历届高考中的“复数”试题

《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析

广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆

数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．

《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．

复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4课时．

第一节数系的扩充和复数的概念

本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．

●教学目标

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．

●教学重点

（1）数系的扩充过程．

（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．

（3）复数的几何意义．

●教学难点

（1）虚数单位i的引进．

（2）复数的几何意义．

●教学时数

本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．

●课标对本节内容的处理特点

数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．

（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过

一一对应

（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．

●教学建议

1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议

（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题： ① 在自然数集N 中，方程10x +=有解吗？ ② 在整数集Z 中，方程21x =有解吗？

③ 在有理数集Q 中，方程2

x ＝2有解吗？

④ 在实数集R 中，方程．有解吗？

（2）回顾从自然数集N 扩充到实数集R 的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：

① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？ ② 每一次扩充的主要原因是什么？ ③ 每一次扩充的共同特征是什么？ 然后师生共同归纳总结：

扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要． 扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．

（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程2

10x +=在新的数集中的解？ （4）引入虚数单位i ． （5）学习复数的概念． （6）规定复数相等的意义． （7）研究复数的分类．

（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由： ① ,

a bi c di a c

b d +=+?==；在,a

c b

d ==两式中，只要有一个不成立，则

a bi c di +≠+．

② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．

③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：

对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立；

如果,

a b b c <<，那么a c <；

如果a b <，那么a c b c +<+； 如果,

0a b c <<，那么ac bc <．

2．关于“复数的几何意义”的教学建议

（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数

z a bi =+．

① 明确“复平面”的概念．

② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即 复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）．

一一对应 （2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ uuu r

来表示复数

z a bi =+．

① 认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ uuu r

的一一对应关系．

② 在相互联系中把握复数的向量表示：

复数z a bi =+

一一对应 一一对应

点Z （,a b ） 向量OZ uuu r

（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．

在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．

第二节 复数代数形式的四则运算

本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算． ●教学目标

（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．

（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义． （3）理解复数代数形式的乘除运算法则． （4）体验复数问题实数化的思想方法． ●教学重点

（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义． （2）复数代数形式的乘除运算．

（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用． ●教学难点

（1）复数代数形式的加减运算的规定．

（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解． （3）复数代数形式的乘除运算法则的运用． ●教学时数

本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．

●课标对本节内容的处理特点 复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异： （1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；

（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法． ●教学建议

1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．

2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法则．

3．复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用2

1i =-，将它们归结为实数的四则运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式2

2

()()a bi a bi a b +-=+是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．

4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．

附录一：

《数系的扩充与复数的引入》章末复习学案

一、本章复习要求： （1）复数的概念： ①理解复数的基本概念； ②理解复数相等的充要条件；

③了解复数的代数表示法及其几何意义. （2）复数的四则运算：

①会进行复数代数形式的四则运算；

②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 二、基础知识填空：

1．虚数单位“i ”的两条规定：①i 2

=-1, ② i 与实数在一起，可以进行通常的四则运算。

2．复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做_______,其中i 叫做___________，a 与b 分别叫做复数

a+bi 的______部和_______部。复数通常用字母_____来表示。________________叫做复数的代数形式。全体复数所成的集合叫做________集。用字母________来表示。

3．复数a+bi=c+di 的充要条件是：____________________. 特例a+bi=0?_______________. 4．对于复数a+bi ，当且仅当___________时，它是实数；当且仅当__________时，它是纯虚数。 5．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x 轴叫做________轴，y 轴叫做_______轴.

实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6．复数的模：向量OZ 的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即=+=bi a z ________________. 7．共轭复数：当两个复数实部______,虚部_____________时，这两个复数叫做共轭复数。 z=a+bi 的共轭复数记作_____________.虚部不为零的两个共轭复数也叫做____________. 8．复数加、减法法则：(a+bi)+(c+di)=__________________. (a+bi)-(c+di)=__________________. 9．复数乘法法则：(a+bi)(c+di)=__________________. 10．复数除法法则：(a+bi)÷(c+di)=__________________.

三、典型例题分析：

例1.（2006陕西理）复数(1+i)2

1－i

等于( C )

A.1－i

B.1+i

C.－1+ i

D.－1－i

例2. (2007安徽理)若a 为实数，

i

ai

212++＝-2i ，则a 等于（ B ）

（A ）2 （B ）-2 （C ）22 （D ）-22

例4.（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5.(2005上海文科)在复数范围内解方程i

i

i z z z +-=

++23)(||2

（i 为虚数单位）。 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【解】原方程化简为i i z z z -=++1)(2

,

设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2

+y 2

+2xi=1-i, ∴x 2

+y 2

=1且2x=-1,解得x=-2

1

且y=±23,

∴原方程的解是z=-2

1

±23i.

四、课内基础训练：

1．（2007福建理)复数

2

)

i 1(1

+等于（ ） A ．21 B ． 21- C ．i 21 D ．i 2

1-

2．(2007广东文、理)若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝（ ）

A ．-2

B ．12- C. 1

2

D ．2

3．（2006江西理）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）

A ．32 B. 34 C. 32 D.34 4．（2006广东）若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）

A.±

B. -

C. -

D. ±

5．（2006上海理）若复数z 同时满足z －-

z ＝2i ，-

z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．

6．(2007海南、宁夏理)i 是虚数单位，

51034i

i

-+=+ ．

（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） (课内基础训练答案：1.D ； 2.D ； 3.D ； 4.D ； 5. -1+i 6.1+2i)

五、课处巩固练习： 1．（2007四川理）复数

3

11i i

i +-+的值是（ ） （A ）0 (B) 1 (C) -1 (D) 1

2．（2007山东理）若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则2

1z =-的θ值可能是（ ） （A ）

6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2

π

3．（2006全国Ⅰ卷理）如果复数2

()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）

（A ）1 （B ）1- （C （D ）

4．（2005全国卷Ⅰ理科）复数i

i 2123

--= （ ）

（A ）i

（B ）i - （C ）i -22 （D ）i +-22

5．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科） 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转

3

π

，所得向量对应的复数是（ ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3

6．(1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为( )

(A)1 (B)2 (C) (D)3

7．（2005北京理科）若 12z a i =+, 234z i =-，且

1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． (巩固练习答案：1.A; 2.D; 3.B ; 4.A; 5.B; 6.D; 7.3

8

)

附录二：

“复数” 自测试题

1234

56789101112131415

题号

答案

1．（2007湖南理）复数2i 1+i ??

???

等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i -

2.（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z

2i

1=+，则z =（ ） (A) -2+i

(B) -2-i

(C) 2-i

(D) 2+i

3．（2007山东文）复数43i

1+2i

+的实部是（ ） A ．2- B ．2 C ．3 D ．4

4.（2007全国Ⅰ理）设a 是实数，且2

11i

i a ++

+是实数，则a ＝（ ） （A ）

21 （B ）1 （C ）2

3

（D ）2 5.（2006安徽理）133i

i

+-等于（ ） A ．i B ．i - C 3i D 3i -

6.（2006北京理）在复平面内，复数1i

i

+对应的点位于（ ） （A ）第一象限 (B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

7.（2006四川理）复数3

)i 1(-的虚部为（ ） （A ）3. （B ）－3. （C ）2 （D ）－2

8.（2006浙江理）已知

=+-=+ni m i n m ni i

m

是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)i 2+

9．（2005福建理科）复数i

z -=11的共轭复数是（ ）

A ．i 2

12

1+ B ．i 2

12

1- C ．i -1 D ．i +1

10．（2005广东）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则2

2b a +=（ ）

A ．0

B ．2

C ．2

5

D ．5 11．(2005天津理科)若复数i

i

a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）

（A ）-2

(B)4 (C) -6 (D)6

12．（2005湖南理科）复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ ）

A 、－1

B 、0

C 、1

D 、i

13．（2005重庆理科）=-+2005

)11(i

i （ ）

A ．i

B ．－i

C ．20052

D ．－2005

2 14．（2004北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）

A. 一条直线

B. 两条直线

C. 圆

D. 椭圆

15．(2004浙江理科) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ?是实数,则实数t=（ ）

(A)

43 (B) 34 (C) --34 (D) --4

3

二、填空题：

16.（2007重庆理）复数

3

22i

i

+的虚部为________.

17.（2006上海文）若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m ∈R 。

则____z =。

18.（2005全国卷Ⅲ理科）已知复数2i 3z o +=，复数z 满足,300z z z z +=?复数z= . 19．（2001春招上海）若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z =________．

三、解答题：

20．（2003上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.

21.(2002广东、河南、江苏)已知复数i 1z +=，求实数a,b ，使2

)2z a (z 2b az +=+．

历届高考中的“复数”试题（自测卷）

参考答案

二、填空题：

16.

54； 17. 3； 18. i 2

3

1-； 19. 1-i ； 三、解答题：

20．[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=?

.

2sin 4

12cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(2

2

2

2

2θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ?的最大值为,2

3

最小值为2.

21. 解：∵ z ＝1＋i

∴ az ＋2b z －＝(a ＋2b)＋(a －2b)i

(a ＋2z)2

＝(a ＋2)2

－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2

＋4a)＋4(a ＋2)i

由于a,b ∈R 且az ＋2b z －＝(a ＋2z)2

∴ ???a ＋2b ＝a 2＋4a a －2b ＝4(a ＋2)

相加并整理得：a 2

＋6a ＋8＝0 解得：a ＝－2或a ＝－4 对应的b ＝－1或b ＝2

故所求实数为a ＝－2,b ＝－1或a ＝－4,b ＝2．