2022年 《向量数量积的概念 导学案》优秀教案
向量数量积教案
向量数量积教案【篇一：向量数量积教案】平面向量数量积的教学设计及反思教学目的： 1.了解平面向量数量积的物理背景及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 3．理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；教学重难点：重点：1.平面向量数量数量积的概念和性质 2．平面向量数量数量积的运算律的探究和应用难点：平面向量数量数量积的定义及对运算律的探究平面向量数量数量积的应用课时安排： 2 课时教学过程一．导入 ??的作用下产生位移 s??，那么力 f一个物体在力 f??所做的功：coss??fw??=，即功的大小是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积。
f??是力的大小，是数量也就是物理上的标量， s??是位移的大小是标量， cos是力与位移夹角的余弦值，也是标量，所以w 是一个标量，它是由力和位移这两个向量决定的。
这给我们一个启示：功是否是两个向量的某种运算的结果呢？二．新授 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a??与 b??，它们的夹角是，则数量| a??| | b??| cos 叫 a??与 b??的数量积（内积），记作 a?? b??，即 a?? b?? = | a??| | b??| cos ， (0) ，前面所说的功就是力与位移的数量积。
并规定 0??与任何向量的数量积为 0 注意：（1）不能省略，也不能用 ???? 代替。
(2 ) 00a =,而不是00a?? =????。
2．牛刀小试：例 1. 已知| a??|=5， |b??|=4，（1） a??与 b??的夹角是 60 ；（2） a??与 b??的夹角是 120 ；（3） a??与 b??垂直；（4） a??与 b??平行，求 a?? b?? 解： (1) a?? b??=|a??||b??|cos60 =10 (2) a?? b??=| a??||b??|cos120 =-10 (3) a?? b??=| a??||b??|cos90 =0 （4） a??与 b??同向时a?? b??=|a??||b??|cos0 =20 a??与 b??反向时a?? b??=| a??||b??|cos180 =-20 3．投影（也叫射影）的概念及数量积的几何意义： ?? = | a??||b由数量积定义 a?? b??|cos 可知影响数量积大小的因素有| a??|， |b??|， cos ，投影的定义：我们把│ b │ cos （│ a │ cos ）叫做向量b 在 a 方向上（ a 在b方向上）的投影，记做：ob1=│b │ cos （投影的几何图形） b??在 a??方向上的投影：（1）投影│ b │ cos 是一个数量，不是向量。
2022年 《高三数学第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例》优秀教案
第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学目标1知识与技能：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.2过程与方法: 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,并能用所学知识解决有关综合问题.3情感态度与价值观：培养学生应用所学知识解决有关综合问题[备考方向要明了]1．两个向量的夹角(1)定义：两个非零向量a和b，作＝a，＝b，那么∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，那么a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，那么数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.(2)a·b的几何意义:a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，那么a·e＝e·a＝|a|cos 〈a，e〉． (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)a·a＝|a|2，|a|＝a·a. (4)cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．5．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，那么(1)a·b＝a1b1＋a2b2. (2)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(3)|a|＝a21＋a22. (4)cos 〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[例1] (1)(2021BC＝( )C．2 2(2)(2021·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，假设·＝2，那么·的值是________．[自主解答] (1)设角A，B，C的对边分别为a，b，c. ·＝1，即ac cos B＝－1.在△ABC中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即BC ＝ 3.(2)以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，那么B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由·＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，·＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.[答案] (1)A (2) 2[冲关锦囊]1．向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法那么，但并不是所有乘法法那么都可以推广到向量数量积的运算，如(a ·b )c ≠a (b ·c )．2．数量积的运算公式 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉；(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．[例2] (1)(2021y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，那么|a ＋b |＝( ) C ．2 5 D ．10(2)(2021·新课标全国卷)a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 [自主解答] (1)由题意可知⎩⎨⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2.故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1.由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)B (2)A假设本例中将四个命题中的“＞〞改为“＜〞，那么结果怎样？解：由|a ＋b |＜1得cos θ＜－12，解得θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；同理， 由|a －b |＜1得θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3，故命题p 2，p 3正确． [冲关锦囊]1．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系． 3．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法(1)|a |2＝a 2＝a ·a ； (2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)假设a ＝(x ，y )，那么|a |＝x 2＋y 2.[例3] (1)(2021，m )．假设(a ＋c )⊥b ，那么|a|＝________.(2)(2021·新课标全国卷)a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，假设向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，那么k ＝________.[自主解答] (1)a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，那么a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.(2)∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0.∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角)∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1. [答案] (1) 2 (2)1[冲关锦囊]1．证明向量垂直的两种方法(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，只需证明a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用模与夹角的不共线向量作为基底来表示，通过运算证明a ·b ＝0.2．a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，假设a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .[例4] (2021β，2sin β)，＝c ＝(0，d )(d >0)，其中O 为坐标原点，且0<α<π2<β<π. (1)假设a ⊥(b －a )，求β－α的值； (2)假设·||＝1，·||＝32，求△OAB 的面积S . [自主解答] (1)由a ⊥(b －a )⇒a ·(b －a )＝0⇒a ·b －a 2＝0.又|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为|α－β|，∴2cos |α－β|＝1⇒cos |α－β|＝12. 由0<α<π2<β<π，得β－α＝π3.(2)设与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，∵＝(0，d )，d >0， ∴θ1＝β－π2，θ2＝π2－α，且θ1，θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∵||＝1，||＝2，∴由·||＝||·cos θ1＝1⇒cos θ1＝12，得β－π2＝π3.由·||＝||·cos θ2＝32⇒cos θ2＝32，得π2－α＝π6.∴∠AOB ＝β－α＝π2.∴S ＝12×2×1＝1.[冲关锦囊]向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识“交汇〞的命题要求，又加强了双基覆盖面，特别是通过向量坐标表示的运算，在解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题． 板书设计：教学反思：。
2022年《向量数量积的坐标运算与度量公式》参考优秀教案3
平面向量数量积的坐标运算及度量公式教学目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.教学过程导入新课思路 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？假设能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回忆两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此根底上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的根底上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐标表示假设a=(x,y),那么|a|2=x2+y2,或|a|=.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=3°两向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a⊥b x1x2+y1y2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cosθ=讨论结果:坐标运算与数量积定义联系紧密.应用例如例1 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中假设平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,那么此平面图形与平行四边形有关;假设三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,那么此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明.∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0.∴⊥.∴△ABC是直角三角形.点评:此题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.假设∠A=90°,那么⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=.同理可求,假设∠B=90°时,k的值为;假设∠C=90°时,k的值为.故所求k的值为或或.例2 (1)三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵||==3,||==,∴cos∠BAC=(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.设a与b的夹角为θ,那么cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.点评:此题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用根本公式进行运算与求解主要是对根底知识的稳固与提高.变式训练设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°)解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=,|b|=由计算器得cosθ=≈.利用计算器中得θ≈92°.例3 |a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)假设a⊥b,求a;(2)假设a∥b,求a.活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,应仔细比拟并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b,得解得∴a=a=(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得解得或∴a=a=.点评:此题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=x的图象(直线l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0,∴⊥,即l1⊥l2.知能训练1.|a|=5,|b|=,a·b=-7.·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.·b=1,|a|=,|b|=,θ≈88°.课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回忆探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业课本习题 A组、B组.。
2022年精品 《平面向量数量积的物理背景及其含义》优秀教案
平面向量数量积平面向量数量积的物理背景及其含义〔刘季梅〕一、教学目标〔一〕核心素养由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想、类比思想，体验法那么学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯〔二〕学习目标1会算一个向量在另一个向量上的投影，会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义2以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数和形两个方面引导学生对向量数量积的定义进行探究通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别〔三〕学习重点1平面向量数量积的概念和几何意义2平面向量数量积的性质及运算律〔四〕学习难点1平面向量数量积的概念及运算律的理解2平面向量数量积的应用二、教学设计〔一〕课前设计1预习任务〔1〕读一读：阅读教材第103页至105页，填空：①两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即②|a| |b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影③；a与b同向；a与b反向④平面向量数量积的运算律：；= ；〔1〕假设，那么a与b的夹角为〔〕B C D【答案】B〔2〕，，a与b的夹角为，那么a与b的数量积为〔〕B C D【答案】C〔3〕a与b的数量积为，且，a与b的夹角为，那么b的长度为〔〕B C D【答案】D〔二〕课堂设计1知识回忆〔1〕两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即〔2|a||b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影〔3〕当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；〔4〕平面向量数量积的运算律：；= ；2问题探究探究一平面向量数量积的概念和几何意义●活动①引出并理解向量数量积的概念如图，如果一个物体在力F的作用下产生位移，其中是F与的夹角，请答复以下问题：〔抢答〕〔1〕力F所做的功W=F〔2〕公式中的F、、W是矢量还是标量？，F、是矢量，W是标量这给我们一个启示，我们可以把“功〞看成是F与这两个向量的一种运算的结果为此，我们引入向量“数量积〞的概念：两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即规定：零向量与任一向量的数量积为0，即【设计意图】以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，感受数学的实用性，体会概念的得出过程●活动②探究向量数量积的几何意义对于，是a 与b 的夹角，其中〔〕叫做向量a 在b 方向上〔b 在a 方向上〕的投影如图，按照投影的定义，非零向量b 在a 方向上的投影为，其具体情况，请借助下面的图形进行分析并填空〔举手答复〕；≠；<；≠ ；；0【设计意图】从图形的角度引导学生对投影的概念和向量数量积的几何意义进行探究通过数形结合，使学生明确向量的数量积的概念 探究二 平面向量数量积的性质 ●活动①归纳总结数量积的简单性质a 与b 是两个非零向量，是a 与b 的夹角，请按要求填空〔集体口答〕 ________；a 与b 同向________；a 与b 反向________ 0；；特别地：，从而有【设计意图】结合向量数量积的概念和几何意义，引导学生总结当两个向量具有特殊位置关系时，向量数量积的特征，从而让学生掌握本节课的重点 ●活动②公式变形，提炼性质由向量数量积公式易得：，当且仅当a 与b 共线且同向时，等号成立那么通过数量积公式变形，可以来求哪些量？〔举手答复〕；也就是可以求向量的模长和向量夹角的余弦值A OBba O探究三平面向量数量积的运算律●活动①探究平面向量数量积的运算律你能证明以下平面向量数量积的运算律吗？〔举手答复〕〔1〕；〔2〕=；〔3〕证明：〔1〕∵，又∵，∴〔2〕∵，，又∵∴=〔3〕如图，任取一点，作，，∵〔即〕在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即：∴∴∴注：指向量a与b的夹角提示：，如当时，就不成立不一定等于，因为表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线【设计意图】以向量数量积的概念和几何意义为根底探究向量数量积的运算律●活动②简单应用数量积的运算律证明例1 对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？【知识点】向量数量积的运算律的应用【解题过程】【思路点拨】按照向量数量积的分配律翻开，再使用交换律化简【答案】成立同类训练对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？【知识点】向量数量积的运算律的应用BOAC abc【思路点拨】按照向量数量积的分配律翻开，再使用交换律化简【答案】成立【设计意图】简单应用向量数量积的运算律●活动③稳固根底，检查反应例2〔1〕，a与b的夹角，求；〔2〕，且，求a与b的夹角【知识点】向量数量积的定义和性质【解题过程】〔1〕；〔2〕∵，又∵，∴【思路点拨】熟悉向量数量积公式以及公式变形【答案】〔1〕；〔2〕a与b的夹角为同类训练填空：〔1〕，且，那么a与b的夹角为___________；〔2〕，a在b方向上的投影为，那么___________【知识点】向量数量的性质【解题过程】〔1〕∵，又∵，∴；〔2〕【思路点拨】明确向量数量积的几何意义和性质【答案】〔1〕；〔2〕【设计意图】掌握向量数量积的相关计算、投影的计算、向量数量积的性质的相关计算●活动④强化提升，灵活应用例3 ，a与b的夹角，求【知识点】向量数量积的运算律【解题过程】【思路点拨】借助向量数量积运算律【答案】同类训练设m与n是两个单位向量，其夹角，求的模长【知识点】向量数量积的性质和运算律【思路点拨】借助向量数量积的性质和运算律【答案】7【设计意图】掌握并熟悉向量数量积的运算律所涉及的相关应用例4 ，且a与b不共线为何值时，向量与互相垂直【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵向量与互相垂直，∴，即：，，∴，解得：【思路点拨】两向量垂直其数量积为【答案】时，向量与互相垂直同类训练，，且，那么向量a与b的夹角为多少？【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵，∴，又∵，∴，解得：又∵，∴【思路点拨】两向量垂直其数量积为【答案】【设计意图】向量垂直的相关应用3课堂总结知识梳理〔1〕两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即〔2|a||b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影〔3〕当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；〔4〕平面向量数量积的运算律：；= ；〔1〕掌握数量积的定义、重要性质及运算律；〔2〕能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；〔3〕了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题〔三〕课后作业根底型自主突破，b满足，，且，那么a与b的夹角为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】∵，又∵，∴【思路点拨】根据数量积公式的变形求向量夹角【答案】C2假设，那么为〔〕A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D直角三角形【知识点】向量数量积的运算律和性质【解题过程】∵，∴，故为直角三角形【思路点拨】数量积分配律的逆运算和数量积的性质【答案】D3，a在b方向上的投影为，那么〔〕A B C D【知识点】向量数量积的几何意义【解题过程】∵a在b方向上的投影为，∴，∴【思路点拨】投影的定义和数量积的几何意义【答案】B的夹角为，，那么向量的长度为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念【解题过程】由，，∴【思路点拨】向量数量积的运算律【答案】A满足，，且，那么与夹角的余弦值为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】【思路点拨】向量数量积公式变形求向量的夹角【答案】C满足，，，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵，∴又∵，∴【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律【答案】D能力型师生共研满足，，，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律数学思想：方程消元的思想【解题过程】由：，∴，即，又，∴【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组【答案】B8，，a与b的夹角是，，，问实数取何值时，【知识点】向量数量积的性质和运算律数学思想：方程的思想，即，解得：【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组【答案】探究型多维突破9，，a与b的夹角是，计算向量在向量方向上的投影【知识点】投影的概念和表示，数量积的运算律数学思想：方程的思想【解题过程】∵，，∴所求投影为：【思路点拨】表示出投影进而求值【答案】10平面内有四点，记假设且试判断△ABC的形状，并求其面积【知识点】数量积的运算律，三角形的面积数学思想：方程的思想，数形结合【解题过程】∵abc=0，∴aabc=0，∴｜a｜2a·ba·c=0又∵a·b=a·c=-1，∴| a |2=2，同理| b |2=| c |2，又，∴，∴同理，，∴△ABC为等边三角形【思路点拨】观察联想从而对式子进行合理处理【答案】△ABC为等边三角形，自助餐满足，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】由，得：，，解得：【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律【答案】A，b满足|b|＝4|a|，且a⊥2a＋b，那么a与b的夹角为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】因为a⊥2a＋b，所以a2a＋b＝0，得到ab＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，那么＝错误!＝错误!＝－错误!，又0≤θ≤π，所以θ＝【思路点拨】根据数量积公式的变形表示向量的夹角【答案】C，b是向量那么“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的________条件【知识点】向量数量积的性质和运算律，充分条件与必要条件【解题过程】|a＋b|＝|a－b|⇔a＋b2＝a－b2⇔ab＝0，∴|a＋b|＝|a－b||a|＝|b|；|a|＝|b|ab＝0，从而得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的既不充分又不必要条件【思路点拨】明确|a＋b|＝|a－b|的等价变形【答案】既不充分也不必要4，，且与的夹角，那么________【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念【解题过程】由，，∴【思路点拨】向量数量积的运算律【答案】5中，，，，求【知识点】向量数量积的概念【解题过程】由，【思路点拨】找准向量的夹角【答案】〔1〕求a与b的夹角θ；〔2〕求|a＋b|；〔3〕假设错误!＝a，错误!＝b，求△ABC的面积【知识点】向量数量积的性质、运算律，解三角形【解题过程】〔1〕∵2a－3b2a＋b＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6，∴＝错误!＝－错误!又，∴〔2〕|a＋b|2＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×－6＋32＝13，∴|a＋b|＝〔3〕∵错误!与错误!的夹角，∴∠ABC＝＝错误!|错误!||错误!|in∠ABC＝错误!×4×3×错误!＝3错误!又|错误!|＝|a|＝4，|错误!|＝|b|＝3，∴S△ABC【思路点拨】依据向量的模长的公式、向量数量积的运算律，三角形面积公式解题【答案】〔1〕；〔2〕；〔2〕。
向量的数量积教案
向量的数量积教案教案标题：向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解向量的数量积的概念和性质；2. 掌握向量的数量积的计算方法；3. 运用向量的数量积解决几何和物理问题。
二、教学准备：1. 教材：教科书、教学参考书；2. 教具：黑板、白板、教学投影仪、计算器；3. 知识点讲解的例题和练习题。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）向学生简要介绍向量的数量积是什么，为何重要以及在哪些应用中会使用到，引发学生对本课内容的兴趣。
2. 理论讲解（15分钟）对向量的数量积的概念进行详细的讲解，包括定义、计算公式、性质等。
强调其与向量的夹角之间的关系和两个向量之间数量积的几何意义。
3. 示例演练（20分钟）通过几个具体的例子，让学生熟悉如何计算向量的数量积，重点讲解一些常见的特殊情况，如零向量与其他向量的数量积为零等。
4. 练习与巩固（15分钟）提供一定数量的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师可以根据学生的进度进行辅导和解答。
5. 拓展应用（10分钟）引导学生思考如何应用向量的数量积解决几何和物理问题，如求两条直线的夹角、判断两条向量的垂直关系等。
6. 总结与讨论（5分钟）与学生一起总结本节课的重点内容和要点，解答学生提出的问题。
可以进行小组或全班讨论，鼓励学生发表观点和提出疑问。
四、课堂作业：布置一定数量的课后作业，要求学生综合应用向量的数量积解答问题。
可以包括计算题和应用题。
五、板书设计：在黑板或白板上，清晰地书写本节课的重点知识和公式，以供学生复习和记忆。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了向量的数量积的计算方法和应用技巧，提高了解决问题的能力。
在以后的教学中，可以结合具体应用情境，引导学生进一步思考和探索向量的数量积的应用。
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量数量积的概念
【学习重点】
平面向量数量积的概念和物理意义、几何意义、应用
【学习难点】
平面向量数量积的几何意义理解
答：
问题1：向量的夹角
新知新学〔一〕：向量夹角的定义
给定两个非零向量，在平面内任选一点O，作错误!＝，错误!＝，那么称内的∠AOB为向量与向量的夹角，记作．
如图，向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为，即。
新知新学〔二〕：向量夹角的性质
〔1〕根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
；
〔2〕当时，称向量与向量，记作，由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量
与任意向量垂直．
【对点快练】
1．在等边三角形ABC中，向量错误!与错误!的夹角为
A．60°B．12021
C．90°D．30°
2．假设向量a与b的夹角为60°，那么向量a与－b的夹角是
A．60°B．12021
C．30°D．150°
问题2：向量数量积的性质
新知新学〔三〕：向量数量积的定义
数量积的定义：一般地，当都是非零向量时，称为向量的数量积也称为内积，记作，即＝
新知新学〔四〕：数量积的性质
1|；
2 ，即;
3 ,即向量垂直的条件为；
4
例1〔1〕，求；
〔2〕，求
【变式练习1】
在正三角形ABC中，边长为4，求1错误!·错误!；2错误!·错误!
【变式练习2】
|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－错误!，求〈a，b〉．
【变式练习3】
假设非零向量a，b满足|a|＝|b|,2a·b＋b2＝0，那么a与b的夹角为
A．30°B．60°
C．12021D．150°
问题3：向量的投影与向量数量积的几何意义
新知新学〔五〕向量在直线上的投影、向量在向量上的投影
如下图，设非零向量过分别作直线的垂线，垂足分别为，那么称向量为向量在直线上的。
类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，那么在直线上的投影称为在向量上的投影。
如下图，向量在向量上的投影为，可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能，也有可能。
如下图，
当时，的方向与的方向，而且；
当时，为，即
当时，的方向与的方向相反，而且
新知新学〔六〕向量投影的数量及数量积的几何意义
〔1〕一般地，如果都是非零向量，那么称为向量在向量上的投影的。
投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是，也可能是。
〔2〕因为
所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的与的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义。
〔3〕特别的，当为单位向量时，因为，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量。
【对点快练】
1．|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为2b，那么a·b＝____________
2．|b|＝3，a·b＝12，那么向量a在向量b上的投影向量的数量为____________．
例2如下图，求出一下向量的数量积
〔1〕〔2〕〔3〕
【变式练习1】
|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为错误!，那么向量a在向量e上的投影向量是________________；向量e在向量a上的投影向量是________________．。