一元二次方程应用重点难点
兀二次方程
1..已知：关
于
尸 A 的方程 _
~ 1 A4 "i'm" rm
- 35’ I2m J = 0
⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根;
2. （2010年广东省广州市）已知关于 x的一元二次方程 2 I 有两个相
等的实数根，求"了了 U「匚的值。
商铺每间每年
交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000元.
（1） 当每间商铺的年租金定为 13万元时，能租出多少间？
（2） 当每间商铺的年租金定为多少万元时 ，该公司的年收益（收益=租金一各种费用）为
275万元？
4.2010年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3月分的14000
元/ ' :下降到5月份的12600元/ '
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：」 ''）
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7月分该市的商品房成交均价是否
会跌破10000元/ ■ ?请说明理由。
（2010年山东聊城2009年我市实现国民生产总值为 1376亿元，计划全市国民生产总值以后三
年都以相同的增长率一实现，并且 2011年全市国民生产总值要达到 1726亿元.
（1 ）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到 1%
3. （2010年浙江省绍兴市某公司投资新建了一商场
,共有商铺30间.据预测，当每间的年租金定
为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加
5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的
（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到
5.
、 是方程- 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
(1) ， (2) h _ 巴丨(3) ' W - -
6. 已知关于■的方程
〕芟注沁爲-圣'-:田
有两个实数根，并且这两个根的平方 和比这两个根
的积大16,求，的值。
探索与创新：
【问题一】已知、是关于的一元二次方程 ■ ' 的两个非零
实数根，问： 与’能否同号？若能同号请求出相应的■-的取值范围；若不能同 号，
请说明理由。
【问题二】已知 、 是一元二次方程■'■■■■' - 的两个实数根。
(
2 X
一 K M 一 丁譚
1 —=—
(1)是否存在实数：，使. 成立？若存在，求出：的值；若
不存在，请说明理由。
—L 4■亠-2
(2)求使 ’ 的值为整数的实数：的整数值。
7. ( 2011南充市中考)18.关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.
(1 )求k的取值范围；
(2)如果x1+x2-x1x2 v -1且k为整数，求k的值。
8.. (2011义乌市中考)19.商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利50元.为了
尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施 .经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平
均每天可多售出2件•设每件商品降价 x元.据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 ▲件，每件商品盈利 ▲元(用含x的代数式表示)；
(2 )在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到
2100 元？
1亿元）
9.若关于x的一元二次方程 -:-的两个实数根为 、 ，且满足 “，
试求出方程的两个实数根及 k的值.
10 （ 2011桂林市中考）23.（本题满分8分）某■市为争创全国文明卫生城， 2008年市政府对
市区绿化工程投入的资金是 2000万元，2010年投入的资金是 2420万元，且从2008年到2010
年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同
（1 ）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在 2012年需投入多少万元？
11.分解因式：J 1
12. （ 2009年四川绵阳） 已知关于x的一元二次方程 X2 + 2 （ k — 1） x + k2- 1 = 0有两个不 相
等的实数根.
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.
13. （2009年内蒙古包头）关于，的一元二次方程的两个实数根分别是 勺禺，且4 A- _ 7 ,则西 > 的值是
（）
A. 1 B . 12 C . 13 D . 25
14. （2009年山东淄博） 已知…-是方程…-■ 的两个实数根，且
舛
¥ 2X,
= 3 - <2
（1） 求' 及a的值；
（2） 求- 的值.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
15. （2009年广东中山 已知：关于'的方程 ■ * - 1 -
（1 ）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 ’，求另一个根及：值.
16. （2009年重庆江津区） 已知a、b、c分别是△ ABC的三边，其中a= 1,c= 4,且关于 x的方程'
I
-
- •有两个相等的实数根，试判断厶ABC的形状.
一元二次方程应用(7个考点七大题型)(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题 1.4一元二次方程应用（7个考点七大题型）【题型1变化率问题】【题型2传播问题】【题型3树枝分叉问题】【题型4单循环和双循环问题】【题型4销售利润与一次函数综合问题】【题型5销售利润每每问题】【题型6几何图形问题】【题型7几何中动点问题】1．（2023•渝中区校级模拟）我校初三某班第一次体育模拟测试平均分为43.2分，经过专业的体育指导和训练后，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试平均分达到46.7分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为x，则可列方程为（）A．43.2（1+x）＝46.7B．46.7（1﹣x）＝43.2C．43.2（1+x）2＝46.7D．46.7（1﹣x）2＝43.2 2．（2023•重庆模拟）某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）2＝49B．25（1+x）+25（1+2x）＝49C．25（1+x）+25（1+x）2＝49D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝493．（2023春•萨尔图区校级期中）某校图书馆六月份借出图书100本，计划七、八月份一共借出图书480本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝480B．100（1+x）+100（1+x）2＝480C．100（1﹣x）2＝480D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝4804．（2023•渝中区校级二模）随这疫情消退我国经济强势崛起，2023年某外贸企业二月份的销售额为3亿元，四月份的销售额为6.75亿元．设该企业二月到四月销售额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程是（）A．3（1+x）＝6.75B．3（x+1）2＝6.75C．3+3（1+x）2＝6.75D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝6.755．（2023•长沙一模）长沙已成为国内游客最喜欢的旅游目的地城市之一，调查显示，长沙在2021年五一假期，共接待游客200万人次，在2023年五一假期，共接待游客288万人次．（1）求长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率；（2）茶颜悦色已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品，已知幽兰拿铁的单价比声声乌龙贵2元，某导游花费216元购买幽兰拿铁的杯数是96元购声声乌龙的两倍，求幽兰拿铁的单价．6．（2023•南海区一模）富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．（1）求富强村人均收入的年平均增长率；（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．7．（2023•澄城县一模）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．8．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81 9．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（）A．（1+x）2＝361B．x2＝361C．1+x+x2＝361D．x（1+x）＝361 10．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．2028 11．（2023春•诸暨市月考）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是人．12．（2023春•金安区校级月考）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？13．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？14．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？15．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？16．（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6B．4C．3D．5 17．（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）A．8个B．7个C．6个D．5个18．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7 19．（2022秋•武昌区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出个小分支．20．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？21．（2022秋•滨海新区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的枝干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．22．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．10 23．（2023•闽清县校级模拟）某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（）A．x2＝28B．x2＝28×2C．D．x（x﹣1）＝28×2 24．（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9 25．（2023•博罗县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支26．（2022秋•集贤县期末）在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）A．x（x+1）＝21B．x（x+1）＝21C．x（x﹣1）＝21D．x（x﹣1）＝2127．（2023春•拱墅区校级期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（）A．x（x+1）＝182B．x（x﹣1）＝182C．D．28．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（）A．B．x（x﹣1）＝4C．x（x+1）＝28D．29．（2023•四川模拟）命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（）A．B．x（x﹣1）＝40C．D．x（x+1）＝40 30．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．31．（2022秋•公安县月考）在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了380份礼物，则参加聚会的同学的人数是．32．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？33．（2023•中山市校级模拟）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？34．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如表：每件售价x（元）91113每天的销售量y（件）1059585（1）求y与x的函数解析式；（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？35．（2022秋•云梦县期中）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x（元/件）…354045……908070…每天销售数量y（件）（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请直接写出销售单价x的所有可能取值．36．（2022秋•铁西区期中）某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系y＝kx+b，且x＝60时，y＝5；x＝80，y＝4．（1）求出y与x的解析式；（2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．37．（2023•南海区校级模拟）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．…20.52426.526…售价x（元/千克）销售量y（千克）…39322728…（1）某天这种水果的售价为25元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？38．（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？39．（2023春•嵊州市校级期中）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？40．（2023春•庐阳区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？41．（2023春•宁波期中）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？42．（2022秋•代县期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．43．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？44．（2023春•瓯海区期中）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？45．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或646．（2023春•襄州区校级月考）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？47．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．48．（2021秋•集贤县期末）如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？49．（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．50．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．51．（2022秋•石狮市期末）为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（墙足够长），用总长为28米的篱笆围成一个长方形苗圃OABC．设AB＝x米，BC＝y米．（1）求苗圃OABC的面积；（用含x的代数式表示）（2）若苗圃OABC的面积为192平方米，现要在苗圃OABC的对角线上修一条小道AC，求小道AC的长．52．（2023•播州区一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x 米，剩余部分为绿化．（1）道路①的面积为20x平方米；道路②的面积为20x平方米（都用含x的代数式表示）；（2）如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．53．（2022秋•昆都仑区期末）如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，已知墙长为12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？54．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．55．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B 点时点Q随之停止运动．（1）AP＝，BP＝，CQ＝，DQ＝（用含t的代数式表示）；（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．57．（2022秋•江门校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC 向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停＝28cm2？若存在，请求出t的值；止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ若不存在，请说明理由．58．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？59．（2022春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？。
数学全国版教案 八升九-11一元二次方程的实际应用
《动态数学思维》教案（3）解这个方程，得：_______________；（4）检验：_____________；（5）答：比赛组织者应邀_______个队参赛. 答案：（1）x-1，28；（2）12x(x-1)=28；（3）x1=8，x2=-7；（4）x2=-7＜0（舍去）；（5）8.学生独立完成，并请一名学生讲解.以渔得鱼（学生独立完成，并指定基础薄弱的学生回答）学校组织“运动让生活更美好”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队有多少支？答案：解：设参赛球队有x支，则12x(x-1)=21，解得：x1=7，x2=-6.因为-6＜0，所以舍去.答：参赛球队有7支. 总结：1.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.2.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).三、知识检验若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.3.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.4.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).如图所示，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？答案：（1）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=150，解得：x1=10，x2=7.5.当x=10时，35-2×10=15，15＜18，符合题意.当x=7.5时，35-2×7.5=20，20＞18，不符合题意.答：鸡场的长为15米，宽为10米.（2）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=200，整理得：2x2-35x+200=0.因为 =b2-4ac=(-35)2-4×2×200=-375＜0，所以该方程无实数根.答：围成鸡场的面积不能达到200平方米.总结：①应用一元二次方程解决图形面积问题时，首先确定图形边长的数量关系，然后由图形面积建立一元二次方程并求解；②注意所求结果需满足实际情况.拓展延伸：2.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.（1）求出S 关于t 的函数关系式； （2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？答案：（1）解：①当t ＜10s 时，P 在线段AB 上，此时CQ =t ，PB =10-t . 所以S =12t (10-t )=-12t 2+5t . ②当t ＞10s 时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ =t ，PB =t -10.所以S =12t (t -10)=12t 2-5t . （2）解：因为S △ABC =12AB ·BC =50.①当t ＜10s 时，S =-12t 2+5t =50. 整理得t 2-10t +100=0无解. ②当t ＞10s 时，S =12t 2-5t =50. 整理得t 2-10t -100=0，（2）若该酒店希望每天净利润为14000元且能吸引更多的游客．．．．．．．，则每件客房的定价应为多少元？答案： （1） 60-10x ；200+x ；20(60-10x). （2）解：由题意可得：(200+x -20)(60-10x)=14000. 整理得：x 2-420x +32000=0， 解得：x 1=100，x 2=320.当x =100时，200+100=300（元），60-10010=50（间）. 当x =320时，200+320=520（元），60-32010=28（间）. 所以当x =100时，能吸引更多的游客. 答：每间客房的定价应为300元. 总结：①应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：②注意所求结果需满足题意要求.拓展延伸：1.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但是商店为了适当增加销售，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元.（1）第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为 （用x 的关系式表示）.（2）求这批旅游纪念品第二周的销售价格.答案：（1）200+50x ；（2）由题意得：4×200+(4-x )(200+50x )+(4-6)(600-200-200-50x )=1250. 整理得：x 2-2x +1=0. 解得：x 1=x 2=1. 10-1=9（元）.答：这批旅游纪念品第二周的销售价格为9元.三、知识检验6.如图所示，小华要将一幅长120cm ，宽20cm 的书法进行装裱，装裱后的矩形面积是5600cm 2，并使上、下、左、右边衬的宽度相同，那么四周边衬的宽度是多少厘米？7.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个.定价每增加1元，销售量将减少10个.（1）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少．．．．．．，则每个定价为多少元？（2）当每个小家电定价为多少元时，商店可获得的利润最大.8.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图①、图②和图③所示（阴影部分为草坪）.请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.①甲方案设计图纸为图①，设计草坪的总面积为600平方米；②乙方案设计图纸为图②，设计草坪的总面积为600平方米；③丙方案设计图纸为图③，设计草坪的总面积为540平方米.拓展创新：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm，BC=8cm.有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm／s，在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm／s.若设P出发后时间为t 秒.连接AP，PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值.答案：解：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7，t2=6-7（舍）.∴当t =6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为6-7秒、5秒、7秒、6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .四、课堂小结1.传播问题：设平均每轮每个传播的数值为x.初始值第一轮第二轮m m+mx(m+mx)+(m+mx)x若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.2. 赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.双循环（分主客场）比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).3.平均增长(下降)率问题：设平均增长(下降)率为x.原始值第一次增长(下降)第二次增长(下降)a a±ax(a±ax)±(a±ax)x若经过两次相同百分率的变化后数值为b，则有方程a(1±x)2=b.4. 应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：5. 注意所求结果需满足题意要求.知识检验答案2. D3. 94. 405.解：（1）设每年的平均增长率为x，则2500(1+x)2=3600，解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍）.0.2=20%.答：每年的平均增长率为20%.（2）3600×(1+0.2)=4320（万元）答：2017年该县投入的教育经费为4320万元.6.解：设四周边衬的宽度为x cm，则(120+2x)(20+2x)=5600，解得：x1=10，x2=-80（舍）.答：四周边衬的宽度是10cm.7.解：（1）设定价为x元，则销售量为[400-10(x-50)]元，由题意可得：(x-40)[400-10(x-50)]=6000，解得：x1=60，x2=70，当x=60时，进货量为400-10×10=300（个）；当x=70时，进货量为400-10×20=200（个）.所以当x=20时，进货量较少.答：每个定价为70元，可获得利润6000元，并且使进货量较少.（2）设定价为x元，利润为W元，则：W=(x-40)[400-10(x-50)]=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250所以当x=65时，W最大为6250.答：即每个定价为65元，获得的利润最大，最大利润为6250元.8.解：设道路宽度都为x m，①(35-2x)(20-2x)=600；②(35-x)(20-x)=600；③(35-2x)(20-x)=540.拓展创新：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t17，t2=67（舍）.∴当t 7△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为67秒、5秒、7秒、7秒时，△PCQ面积为3cm2 .。
人教课标版 _ 九年级上册(年3月第1版) _ 一元二次方程的应用(利润问题)(19张PPT)
解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
答：这个增长率为50%. 注意 增长率不可为负，但可以超过1.
解应用题的一般步骤？
第一步：设未知数(单位名称); 第二步：根据相等关系列出列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：检查求得的值是否符合实际意义； 第五步：写出答案（及单位名称）。
解 : 设每张贺年片应降价x元, 根据题意, 得 (0.3 - x)(500+100× x ) =120. 0.1 整理得:100x2 +20x - 3= 0. 解这个方程, 得 x1 = 0.1, x2 = -0.3(不合题意,舍去).
答 : 每张贺年片应降价0.1元.
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长 了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三 次数学成绩是多少？
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月上午4时58分21.8.2504:58August 25, 2021
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16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月25日星期三4时58分25秒04:58:2525 August 2021
答: 每件服装应降价36元或4元.
例2、新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调 研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而 当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使 这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的 定价应为多少元?
一元二次方程的应用(2)
教学过程复习预习1.列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)列一元二次方程解决实际问题的关键是由已知条件确定等量关系.(2)列一元二次方程解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量之间的数量关系)；设(直接方法或间接方法设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中分析的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验)；验（检验所求方程的解能否保证满足实际问题中的存在意义）答(写出所求问题答案).2.几何面积问题三角形面积=底乘高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘宽；不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
二知识讲解考点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是全方面审题；二是把分析问题中的数量关系，并列出等量关系式；三是正确求解方程并检验方程的根是否符合实际意义。
例题精析【例题1】【题干】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【答案】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【解析】考查一元二次方程的几何面积应用问题，已知矩形面积求满足条件的长和宽的优化设计；围墙MN最长可利用25m是解决本题的易错点；矩形周长的长、宽关系是解决本题的关键．【例题2】【题干】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽。
（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？【答案】解：（1）设游泳池的宽为x米，则长为2x米，（2x+2+5+1）(x+2+2+1+1)=1798整理，得：解得：（不合舍去）由得∴游泳池的长为50米，宽为25米。
初中数学_4.7 一元二次方程的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《一元二次方程的应用---增长率问题》教学设计教学目标1、知识与技能掌握建立数学模型的思想方法，以解决增长率问题。
2、过程与方法通过在实际情境中提出问题并列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观4、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养合作交流意识。
二、重点难点：学会运用一元二次方程解决增长率问题。
三、教学过程：（一）导入新课：1、新课导入：通过回忆列方程解应用题的一般步骤导入新课（师生共同回忆）。
2、通过两个简单的问题让学生初步体会什么是增长率（同桌交流体会），然后让学生自己举例说明什么是增长率，让其对增长率有更深的认识（教师注意引导）3、通过几个填空题具体探讨几个增长率问题并总结归纳其规律，（学生自行讨论解决，教师适时引导启发，不要过多干涉）（二）探究新知：1、某工厂2002年的产值是500万元,2004年的产值是605万元, 求2002-2004年该厂产值的年平均增长率。
那增长率呢？（师生一起解决，学生板演，师生共同分析点评解题步骤，注意引导学生让其体会增长率与平均增长率的不同）2、教师总结出增长率公式，学生解析，更进一步体会增长率的概念。
3、介绍降低率，并作相应的练习某种药剂原售价为每盒4元, 经过两次降价后每盒售价为2.56元,求该药品平均每次的降价率。
（师生共同分析解决）4、教师总结展示降低率公式，学生解析。
（三）学以致用：1、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.（学生自行解决，指名学生板演步骤，学生解析步骤）。
2、若调整计划,两年后的财政净收入值为原值的1.5倍，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少?（让学生自己解决，在没有起始量终止量的情况下如何解决，考查学生的应对能力）3、我市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少?（学生如何理解“翻一番”问题）4.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？（学生自行解决，让学生进一步体会增长率，并通过竞赛的形式进行，提高学生的积极性）（四）课堂小结（五）作业布置（分层次布置作业，让学生都能“吃饱”）作业一：P154习题4.7 1-4题;作业二：某养鱼户搞池塘养鱼已三年，头一年放养鱼苗20000尾，其成活率约为70%，在秋季捕捞时，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）0.8 0.9 1.2 1.3 0.8 1.1 1.0 1.2 0.8 0.9 （1）根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？（2）如果把这塘鱼全部卖掉，其市场售价每千克4元，那么能收入多少元？除去当年的投资成本16000元，第一年纯收入多少元？（3）已知该养鱼户这三年纯收入为132400元，求第二年、第三年平均每年的增长率是多少？（六）板书设计；三、教学目标1、会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力，分析问题，解决问题的能力3、在应用一元二次方程解实际问题的活动中，增强数学应用意识，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣四、评价设计1、评价内容和方式：（1）、课题开展前：通过回顾复习列一元一次方程解实际应用问题的基本步骤，逐渐过渡到新课（2）、课题开展中：引入一元二次方程实际问题中的面积问题以及增长率（降低率）问题，使学生进一步掌握新知（3）、课题开展后：教师与学生共同总结，布置思考题2、评价工具：利用了ppt，将新课更加生动形象化地展示在学生面前，使学生在寓教于乐中获得新的知识五、教学过程1、课前导入：回顾复习列一元一次方程解实际应用问题的基本步骤2、教学内容的处理（1）、给出一道关于面积问题的例题，讲练结合，并让学生观察，组织学生探讨，引导学生学会寻找等量关系（2）、给出一题关于增长率（降低率）问题，使学生了解掌握增长率（降低率）的基本公式（3）、给出一题关于增长率（降低率）问题的习题，加固新知3、教学方法：讲练结合，并配以教师引导的教学模式具体教学过程：一、复习回顾列一元一次方程解实际应用问题的基本步骤“审”是指读懂题目，审清题意，明确已知和未知，以及他它们之间的数量关系“设”是指设元，分为直接设元和间接设元“列”是指列方程，根据问题情境找出题目中的等量关系，列出含有未知数的等式，即方程“解”是指求出所列方程的解“检”是指解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意“答”是指书写答句和答案二、引入新课《一元二次方程的应用》学情分析本节课之前学生已经学习了一元二次方程的几种解法，并研究了如何运用一元二次方程的有关知识解决与面积有关的问题，并总结出了列方程解应用题的一般步骤，所以学生对这方面的问题并不陌生，但应用题本身对学生来说就是一个难点，学生有一定的抵触心理，教学中应注意帮助学生克服这一困难。
《一元二次方程》大单元教学设计
单元学习重难点 重点:
1.一元二次方程及其它有关的概念
2.用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方 程
3利用实际问题建立一元二次方程的数学模型, 并解决 这个问题
单元学习重难点 难点: 1.一元二次方程配方法解题
2.用公式法解一元二次方程时的讨论 3.一元二次方程根的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系 5.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解 与实际问题解的区别
3
专题三
一元二次方程的应用
（4课时）
第一课时
第二课时
第三课时
第四课时
以目标为导向的”教—学—评“一体化活动设计
课 型 一元二次方程的应用
教学目标
1.能根据具体几何实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解. 2.体会方程建模思想，培养数形结合意识.
教学活动 创设几何类型的一元二次方程问题
学生找出等量关系探究设计方案
以目标为导向的”教—学—评“一体化活动设计
复习回顾配方法解一元二次方程的步骤
教学活动 点拨总结公式法解一元二次方程的步骤
达成评价 会用公式法解一元二次方程
探究推导一元二次方程求根公式 跟踪练习
讨论求根公式的条件
精讲
第一课时
第二课时
第三课时
题目
用公式法解一元二次方程
以目标为导向的”教—学—评“一体化活动设计
专题二主要讨论一元二次方程的基本解法, 为专题三提供方法支 持, 最后增加了选学内容“一元二次方程的根与系数的关系”, 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识。
专题三
专题三结合实际问题, 重点分析实际问题中的数量关系并以一元 二次方程的形式进行表示, 进而巩固专题二中一元二次方程的解 法。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。
同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。
当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
苏教版九年级上册数学[一元二次方程的应用--知识点整理及重点题型梳理](基础版)
苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0解得 x 1＝4，x 2＝8，当x ＝4时12-x ＝8；当x ＝8时12-x ＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x ，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【388525 ：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x xx x -=- 整理，得：2317200x x -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x = 24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2． （2016•巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【思路点拨】 设该种药品平均每场降价的百分率是x ，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x ）2，据此列出方程求解即可．【答案与解析】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x ，由题意得：200（1﹣x ）2=98解得：x 1=1.7（不合题意舍去），x 2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．举一反三：【388525 ：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为：600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -= 415x -=± ∴115x =， 295x = 295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【答案与解析】解：降价x 元，则售价为（60﹣x ）元，销售量为（300+20x ）件，根据题意得，（60﹣x ﹣40）（300+20x ）=6080，解得x 1=1，x 2=4，又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，答：应将销售单价定位56元．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．类型四、形积问题4．（2015•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案与解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2，8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．。
湘教版九年级数学上册第2章教案：一元二次方程的应用
2。
5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题、【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
【情感态度】在应用一元二次方程的过程中,提高学生的分析问题、解决问题的能力、【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题、教学过程一、情景导入,初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题,②设未知数,③列方程,④解方程,⑤答、【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用,实际上是据实际题意,设未知数,列出一元一次方程求解,从而得到问题的解决。
但有的实际问题,列出的方程不是一元一次方程,是一元二次方程,这就是我们本节课所研究的问题,一元二次方程的应用、二、考虑探究,获取新知1。
某省农作物秸秆资源巨大,但合理使用量十分有限,因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率,若今年的使用率为４0％,计划后年的使用率达到9０％,求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析:由于今年到后年间隔两年,因此问题中涉及的等量关系是:今年的使用率×(１+年平均增长率)２＝后年的使用率解:设这两年秸秆使用率的年平均增长率为ｘ,则依照等量关系,可列出方程: 40%(1+x)２＝９0%解得:x1=50%,x2=-２。
5依照题意可知:ｘ=５0%答:这两年秸秆使用率的平均年增长率为50％。
2、为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由１00元降为81元、求平均每次降价的百分率、分析:问题中涉及的等量关系是:原价×(1-平均每次降价的百分率)2＝现在的售价解:设平均每次降价的百分率为x,则依照等量关系,可列出方程:100(1—x)2＝8１解得:x1=１0%,x2＝1、9依照题意可知:x＝10％答:平均每次降价的百分率为10%。
一元二次方程数学教学教案5篇
一元二次方程数学教学教案5篇一元二次方程数学教学教案1一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。
2、教学目标及确立目标的依据九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识目标：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
能力目标：通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。
德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
3、重点，难点及确定重难点的依据“一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。
二、教材处理在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。
三、教学方法和学法教学中，我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手，类比发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学生发现规律，并总结规律，最后达到问题解决。
四、教学手段采用投影仪五、教学程序1、新课导入：(1)什么叫一元一次方程?(并引入一元二次方程的概念做铺垫)(2)列方程解应用题的方法，步骤?(并引例打基础)课本引例(如图)由教师提出并分析其中的数量关系。