高二数学立体几何教案

【篇一：高中立体几何新课教案】

第1章立体几何初步

1.1.1 空间几何体得结构

重难点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球

的结构特征；柱、锥、台、球的结构特征的概括．

考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能

运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

棱柱的结构特点：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边的都互相平行，由这些面说围成的几何

体叫做棱柱。

棱锥的结构特点：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶

点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面

所围成的几何体叫做圆柱体。

圆锥，棱台，圆台

经典例题：如图,长方体abcd-a1b1c1d1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从a到c1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．

当堂练习：

1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）

a．六棱锥 b．六棱台 c．六棱柱 d．非棱柱、棱锥、棱台的一个

几何体 2下列说法中，正确的是（）

a．棱柱的侧面可以是三角形 b．由六个大小一样的正方形所组成

的图形是正方体的展开图

c．正方体的各条棱都相等 d．棱柱的各条棱都相等

3．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的

数字,推出“？”处的数字是（）

a． 6b． 3 c． 1d． 2

4．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是（）

a．棱柱 b．棱锥 c．棱台 d．可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一

定不是棱柱或棱锥

5．构成多面体的面最少是（）

a．三个 b．四个 c．五个 d．六个

6．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（） a．一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台

b．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台

c．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台

d．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台

7．甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法（）

a．甲正确乙不正确 b．甲不正确乙正确 c．甲正确乙正确 d．不正确乙不正确

8．圆锥的侧面展开图是（）

a．三角形 b．长方形 c． d．形

9．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（） a．圆锥b．圆柱 c．圆台 d．上均不正确

10．下列说法中正确的是（）

a．半圆可以分割成若干个扇形b．面是八边形的棱柱共有8个面 c．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台d．截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥

11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）

a．圆锥 b．圆柱c．球体 d．以上都可能

12．a、b为球面上相异两点, 则通过a、b可作球的大圆有（）

a．一个 b．无穷多个 c．零个 d．一个或无穷多个

13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）

a． b． c． d．

14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________，另一个是．

15. 如右图, 四面体p-abc中, pa=pb=pc=2,

∠apb=∠bpc=∠apc=300. 一只蚂蚁

从a点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到a点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．

16．如右图将直角梯形abcd绕ab边所在的直线旋转一周，由此形成的

几何体是由简单几何体是___________________．

17．边长为5cm的正方形efgh是圆柱的轴截面, 则从e点沿圆柱

的

侧面到相对顶点g的最短距离是_______________．

18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？4面体的棱台吗？棱台

至少几个面．

19．棱柱的特点是：(1)两个底面是全等的多边形，(2)多边形的对

应边互相平行，(3)棱柱的侧面都是平行四边形．

反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？或者说，

上面三条能作为棱柱的定义吗？

20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？

21．(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一

直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、

直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体，三个

图形之间的什么联系？

(2)一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆

锥吗？如果以底边上的高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？

旋转3600又如何？

1.1.2 空间几何体的三视图和直观图

重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则

及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状

和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．三视图包含正视图，测试图和俯视图。

考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱

柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；

②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图

与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；

④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记

忆公式）．

经典例题：右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，

请根据要求回答问题：

（1）这个几何体是什么体？

（2）如果面a在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？

（3）如果面f在前面，从左面看是面b，那么哪一个面会在上面？（4）从右边看是面c，面d在后面，那么哪一个面会在上面？

当堂练习：

1．下列投影是中心投影的是（）

a．三视图 b．人的视觉 c．斜二测画法 d．人在中午太阳光下的

投影

2．下列投影是平行投影的是（）

a．俯视图 b．路灯底下一个变长的身影

c．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上 d．以一只白炽灯为光

源的皮影

3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（）

a．圆柱b. 三棱柱 c. 圆锥 d.球体

4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）

a．球和圆柱 b．圆柱和圆锥c．正方体的圆柱d．球和正方体

5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（）

a．四边形b．三角形 c．圆 d．椭圆

6．如果用

表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（）

a．b．c． d．

7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）

a．平行且相等 b．平行但不相等 c．相等但不平行d．既不平行

也不相等

8．下列说法中正确的是（）

a．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

b．梯形的直观图可能是平行四边形c．矩形的直观图可能是梯形d．正方形的直观图可能是平行四边形

9．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）

a．直角梯形b．等腰梯形 c．不可能是梯形 d．平行四边形

10．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）

a． 3 b． 2 c． 6d．. 32

11．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的

面积是原三角形面积的（）

a．2倍 b．2倍c．2倍d．2倍

12．如右图，直观图所表示的平面图形是（）

a．正三角形b．锐角三角形 c．钝角三角形d．直角三角形

13．如右图，用斜二测画法作?abc水平放置的直观图形得?a1b1c1，其中a1b1=b1c1，a1d1是b1c1边上的中线，由图形可知在?abc 中，下列四个结论中正确的是（）

a．ab=bc=acb． ad⊥bc c． acadabbc

d． acadab=bc

14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应

_________，

俯视图与左视图的宽度应_________．

15．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有

___________________(写出两个几何体即可)．

16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图

是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．

17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a, 那么原图多边形面

积是_____________．

18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字

表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．

19．画出如图的三视图(单位:mm)．

20．已知斜二测画法得得的直观图?a/b/c/是正三角形,画出原三角

形的图形．

21．如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如

何可以找到坐标为(

的点p在直观图中的位置

p/ ?

a,b)

【篇二：高二数学《空间向量与立体几何》教案】

空间向量解立体几何

一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示

空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a，设

i,j,k（单位正交基底）为

坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a=ai1+aj2ak+3有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系o-xyz 标，记作a=(a1,a2,a3)．在空间直角坐标系o-xyz

点a，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使oa=xi+yj+zk实数组(x,y,z)

叫作向量a在空间直角坐标系o-xyz中的坐标，a(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

①a?e=|a|cosa,e．②a⊥b?a?b=0．③|a|2=a?a．

6、运算律

四、直线的方向向量及平面的法向量

③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：

（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系

二、空间向量的直角坐标运算律

（1）若a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，

则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)，

（2）若a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则ab=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终

点的坐标减去起点的坐标。

①设平面的法向量为n=(x,y,z)

②在平面内找两个不共线的向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)

??n?a=0

③建立方程组：?

??n?b=0

④解方程组，取其中的一组解即可。

3?3

五、证明

1、证明两直线平行

三、空间向量直角坐标的数量积

1、设,是空间两个非零向量，我们把数量|

|||cos,叫作向量

,的数量积，记作?，即a?b＝|a||b|cosa,b规定：零向量与任一向量

的数量积为0。 2、模长公式

2、证明直线和平面平行

已知直线a,b。a,b∈a,c,d∈b，则a⊥b?ab?cd=0 5、证明直线和平面垂直

|a|

3、两点间的距离公式：若a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，

则|ab| 或da,b=

a?b

．注：①a⊥b?a?b=0(a,b是两个非零向量）4、夹角：cosa?b=；|a|?|b|

②|a|=a?a=a。

5、空间向量数量积的性质：

六、计算角与距离

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1、求两异面直线所成的角

∵⊥平面abd，∴为平面abd的一个法向量。由cos,ba1=

1∠abc=例1.（2008安徽文）如图，在四棱锥o-abcd中，底面abcd四边长为1的菱形，

?23

2 3

oa⊥底面abcd, oa=2,m为oa的中点。求异面直线ab与md所成角的大小；

解：作ap⊥

cd于点p,如图,分别以ab,ap,ao

所在直线为x,y,z轴建立坐标系

d(-o(0,0,2),m(0,

0,1), 222

(1,0,0),p(0,

∵ab=(1,0,0),md=(--1)

3ab?md2

， 3

∴ a1b与平面abd所成的角为 -，即。

233

∴ab与md所成角的大小为

2、求直线和平面所成的角

? 0,?时

?2?

2?2?

成的角为：-arccos=arcsin

2ab?n

3、求二面角

②一般地，设n是平面m的法向量，ab是平面m的一条斜线，a

为斜足，则ab与平面 m所

ab?n。 ab?n

已知a,b

例2.如图3，在直三棱柱abc-a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，∠acb=90，侧棱aa1=2，d，e分别是cc1与a1b的中点，点e在

平面abd上的射影是?abd的重心g。求a1b与平面abd所成角的

大小。

解：以c为坐标原点，ca所在直线为x轴，cb所在直线为

y轴，cc1所在直线为z轴，建立直角坐标系，

设ca=cb=a，则

，b（，a，

a（a,0,0）0,a,0）（a,0,2）d（0,0,1）1∴ e,

注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。

(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。

(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相

等还是互补。

（1）cd⊥平面bdm； a（2）求面b1bd与面cbd所成二面角的

大小。

分析：要证cd⊥平面bdm，只需证明直线cd与平面bdm

内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角

的平面角或转化为两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。解：以c为原点建立坐标系。则

aa2aaaa1

,1）,,， g,,，

=， 22333663

， =（0,-a,1）

∵点e在平面abd上的射影是?abd的重心g，∴⊥平面abd，∴ ?=0，解得 a=2。

,b1

112=,,∴，，（2,-2,2）1=333

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cd=?

11??

,a1(0,1,1),d,,m??22??

???? ?11?11?

,?,a1b=-1,-1,dm= 0,,-?, 22??22??

))

)

则cd?a1b=0,cd?dm=0,∴cd⊥a1b,cd⊥dm，

b、dm为平面bdm

内两条相交直线，∴cd⊥平面bdm。（2

）设bd的中点为g，连结b1g，则

ab?m的距离d= m

? ?11?11? 31?

g4,4??,bd= 2,2??,b1g= -4,2??， ??????

bg与bg11.又cd⊥bd，∴cd1

4、求两条异面直线的距离

例5. 如图5，已知abc-a1b1c1是各条棱长均等于a的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点．点c1到平

面ab1d的距离（）

a．

2a 4

b．

232a c．a 84

d．

a 2

m已知两条异面直线a,b,是与两直线都垂直的向量,a∈a,b∈b，ab?m则两条异面直线的距离d= m

答案选a；解析： abb1a1为正方形，∴a1b⊥ab1，又平面

ab1d⊥平面abb1a1，

∴a1b⊥面ab1d，∴a1b是平面ab

1d的一个法向量，

c1 a设点c到平面ab1d的距离为d，则

ac?a1bd=a

b 图5

例4．正四棱锥s-abcd的高so=2，底边长abbd和sc之间的距离（）

a．

b．

5 5

．

2 5

d．

． c

答案选c；解析：建立如图

4所示的直角坐标系，则

，

b，

，d(

，s(0,0,2)．

∴db=，cs=．

?n?db

=0?

令向量n=(x,y,1)，且n⊥

db,

n⊥cs，则? ，

n?cs=0??

(x,y,1)?=0

???x+y=0

∴?

，， ?

x-y

+=02)=0??(x,y,1)??

? ??x=∴n=(．∴?

y=??a

oc?n

∴异面直线bd和sc之间的距离为：d=

七、训练题

的中点。求证：ab1⊥a1m

证明：说明上图中，上底面字母为a，b1，c1。建立以c

为坐标1原点的空间直角坐标系以ca为y轴，cb为x轴，cc1为z 轴，

??1、如图，已知直三棱柱abc-am是cc1

1b1c1中，∠acb=90,∠bac=30,bc=1，aa1=a

（

0，0a则m，

a（0）（

10110

则ab1=，a 0，-1m=（1

则ab1?am=0，命题得证。 1

2、在正方体abcd-a1b1c1d1中,e1，f1分别在a1b1,,c1d1上，且e1b1=

a1b1，d1f1=d1c1， 44

求be1与df1所成的角的大小。

解：设正方体棱长为4，以,,dd1为正交基底，建立如图所示空间

坐标系d-xyz

be1=(0,-1,4),df1=(0,1,4)，be1?df1＝15

cos

be1,df1=

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11=

15 17

5、求点到面的距离

3、在正方体abcd-a1b1c1d1中, f分别是bc的中点，点e在d1c1上,且d1e1=d1c1,试求直线

e1f与平面d1ac所成角的大小

解：设正方体棱长为1，以,,dd1为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz

点e在cc1上且c1e=3ec．

（Ⅰ）证明：ac（Ⅱ）求二面角a1-de-b的大小．⊥平面bed；1解：以d为坐标原点，射线da为x轴的正半轴，建立如图所示直

角坐标系d-xyz．

依题设，b(2，2，，0)c(0，2，，0)e(0，21)，，a1(2，0，4)．

db1为d1ac平面的法向量，db1=(1,1,1) 13

e1f=(,,-1)cosdb1,e1f=8724

874 、在正方体abcd-a1b1c1d1中,求二面角a1-bd-c1的大小。

所以直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值为解：设正方体棱长为1，以da,dc,dd1为单位正交基底，

建立如图所示坐标系d-xyz

（法一）ea1=(,-,1),ec1=(-,,1)

de=(0，21)，，db=(2，2，0)，ac=(-2，2，-4)，da1=(2，0，4)．

（Ⅰ）因为acdb=0，acde=0， 1 1

故ac⊥bd，ac⊥de．又db de=d，所以ac⊥平面dbe．

111

（Ⅱ）设向量n=(x，y，z)是平面da1e的法向量，则n⊥de，

n⊥da1．故2y+z=0，2x+4z=0．令y=1，则z=-2，x=4，

acn=(4，1，-2)． n，等于二面角的平面角，． a-de-b==11

42． 42

12121122

1 3

（法二）求出平面a1bd与平面c1bd的法向量 cosea1,ec1=

所以二面角a1-de-b的大小为arccos

∠abc=7、如图，在四棱锥o-abcd中，底面abcd四边长为1的菱形，

, 1

n1=(1,-1,1),n2=(-1,1,1) cosn1,n2==

123

5 、已知e,f分别是正方体abcd-a1b1c1d1的棱bc和cd的中点，求：（1）a1d与ef所成角的大小；（2）a1f与平面b1eb所成角

的大小；（3）二面角c-d1b1-b的大小。

oa⊥底面abcd, oa=2,m为oa的中点，n为bc的中点

（Ⅰ）求异面直线ab与md所成角的大小；（Ⅱ）求点b到平面ocd的距离。

解：作ap⊥cd于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为x,y,z轴建立坐标系

a(0,0,0),b(1,0,0),p解：设正方体棱长为1，以,,dd1为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz

（1）a1=(-1,0,-1) =(-,-,0)

d(, 1

212

cosa1d,ef== a1d与ef所成角是600

（2）a1f=(-1,,-1),ab=(0,1,0)cosa1f,ab=

1 3=6 3

da1 （3）ac1=(-1,1,1),ac=(-1,1,0)，cosac1,ac=二面角c-d1b1-b

的正弦值为

33ab?md2

（Ⅱ）设点b到平面ocd的距离为d,则d为ob在向量n=上的投

影的绝对值,

ob?n2 2

=.所以点b到平面ocd的距离为由 ob=(1,0,-2), 得d=

3n3o(0,0,2),m(0,0,1),n(1

6 3

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6、如图，正四棱柱abcd-a1bc11d1中，aa1=2ab=4，

直线、平面、简单多面体

1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：

直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。

二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。

注：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹

角的范围依次是(0,

]，

（2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。

异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离

和面面距离。

线面距离，面面距离常化归为点面距离。

2、两个重要计算公式

注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等?斜线在平面上射影为角的平分线．（2）异面直线上两点间距离公式

4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面

垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高po，斜高pm，侧棱pa，底面外接圆半径oa，底面内切圆半径om，底面正多边形半边长om，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。

5、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质．

如长方体中：对角线长l，棱长总和为4(a+b+c)，全（表）面积为

2222

2(ab+bc+ca)，（结合(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca可得关于他

们的等量

2、空间元素位置关系的度量

（1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。

异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。

如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）?顶点在底上射影为底面外心，

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【篇三：立体几何学案】

《立体几何初步》学案

一、基础知识（理解去记）

（一）空间几何体的结构特征

（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.

围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

①

?斜棱柱?

棱柱?棱垂直于底面

→直棱柱??????

底面是正多形

?→正棱柱?????????其他棱柱

②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形

长方体底面为正方形正四棱柱正方体 1.3棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点长方体的性质：

①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】

ac1=ab+ad+aa1

②（了解）长方体的一条对角线成

ac1

与过顶点a的三条棱所

的

角分

别是

，那

么；

，

③（了解）长方体的一条对角线

ac1

，

1.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

s直棱柱侧=c?h

1.5面积、体积公式：

- 1 - / 11

s直棱柱全=c?h+2s底，v棱柱=s底?h

（其中c为底面周长，h为棱柱的

高）

注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记 2.圆柱

2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.

2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.

2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.

2.4面积、体积公式：

3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.2棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

母线

侧面

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如

上图： sob, soh, sbh, obh 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n

棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

1ch

ch+s底

1s底?h

3.4面积、体积公式：s正棱锥侧=2周长，h侧面斜高，h棱锥的高），s正棱锥全=2，v棱锥=3

.（其中c为底面

4.圆锥

4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

4.2圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到

截面的距离与顶点到底面的距离之比；②轴截面是等腰三角形；如

右图： sab ③如右图：l=h+r.

b4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母

线长为半径的扇形。 4.4面积、体积公式：

- 2 - / 11

（其中

5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面

之间的部分称为棱台. 5.2正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；③如右图：四边形o`mno,o`b`bo都是直角梯形

s`o`b`与 sob相似，注意考虑相似比. ④棱台经常补成棱锥研究.如

右图： so`m与 son,

5.3棱台的表面积、体积公式：

v棱台＝s3

s`)h

s全＝s上底＋s下底＋s

侧

，

，（其中s,s`是上，下底面面积，h为棱台的高）

6.圆台

6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

6.2圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；②圆台的轴截面是等腰梯形；

③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：

so`a与 sob相似，注意相似比的应用.

6.3圆台的侧面展开图是一个扇环； 6.4圆台的表面积、体积公式： 2

，

圆台3，（其中r，r为上下底面半径，h为高）

7.球

7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；

7.2球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

②r=

d、球的半径为r、截面

的半径为r）

7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决.

7.4球面积、体积公式：中r为球的半径）

（其

（二）空间几何体的三视图与直观图

- 3 - / 11

根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只

需了解即可 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投

影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画

出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的

投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投

影图；

正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在

正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧

视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.直观图：

3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2斜二测法：

step1：在已知图形中取互相垂直的轴ox、oy，（即取

∠xoy=90? ）；

step2：画直观图时，把它画成对应的轴ox,oy，取

∠xoy=45?(or135?)，它们确定的平面表示水平平面；

step3：在坐标系xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线

段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。

结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积

的4倍. 解决两种常见的题型时应注意：

（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.

（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

二点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界 1.1三个定理与三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.

图形语言：符号语言：公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形

语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推

论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论3：两条平行直

线确定一个平面. 图形语言：

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ，故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

高二数学选修2-3教案

高二数学选修2-3教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第课时总第教案课型：新授课主备人：审核人： 1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程一、新课讲授引入课题先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班 .那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有

n m N += 种不同的方法. （3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +???++=21 种不同的方法. 理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

2015年高二数学学业水平考试复习学案(1318)立体几何

俯视图侧视图正视图高二学考必修二学案第1课空间几何体的结构、三视图和直观图一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征：（1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。（4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________ (5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。 (6) _____________________________________________________叫做圆台。 (7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。 2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图（1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________ （2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。 3、正视图：光线从物体的_______投影所得的投影图，它能反映物体的_______和长度。侧视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的高度和宽度。俯视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的长度和宽度。学业水平考试怎么考 1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）. A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台二、课前小练： 1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对 2、下列结论中（1）．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱；（2）．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；（3）．用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台；（4）．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。其中正确的结论是（） A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（） 4、下面多面体是五面体的是（） C ′ A ′ Y ′ D ′

高中数学空间几何体知识点总结

空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征 1 .柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的圭寸闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 (1)柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形，，的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱注：相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: 四棱柱I底面为平行四边形怦行六面体I侧棱垂直于底面IB平行?硕本I底面为矩形 ■------------------------------ Bh. ------------ ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。斜棱柱棱柱： κ=≡τ?tr J車""理》正棱柱按方体底面为正方形正四棱柱恻棱与底面边栓相萨IlE方体I 棱柱的性质:

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?，求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分（2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。（1）求证：BC 1//平面CA 1D ；（2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

数学高二-选修2教案函数的极值

第二课时 3.1.2函数的极值教学设计教学目的 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤教学重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤授课类型新授课课时安排 1课时教具多媒体、实物投影仪内容分析对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号教学过程一、复习引入 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；；x x sin )'(cos -=； x x 1)'(ln = e x x a a log 1 )'(log = ；x x e e =)'(； a a a x x ln )'(= 2.法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=± 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数： x u x u y y '''?= (理科) 4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那

高二立体几何大全

立体几何习题 1. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面 (1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； (2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值 2. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝2 6a ，（Ⅰ）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：A 1B ⊥面AB 1C . 3. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面 ABCD ，SB = 3 1．求证BC SC ⊥； 2．求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小； 3．设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小 B C D A P M F E

4. 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小；（Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 5. 如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 6. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论. 1 B 1D B A 1E F B C D A P E

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理 18）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ， DP AQ AB 2 1 ==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6 ．（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为 6 π ,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==， F ， G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

高中数学必修2知识点总结(史上最全)

高二数学必修 2 知识点总结第 1 章空间几何体一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图

精选高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则面面垂直判定线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案第一章常用逻辑用语日期： 1.1.1命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学时间（三）教学过程学生探究过程： 1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

高中数学必修2公式

高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

高二数学选修11全套教案

第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。（三）教学过程学生探究过程： 1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５） 2 )2 ( ＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关