齿轮动力学

（一） 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型

若忽略传动轴的扭转变形，只考虑齿轮副处的变形，则得到最简单的扭转振动模型，如图1所示。其中r b1、r b2为主从动齿轮的基圆直径，k v 为齿轮副的综合啮合刚度，并且考虑齿轮副的啮合阻尼系数c v 以及齿廓误差e 的作用，主动轮上作用与转动方向相同的驱动力矩T 1，从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩T 2

图1 齿轮副的扭转振动模型

啮合线上的综合变形δi 可写为：

1122i b b i r r e δθθ=--

(1)

设重合度小于2，啮合齿对为i ，法向啮合力可以表示为：

()()()

11221122i vi i vi i vi b b i vi b b i i

i

i

F F k c k r r e c r r e δδθθθθ??==+=--+--??∑∑∑&&&& (2)

式中：i 为参与啮合的齿对序号，i =1,2；k vi 、c vi 为齿对i 在啮合点位置的综合啮合刚度

和阻尼系数。

主、从动齿轮的力矩平衡方程为：

12111222

b b J T r F J T r F θθ=-=-&&&& (3)

将(2)带入(1)中得到：

()()

()()

111112211221222112211222

b vi b b i vi b b i i

b vi b b i vi b b i i

J r k r r e c r r e T

J r k r r e c r r e T θθθθθθθθθθ??+--+--=????---+--=-??∑∑&&&&&&&&&& (4)

由此式可看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，由于时变综合刚度k v 的变化，

也会使从动轮的转动出现波动，即造成齿轮的圆周振动。为了方便讨论时变综合刚度k v 对振动方程(4)的影响，定义啮合线上两齿轮的相对位移x 为：

1122b b x r r θθ=- (5)

不考虑齿轮传动的效率，齿轮的静态啮合力为：

12

01

2

b b T T F r r =

=

(6)

将式(5)、(6)带入方程(4)中，则可将其简化为一元微分方程：

e v v d m x c x k x F ++=&&& (7)

式中，m e 称为系统的当量质量：

12

22

2112

e b b J J m J r J r =

+ (8)

激振力为：

0d vi i vi i i

i

F F c e k e =++∑∑&

(9)

根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动，如图2所示。可以看出

时变综合刚度k v 和齿廓误差e i 都是随时间变化的量，也即是齿轮系统的刚度激励和误差激励。

图2 齿轮传动的单自由度模型

与方程(7)对应的系统的固有频率可以表示为：

n f =

= (10)

（二） 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析

在不考虑齿面摩擦的情况下，典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图4所示。

图4 直齿轮齿轮副耦合振动模型

齿轮的动态啮合力F p 为：

()()

p k c m p g p g g g m p g p g g g F F F k y R y R e c y R y R e θθθθ=+=+-+-++-+-&&&&&(12)

推出系统的分析模型为：

p p py p py p p p p P p p

g g gy g gy g g p g g g g g p g g

m y c y k y F I F R T m y c y k y F F I F R T F R T θθ++=-=--++=-=-=--=-&&&&&&&&&&

（三） 考虑摩擦直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析

考虑齿面摩擦时的分析模型，如图5所示。系统变成6自由度的二维平面振动系统。

图5 考虑齿面摩擦的直齿轮齿轮副振动模型

齿轮副的动态啮合力仍为式(12),而齿面摩擦力可近似表示为：

f p F fF λ=

式中，f 为等效摩擦系数；λ为轮齿摩擦力方向系数，F f 沿x 正方向时取为“+1”，反之取为“-1”。

图

6

根据图6可建立系统的分析模型为：

()()tan tan p p px p px p f p p py p py p p

p p P p p f p g g gx g gx g f g g gy g gy g p

g g g g g f g

m x c x k x F m y c y k y F I F R T F R H m x c x k x F m y c y k y F I F R T F R H θβθβ++=++=-=--+-++=-++==--++&&&&&&&&&&&&&&&&

（四） 直齿轮-转子系统扭转振动模型

在对一对齿轮副建模的基础上，再考虑到传动轴的扭转刚度以及原动机和负载的转动惯

量，从而形成了齿轮-转子系统扭转振动问题，其动力学模型如图3所示。

图3 齿轮转子系统扭振模型

对该力学模型所示的振动系统，如果不考虑传动轴的质量，将原动机、主被动齿轮和负载可分别处理为4个集中转动惯量的元件，因而是4自由度扭转振动系统，从而建立如下的振动微分方程：

()()()()()()()()001011011

11

1

1

1

1

122

3

2

3

3

2

3

2

333323323

00d

d I C K T I C K rT I C K r T I C K T θθθθθθ

θθθθθθθθθθ

θθθθ+-+-=+-+-+=+-+--=+-+-=-&&&&&&&&&&&&&&&&

式中，I 0、I 1、I 2、I 3分别为4个质量的转动惯量；C 1、C 2分别为主、被动连接轴的扭转

阻尼；K 1和K 3分别为主、被动连接轴的扭转刚度；T 1和T 2分别为原动机和负载上的扭矩；F 为轮齿动态啮合力。

根据式(2)可知T d 为：

()

()11221122d m m T C r r e K r r e θθθθ=--+--&&&

整理后可得齿轮转子扭转振动微分方程：

[]{}[]{}[]{}{}M C K P θθθ++=&&&

其中{}{}0123 T

θθθθθ=

[]01

2

3I I M I I ?????

?=?????

?

[]1121

11122

213233

3000000

m m m

m K K K

K K r r r K K r r K K K r K K K -????-+-?

?=??

-+-??-??

[]1

12111122213233

30

0000

0m

m m m

C C C C r C

r r C C r rC C r C C C C -????-+-?

?=??

-+-?

?-??

{}1112

23m m m m T C re r K e P C r e r K e T ????--??=??

+????-??&&

（五） 斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴耦合分析模型

在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合分力，因此系统除具有

扭转振动和横向振动外，还好引起轴向振动，从而形成齿轮系统的弯-扭-轴耦合振动，一对斜齿轮副的典型动力学模型如图7所示。

图7

如图5.7，设主动齿轮的螺旋角为右旋，螺旋角为β，则啮合点横向振动位移与轴向振动位移间的关系可以表示为：

tan z y β=

因此，P 、G 点的振动位移与主动轮广义位移间的关系分别为：

tan tan p p p p p p p g g g g g g g y y R z z y y y R z z y θβθβ

=+=-=-=-

已知齿轮啮合的法向刚度k m 、法向阻尼c m 和法向啮合误差e ，则相应的有：

sin cos sin cos sin sin mx m my m mz m my m z

y k k k k c c c c e c e e ββββββ

?==?

==??==? 因此，相应的切向动态齿合力F y 为：

(

)

()()

..

cos y my

y my y p g p g m p p p g g g y m p p p g g g y F k y y e c y y e k y R y R e c y R y R e βθθθθ??

=--+-- ?

??

??=+-+-++-+-?

?&&&&&&

轴向动态啮合力F z 为：

(

)

()()()

()()

(

)

..tan tan sin tan tan p g p g z mz

z mz z m p

p p p g g g g z

m p p p p g g g g z

F k z z e c z z e k z y R z y R e c z y R z y R e βθβθββθβθ??

=--+-- ?

??

????-+-+--????=??

??+-+-+--?????

?&&&&&&&& 可推出系统的分析模型为;

p p py p py p y p p pz p pz p z p p y p p

g g gy g gy g y g g gz g gz g z g g g g g

m y c y k y F m z c z k z F I F R T m y c y k y F m z c z k z F I F R T θθ++=-++==--++=++=-=--&&&&&&&&&&&&&&&&

（六） 斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴—摆耦合分析模型

在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合力，因此系统除具有扭

转和横向振动之外，还会引起轴向振动和绕 y 轴的扭摆振动，从而形成了斜齿轮系统的弯-扭-轴-摆耦合振动，在这种情况下，一对斜齿轮副的典型的动力学模型如图 8。这时，系统为一空间三维振动模型。

图8

如图8 所示，设主动齿轮的螺旋角为右旋，其大小为β，则啮合点的横向振动x 向和y 向，及横向振动y 向和轴向振动z 向的关系可表示为：

tan tan cos tan n t y x y z y ααββ

===

主动轮1中心点O 1在啮合点上振动位移与主动轮广义位移之间的关系为:

()()111111111111

111111tan tan tan tan t z t z z x x y x y R y y R z z y z y R αθαθβθβ

=-=-+=+=-=-+

被动轮2中心点O 2在啮合点上振动位移与被动轮广义位移之间的关系为:

()()22222222222

2222222tan tan tan tan t z t z z x x y x y R y y R z z y z y R αθαθβθβ

=+=+-=-=-=--

若已知齿轮啮合的端面刚度k t 、端面阻尼c t ,则相应的有：

tan tan tan tan mx t t my t mz t mx t t

my t

mz t k k k k k k c c c c c c αβαβ

======

因此，相应的各向动态啮合力为

:

()

()()()

()()

()()()()

(

)

121211112222111122221212112212121122tan tan tan tan tan tan tan tan x mx mx mx z t z t mx z t z t t t z z t t t z z t

F k x x c x x k x y R x y R c x y R x y R k x x y y R R c x x y y R R θαθαθαθααθθααθθα????

=-+- ?

??

=-+---+-+---=--++-+--++-&&&&&&&&&&&&

(

)

()(

)

()()

1212111222111222111222111222

y my

my my z z my z z t z z t z z F k y y c y y k y R y R c y R y R k y R y R c y R y R θθθθθθθθ????=-+- ?

??

=+-+++-+=+-+++-+&&&&&&&& ()

()()()

()()

()

()()()

(

)

121211112222111122221212112212121122tan tan tan tan tan tan tan tan z mz ma mz z z mz z z t z z t z z F k z z c z z k z y R z y R c z y R z y R k z z y y R R c z z y y R R θβθβθβθββθθββθθβ

????

=-+- ?

??

=-+-+-+-+-+-=---+++---++&&&&&&&&&&&& 因此，系统的分析模型为：

1111111111111111111111

111111122222221222222222222x x x x

y y y y z z z z z z y y y y y y y z x x x x y y y y z z z z z z m x c x k x F m y c y k y F m z c z k z F I F R T J c k F R m x c x k x F m y c y k y F m z c z k z F I θθθθθθθ++=-++=-++==--++=-++=-++=-++==-&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&22

2222222

y y y y y y y z F R T J c k F R θθθθθ-++=-&&&

（七） 具有质量偏心的齿轮副分析模型

设某一级齿轮传动系统可简化为图9所示的力学模型，不考虑齿面摩擦，该系统是一个4自由度的弯扭耦合振动系统。

图9

这样，啮合线与主、被动齿轮的切点P 和G 的y 方向位移p y 和g y 可以表示为：

1122

12sin sin p g p p p g g g p p g g

y y e R y y e R w t w t θθθθθθθθ=--=--=-=-

根据轮齿啮合的基本原理，轮齿啮合的动态啮合力可表示为：

()

cy m p g m p g W c y y e k y y e ??

??

=--+-- ???

&

带入得：

()()()()

(){

}

()

{}

121122cos cos sin sin cy m p p p p p p p g g g g g g g m p p p g g g W c y e R y e R e t k y e R y e R e t ?θθ?θ?θθ?θθθθθ????=----------????????+------????&&&&&&&

由于齿轮的质量偏心，在齿轮旋转过程中将产生离心力，经推导主、被动齿轮的离心

力在y 方向的分量W mpy 和W mgy 分别为：

()()2

1

2

2

sin sin mpy p p p p mgy g g

g

g

W m e W m e θ?θ

θ?θ

=+=+&&

由于扭转振动位移加速度引起的质心沿y 的平移加速度，会使齿轮产生沿y

方向的惯性

力mpy W 和mgy W 分别为：

1122

cos cos mpy p p mgy

g g W m e W m e θθθθ==&&&&

因此，对主、从动齿轮的受力分析如图10所示，这里不考虑支撑系统和轮齿啮合的阻

尼。

系统的动力学方程为：

()()111222

cos cos cos cos cos cos p g mpy p p py mpy cy

mpy p p mpy p p cy p p mgy g g gy mgy cy

mgy g g mgy g g cy g g m y k y W W W I W e W e W R e m y k y W W W I W e W e W R e θθθθθθθθ+=--=--++=--=---&&&&&&&&