K M 算 法 详 解

二分图最大权匹配 KM算法
KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[i]=w[i][j]的边C（i，j）构成的子图（即相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配
基本概念
1.完备匹配
设G=V1,V2,E为二分图，|V1|=|V2|,M为G中的一个最大匹配，且|M|=V1,则称M为V1到V2的完备匹配。

通俗的理解，就是把V1中所有的点都匹配完
2.可行顶标
对于左边的点设为LX[maxn]数组，右边的点设为LY[maxn]数组，w[i][j]表示 v[i] 到 v[j] 的权值
3.相等子图
相等子图为完备匹配中所有的匹配，即全部V1中的点和与V1中的点匹配的V2中的点，但是边只包含 LX[i]+LY[j]=W[i][j]的边
4.最优完备匹配
最优完备匹配就是在完备匹配的条件下求解权值最大或者最小，若由二分图中所有满足A[i]+B[i]=W[i][j]的边C（i，j）构成的相等子图有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含相等子图，那么它
的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和，所以相等子图的完备匹配，一定是二分图的最大权匹配。

5.交错树
对V1中的一个顶点进行匹配的时候，所标记过的V1，V2中的点以及连线，形成一个树状的图
KM算法原理
1.基本原理
该算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题。

设顶点V1的顶标lx[i]，V2顶点的顶标为LY[j],顶点V1的i与V2的j之间的边权为V(i,j)。

在算法执行的过程中，对于任一条边C(i,j)，LX[i]+LY[i]=V[i,j]始终成立
2.基本流程
（1）初始化时为了使 LX[i] + LY[j] = V [i,j]恒成立，将V1的点的标号记为与其相连的最大边权值，V2的点标号记为0 （2）用匈牙利算法在相等子图寻找完备匹配
（3）若未找到完备匹配，则修改可行顶标的值，扩充相等子图（4）重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配为止
3.这里值得注意的是找完备匹配不难理解，主要是进行可行顶标的修改扩充相等子图
朴素的实现方法：时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，
每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。

实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。

我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。

在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。

这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。

但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个V1顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。

这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是V1顶点。

现在我们把交错树中V1顶点的顶标全都减小某个值d，V2顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：1）两端都在交错树中的边(i,j)，lx[ i ]+ly[j]的值没有变化。

也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

2）两端都不在交错树中的边(i,j)，lx[ i ]和ly[j]都没有变化。

也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

3）V1端不在交错树中，V2端在交错树中的边(i,j)，它的lx[ i ]+ly[j]的值有所增大。

它原来不属于相等子图，现在仍不属
于相等子图。

4）V1端在交错树中，V2端不在交错树中的边(i,j)，它的lx[ i ]+ly[j]的值有所减小。

也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

--HDU2255
#includeiostream
#includecstdio
#includecstring
using namespace std;
#define maxn 310
#define INF 0x3f3f3f3f
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
int w[maxn][maxn];--w[i][j]表示i到j的权值
int lx[maxn],ly[maxn];--同时调节两个数组，使得权值和最大--n1,n2为二分图的顶点集，其中x属于n1,y属于n2
--link记录n2中的点y在n1中所匹配的x点的编号
int link[maxn];
int slack[maxn];--松弛操作
int visx[maxn],visy[maxn];
bool dfs(int x)
visx[x]=1;--得到发生矛盾的居民集合
--对于这个居民，每个房子都试一下，找到就退出
if(visy[y]) continue;--不需要重复访问
int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];--这个条件下使用匈牙利算法
if(t==0)--标志这个房子可以给这个居民
visy[y]=1;
--这个房子没人住或者可以让住着个房子的人去找另外的房子住 if(link[y]==0||dfs(link[y]))
link[y]=x;
return 1;--可以让这位居民住进来
else if(slack[y]t)--否则这个房子不能给这位居民
slack[y]=t;
return 0;
clr(lx);
clr(ly);
clr(link);
--首先把每个居民出的钱最多的那个房子给他
for(int i=1;i=n;i++)
for(int j=1;j=n;j++)
if(lx[i]w[i][j])
lx[i]=w[i][j];
--在满足上述条件之后，给第i位居民分配房子
for(int i=1;i=n;i++)
slack[j]=INF;--松弛量
while(1)--直到给这个居民找到房子为止
clr(visx);
clr(visy);
if(dfs(i)) break;--找到房子，就跳出循环
int d=INF;
for(int k=1;k=n;k++)
if(!visy[k]dslack[k])
d=slack[k];--找到最小松弛量
for(int k=1;k=n;k++)--松弛操作，使发生矛盾的居民有更多选择
if(visx[k]) lx[k]-=d;
--将矛盾居民的要求降低，使发生矛盾的居民有更多
if(visy[k]) ly[k]+=d;
--使发生矛盾的房子在下一个子图，保持矛盾
int ans=0;
for(int i=1;i=n;i++)
ans+=w[link[i]][i];
return ans;
int main()
while(~scanf("%d",n)){
clr(w);--每个案例都重置为0
for(int i=1;i=n;i++)
for(int j=1;j=n;j++)
scanf("%d",w[i][j]);--输入每条边的权值
printf("%d",KM());
return 0;
3.这里值得注意的是找完备匹配不难理解，主要是进行可行顶标的修改扩充相等子图，有：
for(int i=1; i=ny; i++){
}for(int i=1;i=lx;i++) cinl[i];
else % 如果出现空类，从数据集中随机选中一个点作为中心Mask R-CNN算法详解论文背景算法背景算法详解RoIAlign神经网络结构FPN实验
if(visy[y]) continue;--不需要重复访问
val_gril[i]=max(val_gril[i],mmp[i][j]);
==============为女3找对象失败============
10 int ex_girl[MAXN]; -- 每个妹子的期望值
23 bool* vis_b;-- 记录每一轮匹配过的b类对象。