2017年福建省莆田六中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
福建省莆田第六中学2017-2018学年高一上学期第二次月考数学试题(A卷) Word版含答案
莆田第六中2017-2018学年高一12月月考A 卷数学试卷（时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为（ ）A ．4B ．－．35-2．10sin()3π-的值等于 （ ）A ．21 B ．－21 D ．－23 3．函数1()2sin()24f x x π=+的周期，振幅，初相分别是（ ）A ．4π，2，4π B ．4π，2-，4π- D ．2π，2，4π4．若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 （ ）B 2C ．12D ． 12-5．函数y = （ ）A ．[,]33ππ-C ．(,)33ππ- D ．(2,2),33k k k Z ππππ-+∈6．计算0000sin347cos148sin 77cos58+的值为 （ ）A ．12．12- D ．2-7．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ）．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2-=y D ．)32sin(2π-=x y 8．为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2个单位长度9．方程sinπx ＝14x 的解的个数是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．810．设a =001cos 442b =-， 0202tan131tan 13c =- （ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．函数(sin 1)(cos 1)y x x =--的最大值为 （ ）A ．0B ．1C 12．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ）A ．1CD ．2 第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2025届福建省莆田市高中毕业班高考数学二模试卷含解析
2025届福建省莆田市高中毕业班高考数学二模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3273．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ） A ．52-B ．2-C ．2D ．724．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ） A ．33B 33C ．3D ．325．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直6．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞7．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭8．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．259．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）10．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．011．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．412．二项式22)nx 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省莆田六中2016-2017学年高一(下)3月月考数学试卷(a卷)
2016-2017学年福建省莆田六中高一（下）3月月考数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12个小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．22．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C． D．3．某四棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．2 B．C．3 D．44．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如图），则它的侧视图是（）A．B．C．D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为a的正方形，E是CC1的中点，若该长方体的外接球的表面积为10πa2，则异面直线AE与C1D1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．36π D．64π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．9．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A． B．C．D．10．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β12．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）. 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是．14．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为．15．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段AP长度的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．18．如图，ABCD是正方形，O是该正方体的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC．19．如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2，动点D在线段AB上．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）当OD⊥AB时，求三棱锥C﹣OBD的体积．20．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．2016-2017学年福建省莆田六中高一（下）3月月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．2【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．【解答】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C2．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C． D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B3．某四棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．2 B．C．3 D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，俯视图的上、下底、高分别为1，2，2，可得面积．【解答】解：由题意，俯视图的上、下底、高分别为1，2，2，其面积为=3，故选：C．4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如图），则它的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】画三视图的要求是“长对正，宽相等，高平齐”，据此可判断出侧视图是一个圆和与之相切去掉一边的矩形．【解答】解：由正视图和俯视图可看出：其侧视图是一个圆，其中圆的直径与俯视图中圆的直径相同或与正视图的高相同，及与圆相切的矩形去掉与圆的直径重合的一边组成的图形．故选D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LU：平面与平面平行的判定．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为a的正方形，E是CC1的中点，若该长方体的外接球的表面积为10πa2，则异面直线AE与C1D1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】先求出该长方体的外接球的半径，再求出该长方体的高，以D为原点，DA为x员，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与C1D1所成的角的大小．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为a的正方形，E是CC1的中点，该长方体的外接球的表面积为10πa2，∴该长方体的外接球的半径为r==，设该长方体的高为b，则=，解得b=2，以D为原点，DA为x员，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），E（0，a，），C1（0，a，2），D1（0，0，2），=（﹣a，a，），=（0，﹣a，0），设异面直线AE与C1D1所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=60°．∴异面直线AE与C1D1所成的角为60°．故选：C．7．一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．36π D．64π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：16π故选A．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是有一侧棱垂直与底面，以俯视图中梯形为底面的四棱锥，即可求出表面积．【解答】解：由题意，直观图是有一侧棱垂直与底面，以俯视图中梯形为底面的四棱锥，该几何体的表面积为+++=7++，故选：B．9．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A． B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，120°=，∴侧面展开图的弧长为：1×=，弧长=底面周长=2πr，∴r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥体积V=×π×r2×h=π．故选：A．10．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示，进而算出高BO，即可计算出体积．【解答】解：由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个棱长为a的正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，可知AO=．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴V==．故选：D．11．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A选项m∥n，m∥α，则n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，m∥α，则m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，m⊥β，则m∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解答】解：A选项不正确，因为n⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D12．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•xcos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）. 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设直线BC1与平面BB1D1D所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==，∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为．故答案为：．14．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设AC=a，CC1=b，由截面△BC1D是面积为6的直角三角形列式求出a，b，则三棱柱的体积可求．【解答】解：设AC=a，CC1=b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+）×2=a2+b2，得b2=2a2，又，∴a2=8，则，∴V=，故答案为．15．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD==3∴球的半径R=．πR3=．∴V球=故答案为：π．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段AP长度的取值范围是hslx3y3h，，，hslx3y3h．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．【考点】LC：空间几何体的直观图；L!：由三视图求面积、体积．【分析】（1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可．（2）几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可．【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示．（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1．故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×1+2××2=22+4（cm2），所求几何体的体积V=23+×（）2×2=10（cm3）．18．如图，ABCD是正方形，O是该正方体的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证PA∥EO即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD垂直于平面PAC，就是要证BD与平面PAC内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD与AC是垂直的，因此只要再证BD⊥PO，这由线面垂直的性质或定义可得．【解答】证明：（1）连接EO，∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△APC的中位线．∴EO∥PA，∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PO∩AC=O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．19．如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2，动点D在线段AB上．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）当OD⊥AB时，求三棱锥C﹣OBD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证平面COD⊥平面AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD 内一直线与平面AOB垂直，根据勾股定理可知OC⊥OB，根据线面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC⊂平面COD，满足定理所需条件；（2）OD⊥AB，OD=，此时，BD=1．根据三棱锥的体积公式求出所求即可．【解答】（1）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．∵BC=2，由勾股定理得OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．∵OC⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（2）解：∵OD⊥AB，∴OD=，此时，BD=1．==．∴V C﹣OBD20．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【考点】LT：直线与平面平行的性质；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE证明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根据线面垂直的判定定理证出AE⊥平面BCE，即证出AE⊥BE；（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC 交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，BF⊥CE，∵EB=BC，∴F是CE的中点，又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB∴BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE；（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∴CN=CE．∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE．同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，∴平面MGN∥平面ADE．又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE．故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD ⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．RT△PHE中，．【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．2017年5月26日。
福建省莆田六中2016-2017学年高一(下)3月月考数学试卷(b卷)(解析版)
2016-2017学年福建省莆田六中高一（下）3月月考数学试卷（B卷）一．选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．以下关于几何体的三视图的讨论中，正确的是（）A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为（）A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱3．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a24．把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（）A．2倍 B．2倍C．倍D．35．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．37．若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则（）A．a内所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交8．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长是（）A．9cm B．10cm C．12cm D．15cm10．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．在△ABC中，a=80，b=100，A=30°，则三角形的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定12．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°13．在△ABC中，已知sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形14．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）A．﹣ B．C．﹣1 D．115．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．16．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2 C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．17．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=．18．在钝角△ABC中a＜b＜c，且a=2，b=3，则c的取值范围是．19．△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．21．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．24．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．2016-2017学年福建省莆田六中高一（下）3月月考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．以下关于几何体的三视图的讨论中，正确的是（）A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】球的三视图总是三个全等的圆；正方体、水平放置的正四面体的三视图跟摆放有关；水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆．【解答】解：球的三视图总是三个全等的圆，正确；正方体的三视图总是三个全等的正方形，不一定，跟摆放有关，故不正确；水平放置的正四面体的三视图都是正三角形，不一定，跟摆放有关，故不正确；水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆，故不正确．故选：A．2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为（）A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱【考点】L8：由三视图还原实物图．【分析】仔细观察三视图，根据线条的虚实判断即可．【解答】解：结合图形分析知上为圆台，下为圆柱．故选C3．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a2【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平行四边形的面积即可．【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于=2a2．故选B．4．把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的（）A．2倍 B．2倍C．倍D．3【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数，然后求出体积扩大的倍数．【解答】解：解：设原球的半径R，∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍，则半径扩大为原来的倍，∴体积扩大为原来的2倍．故选B．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．6．下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】根据平面的基本性质及推论（公理1，2，3及推论），逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：根据公理2，经过不共线三点确定一个平面，可得①错误；根据公理2的推论，两个平行直线确定一个平面，结合梯形两底边平行，可得②梯形可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线且不共面可以确定三个平面，故③正确；如果两个平面有三个共线公共点，则这两个平面重合或相交，故④错误．则命题正确的个数为2个，故选：C．7．若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则（）A．a内所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】a内与l相交的直线在同一面内，推断出A选项错误．直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，推断出C，D项说法错误．利用反证法和线面平行的判定定理推断出B项正确．【解答】解：a内与l相交的直线在同一面内，故A选项错误．直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，故C，D项说法错误．若a内存在与l平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知l与面a平行，已知直线l不平行于平面a，故a内不存在与l平行的直线，B项说法正确．故选B．8．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．9．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长是（）A．9cm B．10cm C．12cm D．15cm【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．【解答】解：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得=．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm．故选：A10．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A ．11．在△ABC 中，a=80，b=100，A=30°，则三角形的解的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定 【考点】HP ：正弦定理．【分析】由正弦定理 解得 sinB=，故B 可能是个锐角，也可能是钝角，故三角形的解的个数是2．【解答】解：由正弦定理可得，即 160=，∴sinB=，故B 可能是个锐角，也可能是钝角， 故三角形的解的个数是2，故选C．12．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】由（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC==可求C的值．【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC====，∵0°＜C＜180°，∴C=120°，故选：C．13．在△ABC中，已知sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用诱导公式与两角和的正弦可得cosAsinB=0，又sinB＞0，可求得cosA=0，A=90°，从而可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵sinAcosB=sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴cosAsinB=0，又sinB＞0，∴cosA=0，A=90°∴△ABC一定是直角三角形，故选：A．14．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）A．﹣ B．C．﹣1 D．1【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．【解答】解：∵acosA=bsinB由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1故选D15．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在Rt△ABD中，可用x和α表示出BD，二者相等求得x，即AB．【解答】解：设AB=x，则在Rt△ABC中，CB=∴BD=a+∵在Rt△ABD中，BD=∴a+=，求得x=故选A16．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2 C．D．【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA 和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．【解答】解：∵asin AsinB+bcos2A=a∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA∴==选D二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．17．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：：2．【考点】HP：正弦定理．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．18．在钝角△ABC中a＜b＜c，且a=2，b=3，则c的取值范围是．【考点】HR：余弦定理．【分析】由在钝角△ABC中a＜b＜c，可得C为钝角．因此cosC=＜0，2+3＞c，即可得出．【解答】解：由在钝角△ABC中a＜b＜c，∴C为钝角．∴cosC=＜0，2+3＞c，解得5．故答案为：．19．△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．【考点】HQ：正弦定理的应用；HR：余弦定理．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】求两条异面直线AB1与BC1所成角，只要连结AD1，即可证明AD1∥BC1，可得∠D1AB1为两异面直线所成的角，在三角形D1AB1中可求解．【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1=60°．故答案为60°．21．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据展开图的特征可知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，最后用棱锥的体积公式求解．【解答】解：由题知该多面体为正四棱锥，如图所示：底面边长为1，侧棱长为1，斜高为SE=，连接顶点和底面中心即为高，可求高为SO=，所以体积为V=•1•1•=．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．即．答：sinα的值为．方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【考点】HQ：正弦定理的应用；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值．（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．【解答】解：（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=224．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（Ⅱ）分别根据正弦定理和诱导公式即可得到sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），解得即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=，点D在边AB上，BD=1，=BD•BC•sin=×1וBC=，∴S△BCD∴BC=4，由余弦定理可得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cosB=1+16﹣2×1×4×=13，∴CD=，（Ⅱ）设∠DCA=α，∵DA=DC，∴∠A=∠DCA=α，在△ADC中，由正弦定理可得===，∴AD=，在△BDC中，由正弦定理可得=，∴==，∴sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），∴2α+=﹣α，或2α++﹣α=π，解得α=或α=故∠DCA=或2017年5月26日。
2017年福建省莆田六中高考生物二模试卷
2017-2018学年福建省莆田六中高考生物二模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．下列说法中，不符合结构与功能相适应的观点的是（）A．叶绿内众多的基粒和类囊体，极大地扩展了受光面积B．细胞分裂过程中，染色质到染色体的形态变化有利于遗传物质的分配C．细胞体积小，物质运输效率高，因此细胞体积越小越好D．哺乳动物成熟的红细胞没有细胞核及复杂细胞器，有利于氧气的运输2．下列关于无机盐离子的叙述，正确的是（）A．K+内流是神经纤维产生动作电位的主要原因B．Mg2+参与色素的合成而直接影响光合作用暗反应C．过量摄入钠盐会导致血浆中抗利尿激素含量降低D．Fe2+参与构成的血红蛋白在运输氧过程中起重要作用3．下列有关生物实验的叙述，正确的是（）A．蛙的红细胞是制备细胞膜的最佳材料B．建构数学模型的方法，可以用于研究种群数量变化和酶活性变化的规律C．低温诱导染色体加倍实验中，将大蒜根尖制成装片后再进行低温处理D．探索2，4﹣D促进插条生根的最适浓度，进行预实验的目的是为减少实验误差4．下列关于细胞的基因表达的叙述，不正确的是（）A．乳酸菌的基因的转录和翻译过程在时间和空间上是分不开的B．衰老细胞和处于分裂期的细胞的核基因难以复制和转录C．转录产物的功能之一是降低化学反应的活化能D．DNA 转录是以DNA﹣条链为模板，翻译则是以DNA 另一条链为模板5．下列有关生物变异和进化的叙述，正确的是（）A．如果一个人体内没有致病基因，则这个人就不会患遗传病B．一个基因型为AaXbY的精原细胞，产生了四个基因型分别为AAaXb、aXb、Y、Y的精子，这是由于该精原细胞减数分裂过程中第一次和第二次分裂都出现了异常所致的C．害虫在接触到农药后，会产生抗药性的变异，并随着同种农药的使用，抗药基因的频率会越来越大D．用二倍体西瓜给四倍体西瓜授粉，四倍体植株上就会结出三倍体无子西瓜6．下列有关生物多样性和进化的叙述，正确的是（）A．基因突变和自然选择均定向改变种群的基因频率B．共生关系的两种生物在进化过程中可形成适应对方的特征C．群落演替过程中生物多样性增加，生物不发生进化D．生态系统保持相对稳定，体现了生物多样性的直接价值二、解答题（共4小题，满分39分）7．在自然界中，洪水、灌溉不均匀等因素易使植株根系供氧不足，造成“低氧胁迫”．不同植物品种对“低氧胁迫”的耐受能力不同．研究人员采用无土栽培的方法，研究了“低氧胁迫”对两个黄瓜品种（A、B）根系细胞呼吸的影响，测得第6天时根系细胞中丙酮酸和乙醇含量，结果如表所示．请回答：（）黄瓜根系细胞产生丙酮酸的场所是，丙酮酸转变为乙醇的过程（能/不能）生成ATP．（2）由表中信息可知，该实验的自变量是．正常通气情况下，黄瓜根系细胞的呼吸方式为．（3）实验结果表明，品种A耐低氧能力比B（强/弱），其原因可借助下面的柱形图做出进一步解释，请根据品种A的柱形图在相应位置绘出品种B的柱形图，并标出对应数值．．8．人工湿地是由人工建造和控制运行的与沼泽地类似的地面，污水与污泥在沿一定方向流动的过程中，主要利用人工基质、微生物、植物等生物对污水进行净化．如图1为人工湿地示意图，回答下列问题：（1）湿地植物属于该生态系统成分中的；根据污水中成分含量的变化，从进水口到出水口的不同地段，分别种植不同的湿地植物，这体现了群落的结构．（2）相比其他污水处理方式，人工湿地具有成本低、净化率高的特点．经过处理后的污水流入上行池，在上行池中可以养殖一些鱼、虾等水生动物，获取一定的经济利益．某调査小组对湿地生态系统进行了相关调查：①图2甲表示的Ⅰ和Ⅱ分别表示鲤鱼的出生率和死亡率，则在点时，鲤鱼的数量达到最大，出生率和死亡率的变化，直接影响到鲤鱼的．②图2乙表示该生态系统的能量流动简图，A、B、C、D表示该湿地生态系统的生物成分，其中生产者固定的能量为，流经该生态系统的总能量（填“大于”、“等于”或“小于”）生产者固定的能量．③能量在第一、二营养级之间的传递效率（不考虑污水中有机物的影响）为．（3）科研小组在研究过程中发现，挺水植物如香蒲、美人蕉等能够向水中分泌萜类化合物、类固醇等，抑制藻类的生长；也能开鲜艳的花，吸引昆虫．这体现了生态系统的功能．9．GLUT4是脂肪细胞和骨骼肌细胞中的蛋白质，主要作用是将葡萄糖通过协助扩散运输入细胞内，在正常状态下分布于细胞内的储存囊泡中，不起转运葡萄糖的作用，仅在胰岛素的信号刺激下，才能转位至细胞膜上，图A为正常，图B为胰岛素抵抗（Ⅱ型糖尿病患者）．回答下列问题：（1）图中胰岛素受体的化学本质是，含GLUT4的囊泡直接来自（填细胞器）（2）据图分析，饭后l小时血糖恢复正常水平的调节方式是．II型糖尿病人胰岛素分泌正常甚至还偏高，但靶细胞存在胰岛素抵抗，从细胞膜的组成看，可能的原因有或．（3）图中所示过程说明胰岛素降低血糖的具体机理是．驱动GLUT4转运葡萄糖的动力主要来自．10．豚鼠毛色的遗传符合基因的自由组合定律，相关基因均位于常染色体上．毛色的产生机理为：白色前体物→棕色→黑色，其中A基因控制棕色，B基因控制黑色．另外基因d纯合会抑制色素的产生，但因其基因频率非常低，一般不予考虑．现有纯合的白色豚鼠和纯合的棕色豚鼠若干（未考虑d基因），请回答相关问题：（1）上述白色豚鼠的基因型为．（2）甲研究小组选取上述多对白色豚鼠与棕色豚鼠杂交，产生的F1为黑色，F1个体自由交配得F2，理论上讲F2的性状及其比例为．（3）同时乙研究小组也选取上述多对白色豚鼠与棕色豚鼠杂交，其中只有一个杂交组合，F1中除黑色个体外还出现了一只白色个体．他们分析原因可能有两种：①亲本产生配子的过程中某个基因发生隐性突变（不考虑d基因）；②双亲携带d基因，出现了d基因纯合．请帮助乙小组设计实验方案，以确定是哪种原因（写出实验思路及结果分析）．三、选做题【生物--选修1生物技术实践】（共1小题，满分15分）11．我市的高中生物兴趣小组开展了针对洛阳牡丹产品开发的课题研究．下面是他们课题研究的几个方向．请分析回答：（1）牡丹花精油的提取过程：鲜牡丹花+清水→油水混合物→→除水→牡丹花精油．要提高精油的品质，在操作中需要通过控制温度来实现的目的．（2）牡丹籽油的提取：牡丹籽中含油率在20﹣30%之间，不易挥发，可以采取和的方法进行提取．（3）根据胡萝卜素的特点，他们采用萃取的方法来提取．操作时，要采用沸点高的萃取剂，目的是．对于提取的胡萝卜素粗品可通过法鉴定．四、选做题【生物--选修3现代生物科技专题】（共1小题，满分0分）12．克隆猪成功的概率较低，与早期胚胎细胞异常凋亡有关．Bcl﹣2基因是细胞凋亡抑制基因，用PCR技术可以检测该基因转录水平，进而了解该基因与不同胚胎时期细胞凋亡的关系．克隆猪的培育及该基因转录水平检测流程如图．（1）图中应选择期的卵母细胞进行核移植，使用的良种猪体细胞一般都选择10代以内的细胞，原因是．（2）图中X表示过程，从基因组数据库中查询Bcl﹣2基因的核苷酸序列，以便根据这一序列设计合成用于PCR扩增，PCR的原理是．在PCR过程中可检测出cDNA中Bcl﹣2cDNA的分子数，进而计算总mRNA中Bcl﹣2mRNA的分子数，从而反映出．（3）需将早期胚胎在体外培养到时期，再移入到受体子宫，培育成克隆猪．（4）克隆猪的性状与良种猪的性状不完全相同的原因是．2017年福建省莆田六中高考生物二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共6小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．下列说法中，不符合结构与功能相适应的观点的是（）A．叶绿内众多的基粒和类囊体，极大地扩展了受光面积B．细胞分裂过程中，染色质到染色体的形态变化有利于遗传物质的分配C．细胞体积小，物质运输效率高，因此细胞体积越小越好D．哺乳动物成熟的红细胞没有细胞核及复杂细胞器，有利于氧气的运输【考点】41：细胞不能无限长大的原因；2D：线粒体、叶绿体的结构和功能；4A：有丝分裂的特征和意义．【分析】探究“细胞大小与物质运输的关系”的实验的目的是通过探究细胞表面积与体积之比，与物质运输速率之间的关系，探讨细胞不能无限长大的原因；实验中测量不同大小的琼脂块上NaOH扩散的深度相同；通过模拟实验可看出，细胞体积越小，其相对表面积越大，细胞的物质运输效率就越高；实验所用的琼脂小块上含有酚酞，NaOH 和酚酞相遇，呈紫红色．【解答】解：A、叶绿体内的基粒由类囊体垛叠而成，增大了膜面积有利于捕获光能，A正确；B、染色体比染色质形态稳定，在有丝分裂后期着丝点分裂，姐妹染色单体分离成为染色体，在纺锤丝的牵引下均匀地移向两极，平均分配给两个子细胞，有利于遗传物质的平均分配，B正确；C、细胞越小，物质运输效率越高，但细胞中有细胞核和细胞器等结构，因此，细胞的体积不是越小越好，C错误；D、哺乳动物成熟的红细胞没有细胞核和细胞器，细胞内含有大量的血红蛋白，有利于氧气的运输，D正确．故选：C．2．下列关于无机盐离子的叙述，正确的是（）A．K+内流是神经纤维产生动作电位的主要原因B．Mg2+参与色素的合成而直接影响光合作用暗反应C．过量摄入钠盐会导致血浆中抗利尿激素含量降低D．Fe2+参与构成的血红蛋白在运输氧过程中起重要作用【考点】D9：神经冲动的产生和传导；1U：无机盐的主要存在形式和作用；E3：体温调节、水盐调节、血糖调节．【分析】细胞中大多数无机盐以离子的形式存在．一些无机盐是细胞内复杂化合物的重要组成成分，许多无机盐对于维持细胞和生物体的生命活动有重要作用．【解答】解：A、Na+内流是神经纤维产生动作电位的主要原因，A错误；B、Mg2+是叶绿素的组成成分，直接影响光反应，间接影响暗反应，B错误；C、过量摄入钠盐会导致血浆渗透压升高，抗利尿激素分泌量增多，尿量减少，C错误；D、Fe2+参与构成的血红蛋白在运输氧过程中起重要作用，D正确．故选：D．3．下列有关生物实验的叙述，正确的是（）A．蛙的红细胞是制备细胞膜的最佳材料B．建构数学模型的方法，可以用于研究种群数量变化和酶活性变化的规律C．低温诱导染色体加倍实验中，将大蒜根尖制成装片后再进行低温处理D．探索2，4﹣D促进插条生根的最适浓度，进行预实验的目的是为减少实验误差【考点】F4：种群数量的变化曲线；22：细胞膜的制备方法；99：低温诱导染色体加倍实验；C2：探究植物生长调节剂对扦插枝条生根的作用．【分析】1、制备细胞膜时，选哺乳动物成熟的红细胞作实验材料的原因：（1）动物细胞没有细胞壁，不但省去了去除细胞壁的麻烦，而且无细胞壁的支持、保护，细胞易吸水涨破．（2）哺乳动物和人成熟的红细胞，没有细胞核和具有膜结构的细胞器，易用离心分离法得到不掺杂细胞内膜系统的纯净的细胞膜．2、探究酵母群种群数量变化和酶活性变化的规律时都用到了构建数学模型的方法．3、低温诱导染色体加倍实验的原理：低温能够抑制纺锤体的形成，以致影响染色体被拉向两极，细胞也不能分成两个子细胞．实验步骤是：固定（卡诺氏液）→解离（盐酸酒精混合液）→漂洗→染色（改良苯酚品红溶液或醋酸洋红溶液）→制片→观察．【解答】解：A、蛙的成熟的红细胞含有细胞核和细胞器，因此细胞内膜结构会干扰实验结果，A错误；B、探究酵母群种群数量变化和酶活性变化的规律时都用到了构建数学模型的方法，包括曲线图和数学方程式，B正确；C、低温诱导染色体加倍实验中，先进行低温处理，再将大蒜根尖制成装片进行观察，先制片会杀死细胞，无法诱导染色体数目加倍，C错误；D、探究促进生根的最适NAA浓度需要做预实验，其目的缩小浓度范围，减少浪费，D错误．故选：B．4．下列关于细胞的基因表达的叙述，不正确的是（）A．乳酸菌的基因的转录和翻译过程在时间和空间上是分不开的B．衰老细胞和处于分裂期的细胞的核基因难以复制和转录C．转录产物的功能之一是降低化学反应的活化能D．DNA 转录是以DNA﹣条链为模板，翻译则是以DNA 另一条链为模板【考点】7F：遗传信息的转录和翻译．【分析】1、真核细胞转录形成的RNA由核孔进入细胞质，与核糖体结合后进行翻译过程，说明真核细胞的转录和翻译在时间和空间上分开，原核细胞没有核膜，所以转录和翻译同时进行．2、DNA复制、转录、翻译的比较【解答】解：、乳酸菌属于原核细胞，没有核膜，所以转录和翻译同时进行，即在时间和空间上是分不开的，A正确；B、衰老细胞和处于分裂期的细胞的核基因高度螺旋化，难以复制和转录，B正确；C、转录产物是RNA，少量酶是RNA，酶的作用是降低化学反应的活化能，C正确；D、DNA转录是以DNA一条链为模板，翻译则是以mRNA为模板，D错误．故选：C．5．下列有关生物变异和进化的叙述，正确的是（）A．如果一个人体内没有致病基因，则这个人就不会患遗传病B．一个基因型为AaXbY的精原细胞，产生了四个基因型分别为AAaXb、aXb、Y、Y的精子，这是由于该精原细胞减数分裂过程中第一次和第二次分裂都出现了异常所致的C．害虫在接触到农药后，会产生抗药性的变异，并随着同种农药的使用，抗药基因的频率会越来越大D．用二倍体西瓜给四倍体西瓜授粉，四倍体植株上就会结出三倍体无子西瓜【考点】61：细胞的减数分裂；9C：生物变异的应用；A1：人类遗传病的类型及危害．【分析】1、减数分裂过程：（1）减数第一次分裂间期：染色体的复制．（2）减数第一次分裂：①前期：联会，同源染色体上的非姐妹染色单体交叉互换；②中期：同源染色体成对的排列在赤道板上；③后期：同源染色体分离，非同源染色体自由组合；④末期：细胞质分裂．（3）减数第二次分裂过程：①前期：核膜、核仁逐渐解体消失，出现纺锤体和染色体；②中期：染色体形态固定、数目清晰；③后期：着丝点分裂，姐妹染色单体分开成为染色体，并均匀地移向两极；④末期：核膜、核仁重建、纺锤体和染色体消失．2、人类遗传病分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病：（1）单基因遗传病包括常染色体显性遗传病（如并指）、常染色体隐性遗传病（如白化病）、伴X染色体隐性遗传病（如血友病、色盲）、伴X染色体显性遗传病（如抗维生素D佝偻病）；（2）多基因遗传病是由多对等位基因异常引起的，如青少年型糖尿病；（3）染色体异常遗传病包括染色体结构异常遗传病（如猫叫综合征）和染色体数目异常遗传病（如21三体综合征）．【解答】解：A、没有致病基因也可能会患遗传病，如染色体异常遗传病，A错误；B、一个基因型为AaXbY的精原细胞，产生了四个基因型分别为AAaXb、aXb、Y、Y的精子，这是由于该精原细胞减数分裂过程中第一次（含有A基因和a基因的同源染色体未分离）和第二次分裂（含有A基因的姐妹染色单体分开后移向同一极）都出现了异常所致的，B正确；C、害虫的抗药性变异在使用农药之前就已经产生了，农药只能对害虫的抗药性进行选择，C错误；D、用二倍体西瓜给四倍体西瓜授粉，四倍体植株上就会结出三倍体有子西瓜，该三倍体西瓜结的种子再种下去才能得到三倍体无籽西瓜，D错误．故选：B．6．下列有关生物多样性和进化的叙述，正确的是（）A．基因突变和自然选择均定向改变种群的基因频率B．共生关系的两种生物在进化过程中可形成适应对方的特征C．群落演替过程中生物多样性增加，生物不发生进化D．生态系统保持相对稳定，体现了生物多样性的直接价值【考点】B3：生物进化与生物多样性的形成；H3：生物多样性保护的意义和措施．【分析】现代生物进化理论的基本观点：种群是生物进化的基本单位，生物进化的实质在于种群基因频率的改变．突变和基因重组、自然选择及隔离是物种形成过程的三个基本环节，通过它们的综合作用，种群产生分化，最终导致新物种的形成．其中突变和基因重组产生生物进化的原材料，自然选择使种群的基因频率发生定向的改变并决定生物进化的方向，隔离是新物种形成的必要条件．【解答】解：A、基因突变不能定向改变种群基因频率，只能提供生物进化的原材料，A错误；B、共生关系的两种生物在进化的过程中，互相选择对方，故可形成适应对方的特征，B正确；C、群落演替的过程中，生物周围的环境在不断的发生变化，对生物不断的进行选择，改变种群的基因频率，故生物也在不断进化，C错误；D、生态系统保持相对稳定会间接的对人类有益，故属于间接价值，D错误．故选：B．二、解答题（共4小题，满分39分）7．在自然界中，洪水、灌溉不均匀等因素易使植株根系供氧不足，造成“低氧胁迫”．不同植物品种对“低氧胁迫”的耐受能力不同．研究人员采用无土栽培的方法，研究了“低氧胁迫”对两个黄瓜品种（A、B）根系细胞呼吸的影响，测得第6天时根系细胞中丙酮酸和乙醇含量，结果如表所示．请回答：（）黄瓜根系细胞产生丙酮酸的场所是细胞质基质，丙酮酸转变为乙醇的过程不能（能/不能）生成ATP．（2）由表中信息可知，该实验的自变量是黄瓜品种和通气情况．正常通气情况下，黄瓜根系细胞的呼吸方式为有氧呼吸和无氧呼吸．（3）实验结果表明，品种A耐低氧能力比B强（强/弱），其原因可借助下面的柱形图做出进一步解释，请根据品种A的柱形图在相应位置绘出品种B的柱形图，并标出对应数值．．【考点】3O：细胞呼吸的过程和意义．【分析】有氧呼吸的过程：①、C6H12O62丙酮酸+4[H]+能量（细胞质基质）②、2丙酮酸+6H2O6CO2+20[H]+能量（线粒体基质）③、24[H]+6O212H2O+能量（线粒体内膜）无氧呼吸的过程：①、C6H12O62丙酮酸+4[H]+能量（细胞质基质）②、2丙酮酸+4[H]2酒精+2CO2 （细胞质基质）或2丙酮酸+4[H]2乳酸．（细胞质基质）【解答】解：（1）黄瓜细胞产生丙酮酸的过程属于细胞的第一阶段，其场所是细胞质基质．在供氧不足时，细胞进行无氧呼吸，其中丙酮酸转变为乙醇的过程属于无氧呼吸的第二阶段，此阶段不释放能量，所以不能生成ATP．（2）由表中信息可知，该实验的自变量是黄瓜品种和通气情况．正常通气情况下，黄瓜根系细胞也产生少量的乙醇，说明此时细胞呼吸的方式为有氧呼吸和无氧呼吸；在低氧胁迫下，黄瓜有氧呼吸受阻，无氧呼吸增强，产生的乙醇增多．（3）实验结果表明，品种A耐低氧能力比B强，在低氧时，品种A产生的丙酮酸比品种B产生的丙酮酸少（品种A=0.21﹣0.18=0.03，品种B=0.34﹣0.19=0.15），而产生的乙醇比品种B产生的乙醇多（品种A=6.00﹣2.45=3.55，品种B=4.00﹣2.49=1.51），其柱形图为：故答案为：（1）细胞质基质不能（2）黄瓜品种和通气情况有氧呼吸和无氧呼吸（3）强8．人工湿地是由人工建造和控制运行的与沼泽地类似的地面，污水与污泥在沿一定方向流动的过程中，主要利用人工基质、微生物、植物等生物对污水进行净化．如图1为人工湿地示意图，回答下列问题：（1）湿地植物属于该生态系统成分中的生产者；根据污水中成分含量的变化，从进水口到出水口的不同地段，分别种植不同的湿地植物，这体现了群落的水平结构．（2）相比其他污水处理方式，人工湿地具有成本低、净化率高的特点．经过处理后的污水流入上行池，在上行池中可以养殖一些鱼、虾等水生动物，获取一定的经济利益．某调査小组对湿地生态系统进行了相关调查：①图2甲表示的Ⅰ和Ⅱ分别表示鲤鱼的出生率和死亡率，则在c点时，鲤鱼的数量达到最大，出生率和死亡率的变化，直接影响到鲤鱼的种群密度．②图2乙表示该生态系统的能量流动简图，A、B、C、D表示该湿地生态系统的生物成分，其中生产者固定的能量为7.5×106J/（m2•a），流经该生态系统的总能量大于（填“大于”、“等于”或“小于”）生产者固定的能量．③能量在第一、二营养级之间的传递效率（不考虑污水中有机物的影响）为20%．（3）科研小组在研究过程中发现，挺水植物如香蒲、美人蕉等能够向水中分泌萜类化合物、类固醇等，抑制藻类的生长；也能开鲜艳的花，吸引昆虫．这体现了生态系统的信息传递功能．【考点】G3：生态系统的结构；F5：群落的结构特征；G4：物质循环和能量流动的基本规律及其应用．【分析】分析图1可知，人工湿地中的植物一般选择芦苇、香蒲、菖蒲、美人蕉等具有一定净化污水能力的，并且宜选用本地物种，避免外来物种入侵，导致对当地生态系统生物生存造成威胁．从硝化细菌和反硝化细菌的作用机理看出，硝化细菌需要生活在有氧环境中，因此硝化细菌将生活在复合垂直流人工湿地的下行池；反硝化细菌需要无氧环境，因此生活在复合垂直流人工湿地的上行池中．分析图2可知，甲表示的Ⅰ和Ⅱ分别表示鲤鱼的出生率和死亡率，在c点时，出生率等于死亡率，鲤鱼的数量达到最大；乙表示该生态系统的能量流动简图，A、B、C、D 表示该湿地生态系统的生物成分，其中A表示生产者，B表示分解者，C表示次级消费者，D表示初级消费者．【解答】解：（1）湿地植物属于该生态系统成分中的生产者；根据污水中成分含量的变化，从进水口到出水口的不同地段，分别种植不同的湿地植物，这体现了群落的水平结构．（2）①图2甲表示的Ⅰ和Ⅱ分别表示鲤鱼的出生率和死亡率，则在c点时，出生率等于死亡率，鲤鱼的数量达到最大．出生率和死亡率的变化，直接影响到鲤鱼的种群密度．②图2乙中A表示生产者，生产者固定的能量为7.5×106J/（m2•a），流经该生态系统的总能量等于生产者固定的能量+污水中有机物的能量，因此流经该生态系统的总能量大于生产者固定的能量．③能量在第一、二营养级之间的传递效率为第二营养级同化的能量÷第一营养级同化的。
福建省莆田第六中学届高三数学上学期12月月考试题理【含答案】
莆田六中2017届高三12月月考理科数学满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题有且只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log (1)0B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．(0,2]C ．{}1,2D ．[1,2]2.已知实数．．,a b 满足(1)(1)a i bi =+⋅-，其中i 是虚数单位，则||a bi -= （ ）A ．3B ． 2C ．5D 3.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若36-=a ，216=S ，则5a 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．44．“1a =-”是“关于,x y 的方程组15x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解”的（ ）条件。
A ．充分但不必要B ．必要但不充分C ．充分D ．既不充分也不必要 5.设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是 （ ）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥6．在△ABC 中，3AB =，AC =3B π=，则△ABC 的面积是（ ）A ．4 B ． 2．．7.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图像大致为（ ）8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为（ ） .A. 2B. 224+C. 244+D. 246+9. 已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，若不等式1≥-y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ).A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，527 B . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，511 C . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，53 D . [)∞+，2 10.已知非零向量,a b 的夹角为60，且满足22a b -=，则a b ⋅的最大值为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．3 11.已知点B A M ，，，)01(是椭圆1422=+y x 上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）. A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡132， B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡932， C . []91，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡336，12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数1,()0,x Qf x x R x Q∈⎧=⎨∈∈⎩且称为狄利克雷函数，则关于这个函数()f x 有以下四个命题： ①(())1f f x =； ②函数是偶函数；③存在一个非零实数T ，使得()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得△ABC 为等边三角形。
福建省莆田六中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(b卷) Word版含解析
2017-2018学年福建省莆田六中高一（下）期末数学试卷（B卷）一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）．1．如果a＜b＜0，那么（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＜b22．等差数列{a n}中，a3=7，a9=19，则a5为（）A．13 B．12 C．11 D．103．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．4．在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=（）A． B． C．8 D．125．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，C=120°，则△ABC 的面积是（）A．3 B． C．6 D．6．等差数列{a n}中，a1=7，a3=3，前n项和为S n，则n=（）时，S n取到最大值．A．4或5 B．4 C．3 D．27．如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m8．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=75°B．a=7，b=5，A=80°C．a=60，b=48，C=60°D．a=14，b=16，A=45°9．各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣110．等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120，则2a9﹣a10=（）A．24 B．22 C．20 D．﹣811．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=1，S4=3，则S6=（）A．5 B．7 C．9 D．1112．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知a＞b，c＞d，则下列不等式：（1）a+c＞b+d；（2）a﹣c＞b﹣d；（3）ac＞bd；（4）＞中恒成立的个数是______．14．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．15．若等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若a2：a3=5：2，则S3：S5=______．16．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若bcosC=ccosB成立，则△ABC是______三角形．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）函数f（x）=ax2+bx满足：1≤f（1）≤2，2≤f（﹣2）≤4，求f（﹣1）的取值范围．（2）若不等式ax2﹣ax+1≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．18．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（x ﹣m﹣9）＜0}（1）求A∩B；（2）若A⊆C，求实数m的取值范围．19．等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a6=14；正项等比数列{b n}满足：b1=2，b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=2n2+3n；（1）求它的通项a n．（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．22．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．2017-2018学年福建省莆田六中高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）．1．如果a＜b＜0，那么（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＜b2【考点】不等关系与不等式．【分析】根据a＜b＜0，给a，b，c赋予特殊值，即a=﹣2，b=﹣1，c=0，代入即可判定选项真假．【解答】解：∵a＜b＜0，给a，b，c赋予特殊值，即a=﹣2，b=﹣1，c=0选项A、B、D都不正确故选C．2．等差数列{a n}中，a3=7，a9=19，则a5为（）A．13 B．12 C．11 D．10【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据公式a3=a1+2d=7，a9=a1+8d=19，可求a1，d，代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：根据公式a3=a1+2d=7，a9=a1+8d=19，解方程得到故a5=a1+4d=11，故选C3．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．【考点】等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选：D．4．在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=（）A． B． C．8 D．12【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理即可计算求值得解．【解答】解：∵b=3，c=1，cosA=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=8，解得：a=2．故选：B．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，C=120°，则△ABC 的面积是（）A．3 B． C．6 D．【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵a=3，b=4，C=120°，∴S△ABC=absinC=×3×4×=3．故选B6．等差数列{a n}中，a1=7，a3=3，前n项和为S n，则n=（）时，S n取到最大值．A．4或5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件推导出d=﹣2，从而得到S n=﹣n2+8n，由此利用配方法能求出n=4时，S n取到最大值．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a1=7，a3=3，∴7+2d=3，解得d=﹣2，∴S n=7n+=﹣n2+8n=﹣（n2﹣8n）=﹣（n﹣4）2+16，∴n=4时，S n取到最大值．故选：B．7．如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，∴AB===50，∴A，B两点的距离为50m，故选：D．8．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=75°B．a=7，b=5，A=80°C．a=60，b=48，C=60°D．a=14，b=16，A=45°【考点】解三角形．【分析】D由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．【解答】解：∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理得：sinB==＞，∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有两解．故选：B．9．各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，因为a2，a3，2a1成等差数列，所以2×a3=a2+2a1，则，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），所以===，故选：C．10．等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120，则2a9﹣a10=（）A．24 B．22 C．20 D．﹣8【考点】等差数列的通项公式．【分析】把已知的等式用首项和公差表示，然后进行化简，把要求的式子也用首项和公差表示后即可得到答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，由a1+3a8+a15=120，得a1+3（a1+7d）+a1+14d=5a1+35d=120∴a1+7d=24则2a9﹣a10=2（a1+8d）﹣a1﹣9d=a1+7d=24．故选A．11．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=1，S4=3，则S6=（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即1，3﹣1，S6﹣3成等比数列，∴22=1×（S6﹣3），解得S6=7．故选：B．12．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选﹣1项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C 选项S 9＞S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9＞0，可得2（a 7+a 8）＞0，由结论a 7=0，a 8＜0，显然C 选项是错误的．∵S 5＜S 6，S 6=S 7＞S 8，∴S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确； 故选C ．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）． 13．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式：（1）a +c ＞b +d ；（2）a ﹣c ＞b ﹣d ；（3）ac ＞bd ；（4）＞中恒成立的个数是 1 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式的基本性质，可判断（1），举出反例可判断（2）（3）（4），进而得到答案．【解答】解：∵a ＞b ，c ＞d ，由不等式的基本性质可得： （1）a +c ＞b +d 恒成立；（2）当a=c=1，b=0，d=﹣1时，满足a ＞b ，c ＞d ，但a ﹣c ＞b ﹣d 不成立； （3）当a=c=1，b=﹣2，d=﹣1时，满足a ＞b ，c ＞d ，但ac ＞bd 不成立；（4）当a=c=1，b=﹣2，d=﹣1时，满足a ＞b ，c ＞d ，但＞不成立；故答案为：114．数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +1，则通项a n = 2n ﹣1 ． 【考点】等比关系的确定．【分析】由a n+1=2a n +1得a n+1+1=2（a n +1），从而判断出数列{a n +1}是以2为首项、公比的等比数列，代入等比数列的通项公式求出a n ．【解答】解：由题可得，a n+1+1=2（a n +1），则=2，又a 1=1，则a 1+1=2，所以数列{a n +1}是以2为首项、公比的等比数列， 所以a n +1=2•2n ﹣1=2n ，则a n =2n ﹣1． 故答案为：2n ﹣1．15．若等差数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N *），若a 2：a 3=5：2，则S 3：S 5= 3：2 ． 【考点】等差数列的性质．【分析】等差数列{a n }中，由等差数列的通项公式表示出a 2与a 3，求出（a 1+d ）与（a 1+2d ）之比，再利用求和公式表示出S 3与S 5，利用比例的性质即可求出S 3与S 5比值． 【解答】解：∵a 2=a 1+d ，a 3=a 1+2d ，a 2：a 3=5：2， ∴（a 1+d ）：（a 1+2d ）=5：2，∵S 3=3a 1+d=3（a 1+d ），S 5=5a 1+d=5（a 1+d ），则S 3：S 5=3（a 1+d ）：5（a 1+d ）=15：10=3：2． 故答案为：3：216．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若bcosC=ccosB 成立，则△ABC 是 等腰 三角形．【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】运用正弦定理，化简ccosB=bcosC，即sinCcosB=sinBcosC⇒sin（B﹣C）=0，B=C，推出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC=ccosB，∴sinCcosB=sinBcosC，∴sin（B﹣C）=0，∴B=C，∴三角形是等腰三角形．故答案为：等腰．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）函数f（x）=ax2+bx满足：1≤f（1）≤2，2≤f（﹣2）≤4，求f（﹣1）的取值范围．（2）若不等式ax2﹣ax+1≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；二次函数的性质．【分析】（1）由题意可得f（1），f（﹣1），f（﹣2），用f（1），f（﹣2）表示出f（﹣1），即可解得其取值范围；（2）分类讨论，利用二次函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）由f （x）=ax2+bx，得：f （1）=a+b，f （﹣2）=4a﹣2b，f （﹣1）=a ﹣b，设a﹣b=m（a+b）+n（4a﹣2b），解得：m=﹣，n=，∴a﹣b=﹣（a+b）+（4a﹣2b），∵1≤a+b≤2，2≤4a﹣2b≤4，∴0≤a﹣b≤1．（2）当a=0时，左边=1＞0符合题意；当a≠0时，，解得：0＜a≤4；综上可得：0≤a≤4．18．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（x ﹣m﹣9）＜0}（1）求A∩B；（2）若A⊆C，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）由A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x≥，或x≤}，能求出A∩B．（2）由A⊆C，建立不等式组，能求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x≥，或x≤}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤，或≤x＜6}．（2）∵集合C={x|（x﹣m）（x﹣m﹣9）＜0}={x|m＜x＜m+9}，A⊆C，∴，解得﹣3≤m≤﹣1．∴m的取值范围是{m|﹣3≤m≤﹣1}．19．等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a6=14；正项等比数列{b n}满足：b1=2，b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由（I）有，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a2+a6=14；∴2×1+6d=14，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，∵b1=2，b3=8．∴2q2=8，解得q=2．∴b n=2×2n﹣1=2n．因此数列{a n}，{b n}的通项公式．（II）由（I）有，两式相减，得=，∴．20．已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=2n2+3n；（1）求它的通项a n．（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（1）由数列的通项和求和的关系：当n=1时，a1=S1，当n＞1时，a n=S n﹣S n，﹣1化简即可得到所求通项；（2）求得b n===（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）由S n=2n2+3n，当n=1时，a1=S1=5；=2n2+3n﹣2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=4n+1，对n=1也成立．则通项a n=4n+1；（2）b n===（﹣），即有前n项和T n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由c=asinC﹣ccosA，由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，化为=，即可得出．（2）由a=2，△ABC的面积为，可得bc=4．由余弦定理可得：，化为b+c=4．联立解出即可．【解答】解：（1）∵△ABC中，c=asinC﹣ccosA，由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵sinC≠0，∴1=sinA﹣cosA=2，即=，∵∈，∴=，∴A=．（2）∵a=2，△ABC的面积为，∴，化为bc=4．由余弦定理可得：，化为b+c=4．联立，解得b=c=2．∴b=c=2．22．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．2018年9月26日。
2017年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z2＝3﹣4i，则z的模是（）A．B．5C．D．12．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5}，且∁U A＝{x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3B．4C．7D．83．（5分）函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1）C．[1，3）D．（1，+∞）4．（5分）在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）＝（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝99.72%）A．13.59%B．15.73%C．27.18%D．31.46%6．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0B．9.1C．9.2D．9.37．（5分）上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24B．36C．42D．608．（5分）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ＝1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．9．（5分）已知在等腰△AOB中，若|OA|＝|OB|＝5，且，则的取值范围是（）A．[﹣15，25）B．[﹣15，15]C．[0，25）D．[0，15] 10．（5分）已知双曲线C：＝1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠P AQ＝且，则双曲线C 的离心率为（）A．2B．C．D．311．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是．14．（5分）若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p＝．16．（5分）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1＝1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．18．（12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．19．（12分）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝1，AD＝2BC＝，若△P AD是以AD为底边的等腰直角三角形，且P A⊥CD．（1）证明：PC⊥平面P AD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2＝k3•k4，求OB2+OC2的值．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M 为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）＝．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．2017年江西省上饶市六校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z2＝3﹣4i，则z的模是（）A．B．5C．D．1【解答】解：∵复数z满足z2＝3﹣4i，∴|z|2＝＝5，∴|z|＝，故选：A．2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5}，且∁U A＝{x∈N|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3B．4C．7D．8【解答】解：根据题意，全集U＝{1，2，3，4，5}，且∁U A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，则A＝{4，5}，A的真子集有∅、{4}、{5}，共3个；故选：A．3．（5分）函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1）C．[1，3）D．（1，+∞）【解答】解：令t＝﹣x2+2x+3，由﹣x2+2x+3＞0，得﹣1＜x＜3．函数t＝﹣x2+2x+3的对称轴方程为x＝1，二次函数t＝﹣x2+2x+3在[1，3）上为减函数，而函数y＝为定义域内的减函数，∴函数的单调增区间是[1，3）．故选：C．4．（5分）在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，挖出一个体积最大的长方体，看成是整球里边接一个正方体，砍掉一半，即半球里的最大长方体．其长与宽相等，其高是长的一半!当棱长都是半球内的半径时，其体积最大．显然，高只能是半径的一半，投影线不能到底部．由俯视图，可知正视图投影线不能到底部，排除A，D选项．B选项视图可知，挖出是一个正方体，∴B不对．故而C满足题意．故选：C．5．（5分）设随机变量X～N（2，1），则P（|X|＜1）＝（）附：（若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝99.72%）A．13.59%B．15.73%C．27.18%D．31.46%【解答】解：由题意，P（1＜X＜3）＝0.6826，P（﹣1＜X＜5）＝0.9972，∴P（|X|＜1）＝[P（﹣1＜X＜5）﹣P（1＜X＜3）]＝0.1573，故选：B．6．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0B．9.1C．9.2D．9.3【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得，解得a1＝1.36，d＝﹣0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5＝（a1+3d）+（a1+4d）＝2a1+7d＝2.3这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.3+3.9+3≈9.2（升）．故选：C．7．（5分）上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A．24B．36C．42D．60【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况，则此时有3×A33＝18种进站方式，②、3人选择2个通道口进站，先将3人分成2组，有C32＝3种分组方法，在3个通道口中任选2个，有A32＝6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22＝2种情况，此时有3×6×2＝36种进站方式，③、3人选择3个通道口进站，将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33＝6种进站方式，则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6＝60种；故选：D．8．（5分）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ＝1，则cos（2α﹣β）的取值范围为（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．【解答】解：∵α，β∈[0，π]，则α﹣β∈[﹣π，π]， 又∵sin αcos β﹣sin βcos α＝sin （α﹣β）＝1， ∴α﹣β＝， ∴2α﹣β∈[，]，∴cos （2α﹣β）∈[﹣1，0]． 故选：B ．9．（5分）已知在等腰△AOB 中，若|OA |＝|OB |＝5，且，则的取值范围是（ ） A ．[﹣15，25）B ．[﹣15，15]C ．[0，25）D ．[0，15]【解答】解：在等腰△AOB 中，|OA |＝|OB |＝5，＝|﹣|，∴≥，即+2•+≥﹣•+，∴25+2•+25≥﹣•+，解得•≥﹣15；又•＝5×5×cos ∠AOB ＜25， ∴﹣15≤•＜25；即的取值范围是[﹣15，25）．故选：A ．10．（5分）已知双曲线C ：＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠P AQ ＝且，则双曲线C的离心率为（ ） A ．2B ．C ．D ．3【解答】解：因为∠P AQ ＝60°且，所以△QAP为等边三角形，设AQ＝2R，则PQ＝2R，OP＝R，渐近线方程为y＝x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM＝，由勾股定理可得（2R）2﹣R2＝（）2，所以（ab）2＝3R2（a2+b2）①，在△OQA中，＝，所以R2＝a2②①②结合c2＝a2+b2，解得c2＝b2＝（c2﹣a2），即为3c2＝7a2，可得e＝＝＝．故选：B．11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若，且，则m的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴⇒⇒，∴cos A＝，得A＝．∵O是△ABC外接圆的圆心，∴由，得，⇒⇒⇒∴m＝2×＝2×＝2×＝．故选：C．12．（5分）已知，其中ω＞0，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：，其中ω＞0，则函数＝sin2（x）+sinωx﹣＝﹣cosωx+sinωx﹣＝sin（ωx ﹣），可得T＝≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，或，解得≤ω≤或0＜ω≤，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）阅读程序框图，该算法功能是输出数字A的末两位数字是16．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A＝6，i＝1执行循环体，A＝62，i＝2，不满足条件i＞2017，执行循环体，A＝63，i＝3不满足条件i＞2017，执行循环体，A＝64，i＝4…不满足条件i＞2017，执行循环体，A＝62018，i＝2018满足条件i＞2017，退出循环，输出A的值为62018，可得输出数字A的末两位数字是16．故答案为：16．14．（5分）若的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x2的系数为﹣1280．【解答】解：令x＝1，则3n＝729，解得n＝6，∴展开式的通项公式：T r+1＝（﹣1）r（4x）6﹣r＝（﹣1）r46﹣r，6﹣＝2，解得r＝3．∴该二项式的展开式中x2项的系数为﹣1280．故答案为﹣1280．15．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）与过焦点且垂直于其对称轴的直线所围成的封闭图形面积是6，则p＝3．【解答】解：直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（，±p），y2＝2px（p＞0）⇒x＝，根据定积分的几何意义得2（）dy＝p2﹣6，∵（）′＝，∴2×＝p2﹣6，解得p＝3，故答案为：3．16．（5分）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2}．【解答】解：化简可得f（x）＝，当x≥0时，f（x）≥0，f′（x）＝＝，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，故当x＝时，函数f（x）有极大值f（）＝＝；当x＜0时，f′（x）＝＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）对应的图象如图：∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）＝．设t＝f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0，即为t2﹣mt+m﹣1＝0，解得t＝1，或t＝m﹣1．当t＝1时，方程t＝f（x）有3个不等实根，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有3个不相等的实数根，即有t＝m﹣1＝1，即m＝2或无实数根．当m﹣1＜0，即m＜1时，t＝m﹣1无实数根．则m的取值范围是（﹣∞，1）∪{2}．故答案为：（﹣∞，1）∪{2}．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1＝1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【解答】解：（1）由a n+1＝1+S n得：当n≥2时，a n＝1+S n﹣1，两式相减得：a n+1＝2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2＝2a1，又∵a2＝1+S1＝1+a1，解得：a1＝1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n＝9时，数列的前n项和T n取最大值．18．（12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1﹣p）2＝0.04，解得p＝0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X＝10）＝0.64，P（X＝8）＝2×0.8×0.2＝0.32，P（X＝5）＝0.04；所以该基地收益X的分布列为：则该基地的预期收益为E（X）＝10×0.64+8×0.32+5×0.04＝9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）＝11×0.8+6×0.2﹣0.5＝9.5（万元）；此时E（Y）＞E（X），所以该基地应该外聘工人．19．（12分）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝1，AD＝2BC＝，若△P AD是以AD为底边的等腰直角三角形，且P A⊥CD．（1）证明：PC⊥平面P AD；（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．【解答】（1）证明：由已知得：P A⊥PD，P A⊥CD，所以P A⊥平面PCD，即P A⊥PC在直角梯形ABCD中，AB＝1，，由△P AD是以AD为底边的等腰直角三角形得：AP＝PD＝1由PC2+AP2＝AC2，得，可算得：PC2+PD2＝CD2所以：PC⊥PD，即PC⊥平面P AD．（2）如图建系，可得：A（1，0，0），，D（0，0，1），P（0，0，0），，设平面PBC的法向量为，则有，令x＝1得：，设直线AB与平面PBC所成的角是θ，∴所以直线AB与平面PBC所成的角是．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF1F2中，满足∠AF1F2＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1•k2＝k3•k4，求OB2+OC2的值．【解答】解：（1）在△AF1F2中，由正弦定理得：，所以，解得，b＝1，所以椭圆C的方程为：．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．由，所以，即，于是有，即∴．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由得：由于定义域为{x|x≠0}，所以由y'＞0得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0所以由y'＜0得：x＜﹣1或x＞1即得函数在区间（0，1），（﹣1，0）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减．（2）由不等式e x（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，即恒成立设得：，因为它们的定义域（0，+∞），所以易得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；这两个函数在x＝1处，g（x）有最小值，h（x）有最大值，所以要使不等式恒成立，则只需满足，即a＜﹣1﹣e．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M 为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．【解答】解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），则由得：x＝4cosα，y＝4+4sinα，消参得：x2+（y﹣4）2＝16．转化为极坐标方程得：ρ＝8sinθ，所以C2的极坐标方程ρ＝8sinθ，同理可得C1的极坐标方程ρ＝4sinθ．（2）在极坐标系，可得，，所以．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）＝．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对任意a∈（0，1），x∈{x|x≠0}，不等式f（x）≤b恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，由f（x）＞1得，|2x+1|﹣|2x﹣1|＞|x|，x＞时，2x+1﹣2x+1＞x，解得：x＜2；0≤x≤时，2x+1+2x﹣1＞x，解得：x＞0，﹣＜x＜0时，2x+1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞0（舍），x≤﹣时，﹣2x﹣1+2x﹣1＞﹣x，解得：x＞2（舍），所以不等式f（x）≥1的解集为（0，2）；（2）不等式f（x）≤b得：b≥f（x）max，，∴b≥f（x）max＝a+2，又因为对任意的a∈（0，1）恒成立，所以b≥3．。
【福建省莆田】2017学年高考一模数学年(理科)试题
17．（1）解：由2n S n kn =+，有121(2)n n n a S S n k n -==+-≥-， 又111a S k ==+， ∴21n a n k =+-．∵1a ，4a ，13a 成等比数列， ∴24113a a a =，即2(241)(211)(2131)k k k ⨯+-=⨯+-⨯+-，解得2k =．∴21n a n =-； （2）证明：∵1441(1)(3)(22)(26)(1)(3)n n n b a a n n n n +===++++++．∴111()213n b n n =-++．∴12n n T b b b =+++，1111111111111[()()()()()()]+-+-+=-+-+--+18．解：（1）由以上统计数据填写22⨯列联表，如下；计算21000(400140360100)8.772 6.635760240500500K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”； （2）计算甲厂优秀率为4000.8500=，乙厂优秀率为3600.72500=， 所以甲厂的优秀品率高， 计算甲厂数据的平均值为：1(301040405011560165701208045905)60500x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， （3）根据（2）知，60μ=，2142σ=，且甲厂产品的质量指标值X 服从正态分布X ～(60,142)N ，又11.92σ≈，则(6011.926011.92)(48.0871.92)0.6826P X P X -<<+=<<=，1(48.0871.92)10.6826(71.92)0.15870.1822P X P X -<<->===<，故不能够认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%． 19．证明：（1）连结11B C 、1BC ，设11BC B C M =，∵11BB CC ∥， ∴四边形11BB C C 为平行四边形， ∴M 为1BC 的中点，在1ABC △中，O 为AB 的中点， ∴1MO AC ∥，又1AC ⊄平面1B CD ，MO ⊂平面1B CD ， ∴11AC COB ∥平面．解：（2）如图，∵AB 是圆O 的直径， ∴AC BC ⊥，∵1C C ABC ⊥平面， ∴11,C C AC C C BC ⊥⊥， 又60BAC ︒∠=，2AB =， ∴1AC =，BC 13AA =，以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1OC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A，B ，10,(0,3)C，1(2O，1(B ，在圆O 上，C ，D 关于直线AB 对称，AOC △为正三角形，且1OA =，∴CD =30ACD ∠=，过点D 作DP x ⊥轴，DQ y ⊥轴，垂足分别为P ，Q ，则3cos 2CP CD ACD =∠=，1sin 2CQ CD ACD =∠==，∴3(2D ，∴3(2CD =，设平面1CDB 的一个法向量(,,)n x y z =，则30330nCD x n CB y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取y =(1,3,1)n =-，平面1B BC 的一个法向量(1,0,0)n =， 设二面角1D B C B --的二面角为θ， 则cos ||||5||m mn n θ===．故二面角1D B C B --．20．解：（1）由题意可知：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，两式相减得：121212122()()()0)(x x x x y y y y a +-+-+=， 由12x x ≠，则121211222()()()()x x x x y y y a y +-=-+-，由A ，B 在直线21y x =+，则12122y y k x x -==-，A ，B 中点横坐标为13-，则中点的纵坐标为13，∴2213223a -=-，解得：212a =，又0a>， 则a （2）直线AB 的方程为y kx m =+，则2221y kx m x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222222(12)1)(0a k x kma x a m +-++=， 0∆>，即222222(241)(1)()0kma a m a k +-->，则2221m a k +<，由韦达定理可知：则2122221kma x x a k +=-+，221222(1)1a m x x a k-=+， 由m n ⊥，则0m n =，212120x x a y y +=，从而222221212(10)()a k x x kma x x a m ++++=，代入并整理得22221m a k =+，由原点O 到直线AB 的距离d =，则OAB △的面积212211||1||221S d AB k x x k ==+-+，121||()2m x x =+221(1||2kma a m =-+ 222||(11m a m a k =-+ 22||2m a m m =， a =，21．解：（1）设切点(,())Q t f t ，由直线32()231f x x x -=+，求导，2()66f x x x '=-， 则()f x 在Q 点的切线的斜率266k t t =-，则切线方程为2()(66)()y f t t t x t -=--，由切线过点(,4)P a -，则24()(66)()f t t t a t ---=-，整理得：32436)650(t a t at ++-=-，又由曲线恰有两条切线，即方程恰有两个不同的解，令32(()436)65H t t a t at =++--，求导2()126(612)6H t t a t a '=++-，令()0H t '=，解得：12t =，2t =， 当12a =时，()0H t '≥，函数()H t 在R 上单调递增，没有两个零点，不符合题意， 当12a >时，且1(,)(,)2t a ∈-∞+∞时，()0H t '>，当1(,)2t a ∈时，()0H t '<，∴()H t 在1(,)2-∞，(,)a +∞单调递增，在1(,)2a 单调递减；要使()H t 在R 上有两个零点，则1()02()H H a a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，或1()02()0H H a ⎧>⎪⎨⎪=⎩，由113337()35()224222H a a a =--+-=-， 322(()436)65H a a a a a =++--2(1)(255)a a a -=-++ 2515(1)[2()8]4a a =-+-+，∴70210a a ⎧-=⎪⎨⎪+>⎩或70210a a ⎧->⎪⎨⎪+=⎩， 则72a =， 当12a <时，同理可知：10702a a +=⎧⎪⎨-<⎪⎩或10702a a +<⎧⎪⎨-=⎪⎩，则1a =-， 综上可知：1a =-或72a =； （2）322()231(1)21)(f x x x xx -=+=+﹣， ∴()f x 在(0,)+∞上只有一个零点1x =，1()g x k x'=-，当0k ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，()g x 在(0,)+∞上至多只有一个零点，故0k ≤不符合题意；当0k >，1()0g x k x '=-=，解得：1x k=， ∴当1(0,)x k ∈时，()0g x '<，当1(,)x k ∈+∞时，()0g x '>，∴()g x 在1(0,)k 上单调递减，在1(,)k+∞上单调递增；∴()g x 有最小值1()2ln g k k=+，①当21e k =时，1()0g k=，()g x 只有一个零点，不满题意；②当21ek >时，1()0g k >，()g x 在(0,)+∞上无零点，不满足题意； ③当21ek <时，1()0g k <，由1()(1)(2ln )(1)0g g k k k =++<，∴()g x 在1(1,)k 上有一个零点，设为1x ，若11()(e )0k g g k<，()g x 在1(,)k +∞上有一个零点，设为2x ，易证1211e ()e k k k>>，下面证明：1(e )0k g >，令2()e x F x x =-，(2)x >，求导()e 2x F x x '=-，2()e 2e 20x F x -=>-''>，∴()(2,)F x +∞在上单调递增；∴2()(2)e 40F x F ->=>，∴22e 0x ->，即22e x >，(2)x >， 现在去1e k x =，由20e k -<<， ∴2e 2x >>，则111(e )e 1lne k k k g k =+-，11e 1kk k =+-， 由21e 2k >>，则121e k k >， ∴1211(e )110k g k k k>+-=>，∴12()()0g x g x ==，∴由(1)10g k =+>，1()0f x >，2()0f x >，故(1)(1)0h f >=，11()()0h x g x ==，22()()0h x g x ==， 故()h x 有三个零点，22．解：（1）∵圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，∴圆C的参数方程为11x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），∵直线l的极坐标方程为πsin()4ρθ+=∴)ρθθ+=sin cos 40ρθρθ+-=， ∴直线l 的普通方程是40x y +-=； （2）由题意设(1,1)P αα+，∴点P 到直线l距离dπ|2sin()2|α+-=πsin()1|4α=+-，∵π1sin()14α-≤+≤，∴π0sin()1|4α≤+-≤即0d ≤≤，[选修4—5不等式选讲]23．解：（1）62,2()4||22,242|6|,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩．∴当2x ≤时，()2f x >，622x ->，解得2x <； 当24x <<时，()2f x >得22>，无解； 当4x ≥时，()2f x >得262x ->，解得4x >． 所以不等式()2f x >的解集为(,2)(4,)-∞+∞．（2））∵4||22||x x -+-≥， ∴2M =，∵2x a M +≥的解集包含[0,1]， ∴022a +≥，122a +≥，a≥．∴1+∞．故a的取值范围为：[1,)福建省莆田市2017年高考一模数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣5）≤0，解得：1≤x≤5，即A=[1，5]，由B中y=log2（x﹣2），得到x﹣2＞0，解得：x＞2，即B=（2，+∞），则A∩B=（2，5]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=3+i，∴（1+i）（1﹣i）z=（3+i）（1+i），化为：2z=2+4i，即z=1+2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性问题．此类问题通常先求出函数的解析式．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．6．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，由此能求出抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，∴抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC 为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC+V B﹣ADE，即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC+V B﹣ADE=+=．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，由BE⊥DC，∴，⇒m 即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，∴A（0，），D（m，），C（2m，0），，=（）'∵BE⊥DC，∴，⇒m=．∴，，则的值为﹣×+02×=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题．11．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积．【解答】解：由已知得到几何体如图：三棱柱的表面积为=3+2；故答案为：3+2【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，设经过点F的直线y=k（x﹣1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=k（x﹣1）代入y2=4x，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4．AB中点横坐标为2∴2+=4，∴k=±AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y﹣k=﹣（x﹣2），令y=0，可得x=4，∴|FM|=3．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．12．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+y）5 按照二项式定理展开，可得（x﹣2y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数．【解答】解：根据根据（x+y）5 =（•x5+•x4y+•x3y2+x2y3+•xy4+•y5），可得（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为2=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【考点】余弦定理．【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A，由三角形内角和定理可求C=﹣B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得=2sin（B+），由B∈（0，），利用正弦函数的性质可求sin（B+）∈（，1]，即可得解．【解答】解：∵=，可得：（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，可得：C=﹣B，∴====2sin（B+），∵B∈（0，），B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴=2sin（B+）∈（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出球半径为，根据图形找出直线C1M与平面ABD所成角，解三角形即可．【解答】解：如图所示，设O为球心，E、F分别为△ABD、△C1BD的外接圆圆心，则有OE⊥面ABD，OF⊥面C1BD，∵菱形ABCD中，∠BAD=，AB=3∴△ABD、△C1BD为等边△，故E、F分别为△ABD、△C1BD的中心．∵球O的表面积为16π，∴球半径为2．在直角△AOM中，OA=2，AE=，⇒QE=1．tan∠OME=，∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC1，∴∠C1MA（或其补角）就是直线C1M与平面ABD所成角．∠C1MA=2∠OME，tan∠C1MA=tan（2∠OME）=，sin∠C1MA=，直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键．属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1）由已知数列的前n项和求得a n=S n﹣S n﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a1，a4，a13成等比数列求得k，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列{b n}的前n 项和为T n，放缩可得．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．18．【考点】独立性检验．【分析】（1）根据统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值X～N（60，142），计算对应的概率值即可．【点评】本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力．19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，推导出四边形BB1C1C为平行四边形，从而MO∥AC1，由此能证明AC1∥平面COB1．（2）以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣B的二面角的余弦值．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角、空间向量等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用点差法求得直线的斜率公式，k==2，根据中点坐标公式，即可求得a的值；（2）设直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得△OAB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，利用导数求得f（x）在Q的切线方程，构造辅助函数，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求得a的值；（2）根据函数定义，求h（x），根据函数的单调性及函数零点的判断，采用分类讨论法，求得函数h（x）零点的个数，即可求得h（x）恰有三个零点时，实数k的取值范围．【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理能力句函数和方程思想、分类和整合思想，是一道综合题，属于难题．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程法转化，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域等，考查化归与转化思想，化简、计算能力．23．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．。
2016-2017年福建省莆田六中高二(下)期中数学试卷(a卷)和答案
2016-2017学年福建省莆田六中高二（下）期中数学试卷（A卷）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．（5分）在复平面内，复数z=i3（1+i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列关于独立性检验的说法中，错误的是（）A．独立性检验依据小概率原理B．独立性检验原理得到的结论一定正确C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D．独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法3．（5分）曲线y=x3﹣3x2在x=1处的切线方程为（）A．3x+y﹣1=0B．3x+y+1=0C．3x﹣y﹣1=0D．3x﹣y+1=0 4．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），则Y=aX+b服从（）A．Y～N（aμ，σ2）B．Y～N（0，1）C．Y～N（，）D．Y～N（aμ+b，a2σ2）5．（5分）某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得=0.577x﹣0.448（x为人的年龄，y（单位：%）为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（）A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.50%6．（5分）函数f（x）=+3x（x＞0）取得最小值时，x的值是（）A．B．C．D．7．（5分）设ab＜0，则下列四个式子：（1）|a﹣b|=|a|+|b|，（2）|a﹣b|＜|a+b|，（3）|a+b|＜|b|，（4）|a﹣b|＞|a|﹣|b|中，正确的是（）A．（1）、（2）B．（1）、（4）C．（3）、（4）D．（2）、（4）8．（5分）用0，1，2，3，4，5这6个数，能组成几个没有重复数字的四位偶数（）A．18B．156C．192D．3609．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m=72，n=30，则输出n的值为（）A．12B．6C．3D．010．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2D．至少有一个不小于﹣211．（5分）实数a，b满足|a|≤2，|b|≤1，则关于x的二次方程x2+ax+b=0有实根的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义全集U的子集P的特征函数，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知P⊆U，Q⊆U，给出下列命题：其中正确的是（）①若P⊆Q，则对于任意x∈U，都有f P（x）≤f Q（x）；②对于任意x∈U，都有f∁U p（x）=1﹣f p（x）；③对于任意x∈U，都有f P∩Q（x）=f p（x）•f Q（x）；④对于任意x∈U，都有f P∪Q（x）=f p（x）+f Q（x）．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线的焦距为8，则m=．14．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．15．（5分）假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为：．16．（5分）若（1+3x）100=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a100（x﹣1）100，a i∈R，i=1，2，3，…，则a1+a3+a5+…+a99=．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．（12分）设曲线C1：（其中θ为参数）．曲线（Ⅰ）将曲线C1和C2，化为直角坐标系下的方程：（Ⅱ）设C1和C2的交点分别为A，B．求线段AB的中垂线的参数方程．18．（12分）已知不等式|t﹣2|+|t﹣3|≤1的解集为[a，b]，ax2+by2=1（Ⅰ）求a•b的值；（Ⅱ）求x+y的最值．19．（14分）已知甲箱中只放有x个红球与y个白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球（球除颜色外，无其它区别）．若甲箱从中任取2个球，从乙箱中任取1个球．（Ⅰ）记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y 的值；（Ⅱ）当x=2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）．20．（16分）已知椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），E上动点P到右焦点F距离的最大值为3，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F任作直线l交椭圆E于M、N两点，且线段MN垂直平分线交x轴于一点D．问是否存在常数λ，使|FD|=λ|MN|．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．（16分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=﹣1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h （x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年福建省莆田六中高二（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．（5分）在复平面内，复数z=i3（1+i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z=i3（1+i）=﹣i（1+i）=﹣i+1对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．2．（5分）下列关于独立性检验的说法中，错误的是（）A．独立性检验依据小概率原理B．独立性检验原理得到的结论一定正确C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D．独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法【解答】解：∵利用独立性原理检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有误，因此B不是一定正确的．故选：B．3．（5分）曲线y=x3﹣3x2在x=1处的切线方程为（）A．3x+y﹣1=0B．3x+y+1=0C．3x﹣y﹣1=0D．3x﹣y+1=0【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，则f（1）=﹣2，f′（1）=﹣3，故切线方程是：y+2=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣1=0，故选：A．4．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），则Y=aX+b服从（）A．Y～N（aμ，σ2）B．Y～N（0，1）C．Y～N（，）D．Y～N（aμ+b，a2σ2）【解答】解：∵随机变量X～N（μ，σ2），∴E（X）=μ，D（X）=σ2，∴E（Y）=aE（X）+b=aμ+b，D（Y）=a2D（X）=a2σ2，∴Y～N（aμ+b，a2σ2）．故选：D．5．（5分）某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得=0.577x﹣0.448（x为人的年龄，y（单位：%）为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（）A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.50%【解答】解：由题意，=0.577x﹣0.448，当x=37时，可得y=20.9%．∴认为年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%．故选：C．6．（5分）函数f（x）=+3x（x＞0）取得最小值时，x的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x＞0，∴函数f（x）=+3x=+≥=，当且仅当x=取等号，故选：B．7．（5分）设ab＜0，则下列四个式子：（1）|a﹣b|=|a|+|b|，（2）|a﹣b|＜|a+b|，（3）|a+b|＜|b|，（4）|a﹣b|＞|a|﹣|b|中，正确的是（）A．（1）、（2）B．（1）、（4）C．（3）、（4）D．（2）、（4）【解答】解：ab＜0，则下列四个式子：（1）|a﹣b|=|a|+|﹣b|=|a|+|b|，正确；（2）由（1）可知：|a﹣b|＜|a+b|，不正确；（3）例如取a=﹣5，b=1，可得|a+b|＞|b|，因此（3）不正确；（4）由（1）可得|a﹣b|=|a|+|b|＞|a|﹣|b|，正确．故选：B．8．（5分）用0，1，2，3，4，5这6个数，能组成几个没有重复数字的四位偶数（）A．18B．156C．192D．360【解答】解：根据题意，四位偶数的末位数字为0或2、4中的一个，则分2种情况讨论：①、当末位是0时，千位、十位和百位从其他5个数中选3个进行排列有A53=60种结果，②、当末位不是0时，末位只能从2、4中选一个，千位从4个非0元素中选一个，百位、十位从剩余四个中选2个，共有C21C41A42=96种结果，则能组成60+96=156个没有重复数字的四位偶数，故选：B．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m=72，n=30，则输出n的值为（）A．12B．6C．3D．0【解答】解：当m=72，n=30，m除以n的余数是8，此时m=30，n=8，m除以n的余数是6，此时m=8，n=6，m除以n的余数是2，此时m=6，n=2，m除以n的余数是0，退出程序，输出结果为m=2．故选：B．10．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2D．至少有一个不小于﹣2【解答】解：假设a+，b+，c+都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，c+＞﹣2，将三式相加，得a++b++c+＞﹣6，又因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+＞﹣6不成立．故选：C．11．（5分）实数a，b满足|a|≤2，|b|≤1，则关于x的二次方程x2+ax+b=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根，则△=a2﹣4b2≥0，解得a≥2b或a≤﹣2b，而实数a，b满足|a|≤2，|b|≤1，用平面区域表示如图所示；满足关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根且落在矩形区域内的面积为2×4﹣×1×4=6，所以所求的概率是P==．故选：C．12．（5分）定义全集U的子集P的特征函数，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知P⊆U，Q⊆U，给出下列命题：其中正确的是（）①若P⊆Q，则对于任意x∈U，都有f P（x）≤f Q（x）；②对于任意x∈U，都有f∁U p（x）=1﹣f p（x）；③对于任意x∈U，都有f P∩Q（x）=f p（x）•f Q（x）；④对于任意x∈U，都有f P∪Q（x）=f p（x）+f Q（x）．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：由函数，可知①∵P⊆Q，∴若x∈P，则x∈Q，∵，∴f P（x）≤f Q（x）；∴①正确．②f∁U p（x）==1﹣f p（x），∴②正确．③f P∩Q（x）====f p（x）•f Q（x），∴③正确．④f P∪Q（x）=≠f p（x）+f Q（x），∴④错误．故正确的是①②③．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线的焦距为8，则m=3．【解答】解：因为在平面直角坐标系Oxy中，双曲线的焦距为8，所以m＞0，焦点在x轴，所以a2=m，b2=m2+4，所以c2=m2+m+4，又双曲线的焦距为8，所以：m2+m+4=16，即m2+m﹣12=0，解得m=3或m=﹣4（舍）．故答案为：3．14．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．15．（5分）假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为：．【解答】解：因为结果不是三等品，所以问题等价于从一、二等品中随意抽出一件为一等品的概率P，P==；故答案为：．16．（5分）若（1+3x）100=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a100（x﹣1）100，a i∈R，i=1，2，3，…，则a1+a3+a5+…+a99=．【解答】解：（1+3x）100=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a100（x﹣1）100，a i∈R，i=1，2，3，…，令x=0，可得：1=a0﹣a1+a2+…﹣a99+a100，令x=2，可得：7100=a0+a1+a2+…+a99+a100，则a1+a3+a5+…+a99=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．（12分）设曲线C1：（其中θ为参数）．曲线（Ⅰ）将曲线C1和C2，化为直角坐标系下的方程：（Ⅱ）设C1和C2的交点分别为A，B．求线段AB的中垂线的参数方程．【解答】解（Ⅰ）∵曲线C1：（其中θ为参数），∴C1：+y2=1∵曲线，∴ρ（cosθ+sinθ）=，由x=ρcosθ，y=ρsinθ得：C2：2x+2y﹣1=0…（5分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得：3x2﹣2x﹣=0，则x1+x2=．∴AB中点坐标为（，）．∴AB的中垂线的参数方程为（t为参数）…（12分）（方程写成（t为参数）等均可）18．（12分）已知不等式|t﹣2|+|t﹣3|≤1的解集为[a，b]，ax2+by2=1（Ⅰ）求a•b的值；（Ⅱ）求x+y的最值．【解答】解：（I）由|t﹣2|+|t﹣3|≤1及|t﹣2|+|t﹣3|≥|（t﹣2）﹣（t﹣3）|=1，得（t﹣2）•（t﹣3）≤0，所以2≤t≤3，即：a=2，b=3，a•b=6；（II）由（I）得ax2+by2=2x2+3y2=1，∴≥（x+y）2，∴，当且仅当时x+y取最小值；当且仅当时x+y取最大值．19．（14分）已知甲箱中只放有x个红球与y个白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球（球除颜色外，无其它区别）．若甲箱从中任取2个球，从乙箱中任取1个球．（Ⅰ）记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y 的值；（Ⅱ）当x=2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）．【解答】解：（I）由题意知：P==≤=，当且仅当x=y时，取等号，故当P取得最大值时x，y的值都为3．（II）当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3．则P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；所以ξ的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）…（11分）故Eξ=0×+1×+2×+3×=，所求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）=．20．（16分）已知椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），E上动点P到右焦点F距离的最大值为3，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F任作直线l交椭圆E于M、N两点，且线段MN垂直平分线交x轴于一点D．问是否存在常数λ，使|FD|=λ|MN|．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解（Ⅰ）由已知得，…（2分）解得：，则b2=a2﹣c2=3，…（4分）∴椭圆E的方程为；．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的右焦点F坐标为（1，0），∵线段MN垂直平分线交x轴于一点D，∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），（1）当k=0时，|MN|=2a=4，|FD|=c=1，取，；…（7分）（2）当k≠0时，设G为线段MN的中点，且M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0），设α为直线l的倾斜角，则=①…（9分）②…（11分）由得，（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴、、…（13分）代入①②两式并整理得：，，…（14分）则．∴存在，使得|FD|=λ|MN|．…（16分）21．（16分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=﹣1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h （x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x﹣3+==，…2分当0＜x时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=﹣2，…5分；（Ⅱ）当a=﹣1时，f′（x）=2x﹣1﹣（x＞0），所以切线的斜率k=2m﹣1﹣===，整理可得m2+lnm﹣1=0，显然m=1是方程的解，又因为函数y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；（Ⅲ）当a=8时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：h（x）=，设F（x）=f（x）﹣h（x），则F（x0）=0，F′（x）=f′（x）﹣h′（x）=（）﹣（）=（x﹣x0）（x﹣）若0＜x0＜2，F（x）在（x0，）上单调递减，所以当x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，若x0＞2，F（x）在（，x0）上单调递减，所以当x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，若x0=2时，F′（x）=，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分。
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第1页（共23页） 2017年福建省莆田六中高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则（ ） A．A∩B＝∅ B．A∩B＝A C．A∪B＝A D．A∪B＝R 2．（5分）设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（ ） A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3 C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3 3．（5分）已知复数m＝4﹣xi，n＝3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
4．（5分）已知双曲线+＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（ ） A． B．5 C．7 D． 5．（5分）已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 6．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）
A． B． C． D． 7．（5分）某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是（ ） A．18 B．24 C．36 D．42 第2页（共23页）
8．（5分）设非负实数x和y满足，则z＝3x+y的最大值为（ ） A．2 B． C．6 D．12 9．（5分）已知等比数列{an}，且a6+a8＝4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 10．（5分）若实数a、b、c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．（5分）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（ ） A．50π B．100π C．200π D．300π 12．（5分）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，
以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则算筹式表示的数字为 ． 第3页（共23页）
14．（5分）下面的程序框图中，若输入n＝40，则输出的结果为 ． 15．（5分）已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的离心率 ． 16．（5分）在△ABC中，，O为平面内一点，且，M为劣弧上一动点，且， 则p+q的最大值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）证明S1，S3，S9成等比数列； （Ⅱ）设a1＝1，求的值．
18．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行 第4页（共23页）
了统计，并绘制了相应的折线图． （Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率； （Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
报废年限 车型
1年 2年 3年 4年 总计
A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考数据：，，＝17.5． 参考公式：
回归直线方程为其中＝，＝﹣． 第5页（共23页）
19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF＝1． （1）求证：EF⊥平面BCF； （2）点M在线段EF（含端点）上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．
20．（12分）已知圆C1：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l0：y＝相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C． （1）求动点M的轨迹曲线C的方程； （2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2，其中a∈R，e为自然对数的底数 （Ⅰ）函数f（x）的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由； （Ⅱ）若函数y＝f（x）+2x在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同
的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα＝0．
（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 23．已知函数f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|． （1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； 第6页（共23页）
（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 第7页（共23页）
2017年福建省莆田六中高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则（ ） A．A∩B＝∅ B．A∩B＝A C．A∪B＝A D．A∪B＝R 【考点】1E：交集及其运算． 【解答】解：A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}， B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}， 则A∩B＝A， 故选：B． 2．（5分）设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（ ） A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3 C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3 【考点】2J：命题的否定． 【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为∃x＞0，log2x≥2x+3，
故选：B． 3．（5分）已知复数m＝4﹣xi，n＝3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣ 【考点】A5：复数的运算． 【解答】解：由m＝4﹣xi，n＝3+2i， 得＝＝，
∵复数∈R， ∴，解得x＝． 故选：D． 4．（5分）已知双曲线+＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（ ） 第8页（共23页）
A． B．5 C．7 D． 【考点】KC：双曲线的性质．
【解答】解：根据题意，双曲线+＝1，焦点在y轴上，
则有，解可得a＜2， 又由其焦距为4，即c＝2， 则有c2＝（2﹣a）+（3﹣a）＝4， 解可得a＝； 故选：D． 5．（5分）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数． 【解答】解：∵，
∴cos[π﹣（+2θ）]＝﹣cos（+2θ）＝﹣cos2（+θ）＝﹣[1﹣2sin2（+θ）]＝﹣，解得：sin2（+θ）＝， ∴＝±． 故选：B． 6．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）
A． B． C． D． 第9页（共23页）
【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 这个几何体体积V＝+×（）2×2＝2+． 故选：A． 7．（5分）某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是（ ） A．18 B．24 C．36 D．42 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【解答】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地分派2名女生，有C22＝1种情况， 若甲地分配1名女生，有C21•C31＝6种情况， 则甲地的分派方法有1+6＝7种， 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A32＝6种安排方法， 则不同的选派方法的种数是7×6＝42； 故选：D．
8．（5分）设非负实数x和y满足，则z＝3x+y的最大值为（ ） A．2 B． C．6 D．12 【考点】7C：简单线性规划．
【解答】解：由非负实数x和y满足，作出可行域如图， 联立，解得A（2，0）， 化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z， 由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值3×2+0＝6． 故选：C．