目录
摘要 (1)
0引言 (1)
1孙子定理及改进 (1)
1.1孙子定理 (1)
1.2孙子定理的改进 (2)
1.2.1同余取倍法 (2)
1.2.2矩阵法 (5)
1.2.3新的改进及证明 (5)
2孙子定理的应用 (10)
2.1在方程中的应用 (10)
2.1.1求同余方程的整数解 (10)
2.1.2求同余方程组的整数解 (11)
2.2在整除中的应用 (13)
参考文献 (14)
Abstract (15)
孙子定理及其应用
作 者：沈红光 指导老师：王 阳
摘 要：归纳总结了孙子定理的几点改进，应用类比，提出新的命题并加以证明，结合实例探究了孙子定理在解同余方程及其同余方程组的应用.
关键词：孙子定理；同余；同余方程组；整数解；解数；互素
0 引言
孙子定理是同余理论的重要内容之一，是解决一次同余方程及方
程组的基础.文献[1]给出了孙子定理及其推论，但是条件比较苛刻，具有很大的局限性.为此文献[2-4]对孙子定理进行改进，其中文献[2-3]研究了余数相同，模不一定两两互素的同余式组的解，但文献[2]没有给出具体的解的表达式，且引理4不正确.文献[4]研究了一般情况下，同余式组的解的表达式，给出了具体的求解方法即矩阵法.文献[5]研究了孙子定理在一元多项式环中的应用.文献[6]指出把孙子定理看作一个数学模式进行教学的探究.文献[7]研究了信息安全中孙子定理在口令验证方面的应用.本文归纳总结了有关文献对孙子定理的两点改进，并加以完善、改正,然后应用类比，给出了特殊情况下的孙子定理的改进，并加以证明，完善了孙子定理在同余方程中的应用. 最后结合实例完善了孙子定理的应用,探究了孙子定理在同余方程、整除中的具体应用.
1 孙子定理及改进
1.1孙子定理
定理 1[1] 设12,k m m m 是k 个两两互素的整数且
12k i i m m m m m M == 1,2.i k =
则同余方程组
1122
(mod ),(mod ),(mod ).
k k x b m x b m x b m ≡??≡??
?
?≡? 有唯一整数解，且解为
111222(mod ).k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++
这里i M '满足1(mod )i i i M M m '≡ 1,2,3.i k =
推论 1[1]设12,k m m m 是k 个两两互素的正整数，12k i i m m m m m M == 则同余式()0(mod )f x m ≡有解的充要条件是
同余式组 12
()0(mod ),
()0(mod ),()0(mod ).
k f x m f x m f x m ≡??≡???
?≡?
的每一个都有解，并且，若用i T 表示()0(mod )i f x m ≡的
解数，T 表示)(mod 0)(m x f ≡的解数，则12.k T TT T = 1.2孙子定理的改进
显然定理1仅适用于模k m m m ,,21两两互素的情况，为此文献[2]-[4]进行了改进. 1.2.1]2[同余取倍法
文献[2]研究了在模非两两互素情况下，采用“同余取倍法”解同余式方程，简单地说当余数相同时取模的最小公倍数作模，将方程组的子方程简化，逐个减少方程组的个数.
定理2
]
2[同余方程组1122(mod ),
(mod ).
x b m x b m ≡??≡?有解的充要条件
1212(,)()m m b b -，且当同余方程组有解时，对模12[,]m m 有唯一解，且解为
11112(mod[,]).x mt b m m ≡+ 其中1t 满足112221.mt m t b b -=-12,.t t Z ∈
该定理在文献[2]中没有给出具体的整数解，在此得到了完善.结论的前半部分文献中已经证明，在此证明方程的解为]),(mod[21111m m t b m x +≡.
证明 因为同余方程组1122(mod ),(mod ).
x b m x b m ≡??≡?有整数解，且1212(,)()m m b b -
故
112221mt m t b b -=-.
有整数解12,t t . 则
111222.mt b m t b +=+
因此
1122(mod ),
(mod ).
x b m x b m ≡??
≡? 与
11112222(mod ),
(mod ).
x m t b m x m t b m ≡+??
≡+? 有相同的解与解数. 又
11112222(mod ),
(mod ).
x m t b m x m t b m ≡+??
≡+?
就是
11111112(mod ),
(mod ).
x m t b m x m t b m ≡+??
≡+?
且与
11112(mod[,]).x mt b m m ≡+
有相同的解与解数.
即得1122(mod ),
(mod ).
x b m x b m ≡??≡?的解为11112(mod[,]).x mt b m m ≡+
这个定理可以推广到n 个同余方程组中：
定理3]3[同余方程组1122
(mod ),(mod ),(mod ).
n n x b m x b m x b m ≡??≡???
?≡? 有解的充要条件是(,)()i j i j m m b b -
(,1,2,3)i j n = 且当同余方程组有解时，对模12[,]n m m m 只有唯一解. 注：文献[2]中的引理 4 若αβ≥，则同余方程组12(mod ),
(mod ).x c p x c p αβ
?≡?≡?的解就是第一个同余方程1(mod )x c p α≡的解是错误的.
如 3(mod8),2(mod4).
x x ≡??≡?其中)8(mod 3≡x 的解的表达式为t x 83+=，.t Z ∈
则)4(mod 283≡+t ,(8,4)4=、4|1/,显然)4(mod 18-≡t 没有整数解. 因此正确的结论为
定理 4 若αβ≥，)(mod 21β
p c c ≡，则同余方程组12(mod ),
(mod ).
x c p x c p αβ
?≡?≡?的整数解就是第一个同余方程1(mod )x c p α≡的整数解.
证明 因为 βα≥ ，1(mod )x c p α≡, 所以
)(mod 1βp c x ≡.
又 12(mod ).c c p β≡
因此必有 )(mod 2βp c x ≡. 即
12(mod ),
(mod ).
x c p x c p αβ
?≡?≡? 与
1(mod ).x c p α≡
有相同的解与解数.定理4证毕. 1.2.2 矩阵法
在模非两两互素的条件下，用矩阵变换的方法求解同余式. 定理 5]4[ 若同余方程组
1122
(mod ),(mod ),(mod ).
k k x b m x b m x b m ≡??≡??
?
?≡? 1,2,3.k n = 满足(,)()i j i j m m b b -(,1,2)i j n = ，则同余式组有公共解
1
(mod ).k
i i i i x M M b M ='≡∑
其中12[,]k M m m m = .其中i M 满足i i M M m =，i M '满足1k
i i i
M M '=∑.
因此对整数型的系数矩阵1
11k k k M b M M b M ??
????????
作整系数的行变换，使得其中的某一行的第一个元素为1，则相应的第二个元素就是所求的的解. 1.2.3新的改进及证明
文献[2]-[4]对模非两两互素的情况进行了研究，并得到了一些结论. 下面给出模特殊情况下的一些结论.
定理6 设21212(,)(,)m m m m =，且)),(mod(2121m m b b ≡，则
1122(mod ),
(mod ).
x b m x b m ≡??
≡? 有唯一的解，且解为
2
111221212(mod[,]).(,)
m x M b m M b m m m m ''≡+
其中
)(mod 1),(11212m M m m m ≡'
，
2
12121(mod
).(,)
m m M m m '≡
证明 设1211),(q m m m =，2212),(q m m m =，21,q q 互素 则
1122(mod ),
(mod ).
x b m x b m ≡??
≡? 与
1121222(mod ),(mod(,)),(mod ).
x b m x b m m x b q ≡??
≡??≡?
有相同的解与解数. 又
1212(mod(,)).b b m m ≡
因此若)(mod 11m b x ≡必有212(mod(,)).x b m m ≡ 所以
1121222(mod ),(mod(,)),(mod ).
x b m x b m m x b q ≡??
≡??≡?
与
112212(mod ),(mod ).(,)x b m m x b m m ≡??
?
≡??
有相同的解与解数.
因为),(),(2122
1m m m m =，所以2
112(,) 1.(,)
m m m m =
故
112212
(mod ),(mod ).(,)x b m m x b m m ≡??
?
≡?? 满足孙子定理的前提条件
又)
,(212
1m m m M =，12m M =，则由定理1知方程的解唯一，且解为
2
11122`212(mod[,]).(,)
m x M b m M b m m m m ''≡+
定理6证毕
在孙子定理及其以上的改进中我们发现研究的同余式都是
(mod )x b m ≡形式的，对于(mod )ax b m ≡形式的同余式我们是否也有类似的结论？通过探究得到了
定理7 设12(,)1m m =，12m m m =，111222(,),(,)a m b a m b . 则方程组
111222(mod ),
(mod ).
a x
b m a x b m ≡??
≡? 有解,解的个数12d d d =.且方程组的解为
111222(mod ).x M M q M M q m ''≡+
其中
1
111111
,0,1,2,1m q x k k d d =+=-
2
222222
,0,1,2,1m q x k k d d =+
=- ； 111222(,),(,)d a m d a m ==.
12,x x 分别是同余方程111(mod )a x b m ≡，222(mod )a x b m ≡的特解.i M '满足
1(mod )i i i M M m '≡ 1,2.i =
证明 由于111222(,),(,)a m b a m b ，所以111(mod )a x b m ≡与222(mod ).a x b m ≡ 都有解,且解数分别为1d ,2d .
设12,x x 分别是同余方程111(mod )a x b m ≡与222(mod )a x b m ≡的特解， 则
111(mod ).a x b m ≡
的整数解为
1
111111
(mod ),0,1,21m x x k m k d d ≡+
=- . 同理
222(mod ).a x b m ≡
的整数解为
2
222222
(mod ),0,1,21m x x k m k d d ≡+
=- . 因此
111222(mod ),
(mod ).
a x
b m a x b m ≡??
≡? 与
111112222
2
(mod ),(mod ).
m x x k m d m x x k m d ?
≡+??
?
?≡+?? 有相同的解与解数 又
111112222
2
(mod ),(mod ).
m x x k m d m x x k m d ?≡+??
?
?≡+?? 满足孙子定理的前提条件. 故解为
111222(mod ).x M M q M M q m ''≡+
其中i M '满足1(mod )i i i M M m '≡,1,2i =
1
111111
,0,1,21m q x k k d d =+
=- 2
222222
,0,1,21m q x k k d d =+=-
因此方程组111222(mod ),
(mod ).
a x
b m a x b m ≡??≡?的解数为12d d d =，解为
111222(mod ).x M M q M M q m ''≡+
定理7证毕
2 孙子定理的应用
2.1 在方程中的应用
使用孙子定理解同余方程的步骤
（1）判断方程组是否满足孙子定理的前提条件. （2）写出12,k m m m 计算12k M M M .
（3）解一次同余方程1(mod )i i i M M m '≡得出一个i M ' 1,2i k = . （4）将,i i M M '代入到111222(mod )k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++ . （5）将12,k b b b 代入到方程组中得到方程组的整数解. 2.1.1 求同余方程的整数解. 例1 求310(mod15)x -≡的整数解. 解 由于1535=?且(3,5)1= 故
310(mod15).x -≡
与
33
10(mod3),
10(mod5).
x x ?-≡?-≡? 有相同的解与解数.
且310(mod3)x -≡有整数解则解一定在模3的完全剩余系中得到，即在
1,0,1-中得到，将它们带入方程得1(mod3)x ≡.
同理可知310(mod5)x -≡的整数解在模5的完全剩余系0,1,2,3,4中得到，代入得 1(mod5)x ≡. 因此
33
10(mod3),
10(mod5).
x x ?-≡?-≡? 与
1(mod3),
1(mod5).
x x ≡??
≡?
有相同的解与解数. 又
1(mod3),
1(mod5).
x x ≡??
≡? 满足孙子定理得前提条件 运用孙子定理的解法 即得
1(mod15).x ≡
故310(mod15)x -≡的整数解为
1(mod15).x ≡
2.1.2求同余方程组的整数解.
例2求同余方程组 3(mod5),
1(mod7).
x x ≡??≡?的整数解.
解 由于方程组满足孙子定理的前提条件,125,7m m ==, 则 127, 5.M M ==
又 111(mod5)M M '≡,221(mod7)M M '≡. 则 171(mod5)M '≡ 251(mod7)M '≡. 即 13(mod5)M '≡,23(mod7).M '≡ 令 123, 3.M M ''== 又 111222(mod35).x M M d M M d ''≡+ 故 733531(mod35).x ≡??+?? 即 78(mod35).x ≡
例3 用矩阵法求同余方程组8(mod15),3(mod10),1(mod8).x x x ≡??
≡??≡?
的整数解.
解 由于120]8,10,15[==M ，12315,10,8m m m ===. 则 123123
8,12,15.M M M M M M m m m ====== 由定理5可知
系数矩阵为1515361264
8，作整系数的行变换得到151********
1.
故所求的解为
()120mod 113≡x
例4 求同余方程组3(mod8),
11(mod 20).
x x ≡??≡?的整数解
解 由于(8,20)4=所以不能直接用孙子定理求解，又)20,8()20,8(2=,且
311(mod(8,20)).≡故满足定理6的前提条件. 因为20,821==m m .所以2
12 5.(,)
m m m =
令
)(mod 1),(11212m M m m m ≡'
，
2
12121(mod
).(,)m m M m m '≡
即得)8(mod 51≡'M ，)5(mod 22≡'
M .取125, 2.M M ''==
由定理6可知同余方程组3(mod8),
11(mod 20).
x x ≡??≡?的整数解为
2
111221212(mod([,])).(,)
m x M b m M b m m m m ''≡
+
即 5538211(mod40).x ≡??+??
故所求的解 为11(mod40).x ≡
例5求同余方程组 21(mod3),
32(mod4).
x x ≡??≡?的整数解
解 由于123, 4.m m == (2,3)1，(3,4)2. 故同余方程21(mod3)x ≡与
32(mod4)x ≡都有解,且解数分别是1(2,3)1d == ，2(3,4)1d ==. 由定理7可知
21(mod3),
32(mod4).
x x ≡??
≡? 解数为
121d d d ==.
显然21(mod3)x ≡的一个特解为2(mod3)x ≡，32(mod4)x ≡的一个特解为2(mod4)x ≡
显然3,421==M M ,2,221==q q ，令)4(mod 1),3(mod 12211≡'
≡'M M M M . 即得)4(mod 3),3(mod 121≡'≡'M M ，取3,121='
='M M .由定理7可知
方程的解为
)(mod 222111m q M M q M M x '
+'≡.
代入得
142332(mod12)x ≡??+??.
即得方程的解)12(mod 2≡x . 2.2 在整除中的应用
例6 证明存在m 个相继正整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都被某个素数的平方整除.
分析 如果存在m 个相继正整数为1,2,n n n m +++ ()n N ∈.
那么，证题得目标就是2(mod )i n i q ≡-有解 ()i q 为素数，i=1,2m ,而这就是孙子定理.
证明 令12,,m q q q 是m 个相异素数.由孙子定理可知方程组
212221(mod ),
2(mod ),
(mod ).m x q x q x m q ?≡-?≡-??
?
?≡-?
有解，设这个解为222
12(mod )m x n q q q ≡ .
则
212221(mod ),
2(mod ),
(mod ).m n q n q n m q ?≡-?≡-??
?
?≡-?
所以
2(),1,2,.i q n i i m +=
故存在m 个相继正整数1,2,n n n m +++ ，且每一个都能被某个素数的平方整除.
参 考 文 献
[1] 张文鹏，李海龙.初等数论[M]陕西：陕西师范大学出版社.2008
[2] 严纪付，任艳，于祥波.浅谈孙子剩余定理及其解法改进.和田师范专科学校学报
（汉文综合版）,2009，28（59）：189-190. [3] 王进明.初等数论[M]北京：人民教育出版社.2002.
[4] 林丽玉.广义的孙子定理[J].宁德师专学报（自然科学版），2002,14（1）：7-8. [5] 王继成.一元多项式环中的孙子定理[J]杭州师范学院学报（自然科学版）2006，
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[6]林舜婷.模式论的数学观指导下的孙子定理的教学[J].阴山学刊,2009.
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[7]刘明明，尚娟娟. 中国剩余定理及其应用[J].人文论坛 .2010:212-213.
[8]杨天标.孙子定理的推广[J].德州学院学报.2010. 26(6):30-31.
[9]王伟，辛小龙，陈涛.基于孙子定理和欧拉函数口令验证方案[J].现代电子技术，
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[10]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社.2003.
Remainder Theorem and Its Applications
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Abstract：Some improvement of Remainder Theorem were summed up;some new proposition were proposed by analog .The application of Remainder Theorem with examples in various fields were explored.
Key words:remainder theorem;congruence;congruence equations;integer solution; the stops;conprime
高中数学：(一)正弦定理
课时达标训练(一) 正 弦 定 理 [即时达标对点练] 题组1 利用正弦定理解三角形 1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝2 2. ∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°. 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ， ∴cos A a ＝sin A a ， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0°5．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1 sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴ a －2 b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2. ★答案★：2 6．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形． 解：∵sin B ＝ b sin C c ＝10·sin 60°56 ＝2 2， 且b ＝10，c ＝56，b 0，∴cos A ＝0，即A ＝π 2 ，∴△ABC 为直角三角形． ★答案★：直角三角形 8．在△ABC 中，a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos ????π2－A ＝b ·cos ????π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b 2R ， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形． 法二：∵a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ， ∴a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得2R sin 2A ＝2R sin 2B ， 即sin A ＝sin B ，
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？
剩余定理详细解法 中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？ 意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？ 《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23 如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。 刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题： 「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」 孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2019年中考数学复习【垂径定理的应用】专项精练卷及答案解析
2019年中考数学复习 【垂径定理的应用】专项精练卷 一．填空题 1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指 圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为． 2．位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，其中一处中式圆形门，它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸． 4．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是cm． 5．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB＝cm．
6．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D 的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm． 7．如图，有一块矩形木板ABCD，AB＝13dm，BC＝8dm，工人师傅在该木板上锯下一块宽为xdm的矩形木板MBCN，并将其拼接在剩下的矩形木板AMND的正下方，其中M′、B′、C′、N′分别与M、B、C、N 对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则x的取值范围是，且最大圆的面积是dm2． 8．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm． 二．选择题 9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（）
正弦定理应用教案
正弦定理应用教案 【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点 的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量 与量 之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐 步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例题分析】 一、基础理解 a．．3 m c． m 2
解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离． 故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中 解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理． 点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长． 解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6， 【篇二：《正弦定理》教学设计】
公开课教学设计(正余弦定理及其应用)
解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程
教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED
高中数学教案必修四：正弦定理
课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到 一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键： 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入： 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课探究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C
中国剩余定理(孙子定理)
中国剩余定理（孙子定理） 问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。 定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 以上两个定理随便个例子即可证明！ 现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2、求各个数所对应的基础数 （1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4 (1) 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2 (1) 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。 （1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况） （2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。 （3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。 35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。 （4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题
垂径定理练习题及答案
垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．
答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米
1.1正弦定理(第2课时)正弦定理的应用 学案(含答案)
1.1正弦定理（第2课时）正弦定理的应用学 案（含答案） 第2课时正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能. 2.理解三角形面积公式及解斜三角形. 3.能用正弦定理解决简单的实际问题知识点一正弦定理的变形公式若ABC的外接圆的半径为R，有 2R.1abcsin_Asin_Bsin_C；2，，；3；4a2RsinA，b2RsinB， c2Rsin C.知识点二边角互化1正弦定理的本质是三角形的边与对角的正弦之间的联系2正弦定理的主要功能是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化3使用正弦定理进行边角互化的前提是已知外接圆半径R或能消掉R.知识点三三角形面积公式在ABC 中，内角A，B，C的对边为a，b，c，则ABC的面积SABCabsinCbcsinAcasin B.思考在SABCabsinC中，bsinC的几何意义是什么答案BC边上的高知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示1仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角2在ABC中，若b22acosB，则 sin2B2sinAcosB3平行四边形ABCD的面积等于ABADsinA4SABCR为
ABC外接圆半径题型一边角互化例1在ABC中，若 sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解方法一由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90， 2sinBcosC2sinBcos90B2sin2BsinA1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC， sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180BC，sinA2sinBcosC，sinBCsinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sinBC0.又90BC90，BC，ABC 是等腰直角三角形反思感悟1 化边为角转化公式为a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCR为ABC外接圆半径2化角为边转化公式为sinA，sinB，sinCR为ABC外接圆半径3当等号两端为边的齐次式或角的正弦齐次式时，2R可以消掉跟踪训练1若将题设中的“sinA2sinBcosC”改为“bsinBcsinC”，其余不变，试解答本题解由正弦定理，设2RR 为ABC外接圆半径，从而得sinA，sinB，sin C.bsinBcsinC，sin2Asin2Bsin2C，bc，222，b2c2， a2b2c2，bc，A 90.ABC为等腰直角三角形题型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在ABC中，已知B30，AB2，AC
人教版高中数学,正弦定理(一)
人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ?(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60°
孙子定理
孙子算经 ●“鸡兔同笼” 《孙子算经》共三卷，完成于公元四-五世纪。卷下第31题，是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。书中是这样叙述的： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 趣题1： 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。 三百六十四只碗，看看用尽不差争。 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。 请问先生明算者，算来寺内几多僧？ ●“荡杯问题” “今有妇人河上荡杯。津吏问曰：…杯何以多？?妇人曰：…有客。?津吏曰：…客几何？?妇人曰：…二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客几何？” “术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”。 这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共碗肉。通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。 ●“孙子定理”（中国剩余定理--一次同余论） 《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”
这个问题也被称为“物不知数”问题。西方数学史将其称为“中国剩余定理” （Chinese remainder theorem）。 与上面的荡杯问题相比较，可以发现主要区别在于这里出现了余数，而不是整除。 此题相当于求不定方程组N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2 ---三个方程式，4个未知数，比较难解。孙子算经给出了算法： N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。 这里105是模数3、5、7的最小公倍数。这里给出的是符合条件的最小正整数。 对于一般余数的情形，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式 N=70×R1+21×R2+15×R3－p×105（p是整数）。孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定： 这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。 70是5和7的公倍数，且被3除余1； 21是3和7的公倍数，且被5除余1； 15是3和5的公倍数，且被7除余1. 在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应出书除后所得的余数恰好等于对应余数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应出书除后所得的余数。 即70R1+21R2+15R3是被3除余R1，被5除余R2，被7除余R3的数。 应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形： 设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……R n，即表示为N≡Ri（mod a i），（i=1、2、……n），只需求出一组数K，使满足1（m od ai）（i=1、2、……n），那么适合已给一次同余组的最小正数解是（P是整数，M=a1×a2×……×an），这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。 上述的孙子算法一般情况四年级暂不要求。现在我们掌握的具体的解题思路如下： 先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得。对于很小的数，可以直接死算）。即
垂径定理的应用教案
课题：垂径定理的应用 一、引入：简要复习垂径定理及其推论的内容。 二、题组训练： 教学意图：通过题组训练强化学生对垂径定理及其推论的应用，在此过程中逐步渗透用方程思想来解决几何运算的问题，并介绍弓形的高的概念，目的是分解课本上例3“赵州桥问题”的难度，为下面顺利建立数学模型解决此例题做好准备。 1、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，于D ，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求 ⊙O 的半径OA. （直接应用垂径定理） 2、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦， OC 交AB 于D 且D 为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. （应用垂径定理的推论） 3、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC 交 AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 2cm. 求 ⊙O 的半径OA . （应用垂径定理的推论和方程的思想） 4、如图，在弓形ACB 中，AB ＝16cm ，弓形的高CD 为4cm ，求弓形所在的圆的半径。 （强化垂径定理和方程思想的运用，逐步渗透数学建模的思想。） 5、小结：对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高 h ，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： （1）h d r +=；（2）222)2(h a r += 三、解决“赵州桥问题” 例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的 距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）. 教学程序及意图说明： 1、先用图片和文字介绍赵州桥的历史和特点，激发学生学习的兴趣； 2、展示赵州桥的平面示意图，帮助学生理解题意并初步建立数学模型。 3、分析、讲解建模的过程，给出解题过程。 四、建模强化训练： 1、在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面 宽AB = 600mm ，求油的最大深度. 2、如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3 米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。 五、小结和布置作业。 ·A B O C D ·A B O C D A B
正弦定理和余弦定理以及其应用教案1
讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用 知识与技能： 掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。 一、知识引入与讲解： Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C ==2R 例1．（1）、已知?ABC 中，∠A 060= ，a =求sin sin sin a b c A B C ++++ (=2) （2）、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用： 例2．（1）、在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A （ =b 060.=A ） （2）、在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 例3．在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形 ? （注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?） 解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形?。 练习： （1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。 （2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。 （答案：（1）ABC 是钝角三角形?；（2）?ABC 是等腰或直角三角形） 例4．在?ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222 S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++ 解：由1sin 2 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a 从而 sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == 例题5、某人在M 汽车站的北偏西20?的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40?。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？
新人教A版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版
[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． １．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容错误!＝错误!＝错误!＝２R. a２＝b２＋c２—２bc cos_A； b２＝c２＋a２—２ca cos_B； c２＝a２＋b２—２ab cos_C. 变形 （１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C； （２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （３）错误!＝错误!＝２R. cos A＝错误!； cos B＝错误!； cos C＝错误!. （１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）； （２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A； （３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）． ３．实际问题中的常用角 （１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）． （２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等． （３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论]
１．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. ２．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. ３．内角和公式的变形 （１）sin（A＋B）＝sin C； （２）cos（A＋B）＝—cos C. ４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基础自测] １．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（） （２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（） （３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（） （４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形． [答案] （１）×（２）√（３）×（４）× ２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．错误!Ｄ．错误! D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.] ３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（） Ａ．无解Ｂ．两解 Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定 B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!， ∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b.
小学奥数：中国剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人 问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰： 三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。 五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。 七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。 三乘五乘七，又得一百零五。 则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数
垂径定理在实际问题中的应用举例
- 1 - 垂径定理在实际问题中的应用 “数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者． 例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块 析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B. 例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A.5 B.7 C. 537 D. 7 37 析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r= 7 37 .故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知 AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO 是Rt △,所以OD=2 2 1610()62 -=,CD=10－6=4,填4. 例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根 O D A B C 图3 D B A O C 图 4 O M N G 图5 图1
