三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

-- 三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法

法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使 ，连结CF，则 ，有AD FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC。因为

，所以DE BC21．

法2：如图所示，过C作 交DE的延长线于F，则 ，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为

，所以DE BC21．

法3：如图所示，延长DE至F，使 ，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，

DF BC。因为 ，所以DE BC21． --

法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证CENAEM，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DEBC21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。 --

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？

图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?

图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.

2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

ED

A

BC

EDABC -- 第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如： ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC，BCDE21

第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.

(1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.

分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.

ED

A

BC -- (2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝21BC＝5，DE＝21AC＝3.

证明：(1)∵D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE∥AC，即DE∥AF ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC

∴EA＝EB＝21BC，∠EAB＝∠B 又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA ∴EA∥DF，AEDF为平行四边形 ∴AF＝DE (2)∵AC＝6，BC＝10，

∴DE＝21AC＝3，AE＝21BC＝5 ∴四边形AEDF的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16 题2 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：∠BKE＝∠CHE. --

分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.

证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE 在△DAB和△BCD中 ∵F是AD的中点，E是BC的中点

∴FG∥AB且FG＝21AB，EG∥DC且EG＝21DC ∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG ∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

题3 如图， ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR为等边三角形.

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。利用条件可知PR＝21AD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题 --

的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线.

证明：连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD 又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC为等腰三角形 ∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC为等边三角形 ∵R为OD的中点 ∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

∵Q为BC的中点 ∴RQ＝21BC＝21AD 同理PQ＝21BC＝21AD 在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

∴PR＝21AD ∴PR＝PQ＝RQ 故△PRQ为等边三角形

3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线． --

教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。 上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。

证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略： 1， 长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然） 2， 短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样） 3， 加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样） 4， 折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用） 5， 代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。 6， 相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。 （1）若PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。 （2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ=45° --

A D Q B P C

证明：（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。 ∵四边形ABCD是正方形 ∴ABE=ABC=D=90°，AB=AD 在△ABE和△ADQ中 ∵AB=AD，ABE=D，BE=DQ

ABEADQAEAQBAEQADPAQBAPQADBAPBAEEAPPAQ，°°°，即°45454545 在和中，，即AEPAQPAEAQEAPPAQAPAPAEPAQPEPPQEPEBBPDQBPPQPBDQPQ --

A D Q E B P C

（2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE 由（1）可知ABEADQ

AEAQBAEQADDAQBAQBAEBAQPCQPCQCQPBCCDPQBCPCCDQCBPDQBPEBEPAEPAQPAEAQEPPQAPAPAEPAQPEAPPAQ，°的周长等于正方形周长的一半在和中，，°9045()() 题2（长截短）：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于D。求证：AC=AB+BD

12

43

O

D

A

BC