二次函数与一元二次方程专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)
即二次函数 y=0 时，x 的值（与 x 轴的交点）为一元二次方程的解。
（ 2）
利用配方法可转化为： y=a（
）
当 y＝ax2＋bx＋c 中， y＝0 时，即得到二次方程
ax2＋bx＋ c＝0
其解的几何意义即为二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标 .
令=
当 ＞0 时，函数与 x 轴有两个交点，即一元二次方程有 2 解；
2
1. 二次函数图像与一元二次方程的关系 ....................
2
2. 二次函数 a、b、c 的几何意义 ..........................
4
3. 利用交点式求二次函数 ................................
6
4. 用函数图像解一元二次方程（不等式） ..................
ax2＋bx＋c 图像知：
＞
＞
＞ax2＋（ b－1）x＋c 中，
＞ ＞
＞
所以函数 y=ax2＋（b－1）x＋c 开口向上，且与对称轴在 x 轴
正半轴，与 y 轴的交点在 y 轴正半轴
及
判别式 的情况
答案：如下表所示
二次函数
函数图像与 x 轴的交点 （－ 2,0），（ 1,0） （ 3,0） 无交点
一元二次方程的解 ，
无解
判别式 的情况 ＞
＜
例 2.如图，一次函数
与二次函数
ax2＋bx＋c 的图像相交
于两点，则函数 y=ax2＋（ b－1）x＋c 的图像可能为（ ）
A
B
C
D
答案：由
二次函数与一元二次方程基本性质专题知识点 +常考
题型 +重难点题型（含详细答案）
一、目录
一、目录 .................................................
1
二、基础知识点 ...........................................
11
3. 抛物线与直线交点问题 ...............................
13
4. 抛物线与三角形面积 .................................
16
二、基础知识点
1.二次函数图像与一元二次方程的关系
（ 1）二次函数：
一元二次方程：
当 y=0 时，二次函数即化为一元二次方程。
7
5. 二次函数常用解题方法总结 ............................
8
三、重难点题型 ..........................................
10
1. 判别式的应用 .......................................
10
3. 图像信息题 .........................................
当 =0 时，函数与 x 轴有一个交点，即一元二次方程有 1 解；
＜0 时，函数与 x 轴无交点，即一元二次方程无解。
判别式
>0
=0
<0
图像
画图
画图
画图
与 x 轴交点
2 个（ 2 解） 1 个（ 1 解） 0 个（无解）
例 1. 同 一 坐 标 系 中 有 函 数
，
二次函数
，请填写下表。
函数图像与 x 轴的交点 一元二次方程的解
第14讲二次函数与一元二次方程不等式常考考点(原卷版)
第14讲 二次函数与一元二次方程不等式常考考点【考点分析】考点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．考点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅①20(0)ax bx c a ++>≠在R x ∈上恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立②20(0)ax bx c a ++<≠在R x ∈上恒成立00.a <⎧⇔⎨∆<⎩题型一：解不含参数的一元二次不等式解题思路：①当二次项系数为正时，考虑大于取两边，小于取中间①数轴标根，穿针引线【精选例题】【例1】设x ∈R ，则2x <是220x x -<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】一元二次不等式()20x x ->的解集为（ ）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()(),20,-∞-⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞【例3】一元二次不等式()()120x x -+>的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．1,2【例4】使“2560x x +-<”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．51x -<<B ．52x -<<C ．71x -<<D ．72x -<<【跟踪训练】1.不等式24x x <的解集为（ ）2．不等式2560x x -+>的解集为（ ）A ．{|23}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|3}x x >D ．{2|x x <或3}x > (2,)⎫+∞⎪⎭ 12),3⎛-+∞ ⎝题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【精选例题】【例2】已知关于x的不等式22430(0) x ax a a-+<>的解集为()12,x x，则1212ax xx x++的最小值是（）A B．C D．A．-2B．-1C．1D．2【例4】已知不等式20ax bx c++<的解集为{|1x x<或}3x>，则下列结论正确的是（）【跟踪训练】)()2,+∞2.已知关于x的不等式230ax bx++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）．不等式2ax bx++3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【精选例题】【例1】若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【例2】解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,8 B ．()0,∞+ C ．()0,2 D ．[]28,【例4】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例5】设函数()()()221,R f x ax a x b a b =-++∈.(1)若不等式()0f x <的解集为()1,2，求a ，b 的值；(2)若4b =，求不等式()0f x >的解集.【跟踪训练】1.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．2.解关于x 的不等式：220ax x a -+<.3.设()212y ax a x a =+-+-．(1)命题:p x ∃∈R ，使得2y <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ．题型四：不等式的恒成立问题 【精选例题】【例1】“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例3】已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．(],2-∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【例4】不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,2-B ．(]1,2-C ．()2,1-D ．[]1,2-【例5】已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【跟踪训练】1.已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）2.若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．()[),25,-∞-⋃+∞C ．()[),14,∞∞--⋃+D ．[]2,5-4.（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A ．04m ≤< B ．02m << C ．14m << D ．16m -<<5.已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][),04,-∞+∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,47.若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立，则ab 的最大值为_________．。
专题15 二次函数与一元二次方程(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题15 二次函数与一元二次方程一、单选题1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①a<0，0c >，b<0 ；② b 2-4ac>0；③a+b>am 2+bm ；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 ①根据二次函数的开口方向、与y 轴的交点、对称轴即可得；②根据二次函数与x 轴的交点个数即可得；③根据二次函数的最值即可得；④根据二次函数的对称轴即可得；⑤根据1x =时，0y >即可得．【详解】 由函数图象得：0,0,102b a c x a<>=-=>， 0b ∴>，则结论①错误；二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点， ∴关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，∴此方程的根的判别式240b ac ∆=->，则结论②正确；由图象可知，当1x =时，y 取得最大值，最大值为a b c ++，当x m =时，2y am bm c =++， 2am a b c bm c ∴++++≥，即2a b am bm +≥+，则结论③错误；12b a-=， 2b a ∴=-，即20b a +=，则结论④正确；当1x =时，0y a b c =++>，将2b a =-代入得：20a a c -+>，即0a c -+>，则结论⑤正确；综上，结论正确的是②④⑤，共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．2．如图所示，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA ＝OC ，对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＜0；②a +12b +14c ＞0；③ac +b +1＝0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据抛物线开口，对称轴，与y 轴交点判断a 、b 、c 符号，即可判断①正确；根据对称轴，得到a 、b 关系，结合c 即可判断①正确；用c 表示A 坐标，代入化简即可判断①错误；根据A 坐标和对称轴，求出B 坐标，即可判断①正确．【详解】解：①抛物线开口向下，①a ＜0，①抛物线的对称轴为直线x ＝2b a＝1， ①b ＝﹣2a ＞0，①抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，①c ＞0，①abc ＜0，所以①正确；①b ＝﹣2a ，①a +12b ＝a ﹣a ＝0，①a +12b +14c ＞0，所以①正确； ①C （0，c ），OA ＝OC ，①A （﹣c ，0），把A （﹣c ，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得ac 2﹣bc +c ＝0，①ac ﹣b +1＝0，所以①错误；①A （﹣c ，0），对称轴为直线x ＝1，①B （2+c ，0），①2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，所以①正确．故选：C ．【点睛】本题考查了根据二次函数图象判断结论，难度较大，理解抛物线形状与a 、b 、c 关系，灵活运用对称轴特点是解题关键．3．如图，抛物线()()210y a x k a =-+>经过点()1,0-，顶点为M ，过点()0,4P a +作x 轴的平行线l ，l 与抛物线及其对称轴分别交于点,,A B H ，以下结论：①当 3.1x =时，0y >；②存在点P ，使AP PH =；③()BP AP -是定值；④设点M 关于的x 轴的对称点为'M ，当2a =时，点'M 在l 下方．其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(3,0)，且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与x 轴交点坐标(1,0)-和对称轴与x 轴交点(1,0)可对②作判断；根据对称性得：AH BH =，根据线段的和与差可对③作判断；根据M '的坐标和l 到x 轴的距离可对④作判断．【详解】解：①由题意得：0a >，开口向上，抛物线对称轴是1x =，且经过点(1,0)-，∴抛物线过x 轴另一个点为(3,0)，∴当 3.1x =时，0y >；故①正确；②当P 在O 点时，AP PH =，0a >，P ∴不可能与O 重合，故②不正确；③()22BP AP BH PH AP AH PH AP PH -=+-=+-==，故③正确；④把(1,0)-代入2(1)y a x k =-+中，4k a =-，当2a =时，46a +=，(4)8a --=，点M '在l 的上方，故④不正确；所以正确的有：①③，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、与x 轴的交点、关于x 轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．4．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a ），下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③9a -b+c=0；④若方程a （x+5）（x -1）=-1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则-5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】 根据开口方向及顶点坐标求出b=4a ，c=-5a ,可求得①①③，根据图像得平移和韦达定理即可判断①①．【详解】解：函数的顶点坐标为(-2，-9a ) 则22b a -=- ，2494ac b a a-=- 则b=4a ，c=-5a函数开口向上，a ＞0，则b ＞0，c ＜0则abc ＜0,①错误把x=2代入二次函数表达式，则42y a b c =++=7a ＞0，①错误9y a b c =-+=0，③正确a （x+5）（x -1）=-1展开后得24510ax ax a +-+=函数2y ax bx c =++向上平移一个单位变成 21y ax bx c =+++=2451ax ax a +-+其与x 轴的两个交点的横坐标1x 和2x 就是方程24510ax ax a +-+=的两个解而2y ax bx c =++与x 轴的交点的坐标为(-5，0)，(1，0)因为y=2451ax ax a +-+在2y ax bx c =++的上方，所以-5＜1x ＜2x ＜1，④正确 21ax bx c ++= 化简为21ax bx c ++=或21ax bx c ++=-21ax bx c ++=的两解为1x 和2x由韦达定理1x +2x =b a-=-4 21ax bx c ++=-的两个解设为3x 和4x由韦达定理3x +4x =b a-=-4 故1x +2x +3x +4x =-8，①正确故本题答案为B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标公式、平移及韦达定理等，要善于运用对称轴求各个系数间的关系及函数和方程间的转换．5．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c ＞0；（3）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （72，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（4）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，可判断（1），利用x=-1时，y=0，则a -b+c=0，结合对称轴可得c=-5a ，所以8a+7b+2c=8a -28a -10a=-30a ，再根据抛物线开口向下可判断（2），利用抛物线的对称性得到C 关于对称轴对称的点的坐标31(,)2y ，然后利用二次函数的增减性即可得到判断（3），作出直线y=-3，然后依据函数图象进行判断，即可判断（4）．【详解】 解：∵22b x a=-=， ∴4a+b=0，故（1）正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），∴a -b+c=0又∵b=-4a ，∴a+4a+c=0，即c=-5a ，∴8a+7b+2c=8a -28a -10a=-30a ，∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a+7b+2c ＞0，故（2）正确；∵抛物线的对称轴为x=2，C （72，3y ）， ∴C 关于对称轴对称的点坐标（12，3y ）． ∵-3＜12-＜12，在对称轴的左侧， ∴y 随x 的增大而增大，∴123y y y ＜＜ ，故（3）错误．方程a （x+1）（x -5）=0的两根为x=-1或x=5，过y=-3作x 轴的平行线，直线y=-3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：1215x x -＜＜＜． 故（4）正确．故选C ．．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题6．已知，平面直角坐标系中，抛物线2914=-+y ax ax a 与x 轴正半轴交于点A 、B ，取y 轴上一点(0,C ，连接AC ；（1）如图1，求直线AC 解析式；（2）如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，取AP 上一点D ，x 轴上一点E ，连接DE ，设P 点横坐标为t ，若()tan 2∠=-DEA a t ，求证：AD ED =；（3）如图3．在（2）的条件下，连接CD 、CE ，且CD CE =，2∠=∠CEA CAE ，连接PB ，若∠=∠BPA CED ，求tan ∠a DAE的值．【答案】（1）7y x =（2）证明见解析；（3）1. 【分析】 （1）由0,y = 可得29140,ax ax a -+=解方程可得,A B 的坐标，再设直线AC ：,y kx b =+ 把,A C 的坐标代入利用待定系数法求解函数解析式即可得到答案；（2）过P 作PH x ⊥轴于H ， 得到：()2,914P t at at a -+，表示,PH AH ， 再证明tan tan ,PAH DEA ∠=∠由,PAH DEA ∠∠为锐角，从而可得PAH DEA ∠=∠，从而可得结论；（3）在OA 上取点M ，使CM AM =， 记CD 与x 轴交于K ，设CM AM m ==，7,OM m =- 利用勾股定理求解,m 可得E 的坐标，表示D 的坐标，利用,CE CD = 可得()62a t -=CD 的解析式，求解K 的坐标，由∠=∠BPA CED ，,CE CD = 证明,OKC PBH ∠=∠ 可得：tan tan ,OKC PBH ∠=∠可得,OC PH OK HB=从而可得()1923t a +=t ，从而可得答案．【详解】解：（1）抛物线2914=-+y ax ax a ，令0,y = 29140,ax ax a ∴-+=()()270,a x x ∴--=0,a ≠122,7,x x ∴==()()7020A B ∴，，，，(0,3C -①设直线AC 为：,y kx b =+70k b b +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，,k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩所以直线AC为：y x = （2）如图2，过P 作PH x ⊥轴于H ，P 点横坐标为t ，()2,914P t at at a ∴-+，2914,7,PH at at a AH t ∴=-+=- ()()()()227914tan 22,77a t t PH at at a PAH a t a t AH t t---+∴∠====--=--- ()tan 2∠=-DEA a t ，tan tan ,PAH DEA ∴∠=∠由题意得：,PAH DEA ∠∠为锐角，PAH DEA ∴∠=∠，.AD ED =（3）如图3，在OA 上取点M ，使CM AM =，记CD 与x 轴交于K ， 设CM AM m ==，7,OM m ∴=-(0,C ，()2227,m m ∴=-+ 26,7m ∴= 2623777OM ∴=-=， ,CM AM =2MCA MAC CME CAE ∴∠=∠∠=∠，，2∠=∠CEA CAE ,,CEA CME ∴∠=∠,CE CM ∴=,CO EM ⊥237OE OM ∴==， 2307E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，过D 作DT x ⊥轴于T ，,DE DA =11233672277ET AT AE ⎛⎫∴===+= ⎪⎝⎭， 3613777OT OA AT ∴=-=-=， ()tan tan 2,DT DEA DAE a t AT∠=∠==- ()362,7DT a t ∴=- ()1336277D a t ⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦，， ,CD CE =()()22223622313000,777a t -⎡⎛⎫⎛⎫∴++=-+⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣ 整理得：()3627a t -+= 或()3627a t -+=（舍去）， ()62a t ∴-=设直线CD 为：11y k x b =+()1111336277,k b a t b ⎧+=-⎪∴⎨⎪=⎩()11362,13a t k b ⎧-+=⎪∴⎨⎪=⎩ CD ∴为：()36213a t y x -+=- 令0,y = 则()3620,13a t x -+=x ∴=K ⎡⎤∴⎥⎥⎦ ,CE CD =,CED CDE ∴∠=∠BPA CED ∠=∠,,BPA CDE ∴∠=∠,DEK DAK ∠=∠,DKE PBA ∴∠=∠,DKB PBK ∴∠=∠,OKC DKB ∠=∠,OKC PBK ∴∠=∠tan tan ,OKC PBK ∴∠=∠过P 作PH ⊥x 轴于,H,OC PH OK HB∴=2914,2at at a t -+=-整理得：()1923t a +=由①，②得：()()1261,19237a t t a -==+ 19238442,t t ∴+=-6565,t ∴=1,t ∴=经检验：1t =符合题意．()1 1.tan tan 22a a a DAE DEA a t t∴====∠∠-- 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数与x 轴的交点，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．己知点()(,2)A a b a ≥在抛物线2:23C y x x =-+上，直线:L y mx n =+过点A ．（1）当2a =时，求b 的值；（2）若抛物线C 与直线L 有且只有一个交点．①求m 关于a 的关系式；②点B 为直线L 与抛物线C 的对称轴的交点，求线段AB 长的取值范围．【答案】（1）3b =；（2）①22m a =-；②AB ≥【分析】（1）利用2a =条件，点A 变为（2，b ）在抛物线上，点的坐标满足解析式代入，求之即可，（2）抛物线C 与直线L 有且只有一个交点，联立组成方程组223y x x y mx n⎧=-+⎨=+⎩消去y ，化为2(2)30x m x n -++-=，利用判别式为零满足有且只有一个交点得到2(2)4(3)0m n +-⨯-=由点()(,2)A a b a ≥在抛物线2:23C y x x =-+与直线:L y mx n =+上．x=a 为2(2)30x m x n -++-=的解，23(2)n a m a -=-++，结合判别式消去3-n 转化为22(2)44(2)m a m a +=-++整理为2(22)0m a +-=即可，（3）将直线化为用a 表示 2(22)3y a x a =--+ ，求出抛物线的对称轴，求出点2(121)B a a -++，，求出2A(23)a a a -+，，利用勾股定理AB 2=()()2221242a a a -+-+∴ 224(1)4(1)AB a a =-+- (a ≥2) 设：2(1)t a =-，则1t ≥，此时224AB t t =+，2AB 随t 的增大而增大1t =时，2minAB 求出即可． 【详解】解：（1）当2a =时，∵ 点A （2，b ）(a ≥2)在抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋3上，∴ 22223b =-⨯+，∴ 3b =，（2）联立： 223y x x y mx n ⎧=-+⎨=+⎩， 化简得：2(2)30x m x n -++-=，2(2)4(3)m n ∆=+-⨯-，∵ 抛物线C 与直线L 有且只有一个交点，∴ 2(2)4(3)0m n +-⨯-= ①，∵ 点A （a ，b ）(a ≥2)在抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋3上和直线L ：y ＝mx ＋n 上，∴ 方程2(2)30x m x n -++-=有一根为x ＝a ，∴ 2(2)30a m a n -++-=，∴ 23(2)n a m a -=-++②，把②式代入①式得，22(2)44(2)m a m a +=-++，化简得：2(22)0m a +-=，解得： 22m a =-，（3） 把22m a =-代入②式得：23(222)n a a a -=-+-+，∴ 23n a =-+，∴ 直线L ：2(22)3y a x a =--+，抛物线C ：223y x x =-+的对称轴为1x =，对于直线L ：2(22)3y a x a =--+， 当1x =时，2222321y a a a a =--+=-++，∴ 2(1,21)B a a -++，当x a =时，22(22)323y a a a a a =--+=-+，∴ 2(,23)A a a a -+，根据勾股定理 2222(1)(242)AB a a a =-+-+，∴ 224(1)4(1)AB a a =-+- (a ≥2)，设：2(1)t a =-，则1t ≥，此时224AB t t =+，2AB 随t 的增大而增大，故1t =时，22min 4115AB =⨯+=，∴ AB ≥【点睛】本题考查点的坐标，函数式，最短距离问题，掌握坐标的性质，点在图像上，点的坐标满足解析式，会利用判别式构造等式，利用点的坐标构造等式，会用因式分解求非负数的解，会利用勾股定理求两点的距离，利用换元法解决最小值问题是解题关键．8．如图（1），抛物线y ＝a （x+2）（x －8）（a ＜0）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，若①ABC 的面积为20．（1）求a的值，并判断①ABC是什么特殊三角形，说明理由；（2）如图（2）将①ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，①ADP的面积最大；（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足①ABQ=2①ABC，求满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）a=1 4﹣，△ABC为直角三角形；（2）m=7时，△ADP面积有最大值；（3）Q的坐标为：Q（103，569）或Q（﹣4，﹣6）【分析】(1)根据抛物线表达式,得出A,B两点坐标,确定AB的长，再根据△ABC的面积求出OC的长，C点坐标代入抛物线解析式求出a的值，再分别求出AC，AB，BC的长判断出△ABC的形状；（2）过P作平行于AD的直线，AD长度固定，当P到AD距离最大时，△APD面积最大，此时过P的直线与抛物线只有一个交点，联立抛物线与过P点的直线解析式，△=0，列出等量关系，求出m的值；（3）依据题意作出图形，利用Q点BC上方和Q在BC下方分别讨论求解．【详解】解：（1）令y=0，则0= a（x+2）（x－8）∴x1=﹣2，x2=8∴A（﹣2,0），B（8,0），AB=10∵△ABC的面积为20∴OC=4∴C（0,4），把C代入抛物线解析式得：a=1 4﹣，根据A，B，C三点坐标可求得AC=又AB=10∴222AC BC AB +=∴△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形；（2）由题意可得D （0，﹣4）∵△ADP 的面积最大，而AD 长度固定，因此求点P 在何处时到AD 距离最大，过P 作AD 的平行线，则P 到AD 的距离是两条平行线之间的距离，当平行线与抛物线相切时，即只有一个交点时距离最大，∵A(﹣2,0)，D （0，﹣4）可求得AD ：y=﹣2x －4∴设过P 点平行AD 的直线为：y=﹣2x+b 联立()()21y=284y x b x x =+⎧⎪⎨+⎪⎩﹣﹣－ 化简得：217x +x+4b=042﹣－， △=()27144b =024⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－﹣－， 解得：b=654， ∴y=﹣2x+654 ()()65241y=284y x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩﹣﹣－ 解得：12x =x =7 ，把x=7代入y=﹣2x+654 y=94，P （7，94） ∴当m=7时，△ADP 面积有最大值；（3）如图，当Q 在BC 的上方时即Q 1∵B （8,0）设BQ1：y=kx －8k设BQ 1与y 轴的交点为G ，过点C 作CH ⊥BQ 1于点H ，易得△GOB ∽△GHC ，根据角平分线的性质得OB=OH=8,CH=OC=4 ∴OG HG OB HC= ∵OG=﹣8k ，∴GH=﹣4k ，∴GB=HG+HB=8－4k ，在Rt △OGB 中，222BO OG BG +=()()2228k +8=84k ﹣－解得：k 1=0（舍去），k 2=43﹣∴BQ 1：y=43﹣x+323又BQ 与抛物线有交点， ∴43﹣x+323=()()1284x x +﹣－ 整理解得：x 1=8（舍去），x 2=103当x=103时，y=569∴Q 1（103，569） ②当Q 在BC 下方时，设BQ 2交抛物线于M 点，易得CO=OM∴M （0，﹣4）∴BQ 2：y=1x 42－ ，与抛物线有交点， ∴1x 42－=()()1284x x +﹣－ 解得：x 1=8（舍去），x 2=﹣4当x=﹣4时，y=﹣6∴Q 2（﹣4，﹣6）综上Q 的坐标为：Q （103，569）或Q （﹣4，﹣6）【点睛】本题主要考查二次函数的综合题型，熟练掌握二次函数与三角形面积及二次函数与角度倍数关系题型的解题方法与解题思路是解题的关键，题目综合性较强难度较大．9．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过5A(-1,0),B(5,0),C(0,-)2三点； （1）写出不等式20ax bx c ++≥的解集；（2）点M 为第四象限内抛物线上一动点，求以A,C,M,B 四点构成的四边形面积的最大值．【答案】(1)x<-1或x>5 (2)24516【分析】（1）抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过A(-1,0),B(5,0), y (1)(5)a x x =+-过点5(0,),2C -可求12a =>0，抛物线开口向上，满足20ax bx c ++>，在两根之外x<-1或x>5， （2）过M 与BC 平行直线：y=12x 458-交y 轴于E ，过E 作ED ⊥BC 直线于D ，点M 为第四象限内抛物线上一动点，由A ，B ，C 为顶点三角形面积是定数，则△BCM 面积最大即可，在Rt △OBC 中CE=258，证△OBC ∽△DEC ，求出DE ，S △CBM 最大=12516，S 四边形ACMB 最大= S △ABC +S △CBM ．【详解】（1）抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过5A(-1,0),B(5,0),C(0,-)2三点， 由A 、B 得y (1)(5)a x x =+-，过点C552a -=-，12a =，12a =>0，()()2115x+1x 5x 2222y x =-=--，抛物线开口向上，20ax bx c ++>，x<-1或x>5，(2) 设CB 解析式y=kx+b ，过5B(5,0),C(0,-)2， 5250b k b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，1252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， y=12x -52， 点M 为第四象限内抛物线上一动点，以A,C,M,B 四点构成的四边形面积的最大值， 由A ，B ，C 为顶点，AB=5-（-1）=6，OC=52， S △ABC =12AB•OC=15156=222⨯⨯， 要使以A,C,M,B 四点构成的四边形面积的最大值， 则△BCM 面积最大， 设过M 与BC 平行的直线为y=12x+n ， 与抛物线215x 222y x =--相切， 2151x 2=222x x n --+， 2155x --n 0222x -=， 2515=--4--n =0222⎛⎫⎛⎫∆⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45n 8=-， 过M 与BC 平行直线：y=12x 458-， y=12x 458-交y 轴于E ，过E 作ED ⊥BC 直线于D ， 在Rt △OBC 中2==，CE=258， ∠CDE=∠COB=90º，∠DCE=∠OCB ， ∴△OBC ∽△DEC ，OB BC=DE CE，255CE OB 8DE==BC 455⨯，S △CBM 最大=112522416⨯， S 四边形ACMB 最大= S △ABC +S △CBM =152+12516=24516．【点睛】本题考查抛物线在x 轴上方的范围，及四边形的最大面积问题，（0a ≠）用待定系数法求2y ax bx c =++，用12a =>0，抛物线开口向上，会用两根20ax bx c ++>的范围，会求直线解析式，点M 为第四象限内抛物线上一动点，以A,C,M,B 四点构成的四边形面积的最大值．会用分割法A ，B ，C 为顶点三角形面积是定数，则△BCM 面积最大需解决，利用过M 与BC 平行的直线为y=12x+n 与抛物线215x 222y x =--相切，求与y 轴的交点E ，利用相似△OBC ∽△DEC 求最大距离DE 解决问题．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣3），该图象与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，其中点A 的横坐标为﹣1． （1）求该二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方，抛物线上的一个动点，当△PBC 面积取得最大值时，求点P 的坐标和△PBC 面积的最大值．【答案】（1）2145333y x x =--；（2）535,212⎛⎫- ⎪⎝⎭P ．最大面积12524 【分析】（1）利用抛物线的顶点式表达式，即可求解；（2）利用二次函数表达式求出B 、C 的坐标，得到直线BC 的表达式；再利用△PBC 面积S ＝S △PHB +S △PHC ＝12×PH ×（x B ﹣x C ），进而求解． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ， 则函数的顶点坐标为：（2，﹣3）， 则y ＝a （x ﹣2）2﹣3，∵点A 的横坐标为﹣1，则点A （﹣1，0），将点A 的坐标代入上式并解得：a ＝13， 故抛物线的表达式为：y ＝13（x ﹣2）2﹣3＝13x 2﹣43x ﹣53； （2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，由（1）知：y ＝13x 2﹣43x ﹣53；令y ＝0，则x ＝﹣1或5，x ＝0，则y ＝﹣53， 故点B 、C 的坐标分别为：（5，0）、（0，﹣53），设直线BC 的表达式为：y ＝kx +b ，则5k+b=05b=-3⎧⎪⎨⎪⎩，解得：1353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故直线BC 的表达式为：y ＝13x ﹣53； 设点P 的坐标为：（x ，13x 2﹣43x ﹣53），则点H （x ，13x ﹣53），△PBC 面积S ＝S △PHB +S △PHC ＝12×PH ×（x B ﹣x C ）＝12×5×（13x ﹣53﹣13x 2+43x +53）＝﹣56x 2+256x ， ∵﹣56＜0，故S 有最大值，最大值为：12524，此时x ＝52，故点P （52，﹣3512）．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，其中，正确确定△PBC 面积的表达式，是本题解题的关键．11．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）3(1,)2；（3）14m <≤或78m = 【分析】（1）根据题意可得出点B 的坐标，将点B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，求出b 、c 的值即可． （2）在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，要使得EAB 的周长最小，即要使EB+EA的值最小，即要使EA+EC 的值最小，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，求出直线AC 的解析式，最后求出直线AC 与对称轴的交点坐标即可．（3）求出直线CD 以及射线BD 的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B 时，将点B 的坐标代入二次函数解析式，求出m 的值，写出m 的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x 的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即0∆=，列式求出m 的值即可．【详解】 （1）矩形OABC ，∴OC=AB ，A(2，0)，C(0，3)，∴OA=2，OC=3， ∴B(2，3)，将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，4233b c c -++=⎧⎨=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++．（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，即EAB 的周长最小，设直线解析式为：y =kx +b ， 将点A 、C 的坐标代入可得：203k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：323k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为：3=32y x -+．2y x 2x 3=-++=2(1)4x -+-，∴D(1，4)，令x =1，y =332-+=32． ∴E(1，32)．（3）设直线CD 解析式为：y =kx +b ， C(0，3)，D(1，4)，∴43k b b +=⎧⎨=⎩, 解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线CD 解析式为：y =x +3，同理求出射线BD 的解析式为：y =－x +5(x ≤2)， 设平移后的顶点坐标为(m ，m +3)， 则抛物线解析式为：y =－(x －m )2+m +3， ①如图，当抛物线经过点B 时， －(2－m )2+m +3=3，解得m =1或4，∴当1<m ≤4时， 平移后的抛物线与射线只有一个公共点；②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m )2+m +3=－x +5， 即x 2－(2m +1)x +m 2－m +2=0，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点， 即要使一元二次方程有两个相等的实数根，∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=-+⨯-+=－，解得78m =． 综上所述，14m <≤或78m =时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．【点睛】本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．12．如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．【答案】（1）4b =-；（2）132x =，272x =或112x =，252x = 【分析】（1）抛物线的对称轴为2x =，即122b -=，即可求解； （2）求出点B 、C 的坐标分别为（1，-3）、（3，-3），则BC=2，而四边形PBCQ 为平行四边形，则PQ=BC=2，故x 2-x 1=2，即可求解． 【详解】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，-3），， 故抛物线的对称轴为2x =，即122b -=，解得：4b =-， 故抛物线的表达式为：24y x x =-；（2）把3y =-代入24y x x =-并解得1x =或3， 故点B 、C 的坐标分别为（1，-3）、（3，-3），则BC=2， 因为四边形PBCQ 为平行四边形 所以PQ=BC=2，故212x x -=，又∵21114y x x =-，22224y x x =-，122y y -=，故()2211224)(42x x xx ---=，即1241x x +-=，∴125x x +=或123x x +=，由211225x x x x -=⎧⎨+=⎩，解得123272x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；由211223x x x x -=⎧⎨+=⎩，解得121252x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即132x =，272x =或112x =，252x =． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，二元一次方程组的解法，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 13．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，且与x 轴相交A ，B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标．（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使PBC ∆的面积最大，若存在，请求出PBC ∆的最大面积；若不存在，试说明理由．（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当以点O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出M 点的坐标．【答案】（1）213-442y x x =++，A(－2，0)，B(8，0)； （2）存在，最大面积是16；（3）(4，6)或(42+--或(42--+【分析】（1）根据题意，由对称轴方程求出a 值，即可得到抛物线的解析式，再令y=0，求解一元二次方程的根，即可得到点A 、B 的坐标；（2）令（1）中抛物线的解析式中x=0，解得y=4，即可得点C 坐标，再利用点B 、C 坐标求得直线BC 方程142BC y x =-+，假设存在，设P(x ，y)（0＜x ＜8），根据题意，则有PD ＝y P －y D ＝（213-x 442x ++）－（1-x 42+）＝21-x 24x +＝21-(4)44x -+，又S △PBC ＝12PD·OB ＝12×8×[21-(4)44x -+]＝2-(4)16x -+，即可求得面积的最大值及点P 坐标；（3）设点M 坐标（m,213-442m m ++），则点N 坐标为（m ，1-42m +），可求得MN=21-42m m +，根据题意得MN=OC=4，即21-42m m +=4，解之即可求得点M 的坐标． 【详解】解：（1）①抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x ＝3， ①32-32a=，解得a ＝－14， ①抛物线解析式为213-442y x x =++， 又抛物线与x 轴交于点A ，B 两点，且B 点在A 点右侧，令y ＝0，得2130-442x x =++，解得x 1＝－2，x 2＝8， ①A(－2，0)，B(8，0)（2）①抛物线与y 轴交于点C ，令x ＝0，得213-00442y =⨯+⨯+＝4， ①C(0，4)．设直线BC 的解析式：y BC ＝kx ＋b （k≠0），把B ，C 两点坐标代入，可得 800k b 4k b +=⎧⎨⨯+=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①142BC y x =-+， 假设存在，设P(x ，y)（0＜x ＜8）连接PB ，PC ，过点P 作PD①y 轴交直线BC 于点D ，①PD ＝y P －y D ＝（213-x 442x ++）－（1-x 42+）＝21-x 24x +＝21-(4)44x -+ 又①S △PBC ＝12PD·OB ＝12×8×[21-(4)44x -+]＝2-(4)16x -+ ①当x ＝4时，y=4，此时①PBC 的面积最大，最大面积是16，又①0＜x ＜8，①存在点P （4,6）使①PBC 的面积最大，最大面积是16（3）由题意，设点M 坐标（m,213-442m m ++），则点N 坐标为（m ，1-42m +）， ∴MN=2131-4)(-4)422(m m m ++-+=21-42m m +， ∵点O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，且MN ∥OC ，∴MN=OC=4，即21-42m m +=4， ∴2144-2m m +=或2144-2m m +=-， 当2144-2m m +=时，此时0＜m ＜8，解方程得：m=4， 此时点M 坐标为（4,6）， 当2144-2m m +=-时，此时m ﹤0或m ﹥8，解方程得：1244m m =+=-当14m =+时，213-442m m ++=2--，当24m =-213-442m m ++=2-+∴M 的坐标为(4，6)或(42+--或(42--+．【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数与方程的解问题、二次函数与面积的最值问题、二次函数与几何图形问题等知识，解答的关键是认真审题，结合图象，获取相关信息，利用数形结合法、待定系数法等解题方法确定解题思路，进行推理、探究、发现和计算． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 从点A 出发，沿线段AB 以每秒3个单位长度的速度运动，同时点N 从点B 出发，沿线段BC 以每秒1个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t 秒． ①求MBN ∆的面积S 与t 的函数关系式，并求S 的最值；②当MBN ∆为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）①S 与t 的函数关系式是299105S t t =-+，S 的最大值是910；②当3019t =或2417秒时，MBN 为直角三角形． 【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）①易得MB 和BC 的长，过点N 作NH AB ⊥于点H ，如图1，可得~BHN BOC ，于是可根据相似三角形的性质求出HN ，再根据三角形的面积公式即可得出S 与t 的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出S 的最大值；②分两种情况：当90BMN ∠=︒时，如图2，当90MNB ∠=︒时，如图3，分别利用相似三角形的性质建立t 的方程，解方程即可求出结果．【详解】解：（1）把点()2,0A -，()4,0B 分别代入23y ax bx =++，得： 423016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3834a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：233384y x x =-++； （2）①∵()2,0A -，()4,0B ，∴AB =6，设运动时间为t 秒，则3AM t =，BN t =，则63MB t =-．由题意得：点C 的坐标为(0,3)，则在Rt △BOC中，5BC ==．如图1，过点N 作NH AB ⊥于点H ．//NH CO ∴，~BHN BOC ∴， ∴HN BN OC BC =，即35HN t =，35HN t ∴=． 221139999(63)(1)2251051010S MB HN t t t t t ∴=⋅=-⋅=-+=--+， 由题意得02t <≤， ∴当1t =时，S 最大910=． 答：S 与t 的函数关系式是299105S t t =-+，S 的最大值是910； ②由题意得：4BO =，5BC =，BN t =，3AM t =，63BM t =-． 当90BMN ∠=︒时，如图2，则~BMN BOC ，∴BN BM BC BO =， 即6354t t -=，解得3019t =；当90MNB ∠=︒时，如图3，则~BNM BOC ，∴BN BM BO BC =， 即6345t t -=，解得2417t =； 综上所述，当3019t =或2417秒时，MBN 为直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式、二次函数的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．15．如图，抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于点()2,0A -和点,B 与y 轴交于点,C 对称轴为直线12x =．连接,,15.ABC AC BC S =()1求抛物线的解析式；()2①点M 是x 轴上方抛物线上一点，且横坐标为m ，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为点N ．线段MN 上有点H (点H 与点,M N 不重合)，且90HBA MAB ∠+∠=︒，求HN 的长；②在①的条件下，若2MH NH =，直接写出m 的值；()3在()2的条件下，设MAN NBH S d S =，直接写出d 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围．【答案】（1）2y -x +x 6=+；（2）①1；②m =（3）()22,dm =+1122m -+<< 【分析】（1）由抛物线的对称性求出B 点坐标，用a 表示出C 点坐标，再由三角形的面积列出a 的方程求得a 的值便可得解析式；（2）①由已知证得,NHB MAN ∠=∠由()2,6M m m m -++可设(),H m n ，可由tan MAN tan BHN ∠=∠得MN BN AN HN=，代入即可得m 、n 的方程，解之即可得出结论； ②由①和2MH NH =可得MN 的长，即可得点M 坐标，代入表达式即可解得m 值；（3）由三角形面积公式和点的坐标，即可得出d 关于m 的表达式，由NH=1得MN ﹥1，即2-m +m 6+﹥1，解之，结合图象即可得出m 的取值范围．【详解】解:()()12,0A -，抛物线的对称轴为直线1,2x = 3,B x ∴=∴设抛物线的解析式为()()2236,y a x x y ax ax a =+-=--()0,6C a ∴-15,ABC S =()15615,2a ∴⨯⨯-= 1,a ∴=-∴抛物线的解析式为2y -x +x 6=+．（2）①∵MN x ⊥轴，90,MNA HNB ∴∠=∠=︒90,HBA NHB ∴∠+∠=︒又90,HBA MAB ∠+∠=︒,NHB MAN ∴∠=∠()2,6,M m m m -++∴设(),H m n,tan MAN tan BHN ∠=∠∴MN BN AN HN∴= 2632m m m m n-++-=+ 1,n ∴=即1,HN =②∵2MH NH =∴MN=3,即M(m ，3)，则有23-m +m 6=+即230m m --=，解得：m = （3）∵22MAN 111S AN MN (m 2)(m m 6)(m 2)(m 3)222∆==+-++=+-+ NBH 11S BN NH (3m)122∆==-⨯, ∴2(2)MANNBH Sd m S ==+,由（2）知HN=1，∴MH ﹥1∴2-m +m 6+﹥1即2m -m-5﹤0，m <<． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、三角形的面积公式、等角的三角函数、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推导、探究、发现和计算．16．已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象与x 轴交于()10AB ，，两点，与y 轴交于点(0,3)C -， （1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标； （3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．【答案】（1）223y x x =+-，A （-3，0）；（2）（32-，154-）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）. 【分析】（1）把A,C 点带入方程，列方程组即可求解； （2）根据题意得出当点D 到直线AC 的距离取得最大值时，求出AC 表达式，将直线AC 向下平移m （m ＞0）个单位，得到直线l ，当直线l 与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D ，此时点D 到直线AC 的距离最大，联立直线l 和二次函数表达式，得到方程230x x m ++=，当方程有两个相同的实数根时，求出m 的值，从而得到点D 的坐标；（3）分当OB 是平行四边形的边和OB 是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N 的坐标即可.【详解】解：（1）将B （1，0），(0,3)C -带入函数关系式得，02+c 3a c =+⎧⎨=-⎩， 解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数表达式为：223y x x =+-；（2）当点D 到直线AC 的距离取得最大值时，∵A （-3，0），(0,3)C -，设直线AC 的表达式为：y=kx+n ，，将A 和C 代入，33o k n n=-+⎧⎨-=⎩，解得：13k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的表达式为y=-x -3，将直线AC 向下平移m （m ＞0）个单位，得到直线l ，当直线l 与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D ，此时点D 到直线AC 的距离最大， 此时直线l 的表达式为y=-x -3-m ，联立：2233y x x y x m⎧=+-⎨=---⎩，得：230x x m ++=，令△=23410m -⨯⨯=，解得：m=94， 则解方程：29304x x ++=，得x=32-， ∴点D 的坐标为（32-，154-）； （3）∵M 在抛物线对称轴上，设M 坐标为（-1，t ），当OB 为平行四边形的边时，如图1，可知MN 和OB 平行且相等，∴点N （-2，t ）或（0，t ），代入抛物线表达式得：解得：t=-3，∴N （-2，-3）或（0，-3）；。
二次函数与一元二次方程和不等式(热考题型)-解析版
专题07 二次函数与一元二次方程和不等式【思维导图】◎考试题型1 抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c= 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0 有一个 有两个相等的实数根b 2-4ac <0没有公共点没有实数根例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根为4x =，则另一个根为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．0【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，求出2ba-=，设20ax bx c ++=的另一根为m ，利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a，即可求出m ． 【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =， ∵12b a-=，即2ba -=，设20ax bx c ++=的另一根为m ， 利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a， ∵=2m -． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一个交点是B ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 【解析】 【分析】将()1,0A -代入抛物线242y ax ax =-+中求出a 的值，然后令2420y ax ax =-+=求出点B 的坐标，即可求出AB 的值． 【详解】抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -， 420a a ∴++=，即25a =-，∴抛物线为：228255y x x =-++，∴令2282055y x x =-++=，求出1215x x =-=，，(50)B ∴，，6AB ∴=． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x 轴交点坐标之间的联系是解题的关键．变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x -2 -1 0 6 y461下列结论不正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令0y =，则260x x -++=， 解得3x =或2x =-，∵抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意； 故选C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一交点为B ，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据点A 在抛物线上，先求出a 的值，进而求出B 的坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A - ∵0=a +4a +2 ∵a =25-∵228255y x x =-++当y =0时，2282055x x -++=，解得121,5x x =-= ∵B （5，0） ∵AB =5-（-1）=6， 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键．◎考试题型2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
二次函数与一元二次方程 知识点+例题+练习(题型全面)
二次函数与一元二次方程（1）一、课前回顾：1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。
2.一元二次方程02=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 二、模仿学习 1.解下列方程（1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322=+-x x2.观察二次函数的图象，写出它们与x 轴的交点坐标：3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识导学：⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 四、例题教学：例1、已知抛物线y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m 与直线y ＝x －3m ＋4(1)当m 为何值时，抛物线与直线有两个交点？只有一个交点？没有交点？ (2)若有一个交点在y 轴上，求m ．五、当堂练习：1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第___象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对4、若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为（ ）A ．B ．C ．D ．5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝1 7、已知二次函数2y x pxq 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为1,0，求,p q 的值8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求 （1）一次函数和二次函数的解析式（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.11、已知抛物线22yx mxm.（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）当m=2时，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围．二次函数与一元二次方程（2）二、模仿学习1．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值， 判断方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的一个解x 的范围是( )x6.176.186.196.202y ax bx c =++0.03-0.01-0.020.04Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<2. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，根据图象回答：(1)当x ＝ 时，y 1＝y 2；(2)当x 满足 时，y 1＞y 2；(3)当x 满足 时，y 1＜y 2．31-=x y 3222--=x x y三、例题教学：例1．已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若函数22(21)2y x m x m m =-+++-与x 轴的两个交点的横坐标为12x x ，，且满足12211m x x m +-=+-，求m 的值．五、当堂练习： 1．观察图像，填空：当函数值y ＞0时，x 的取值范围是_________________； 当函数值y ＜0时，x 的取值范围是_________________．2．根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围．x3.23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2－0.06 －0.02 0.030.094212--=x x y -24yOx253212+-=x x y 3．利用二次函数y ＝x 2－5x ＋5的图象，探索方程x 2－5x ＋5＝0的介于1～2之间的根(精确到0.1)．4、求出抛物线 (1)顶点A 的坐标; (2)与x 轴的交点B 、C (B 在C 的左边)的坐标及与y 轴的交点D 坐标；(3)画出函数图象的草图；(4)求此抛物线与x 轴两个交点间的距离；(5)求S 四边形ABDC．5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 当x ＜0时的图象； (3)利用抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，写出x 为何值时，y ＞0．2yxO121。
二次函数与一元二次方程、一次函数 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
教学主题二次函数与一元二次方程、一次函数教学目标掌握二次函数与一元二次方程、一次函数重要知识点1.二次函数与一元二次方程2.二次函数与一次函数3.教学过程二次函数与一元二次方程知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训(解析版)
专题01一元二次方程的解法重难点题型专训【题型目录】题型一用直接开方法解一元二次方程题型二用配方法解一元二次方程题型三用公式法解一元二次方程题型四用因式分解法解一元二次方程题型五用换元法解一元二次方程题型六根据判别式判断一元二次方程根的情况题型七根据一元二次方程根的情况求参数题型八配方法的应用【经典例题一用直接开方法解一元二次方程】【解题技巧】开平方法：对于形如n x 2或)0()(2 a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x 2的方程的解法：当0 n 时，n x ;当0 n 时，021 x x ;当0 n 时，方程无实数根。
【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程 20ax b ab 的两根分别是1m 和23m ，则ba的值为（）A ．16B ．259C ．25D ．259或25【答案】B【分析】直接开平方得到：bx a，得到方程的两个根互为相反数，所以1230m m ，解得23m ，则方程的两个根分别是153x ，253x ，则有53b a ，然后两边平方即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程2ax b 的两个根分别是1m 与213m ，且bx a，∴1230m m ，解得：23m ，即方程的根是：153x ，253x ，∴2259b b a a，故选：B ．【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程2(0)ax b ab ＝的两根互为相反数是解题关键．【变式训练】1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程22(1)3x 的解（）A ．12x ，23x B ．132x ，232x C ．1612x，612x D ．1612x，2612x 【答案】C【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解： 2213x ，2312x，612x，解得，1612x ，2612x ，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有： 20x a a ；2ax b （a b，同号且0a ）； 20x a b b ； 2( a x b c a c ，同号且0)a ．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，已知AOB 的面积等于16，则b 的值为______．【答案】8【分析】依据题目求出1,02A b， 0,B b ，再根据AOB 的面积等于16，即可得出答案．【详解】当0y 时，02x b∴12x b ，∴1,02A b，当0x 时，y b ∴ 0,B b ，∵直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，∴12OA b ，OB b∵AOB 的面积等于16，∴ 111622b b，解得：8b ，8b （不合题意，舍去）．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了一次函数与x 轴、y 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一次函数与x 轴、y 轴的交点的求法是解题的关键．3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程： 2222x a a ab b ．【答案】12x a b ，2x b ．【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解： 22x a a b ，∴ x a a b ，∴x a a b 或 x a a b ，解得：12x a b ，2x b ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程．【经典例题二用配方法解一元二次方程】【解题技巧】配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x 2)(的方程，再运用开平方法求解。
二次函数与一元二次方程(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第07讲 二次函数与一元二次方程1. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2. 经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．3. 会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；4. 经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．知识点1 二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：注意：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1) 当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2. 抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题． 抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定． （1） 当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； （2） 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； （3） 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．知识点2：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．注意：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.知识点3：点抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：【题型1：二次函数与x 轴交点问题】【典例1】（2023•遵义三模）二次函数y ＝2x 2﹣3x ﹣c （c ＞0）的图象与x 轴的交点情况是（ ） A ．有1个交点B ．有2个交点C ．无交点D ．无法确定【变式1-1】（2023•遵义三模）二次函数y ＝2x 2﹣3x ﹣c （c ＞0）的图象与x 轴的交点情况是（ ） A ．有1个交点B ．有2个交点C ．无交点D ．无法确定【变式1-2】（2023•汝阳县一模）二次函数y ＝ax 2﹣4x +2的图象与x 轴有两个不同交点，则a 可以是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【变式1-3】（2023•雨山区校级一模）若函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +1（a 为常数）的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 满足（ ） A ．a ＝且a ≠1 B ．a ＝ C ．a ＝1D ．a ＝或a ＝1【典例2】（2023•河西区二模）抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴的交点坐标为（ ） A ．（0，3）B ．（2，0）C．（1，0）和（3，0）D．（﹣1，0）和（﹣3，0）【变式2-1】（2022秋•东丽区期末）二次函数y＝2x2﹣8x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（﹣1，0），则另一个交点坐标为（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（5，0）D．（9，0）【变式2-2】（2022秋•太和县期末）若二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，则点B的坐标是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）D．（3，0）【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】【典例3】（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：x 3.23 3.24 3.25 3.26y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【变式3-1】（2022秋•夏津县期中）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x……2 2.1 2.2 2.3 2.4……y……﹣1﹣0.390.240.89 1.56……A．﹣4B．2.2C．﹣4.2D．﹣4.3【变式3-2】（2022秋•荆门期末）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（）A．y＝2x2和y＝x+2B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2C．y＝﹣2x2和y＝x+2D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2【题型3：已知函数值y求X的取值范围】【典例4】（2022秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…188202…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4B．0＜x＜5C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5【变式4-1】（2023•博兴县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…当y＜5时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．﹣1＜x＜5C．x＞4D．﹣2＜x＜4【变式4-2】（2023•阿瓦提县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜1D．x＜﹣1或x＞3【变式4-3】（2022秋•西岗区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（）A．1＜x＜5B．x≤5C．﹣1≤x≤5D．x＜﹣1或x＞5【题型4：二次函数与不等式的关系】【典例5】（2023•邹城市一模）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2＞y1时，x的取值范围（）A．x≥0B．0≤x≤1C．﹣2＜x＜1D．x≤1【变式5-1】（2023春•苏州月考）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m 交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【变式5-2】（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范围是．【变式5-3】（2022秋•大兴区校级期末）某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）Z的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N，则当y1＜y2时，自变量x的取值范围是．【题型5:二次函数综合】【典例6】（2023•牡丹区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴是直线x ＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【变式6-1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状；（3）已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出△ABM面积关系式，并求出当△ABM面积最大时点M的坐标．【变式6-2】如图，二次函数y＝（t﹣1）x2+（t+1）x+2（t≠1），x＝0与x＝3时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．（1）求二次函数的解析式．（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S最大．△PBC（3）点P是抛物线上x轴上方一点，若∠CAP＝45°，求P点坐标．1．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2．（2023•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+x﹣5与y＝x2+（m+n）x﹣5（m＞0＞n）关于y轴对称，则抛物线y＝mx2+2nx+m与x轴的交点情况是（）A．没有或有一个交点B．只有一个交点C．有两个交点D．没有交点3．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数的最大值是9B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣94．（2023•城中区三模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0无实数根，则抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2021•丽水模拟）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围可能是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.206．（2023•邵阳县二模）已知如图，平面直角坐标系中，一条直线y2与抛物线y1相交于、两点，求当y1＞y2时的x的取值范围是．7．（2023•泸县二模）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是．8．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．9．（2023•梧州一模）如图，直线y＝kx+h与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣2，m），B（6，n）两点，则关于x的不等式h＜ax2+（b﹣k）x+c的解集是．10．（2023•二道区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集为．1．（2022秋•沈河区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如下表：x…﹣11234…y…120﹣3﹣4﹣3…根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝5B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝2，x2＝7D．x1＝0，x2＝3 2．（2022秋•南宁月考）如表是二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y 的部分对应值，那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根的取值范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1.1～1.2B．1～1.1C．1.2～1.3D．1.3～1.4 3．（2022秋•北京期末）在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，先在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析图中的信息，方程的近似解是（）A．x1＝﹣3，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝﹣2，x2＝34．（2022秋•西城区校级月考）如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x≥1D．x≤1 5．（2022秋•南京期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c ＜3的解集是（）A．x＜0B．x＜﹣1或x＞3C．0＜x＜2D．x＜0或x＞2 6．（2022秋•河口区期末）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2，当y小于0时，自变量x的取值范围是．7．（2022秋•抚松县期末）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n 的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为．8．（2023•天宁区模拟）如图，直线y＝kx+h与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，m）、B（5，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是．9．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．10．如图，（1）求二次函数的解析式．（2）设二次函数与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使三角形PBD的周长最小，求出点D和点P的坐标．（3）在直线CD下方的抛物线上是否存在一点E，使得△DCE的面积最大，若有求出点E坐标及面积的最大值．。
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
第26章 专题06二次函数与一元二次方程重难点专练(教师版)
专题06二次函数与一元二次方程重难点专练（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＝0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】 【分析】除了x =2，y =﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x =2，y =﹣1错误． 【详解】由表中数据得x =0和x =4时，y =3；x =1和x =3时，y =0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x =2时y =﹣1错误，因为x=2为对称轴，则其所对的纵坐标必为最值，题中的-1不符合要求． 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．若方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则m 的取值范围是（ ） A ．4m <- B ．4m >-C ．4m <D ．4m >【答案】A 【分析】将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m 的取值范围．【详解】∵方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1， 令f （x ）=x 2+（m+2）x+m+5， 则f （1）=1+m+2+m+5＜0， 解得，m ＜-4． 故选A ． 【点睛】本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题． 3．抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0）【答案】A 【分析】根据y 轴上点的坐标特征把x ＝0代入y ＝-（x−1）2＋5，然后计算出对应的y 的值，即可确定抛物线与y 轴的交点坐标． 【详解】把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∵抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象上点的坐标满足其解析式．4．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点()2,0，对称轴为直线1x =-．下列结论：①0abc >；①80a c +=；①对于任意实数m ，总有()()2110a m b m -++≤；①对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（P 为常数，且0P ＞）的根为整数，则P 的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， a ＜0；∵抛物线的对称轴为直线x 2ba=-=-1＜0， ∵b ＜0；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，故∵正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝-1， ∵2ba-=-1， ∵b ＝2a ， ∵经过点()2,0∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0， ∵4a +4a +c ＝0， ∵8a +c ＝0， 故∵正确；∵当x ＝-1时，y 最大，即对于任意实数m 有a -b +c ≥am 2+bm +c ， ∵am 2+bm ≤a -b ，∵()()2110a m b m -++≤故∵正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝-1，与x 轴的一个交点是（2，0）， ∵抛物线与x 轴的另个交点是（﹣4，0）， ∵b ＝2a ，8a +c ＝0∵y ＝ax 2+2ax ﹣8a ＝a （x +1）2﹣9a （a ＜0）， ∵顶点坐标为（-1，﹣9a ），由图象得当0＜y ≤﹣9a 时，﹣4＜x ＜2，其中x 为整数时，x ＝-3，-2，-1，0，1， 又∵x ＝-3与x ＝1时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-3与x ＝1；又∵x ＝-2与x ＝0时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-2与x ＝0；当x ＝-1时，直线y ＝p 恰好过抛物线顶点． 存在P 使得根为x ＝-1所以P 值可以有3个．故∵正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x 轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 5．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 【答案】D 【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线12y x m =+与抛物线C 2相切时m 的值以及直线12y x m =+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线211(6)2(4)(8)22y x x x =--=--与x 轴交于点A 、B ， ∵B （4，0），A （8，0）． ∵抛物线向左平移4个单位长度． ∵平移后解析式21(2)22y x =--． 当直线12y x m =+过B 点，有2个交点， ∵1402m ⨯+=． 解得m =-2．当直线12y x m =+与抛物线C 2相切时，有2个交点， ∵211(2)222x m x +=--． 整理，得x 2-5x -2m =0． ∵∵=25+8m =0． ∵m =258-． 如图，∵若直线12y x m =+与C 1、C 2共有3个不同的交点， ∵258-＜m ＜-2． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．6．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；①关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；①7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >． ∵c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1， ∵a -b = -2,2a -b ＞0， ∵2a -a -2＞0， ∵a ＞2＞0， ∵b =a +2＞0， ∵abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∵∵=24(3)b a c --=28b a +＞0,∵230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ∵b =a +2，a ＞2，c =1， ∵a +b +c =a +a +2+1=2a +3， ∵a ＞2， ∵2a ＞4， ∵2a +3＞4+3＞7， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．7．将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3- B ．134-或3- C ．214或3- D ．134或3- 【答案】A 【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解． 【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B ∴-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b =+3b ∴=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -≤≤时，只有一个交点 当13x -≤≤的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到∴当13x -≤≤时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b ∴∆=--⨯⨯--=+= 214b ∴=-综上所述3b =-或214- 故答案是：A ．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．8．已知二次函数1y ＝a 2x +ax ﹣1，2y ＝2x +bx +1，令h ＝b ﹣a ，（ ） A ．若h ＝1，a ＜1，则2y ＞1y B ．若h ＝2，a ＜12，则2y ＞1y C ．若h ＝3，a ＜0，则2y ＞1y D ．若h ＝4，a ＜﹣12，则2y ＞1y【答案】B 【分析】先利用2y 减去y 1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a ＞0，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，据此对各个选项计算分析即可． 【详解】解：2y ﹣1y ＝（1﹣a ）2x +（b ﹣a ）x +2， 由2y ＞y 1得2y ﹣1y ＞0，∵1﹣a ＞5，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，A 、若h ＝1，a ＜1，则b ﹣a ＝1，1﹣a ＞0∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝1﹣8（1﹣a ）＝﹣7+8a ，无法判断∵与0的大小关系, 故A 错误； B 、若 h ＝2，a ＜12，则b ﹣a ＝2，8a ＜4, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝4﹣8（1﹣a ）＝﹣4+8a ＜0， 故B 正确；C 、若h ＝3，则b ﹣a ＝3，a ＜0,∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝9﹣8（1﹣a ）＝1+8a ， 无法判断∵与0的大小关系, 故C 错误； D 、若h ＝4，a ＜﹣12，则b ﹣a ＝4，1﹣a ＞32, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝16﹣8（1﹣a ）＝8+8a ＜4， 无法判断∵与0的大小关系, 故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用根的判别式和不等式的性质是解题的关键．9．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．则下列结论中，正确的是（ ）①0abc <；①2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；①203m n +<-． A ．①① B ．①①①C ．①①D ．①①【答案】B 【分析】由表知，当x =0和1时，函数值均为2，从而可得关于a 、b 、c 的方程组，可得a 与b 的关系及c 的值，再当12x =-时，与其对应的函数值0y <，可得关系a 的不等式，可判断a 的符号且可得a 的取值范围，从而可判断b 的符号，因而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等，从而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m ，再根据n 的值及a 的取值范围，即可对∵作出判断． 【详解】由表得：22c a b c =⎧⎨++=⎩ ，即2b ac =-⎧⎨=⎩∵22y ax ax =-+当12x =-时，与其对应的函数值0y <即112042a a ++< ∵83a <-∵b >0 ∵abc <0 故∵正确 ∵1222b a a a --=-= 即抛物线的对称轴为直线12x = ∵11(2)322--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等且为t 表明方程2ax bx c t ++=的两个根分别为x =-2和x =3 故∵正确 ∵11(1)222--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m 当x =-1时，n =a +a +2=2a +2 ∵n +m =2n =4a +4 ∵83a <- ∵n +m 203<-故∵正确 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，难点是∵和∵的判断，关键是抛物线的对称性及a 的取值范围．10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．有以下结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c t ++=的两个根；①83a <-；①203m n +>-．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得2b ac =-⎧⎨=⎩，可得二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2，根据当12x =-时，对应的函数值y ＜0，有a 83-＜，b 83＞，即得a ＜0，b ＞0，c ＞0，故∵∵正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x 12=，由抛物线过（-2，t ）而得必经过（3，t ），关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的实数根为2-和3，故∵正确；由m ＝2a +2，n ＝2a +2，结合a 83-＜，可得m +n 203-＜，故∵不正确； 【详解】解：将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：22c a b c =⎧⎨=++⎩，解得2b ac =-⎧⎨=⎩， ∵二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2， ∵当12x =-时，对应的函数值y ＜0，∵1412a +a +2＜0，∵a83-＜，∵﹣a83＞，即b83＞，∵a＜0，b＞0，c＞0，∵abc＜0，故∵∵正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），∵抛物线对称轴为x12 =，∵抛物线过（-2，t），∵根据对称性：抛物线过经过（3，t），∵关于x的方程ax2+bx+c＝t的实数根为2-和3，故∵正确；∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，∵m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，∵m+n＝4a+4，∵a83-＜，∵m+n203-＜，故∵不正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．二、填空题11．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.【答案】（0，2）【分析】令x=0求出y值，即可得答案.【详解】∵当x＝0时，y＝2，∵抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．故答案为：（0，2）【点睛】此题考查了二次函数与x轴、y轴的交点坐标，当x=0时，求得二次函数与y轴的交点，当y=0时，求得二次函数与x 轴的交点.12．二次函数y ＝x 2x y 轴的交点坐标是_____．【答案】（0． 【分析】根据图象与y 轴的相交的特点可求出坐标． 【详解】由图象与y 轴相交则x ＝0，代入得：y∵与y 轴交点坐标是（0；故答案为（0）． 【点睛】考查了图象与坐标轴相交的特点，一元二次方程的解，是基础题． 13．已知抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k ＝______． 【答案】3，﹣9，﹣3 【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x 轴上与y 轴上两种情况进行讨论． 【详解】解：当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在x 轴上时，∵＝0， 即∵＝[－（k+3）]2﹣4×9＝0，解得k ＝3或k ＝﹣9； 当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在y 轴上时，x ＝3022bk a ，解得k ＝﹣3．故答案为：3，﹣9，﹣3． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．如图，一段抛物线：(2)(02)y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ⋯如此进行下去，则2020C 的顶点坐标是_______．【答案】（4039，-1） 【分析】，当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，即可求解． 【详解】解：(2)(02)y x x x =--≤≤，令 y=0，则x=0或2， ∵A 1（2，0），从点O 到点A 2是一个完整周期，OA 1=2，故：OA 2=4， 当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；抛物线C n 横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039， 故答案为：（4039，-1）． 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到函数与坐标轴交点、图形旋转，关键是通过找规律的方式确定C 2020的位置．15．抛物线22+31y x x =--与x 轴的交点坐标是__________． 【答案】（12，0）或（1，0） 【分析】根据抛物线与x 轴的交点坐标特点，令y =0求解x 的值，即可求得坐标． 【详解】∵x 轴上点的纵坐标为0， ∵−2x 2+3x −1=0， 解得：x 1=12，x 2=1， ∵抛物线y =−2x 2+3x −1与x 轴的交点坐标是（12，0）或（1，0）， 故答案为：（12，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，熟知x 轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 16．己知抛物线()229y x a x =-++的顶点在x 轴上，则a =__________．【答案】4或－8 【分析】接利用二次函数的性质，得出∵＝b 2−4ac ＝0，进而得出答案． 【详解】∵抛物线y ＝x 2−（a ＋2）x ＋9的顶点在x 轴上， ∵∵＝b 2−4ac ＝[−（a ＋2）]2−36＝（a ＋2）2−36＝0， 解得：a ＝4或−8． 故答案为：4或−8． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出判别式的符号是解题关键． 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线2222y x tx t t =-+-++． （1）若该抛物线过原点，则t 的值为________．（2）已知点(4,2)A --与点(2,2)B -，若该抛物线与线段AB 只有一个交点，则t 的范围是__．【答案】1-或2 43,05t t -≤<-<≤ 【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；(2) 把点(4,2)A --与点(2,2)B -分别代入解析式，求出t 的值,再根据抛物线开口确定t 的范围． 【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线2222y x tx t t =-+-++得，202t t =-++，解得，11t =-，22t =；故答案为：1-或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线x t =；把点(4,2)A --代入解析式得，221682t t t -=---++，解得，13t =-，24t =-；当13t =-时，抛物线与线段刚好有两个交点(4,2)--和(2,2)--，当24t =-时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是43t -≤<-；把点(2,2)B -代入解析式得，22442t t t -=-+-++，解得，10t =，25t =；当10t =时，抛物线与线段刚好有两个交点(2,2)--和(2,2)-，当25t =时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是05t <≤； 故答案为：43,05t t -≤<-<≤ 【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，关于x 的方程20(0)ax bx c m m +++=>有两个根，其中一个根是5，若关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<有两个整数根，则这两个整数根分别是______．【答案】4或-2 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x 的方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，∵ax 2+bx +c =0的两个根为3和-1，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）有两个根，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的两个根为函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-m 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）一个根是5，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的另一个根为-3，函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， ∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根是函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-n 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间， ∵关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<的两个整数根是4或-2， 故答案为： 4或-2． 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．19．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c q ++=的两个根；①当0x >时，y 随x 的增大而增大；①43m n +>．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】∵∵ 【分析】根据表格信息和二次函数性质逐条判断即可． 【详解】解：∵由表格可知函数的对称轴为：x ＝12（-1+2）＝12，即122b a -=，=-b a ， ∵ab ＜0， ∵c ＝﹣2＜0， ∵abc ＞0，故∵错误； ∵∵函数的对称轴为：x ＝12，点（﹣2，q ）关于对称轴的对称点为（3，q ）， ∵﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝q 的两个根，故∵正确； ∵由∵得，b ＝﹣a ， 当x ＝﹣12时，y ＝14a ﹣12b ﹣2＞0， 解得：3a ﹣8＞0，∵a ＞83，抛物线的对称轴为直线12x =，当12x >时，y 随x 的增大而增大；当102x <<时，y 随x 的增大而减小；故∵错误；∵当1x =-时，m ＝a ﹣b ﹣2，当1x =时，n ＝a +b ﹣2， ∵m +n ＝2a ﹣4 ∵a ＞83， ∵m +n ＞43，故∵正确；故答案为∵∵． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．20．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；①若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；①若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________． 【答案】∵∵ 【分析】先联立方程组，得到2410ax x --=，根据判别式即可得到结论；∵先求出a ＜1，分两种情况：当0＜a ＜1时，当a ＜0时，进行讨论即可；∵求出抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而即可求解．【详解】解：联立22122y ax x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得2410ax x --=，∵∆=()()2441164a a --⨯-⨯=+，当0a <时，∆有可能≥0， ∵抛物线与直线22y x =+有可能有交点，故∵错误； 抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为：直线x =1a， 若抛物线与x 轴有两个交点，则∆=()2240a -->，解得：a ＜1， ∵当0＜a ＜1时，则1a ＞1，此时，x ＜1a，y 随x 的增大而减小， 又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间， ∵当a ＜0时，则1a ＜0，此时，x ＞1a，y 随x 的增大而减小， 又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故∵正确；抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫⎪⎝⎭，，∵111a a a-=+， ∵抛物线的顶点所在直线解析式为：x +y =1，即：y =-x +1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∵1010a a a⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得：1a ，故∵正确．故答案是：∵∵． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．21．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ＞0）的对称轴是直线x ＝1，图象与x 轴交于点（－1，0）．下列四个结论： ①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为121,3x x =-=； ①3a ＋c ＝0；①对于任意实数t ，总有2at bt a b ++；①不等式2()0ax b k x c k +-+-（k 为常数）的解集为1x <-或3kx a>+． 其中正确的结论是_________（填写序号）． 【答案】∵∵∵ 【分析】由抛物线与x 轴的交点坐标和对称轴对称即可判断∵；根据图象与x 轴交点的坐标和对称轴即可判断∵；先根据题意确定抛物线的最小值为a +b +c ，再由抛物线的性质可得at 2+bt +c ≥a +b +c 恒成立，即可判断∵；由∵得c =-3a ，b =-2a ，即y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k ，再由图象与x 轴交于点（－1，0）和对称轴x =1，可得y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴的另一交点，再分情况讨论即可判断∵． 【详解】解：∵抛钱与x 轴交于点（-1，0），且抛物线的对称轴：x =1， ∵抛物线与x 轴的另一交点为（3，0），∵方程ax 2+bx +c =0的解即就是抛物线与x 轴交点的横坐标：x 1=-1，x 2=3，则∵正确；将（-1，0）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 得：a -b +c =0 又∵抛物线的对称轴x =2ba-=1，即：2a +b =0， ∵3a +c =0，则∵正确； ∵抛物线的对称轴x =1且a >0， ∵抛物线开口向上， ∵物物线的最小值为a +b +c ，∵对任意t ，at 2+bt +c ≥a +b +c ，即at 2+b ≥a +b ，则故∵正确； 由∵可得：c =-3a ，b =-2a ，∵y =ax 2+（b -k ）x +c -k =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 对称轴(2)122a k kx a a-+=-=+当x =-1时，y =0，设y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴另一交点横坐标为t ，则1122t k a -=+得：3k t a=+ 当3k a +<-1，即k <-4a 时， ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≤3ka+或x ≥-1， 当k ≥-4a 时，ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≥3ka+或x ≤-1，则∵错误． 故填：∵∵∵． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，正确理解题意、掌握二次函数与一元二次方程和不等式的关系成为解答本题的关键．22．若关于x 的函数()()22454y a x a x a =---+的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_________．【答案】25208，， 【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论． 【详解】解：∵当a=2时，原函数解析式为 y=-3x+8 此时b=8≠0故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点∵当a≠2时，原函数为二次函数故该函数一定与y 轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0，4a) 当该交点是原点时，a=0，此时函数解析式为225=-+y x x方程2250x x -+=的判别式∵=25＞0故此时函数图象与x 轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点 当该交点不是原点时，a≠0因为该函数图象与坐标轴有两个交点 所以该函数与x 轴有且仅有一个交点则方程()()224540a x a x a ---+=有两个相等的实数根，可得∵=()()2454?2?40a a a ---= 整理，得 8a -25=0 解，得 a=258综上可知a=2，0，258． 故答案为：2,0，258． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的性质，分类讨论的思想解决本题，需要注意两个词：∵函数，∵与坐标轴的交点．23．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论： ①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；①若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-； ①抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >． 其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】∵∵∵【分析】∵将()3,0-代入解析式即可判定；∵由b =c ，可得a =-2c ，cx 2+bx +a =0可得cx 2+cx -2c =0，则原方程可化为x 2+x -2=0，则一定有根x =-2；∵当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a ，b ，c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0≤0，故∵错误；∵若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确． 【详解】解：∵抛物线经过点()3,0-∵()2033a b c =--+，即9a -3b +c =0 ∵0a b c ++= ∵b =2a 故∵正确；∵b =c ，0a b c ++= ∵a =-2c ， ∵cx 2+bx +a =0∵cx 2+cx -2c =0，即x 2+x -2=0 ∵一定有根x =-2 故∵正确；当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a 、b 、c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0，故∵错误；若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确． 故填：∵∵∵． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．三、解答题24．已知:如图，反比例函数的图象经过点A 、P ，点A(6,43)，点P 的横坐标是2．抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过坐标原点，且与x 轴交于点B ，顶点为P ． 求:（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B 点坐标．【答案】(1) 反比例函数的解析式为：y=8x；(2) y=﹣（x﹣2）2+4，B点的坐标为：（4，0）．【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案；（2）把x=2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y=0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【详解】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入得：43=k6，解得：k=8，即反比例函数的解析式为：y=8x；（2）把x=2代入y=8x 得：y=82=4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y=a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，即抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣2）2+4，把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+4=0，解得：x1=0，x2=4，即B点的坐标为：（4，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点．解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式；（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣23x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan①CEB 的值．【答案】（1）y ＝﹣23x 2﹣43x +2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）tan∵CEB 的值是23． 【详解】（1）∵抛物线y ＝﹣23x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2），∵()()2233032b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩， 得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∵y ＝﹣23x 2﹣43x+2＝()228133x -++， ∵抛物线顶点D 的坐标为（﹣1，83），即该抛物线的解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）∵y ＝()228133x -++，∵该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∵点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点C （0，2）， ∵点E 的坐标为（﹣2，2）， 当y ＝0时，0＝()228133x -++，得x 1＝﹣3，x 2＝1， ∵点B 的坐标为（1，0），设直线BE 的函数解析式为y ＝kx +n ，022k n k n +=⎧⎨-+=⎩，得2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线BE 的函数解析式为y ＝﹣23x +23，当x ＝0时，y ＝23， 设直线BE 与y 轴交于点F ，则点F 的坐标为（0，23）， ∵OF ＝23， ∵点C （0，2），点E （﹣2，2）， ∵OC ＝2，CE ＝2，∵CF ＝2﹣23＝43， ∵tan∵CEF ＝42323CE CF ==，即tan∵CEB 的值是23．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()4,5A 与点()0,3B -，且与x 轴交于点C 、D ．（1）求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标． （2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上， ①求n 的最小值；①若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--，()1,0-C ，()3,0D ；（2）∵-4，∵10m <<或21m <<【分析】（1）用待定系数法求函数的表达式，进而求解； （2）∵由2223(1)44y x x x =--=---，即可求解；∵令2|||23|3y x x =--=，解得2x =或1 【详解】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得51643b cc =++⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为223y x x =--， 令2230y x x =--=，解得3x =或1-， 故抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)、(1,0)-； （2）∵2223(1)44y x x x =--=---， 故n 的最小值为4-；∵令2|||23|3y x x =--=，解得x =0、2x =或1故m 的取值范围的10m <<或21m <<． 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数248(0)y mx mx m =-+-≠． （1）若0m >，当14x -≤≤时，函数图象的最低点M 的纵坐标为-18，求m 的值； （2）若该函数图象上有两点()()1122,,A x y B x y ，设12n x n ≤≤+，当26x ≥时，总有12y y ≤，求n 的取值范围；（3）已知(4,0)A -和(6,0)B ，若抛物线与线段AB 只有一个公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）m =2;（2）2≤n ≤ 4;（3）当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点． 【分析】（1）根据m ＞0，判断函数图像的开口向下，再根据对称轴：4222b m x a m=-=-=-，那么依据题意可知当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---，解之即可得到答案； （2）因为当26x ≥时，总有12y y ≤，那么根据函数的增减性可得当x ＞2时y 随x 的增大而增大，根据题意判断A 、B 两点的位置得到n ≥-2或n +2≤6，解得:-2≤n ≤ 4; （3）物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2;又因为抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，那么点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，根据当x =-4时，y ≥0，当x =-2时，y <0，即可解得:2134m --≤≤ ，即可得到答案． 【详解】 解：（1）∵m ＞0 ∵-m ＜0，∵抛物线开口向下，∵14x -≤≤，且对称轴4222b m x a m=-=-=- ∵当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---解得:m =2; （2）∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵当x ＞2时y 随x 的增大而增大，如图，x =6,关于x =2的对称的直线为x =-2,过交点P 作x 轴的平行线， ∵26x ≥∵点B 在x=6右侧，∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵点()11,A x y 在x =-2与x =6之间， n ≥-2或n +2≤6 解得:-2≤n ≤ 4;（3）∵抛物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,令-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2；又∵抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，如图，点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，当x =―4时，y ≥0，当x =-2时，y <0， 解得:2134m --≤≤ 综上所述:当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的最值、交点问题等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28．已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）21(0)b a a =-->；（2）56；（3）1344a ≤≤ 【分析】（1）利用待定系数法将点A 、B 的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在13x ≤≤范围内，y 的最大值只可能在1x =或3x =处取得，进行分类讨论∵若12y y <时，∵若12y y =，∵12y y >，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，即方程。
人教版九年级上册数学二次函数和一元二次方程的关系练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程的关系知识点回顾一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y =0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由ac b 42-=∆的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，042>-=∆ac b ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时042=-=∆ac b 方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，042<-=∆ac b ，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c )．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 课后作业 ●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________.(4)当x_____时,y 随x 的增大而减小.当x_____时,y 随x 的增大而增大.(5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________;与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.●能力提升6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 3 .(1)求这条抛物线的关系式.CBA x ODyE(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. 3.05m4m2.5mxOy(1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.C BAxOy●综合探究12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_________________伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫-⎪⎝⎭(3)小;52;94-(4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---.632BAxyO(2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++ ∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+ 当v=112时,22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=94.5,∴23351216s v v =+ 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示.∵y=x -2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x -2,2=m -2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x -2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 .由94x-3=0,得x=43.故C为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴点D坐标为(1.5,3.05).∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).3.05m4m2.5m xOyBDA9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx -P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x -150)2+2000. ∵-215<0,∴W 有最大值. 当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx -1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx -1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12,∴124022k --⨯+<,∴k>72. ∴k 的取值范围为k>72. 法二:∵抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k -1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩L g L又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2·OA ·OB=17.③把①,②代入③,得m 2-4(m -3) =17,∴m 2-4m -5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴OC 2=OA ·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x -3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x -0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴22442ac b b m c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g 解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g , ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=∴,C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,∴又AB=x2-x1=.由AB=CD,得整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).。