到：
F(ω) = (-i/ω) * [e^(-iωt)]
这就是函数f(t)=1的傅里叶变换结果。
从上述公式可以看出，傅里叶变换将时域中的常数函数转换为频域中的一个复数函数。
这个复数函数的实部和虚部分别与频率ω相关，由于函数f(t)的取值为1，所
以实际上F(ω)是一个常数。
在实际应用中，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，我们可以将时域信号转换为频域信号，从而得到信号在不同频率上的成分。
这对于信号的分析和处理非常有用，例如在音频处理中，可以通过傅里叶变换将声音信号转换为频谱图，从而实现音频的滤波、压缩和特征提取等操作。
总结起来，函数f(t)=1的傅里叶变换结果是一个复数常数，其实部和虚部与频率ω有关。
傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解信号的频谱特性，并进行相应的信号分析和处理。
复变函数第七章_傅里叶变换(2)
§7-2 傅立叶变换的性质注：在下列性质中，设凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件 一、线性性质设F ()[]()ωk k F t f =，k c 是常数(k =1,2,……,n)，则有F ()()()[]()()()ωωωn n n n F c F c F c t f c t f c t f c +++=+++ 22112211 （7-2-1） 即或F ()()()[]()()()t f c t f c t f c F c F c F c n n n n +++=+++- 221122111ωωω (7-2-1)’ 二、位移性质 ： 设F ()[]()ωF t f = ，则有：（1） F ()[]()ωωF e a t f a j ±=± （a 为实数）， (7-2-2)即 F ()[]()a t f F e a j ±=±-ωω1 (7-2-2)’（2） F ()[]()00ωωω F t f etj =± (7-2-3)即 F ()[]()t f eF tj 001ωωω±-= （0ω为实数）(7-2-3)’说明：性质（1）又称为时域上的位移性质。
性质（2）又称为频域上的位移性质。
当 F ()[]()ωF t f =时，由欧拉公式t t e t j ωωωsin cos +=和性质（2）还可得到一个推论：F ()[]()()][21cos 000ωωωωω-++=F F t t f (7-2-4) F ()[]()()][21sin 000ωωωωω--+=F F j t t f (7-2-4)’例1由 F []4/22ωπ--=e e t计算F ()[]2a t e --和F []t e t 2cos 2-。
解：由时域上的位移性质（7-2-2）式得 F [])4/()(22ωωπ----=a j a t ee由频域上的位移性质（7-2-4）式得F []()][22cos 4/24/)2(222--+--+=ωωπe e t et三．微分性质 已知 F ()[]()ωF t f =，若：（1） 若±∞→t 时, 0)(→t f ； （2） )('t f 存在且除有限个间断点外连续。
拉普拉斯变换与傅里叶变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换在数学分析领域里面，拉普拉斯变换（Laplace Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）都是十分常见的概念。
它们在科学、工程等各个领域中都有着广泛的应用，特别是在信号处理和控制理论中。
虽然两种变换的定义和表达式看起来差别不大，但它们的应用场景却略有不同。
接下来，我们将详细探讨这两种变换。
一、傅里叶变换傅里叶变换可以将一个函数从时域转换为频域。
简单来说，傅里叶变换可以将一个函数分解成一系列不同频率的正弦和余弦波形。
傅里叶变换可以表示原始函数的频率成分，因此它是处理周期函数的重要工具，被广泛应用于音频、图像及视频处理等领域。
傅里叶变换的基本公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j \omega t} \mathrm{d} t$$其中，$f(t)$ 是时域上的函数， $F(\omega)$ 是傅里叶变换后得到的频域上的函数，$\omega$ 是角频率。
在实际的应用中，傅里叶变换可以分为离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）两种。
离散傅里叶变换适用于离散的信号和离散的频率，而快速傅里叶变换则是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换可以将一个系统或者信号从时域转化为复域，包括实部和虚部。
虽然从理论上来看，傅里叶变换和拉普拉斯变换都可以将一个函数从时域转换到频域中，但是由于傅里叶变换是基于周期函数的，因此不是所有的函数都适合使用傅里叶变换。
拉普拉斯变换的公式如下：$$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t) e^{-st} \mathrm{d} t$$其中，$f(t)$ 是定义在$0$及多于$0$的函数， $F(s)$是$s$域的变量，$s$是一个复数域。
当$s$对应于滤波器等系统的特征值时，可以用于研究诸如控制系统的动力学行为等问题。
三、拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别从上面的定义和公式可以看到，傅里叶变换和拉普拉斯变换在数学表达方式上有一些差别。