高二数学上学期期末考试题第I卷(试题)
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
山西省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知数列满足，则（ ） {}n a *1112,,N 3n n n a a a n a +-==∈+4a =A ．B ．C ．D ．1514-511-47-【答案】C【分析】根据递推关系即可逐一代入求值. 【详解】. 312234123111115,,3534311a a a a a a a a a ---====-==-+++故选:C2．已知函数，则（ ） ()sin cos f x x x x =+()f x '=A ． B ． cos x x cos x x -C ． D ．2sin cos x x x +sin x x 【答案】A【分析】根据导数运算法则直接求解即可.【详解】. ()()()sin sin cos sin cos sin cos f x x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=故选：A.3．《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（ ） A ．1440 B ．2400 C ．14400 D ．86400【答案】C【分析】根据插空法，利用排列数公式求解.【详解】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、55A 贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同36A 5356A A 14400⋅=的排法. 故选：C4．有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．13161214【答案】A【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】甲的名次比乙高，当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 所以甲的名次比乙高共有种情况， 5432115++++=甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为. 51153=故选：A.5．若角的终边经过点，则（ ）θ()1,2-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．B ．C ．D ．6565-2525-【答案】C【分析】根据题意可求得，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简tan 2θ=-sin (1sin 2)sin cos θθθθ++，代入求值，可得答案.【详解】根据角的终边经过点，得，θ()1,2-tan 2θ=-又2sin (1sin 2)sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222sin sin cos sin sin cos sin sin c o os sin c s θθθθθθθθθθθ+=+=+=+,22tan tan 422tan 1415θθθ+-===++故选:C.另解：根据三角函数的定义，得，，sin θ=cos θ=所以， 4sin 22sin cos 25θθθ⎛===- ⎝所以， sin (1sin 2)2sin cos 5θθθθ+==+故选：C.6．某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（ ） A ．540种 B ．300种 C ．210种 D ．150种【答案】D【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可. 51,2,23,1,1【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，1,2,23,1,1当按分组时，有种方法，1,2,222353322C C A 90A =当按按分组时，有种方法，3,1,13353C A 60=所以不同的选择方式有种. 9060150+=故选：D.7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，{}n a 11a =1113n n a a +=+{}1n n a a +n n T ()33101k T k *>∈N 则的最小值是（ ） k A ． B ． C ． D ．16171819【答案】B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得n a 1n n a a +n T ，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值. 33101k T >k 【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列， 1113n n a a +=+111a =∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13，则， ()113132n n n a ∴=+-=-132n a n =-，()()11111323133231n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭， 11111111111344771035323231n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪---+⎝⎭11133131⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭nn n 由得：，解得：，又，.33101k T >3331101k k >+332k >k *∈N min 17k ∴=故选：B.8．已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的()ln f x ax x x =-()e 1xg x =-x a 取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1e -∞-1e ,2-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(),1e -∞-1e ,2-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离()f x ()g x x 参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， ()f x ()g x x 所以， ()()f x g x -=即有两解，ln e 1x ax x x -+=-所以有两解，ln e 1x x x a x -+=令，()ln e 1x x x h x x-+=则，()()()2e11xx h x x--'=所以当时，0，此时函数在上单调递增； ()0,1x ∈()h x '>()h x ()0,1当时，，函数在上单调递减， ()1,x ∈+∞()0h x '<()h x ()1,+∞所以在处取得极大值，， ()h x 1x =()11e h =-且时，的值域为，()0,1x ∈()h x (),1e -∞-时，的值域为，()1,x ∈+∞()h x (),1e -∞-因此有两解时，实数的取值范围为，ln e 1x x x a x -+=a (),1e -∞-故选：C.二、多选题9．已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是l 3460x y -+=()()22:119C x y -++=l （ ）A ．B ． 3480x y -+=3480x y --=C ．D ． 34220x y --=34220x y -+=【答案】AC【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线:340l x y m -+=距离等于半径，由此可构造方程求得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心，半径； ()1,1C -3r =设直线， :340l x y m -+=则圆心到直线的距离，解得：或， C l 735md +==8m =22m =-直线的方程为：或.∴l 3480x y -+=34220x y --=故选：AC. 10．若，则（ ）()()20232320230123202332x a a x a x a x a x x -=++++⋅⋅⋅+∈R A ．B ． 202302a =20230242022152a a a a -+++⋅⋅⋅+=C ．D ．20231352023512a a a a --+++⋅⋅⋅+=20233202312232023213333a a a a +++⋅⋅⋅+=-【答案】BD【分析】利用赋值法令求出判断A ，令，得到两式，两式相加、相减即可判断0x =0a 1,1x =-BC ，令判断D ．13x =【详解】令时，，故A 错误；0x =()320223020022a --==时，；1x =01220202233(32)1...a a a a =-+++=+时，；=1x -0122022203202232302(3)5.2..a a a a a =--+---+-=所以，，B 正确； 20230242022152a a a a -+++⋅⋅⋅+=，C 错误； 20231352023152a a a a ++++⋅⋅⋅+=令，可得， 13x =20233202312023202313233333a a a a a ⎛⎫⨯-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭故，故D 正确. 2023202332023122320231(2)213333a a a a +++⋅⋅⋅+=---=-故选：BD ．11．已知是数列的前项和，，，，则（ ）n S {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n a a +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，， 3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a +-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD. 12．已知函数的两个极值点分别是，则（ ） ()21ln 2f x x ax a x =-+12,x x A ．或a<04a >B ．22128x x +>C ．存在实数，使得 a ()()120f x f x +>D ． ()()()221212164f x f x x x +<+-【答案】BD【分析】对于A ，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于()0f x '=()0,∞+aB ，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C ，由题意得a ()()2121ln 2f x f x a a a a+=--+，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D ，()()11ln ,4,2g a a a a ∞=--+∈+()0g a <，令，利用()()()22212121316ln 6442f x f x x x a a a a +-++=--+()()231ln 6,4,42h a a a a a a =--+∈+∞导数可求出其在上的最大值小于零即可. ()4,+∞【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根， ()f x 12,x x ()0af x x a x'=-+=()0,∞+即在上有2个不等的实根，则解得，A 错误；20x ax a -+=()0,∞+2Δ400a a a ⎧=->⎨>⎩4a >由韦达定理，得，当时，()222221212121212,,22(1)1x x a x x a x x x x x x a a a +==+=+-=-=--4a >，B 正确；22212(1)18x x a +=-->， ()()()()()2221212121211ln ln ln 22f x f x x x a x x a x x a a a a +=+-+++=--+令，则，()()11ln ,4,2g a a a a ∞=--+∈+()1102g a a=-'+<所以在上单调递减，所以， ()g a ()4,+∞()()4ln430g a g <=-<所以恒成立，C 错误；()()()2121ln 02f x f x a a a a a g a +=--+=⋅<， ()()()22212121316ln 6442f x f x x x a a a a +-++=--+令，()()()23131ln 6,4,,ln 4222h a a a a a a h a a a ∞=--+∈=-+'+令，()()()3113ln ,0222a h a a a a a ϕϕ==-+=-'<'所以在上单调递减， ()a ϕ()4,+∞所以，即， ()()1114ln462ln2022a ϕϕ<=-+=-<()()0h a a ϕ'=<所以在上单调递减，.()h a ()4,+∞()()23144ln44468ln28042h a h <=-⨯-⨯+=-<所以，D 正确. ()()()2212121604f x f x x x +-++<故选：BD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有()0af x x a x'=-+=()0,∞+20x ax a -+=()0,∞+2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题13．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______． 【答案】##0.043431000【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意1A 2A 3A 求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互1A 2A 3A 斥，且,123A A A ⋃⋃=Ω，，130003()30003000400010P A ==++230003()30003000400010P A ==++340002()3000300040005P A ==++，设任取一件产品，取到的是次品为事件，则B123()()()()P B P A B P A B P A B =++112233()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++ 332436%5%5%0.0431********=⨯+⨯+⨯==故答案为：0.04314．如图，在平行四边形中，点，分别在，边上，且，，ABCD E F BC DC DF FC = 2CE EB = 若，，，则______.120ABC ∠=︒8AB = 6AD = DE BF ⋅=【答案】24-【分析】由题知，，再根据数量积的运算律运算求解即可.23DE AB BC =- 12BF BC AB =-【详解】解：因为，，DF FC = 2CE EB =所以，，，23DE DC CE AB BC =+=- 12BF BC CF BC AB =+=-因为，，，120ABC ∠=︒8AB =6AD =所以222141232323DE BF AB BC BC AB AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 2241128686243223=⨯⨯⨯-⨯-⨯=-故答案为：24-15．若曲线与曲线__________. e x y a =y ==a 【分析】令，，结合导数几何意义可构造方程组()e xf x a =()g x =()00,x y ，由此可解得，进而求得的值. ()()()()0000f x g x f x g x ⎧==''⎪⎨⎪⎩0x a 【详解】令，，()e x f x a =()g x =()e xf x a '=()g x '=设与的公共点为，()f x ()g x ()00,x y 与在公动点处有相同的切线，()f x ()g x ，即， ()()()()0000f xg x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩00e e x x aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =，解得：12e a ∴=a ==16．过抛物线的焦点F 作直线PQ ，MN 分别与抛物线C 交于P ，Q 和M ，N ，若直线2:8C x y =PQ ，MN 的斜率分别为，，且满足，则的最小值为______． 1k 2k 2212141k k +=PQ MN +【答案】88【分析】求出直线方程，再与抛物线联立，利用弦长公式分别求出弦，再利用基本不等,PQ MN 式即可得出答案.【详解】抛物线的焦点， 2:8C x y =()0,2F 则直线的方程为，PQ 12y k x =+联立，消得，1228y k x x y =+⎧⎨=⎩y 218160x k x --=设，()()1122,,,P x y Q x y则，121128,16x x k x x +==-则，()2121121484y y k x x k +=++=+所以，2121488PQ y y k =++=+同理可得， 2288MN k =+所以，()2212816PQ MN k k +=++由， 2212141k k +=得，()2222222112122222121241459k k k k k k k k k k ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当，即时，取等号，222122124k k k k =22123,6k k ==所以的最小值为. PQ MN +891688⨯+=故答案为：.88四、解答题17．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍． 2nx ⎫⎪⎭(1)求n 的值；(2)求的展开式中的常数项．2nx ⎫⎪⎭【答案】(1)9 (2) 672-【分析】（1）根据二项展开式的通项公式及二项式系数的概念求解； （2）由二项展开式通项公式，令求解即可. 39219(2)C k kkk Tx-+=-⋅3902k -=【详解】（1）由二项展开式通项公式可知，，321C (2)(2)C n kk n k k k kk k nnT x x--+=⋅-=-⋅所以由题意知，解得.21C 4C =n n 9n =（2）由（1）知二项展开式的通项公式为，39219(2)C k kk k Tx-+=-⋅令，解得， 3902k -=3k =故展开式中的常数项为.3349(2)C 884672T =-=-⨯=-18．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中1111ABCD A B C D -ABCD 122AA AB ==E 1DD 点.(1)证明：平面；CE ⊥11B C E (2)求平面与平面夹角的余弦值. 11B C E 1AC E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定1C E CE ⊥11B C CE ⊥理可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. A 【详解】（1）四边形为矩形，，为中点， 11CDD C 1112CD DD ==E 1DD，又，，；1C E CE ∴==12CC =22211C E CE CC ∴+=1C E CE ∴⊥平面，平面，；11B C ⊥ 11CDD C CE ⊂11CDD C 11B C CE ∴⊥，平面，平面.1111B C C E C = 111,B C C E ⊂11B C E CE ∴⊥11B C E （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA,,x y z则，，，，()0,0,0A ()11,1,2C ()0,1,1E ()1,1,0C ，，； ()11,1,2AC ∴= ()0,1,1AE = ()1,0,1CE =-设平面的法向量，1AC E (),,n x y z =则，令，解得：，，； 1200AC n x y z AE n y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =1x =1z =-()1,1,1n ∴=- 由（1）知：平面，平面的一个法向量为，CE ⊥11B C E ∴11B C E ()1,0,1CE =-cos ,CE n CE n CE n ⋅∴<>===⋅ 即平面与平面. 11B C E 1AC E 19．为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率；(2)记选出的4名同学中女同学的人数为，求随机变量的分布列及数学期望． X X 【答案】(1)6970(2)分布列见解析， ()2E X =【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据X 期望公式求出期望即可.【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为； 4448C 691C 70-=（2）随机变量可取，X 0,1,2,3,4，， ()044448C C 10C 70P X ===()134448C C 81C 35P X ===，， ()224448C C 182C 35P X ===()314448C C 83C 35P X ===， ()404448C C 14C 70P X ===则分布列为X 0 1 2 34P 170 8351835835170期望. ()1818810123427035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20．在数列中，.{}n a *11122,,N 33n n a a a n +==+∈(1)证明：是等比数列；{}1n a -(2)若数列的前项和，求数列的前项和.{}n b n ()2*2,1,N n n n n S n n c b a n =+=-∈{}n c n n T 【答案】(1)证明见解析 (2)()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比， ()11113n n a a +-=-{}1n a -（2）根据 的关系可求解，由（1）知，进而可得,n n S b *21,N n b n n =+∈1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由错位相减法即可求解.()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）证明：因为，所以，11233n n a a +=+()11113n n a a +-=-又，所以，所以. 12a =111a -=11113n n a a +-=-所以是首项为1，公比为的等比数列.{}1n a -13（2）由（1）知，1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为数列的前项和，所以当时，，当时，{}n b n 22n S n n =+2n ≥121n n n b S S n -=-=+1n =113b S ==，满足上式，所以.*21,N n b n n =+∈所以.()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，①()01211111357213333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由①，得，②13⨯()123111113572133333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①②相减得()()()112121133211111132213214241333333313n n nn n n T n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++-+=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以.()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21．在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线xOy ()1,0A -()10B ,M xOy 4BM =段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线. AM BM N N C (1)求曲线的方程；C (2)设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在:l y kx m =+C P 4x =Q 定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.H PQ H H 【答案】(1)22143x y +=(2)存在，定点 ()1,0H【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到轨迹为椭圆，再计算得到椭圆方程.4AN BN +=（2）联立方程，根据有唯一交点得到，解得的坐标，假设存在定点22430k m -+=,P Q ()00,H x y ，则，代入数据计算得到答案.0HP HQ ⋅=【详解】（1）由垂直平分线的性质可知，所以. MN AN =4AN BN MN BN BM +=+==又，所以点N 的轨迹C 是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.24=<AB ()1,0A -()10B ,设曲线C 的方程为，则，，所以，()222210x y a b a b+=>>2a =1c =2223b a c =-=所以曲线C 的方程为.22143x y +=（2）由，消去y 并整理，得，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224384120k x kmx m +++-=因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点P ，:l y kx m =+所以，即，所以，()()()22284434120km k m ∆=-+-=22430k m -+=0m ≠此时，， 24443P km k x k m =-=-+22443P k k m y k m m m m -+⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭所以，由得，43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭4y kx m x =+⎧⎨=⎩()4,4Q k m +假设存在定点，使得以PQ 为直径的圆恒过点H ，则， ()00,H x y 0HP HQ ⋅=又，， 0043,k HP x y m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()004,4HQ x k m y =-+-所以， ()()000043440k HP HQ x x y k m y m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得对任意实数，k 恒成立. ()22000004314430k x m k y x y x m m ⎛⎫⋅-+---++-+= ⎪⎝⎭()0m m ≠所以，解得，002200010430x y x y x =⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩0010x y =⎧⎨=⎩故存在定点，使得以PQ 为直径的圆恒过点H .()1,0H 【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目条件转化为向量的乘积为零是解题的关键. 22．已知函数，（，为自然对数的底数）. ()ln 21x f x x-=+()()e x g x m f x =+m ∈R e (1)求函数的极值；()f x (2)若对，恒成立，求的取值范围.()0,x ∀∈+∞()0g x <m【答案】(1)极大值为，无极小值 311e +(2)31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果； ()f x '()f x （2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令()2ln exx xm h x x --<=()0,∞+，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得()3ln x x x ϕ=-+()x ϕ()x ϕ'到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围. ()h x ()min h x ()3min 1e h x =-m 【详解】（1）定义域为，， ()f x ()0,∞+()23ln xf x x -'=当时，；当时，；∴()30,e x ∈()0f x ¢>()3e ,x ∞∈+()0f x '<在上单调递增，在上单调递减， ()f x \()30,e ()3e ,+∞的极大值为，无极小值. ()f x \()331e 1ef =+（2）由得：，在上恒成立； ()0g x <ln 2e 10x x m x -++<2ln exx xm x --∴<()0,∞+令，则； ()2ln e xx x h x x --=()()()()()22112ln 113ln e e x x x x x x x x x x h x x x ⎛⎫-----+ ⎪+-+⎝⎭'==令，则， ()3ln x x x ϕ=-+()1110x x x xϕ+'=+=>在上单调递增，又，， ()x ϕ∴()0,∞+()2ln 210ϕ=-<()3ln 30ϕ=>，使得，则，()02,3x ∴∃∈()00x ϕ=00ln 3x x =-当时，；当时，；∴()00,x x ∈()0h x '<()0,x x ∈+∞()0h x '>在上单调递减，在上单调递增，；()h x ∴()00,x ()0,x +∞()()0000min 02ln e x x x h x h x x --∴==由得：，，00ln 3x x =-()0000ln ln e ln e 3x x x x +==030e e x x ∴=，，()()00003min 02ln 1e e x x x h x h x x --∴===-31e m ∴<-则实数的取值范围为.m 31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.。
2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试01(全解全析)(含答案)
2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线10x -=的倾斜角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x -=可化为y =所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A.7-B.1-C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，所以12//n n，即33==-，解得=1x -故选：B3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则4S =（）A ．7B ．12C ．15D ．31【答案】C【分析】设出公比，根据2a ，3a ，42a -成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，因为2a ，3a ，42a -成等差数列，所以32422a a a =+-，则222222q q ⨯=+-，解得：2q =或0（舍去）.因为22a =，所以11a =，故44121512S -==-.故选：C4．设R a ∈，则“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +-=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a -+≠，解得1a =或12a =-．所以由充分必要条件的概念判断可知：“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的充分不必要条件，故选：A5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC中点，则MN等于（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.6．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860+-++=x y x y m 相内切，则1C 与2C 的公切线方程为（）A.3450x y --=B.3450x y -+=C.4350x y --=D.4350x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由两圆的位置关系得出m ，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆1C ：221x y +=的圆心11(0,0),1O r =，圆2C ：22860+-++=x y x y m 可化为22(4)(3)25x y m -++=-，()25m <，则其圆心为2(4,3)O -，半径为2r =，因为圆1C 与圆2C 相内切，所以2121r O O -=，即216r ==，故11m =-.由2222186110x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，可得4350x y -+=，即1C 与2C 的公切线方程为4350x y -+=.故选：D7．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】确定111112n n n a a -+-=，112a =-，利用累加法确定22n n a -=-，代入计算得到答案.【详解】1112n n n n n a a a a ++--=，故111112n n n a a -+-=，21a =-，故112a =-，212112111111111111112222n n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+++-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故22n n a -=-，816k a a =，即261021622k --=-⨯=-，故210k -=，解得12k =.故选：B8．已知F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，若MN 等于PF 的最小值的3倍，则C 的离心率为（）A.13B.12C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得minPF a c =-，22b MN a=，再根据已知列式，结合椭圆a b c 、、的关系，求出离心率即可.【详解】F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，由椭圆的性质，可得minPFa c =-.过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，22b MN a∴=.MN 等于PF 的最小值的3倍，()223a b ac =∴-.椭圆中222a c b -=，()222233a c a ac ∴-=-，即22230c ac a -+=，则22222230c ac a a a a -+=.ce a=，22310e e ∴-+=，解得12e =或1e =（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线1C ：224348x y +=，2C ：2213yx -=，则（）A.1C 的长轴长为4B.2C 的渐近线方程为y =C.1C 与2C 的焦点坐标相同D.1C 与2C 的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线1C ：224348x y +=整理得2211216x y+=，则曲线1C 是焦点在y 轴上的椭圆，其中221116,12a b ==，所以2221114c a b =-=，离心率为1112142c e a ===故曲线1C 的长轴长128a =，故A 不正确；曲线2C ：2213y x -=是焦点在x 轴上的双曲线，其中22221,3a b ==，所以2222224c a b =+=，离心率为222221c e a ===，故与曲线1C 的焦点位置不同，故C 不正确；2C ：2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 正确；又121212e e ⋅=⨯=，所以1C 与2C 的离心率互为倒数，故D 正确.故选：BD.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23240,0S S ><，则下列结论错误的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，13n =D ．1312a a >【答案】ABC【分析】由已知23240,0S S ><，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：120a >，12130a a +<，进而判断选项即可.【详解】因为{}n a 是等差数列，且23240,0S S ><，所以()12312232302a a a +=>，()()()1241241213242412022a a a a a a ++==+<，即12130a a +<，所以120a >，130a <，且1312a a >，所以B 错误，D 正确；因为13120d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列，所以A 错误；所以当12n =时，n S 取得最大值，所以C 错误.故选：ABC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，则下列结论正确的是（）A.点B 到直线11A CB.直线CF 到平面1AEC 的距离为3C.直线11A C 与平面1AEC 所成角的余弦值为6D.直线11A C 与直线1B F 所成角的余弦值为10【答案】ABD 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，(2B ,2,0)，1(2A ,0,2)，1(0C ,2,2)，1(0A B = ,2,2)-，11(2A C =-,2,0)，则点B 到直线11A C 的距离为：21||d A B==A正确；(2A,0,0)，(2F,1,0)，(2E,1,2)，(0C,2,0)，(2CF=,1-,0)，(0AE=,1,2)，1(2AC=-,2,2)，(0AF=,1,0)，设平面1AEC的法向量(n x= ,y,)z，则1202220n AE y zn AC x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x=，得(1n=,2,1)-，由于,E F分别为11,A B AB的中点，所以1//EF CC且1EF CC=，因此四边形1FCC E为平行四边形，故1//EC FC,又⊄FC平面1AEC,1EC⊂平面1AEC,所以//CF平面1AEC，∴直线CF到平面1AEC的距离为||||3AF ndn⋅===，故B正确；设直线11A C与平面1AEC所成角为θ，则1111||sin||||A C nA C nθ⋅==⋅C错误；1(2B,2,2)，1(0B F=,1-,2)-，设直线11A C与直线1B F所成角为θ，则111111||cos||||AC B FAC B Fθ⋅==⋅，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则下列结论正确的是（）A.420S= B.1n n na a+-=C.()112n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1232023111120231012a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB 正误；利用累加法可求得C 正确；采用裂项相消法可求得D 正确.【详解】对于A ，123441361020S a a a a =+++=+++=，A 正确；对于B ，由每层球数变化规律可知：()11n n a a n n *+-=+∈N ，B 错误；对于C ，当2n ≥时，()()()()()11221111212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-+⋅⋅⋅++=；当1n =时，11a =满足()12n n n a +=，()()12n n n a n *+∴=∈N ；()()1122n n n n n S S a n -+∴-==≥，C 正确；对于D ，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，123202311111111112121223202320242024a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+=⨯-++⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭20231012=，D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++ ，则xyz =______．【答案】1-【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+- ，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则n a =________．【答案】12n --【解析】【分析】先令1n =得到11a =-，再令2n ≥得到1121n n S a --=+，从而得到()122nn a n a -=≥为常数，得到数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.【详解】令1n =，得11121a S a ==+，所以11a =-；令2n ≥，则1121n n S a --=+，两式相减得，1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，所以()122n n a a n -=≥，因为110a =-≠，所以0n a ≠，所以()122nn a n a -=≥为常数，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，所以11122n n n a --=-⨯=-.故答案为：12n --15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.16.如图，我们把由半椭圆()2210169y x x +=≤和半椭圆()22102516x y x +=>合成的曲线称作“果圆”．1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，则123F F F 的周长为______，直线y t =与“果圆”交于A ，B 两点，且AB 中点为M ，点M 的轨迹方程为______．【答案】①.8+②.()221016y x x +=>【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得1F ，2F ，3F 的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点A ，B 的坐标，利用中点公式表示M ，消参即可得到点M ，得轨迹方程.【详解】由1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，可得(1F，(20,F ，()33,0F ，所以12F F =，134F F =，234F F =，故所求周长为448++=+；设(),M x y ，联立直线y t =与()2210169y xx +=≤，得x =-，即点A t ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线y t =与()22102516x yx +=>，得x =即点B t ⎫⎪⎭，且,A B 不重合，即4t ≠，又M 为AB 中点，所以1644242x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩，即x =0x >，整理可得22116yx +=，0x >，故答案为：8+，()221016y x x +=>.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知ABC D 的顶点坐标为(1,1)A -，(2,0)B ，(3,4)C .(1)求AB 边上的高CD 的长.(2)求ABC D 的面积.【答案】(1)10(2)13 2【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线的距离即可求解；（2）求出AB的长，用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线AB的方程为：021012y x--=---，即320x y+-=.故点C到直线AB的距离即为AB边上的高CD的长，所以||CD=（2）因为||AB==所以ABCD的面积为：111313||||22102ABCS AB CD==创=.18.（12分）已知数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，数列{}n b的前n项和为n S，且111a b==，221a b=+，43a S=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令()*,21,2nnna n kc kb n k=-⎧=∈⎨=⎩N，求数列{}n c的前12项和12T．【答案】（1）21na n=-，12nnb-=（2）2796【解析】【分析】（1）由数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数列{}n c通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q >，由题意可得，()11211131a d b q a d b q q +=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即23d q q q d =⎧⎨+=⎩，所以220q q -=，因为0q >，所以2d q ==，所以()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=．【小问2详解】由（1）可得*121,21,2,2n n n n k c k n k--=-⎧=∈⎨=⎩N ，所以{}n c 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，()()1213112412T c c c c c c =+++++++ ()()13112412a a a b b b =+++++++ ()()62146616146627302796214⨯-⨯-=⨯+⨯+=+=-．19.（12分）已知直线20x y --=经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于A ，B两点．（1）求C 的方程；（2）求圆心在x 轴上，且过A ，B 两点的圆的方程．【答案】（1）28y x =；（2）()221096x y -+=.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB 的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】依题意，抛物线C 的焦点(,0)2p F 在直线20x y --=上，则202p-=，解得4p =，所以C 的方程为28y x =．【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的准线方程为2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，由2208x y y x --=⎧⎨=⎩消去y 得21240x x -+=，则1212x x +=，有12062x x x +==，0024y x =-=，即()6,4M ，因此线段AB 的中垂线方程为()46y x -=--，即10y x =-+，令0y =，得10x =，设所求圆的圆心为E ，则()10,0E ，又AB 过C 的焦点F ，则有12||||2216AB AF BF x x =+=+++=，设所求圆的半径为r ，则222222844962AB r ME ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭，故所求圆的方程为()221096x y -+=．20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-．（1）证明{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，2n n a =（2）332nn +-【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项112n n n d +=，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以，当2n ≥时，12n n a a -=，又1122a a =-，解得12a =，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =【小问2详解】因为2nn a =，所以1211nn n n a a d n n +-==++，112n nn d +=，21211111123(1)222n n n T n d d d =+++=⨯+⨯+++⨯ ，231111123(1)2222n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，所以231111111(1)22222n n n T n +=++++-+⨯ 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---13322n n ++=-，所以332n nn T +=-21.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB上．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以AC BC ==所以222AC BC AB +=，所以ACBC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．【小问2详解】解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)B，()A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()(),2,,2x y z x y z =---，即3x =，0y =，43z =，所以4,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()CA =，4,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以04033x z =+=⎪⎩，取x =0y =，1z =-．所以平面ACE的一个法向量为()1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC的一个法向量为)CB =．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ==．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ===．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为322.（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （1210F F<），上顶点为A ，12AF AF ⊥，且1F 到直线l ：50x -+=的距离为3．（1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且MN =，求PMN ∆面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）[]3,7．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设()1 , 0F c -，()2 , 0F c，由题意得22235b c a b c c =⎧==+⎪⎪<⎩，解得1b c a ==⎧⎪⎨=⎪⎩，所以C 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为0x m +=，与2212x y +=联立消去x ，得22420y m -+-=，则()()221620m ∆=-->，得22m -<<．设直线0x m +=被C 截得的线段的中点为(),B x y ，则1224y y y m +==，其中1y ，2y是方程22420y m -+-=的两个实数根．所以2mxm =-=-，消去m，得0x +=，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线0x =上．【小问3详解】由（2）知，l 与C 相离，当直线0x m +=与C相切时，()()221620m ∆=--=，解得2m =-或2m =．当2m =-时，直线与l的距离为1733d ==，此时1723PMN S =⨯=△，当2m =时，直线与l的距离为2d ==，此时132PMN S =⨯=△，。
浙江省宁波市慈溪市2022高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【解析】
【分析】
将圆 方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与半径比较大小,即可得出直线与圆的位置关系.根据两条直线平行斜率相等,即可求得直线 平行的直线方程.
【详解】圆的方程 化为标准方程
可得: ,圆心 ,半径为
将直线 化为直线的一般方程:
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
因为底面 是菱形,可得 ,则异面直线 与 所成的角和 与 所成的角相等,即可求得异面直线 与 所成的角的余弦值.在底面从点 向 作垂线 ,求证 垂直平面 ,即可求得答案.
【详解】根据题意画出其立体图形:如图
底面 是菱形,
则异面直线 与 所成的角和直线 与 所成的角相等
A. B. C. 4 D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】
设点 ,圆 圆心为 ,半径为 ,要保证 取得最小值,应 ,画出几何图形,结合已知,即可求得答案.
【详解】画出几何图形,如图:
设点 ,圆 圆心为 ,半径为 ,
要保证 取得最小值
根据图像可知应:
又
故
令
由二次函数可知:当 时, 取得最小
的最小值为: .
6.过点 作圆 的切线 ,则切线 的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
因为点 在 圆上,由 ,得到切线的斜率 ,由此能求出切线方程.
【详解】
圆心 ,半径
点 到圆心 的距离:
在圆上,
.
切线的斜率
切线方程为
即 .
故选:A.
【点睛】本题考查了求圆的切线方程,解题关键是掌握圆切线的求法和求切线时要判断点是在圆上,还是圆外,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
2023-2024学年第一学期高二年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列{}n a 中，11111n n a a a +==+，，则4a =（）A.2B.32 C.53D.85【答案】C 【解析】【分析】由数列的递推公式，依次求出234,,a a a 即可.【详解】数列{}n a 中，11111n na a a+==+，，则有21112a a =+=，321312a a =+=，431513a a =+=.故选：C.2.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.【详解】易知26m <<时，20,60m m ->->，但4m =时有262m m -=-=，此时方程表示圆，所以不满足充分性，若方程22126x ym m +=--表示的曲线为椭圆，则()()20602,44,626m m m m m->⎧⎪->⇒∈⋃⎨⎪-≠-⎩，显然26m <<成立，满足必要性，故“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B3.已知直线60x ay -+=和直线()3230a x y a ++-=互相平行，则实数a 的值为（）A.1-或2B.1-或2- C.2- D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据平行关系列式求a 的值，并代入检验即可.【详解】由题意可得：()32a a -+=，解得1a =-或2a =-，若1a =-，则两直线分别为60,2230x y x y ++=++=，符合题意；若2a =-，则两直线均为260x y ++=，不符合题意；综上所述：1a =-.故选：D.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36430a S ==，，则4a =（）A.2- B.2C.4D.6【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，616346()3()302S a a a a =+=+=，又34a =，所以43106a a =-=.故选：D5.已知x a =是函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(,1)-∞B.(1,)+∞ C.(01),D.(0,1]【答案】C 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点,1a ，比较两数的大小，分别判断在x a =两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围.【详解】21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，则()()1()(1)x a x a f x x a x x--=-++='，0x >，当(0,1)a ∈时，令()0f x '>得0x a <<或1x >，令()0f x '<得1<<a x ，此时()f x 在区间(0,)a 上单调递增，(),1a 上单调递减，()1,+∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极大值点；当1a =时，()21()0x f x x-'=≥恒成立，函数()f x 不存在极值点，不符合题意；当(1,)a ∞∈+时，令()0f x '>得01x <<或x a >，令()0f x '<得1x a <<，此时()f x 在区间(0,1)上单调递增，()1,a 上单调递减，(),a +∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；综上，要使函数()f x 在x a =处取到极大值，则实数a 的取值范围是(01),.故选：C.6.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆O ，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且||||||AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（）A.43B.167C.7D.97【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，求出圆O 与双曲线在第一象限内的交点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线的方程，可得出ba的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设圆O 与双曲线在第一象限内的交点为E ，连接DE 、OE ，则33==+==OE OD OC CD OC a，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，则1π2π84DOE ∠=⨯=，故点,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭E ，将点E的坐标代入双曲线的方程可得2222221⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=a b ，所以2297b a =，所以，该双曲线的离心率为7ce a===.故选：C.7.如图，在三棱锥A BCD -中，1,AD CD AB BC AC =====，平面ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.3πB.8π3C.7π3D.2π【答案】B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心，结合图形的特征，利用勾股定理及外接球的表面积公式计算即可.【详解】如图所示，取AC 中点E ，连接,DE BE ，在BE 上取F 点满足2EF FB =，由题意易知ABC 为正三角形，则F 点为ABC 的外接圆圆心，且,ED AC BE AC ⊥⊥,因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，所以DE ⊥底面ABC ，BE ⊥底面ADC ，过F 作//FO DE ，故三棱锥A BCD -外接球的球心O 在直线FO 上，作OG EF //交DE 于G 点，设OF h =，球半径为R ，根据1,AD CD AB BC AC =====易知,,2263BE AE DE EF BF =====，四边形OGEF 为矩形，由勾股定理可知：222222OB OF BF OD OG DG =+==+，即22222120,3263R h h h R ⎛⎛⎫=+=-+⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其外接球表面积为28π4π3S R ==.故选：B8.已知0.98ln 0.98a =-，1b =， 1.02 1.02ln1.02c =-，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.b<c<aD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】利用()ln ,0f x x x x =->的单调性可判断a b >，利用()ln (0)g x x x x x =->的单调性可判断c b <，故可得三者之间的大小关系.【详解】设()ln ,0f x x x x =->，则有11()1x f x x x'-=-=，∴当01x <≤时，()()0,f x f x '≤在(]0,1上单调递减；(0.98)(1)1f f ∴>=，即有0.98ln 0.981->，a b ∴>；令()ln (1)g x x x x x =-≥，则()1(ln 1)ln g x x x '=-+=-，∴当1x ≥时，()0g x '≤，当且仅当1x =时等号成立，故()g x 在[)1,∞+上单调递减；(1.02)(1)1g g ∴<=，即有1.02 1.02ln1.021-<，c b ∴<，综上所述，则有c b a <<，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线():20R l ax y a a ++-=∈与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的是（）A.直线l 必过定点B.l 与C 可能相离C.l 与C 可能相切D.当1a =时，l 被C 截得的弦长为【答案】ACD 【解析】【分析】利用直线方程确定过定点可判定A ，利用直线与圆的位置关系可判定BC ，利用弦长公式可确定D.【详解】由直线方程变形得()():120l a x y -++=，显然1x =时=2y -，即直线过定点()1,2-，故A 正确；易知()22125+-=，即点()1,2-在圆C 上，则直线l 不会与圆相离，但有可能相切，故B 错误，C 正确；当1a =时，此时直线:10l x y ++=，圆心为原点，半径为r =，则圆心到l 的距离为d =，所以l 被C 截得的弦长为=，故D 正确.故选：ACD10.定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数()321533f x x ax bx =+++的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（）A.1,0a b =-= B.函数()f x 既有极大值又有极小值C.函数()f x 有三个零点 D.对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -+=【答案】AB 【解析】【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A ，根据导数研究其极值可判定B ，结合B 项结论及零点存在性定理可判定C ，利用函数解析式取特殊值可判定D.【详解】由题意可知()22f x x ax b '=++，()22f x x a ''=+，而()()151113301022f a b a b f a⎧==+++=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==+⎩''，故A 正确；此时()321533f x x x =-+，()()222f x x x x x '=-=-，显然2x >或0x <时，()0f x ¢>，则()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，()0,2x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =时取得极大值，在2x =时取得极小值，故B 正确；易知()()()5100,250,2033f f f =>-=-<=>，结合B 结论及零点存在性定理可知()f x 在()2,0-存在一个零点，故C 错误；易知()()510113f f +=+≠，故D 错误.故选：AB11.如图，已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，过点F 的直线l （直线l 的倾斜角为锐角）与抛物线C 相交于A B ，两点（A 在x 轴的上方，B 在x 轴的下方），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C 的准线相交于点N ，则（）A.当直线l 的斜率为1时，4AB p =B.若NF FM =，则直线l 的斜率为2C.存在直线l 使得AOB 90∠=D.若3AF FB =，则直线l 的倾斜角为60【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，可设():02p AB y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立得()22222220242p y k x k p k x k p p x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⇒-++=⎝⎭⎨⎪=⎩，则221212224k p p p x x x x k ++==,，对于A 项，当直线l 的斜率为1时，此时123x x p +=，由抛物线定义可知12422p pAF BF x x AB p +=+++==，故A 正确；易知AMN 是直角三角形，若NF FM =，则ANM FMN AMF FAM ∠=∠⇒∠=∠，又AF AM =，所以AMF 为等边三角形，即60AFx ∠= ，此时3k =B 错误；由上可知()()222212121212124pk p k x x y y k x x x x +=+-++()()2222222223104244p k p pk p k k p k +=+⨯-⨯+=-<，即0OA OB ×<uu r uu u r，故C 错误；若1212332322p p AF FB x x x p x ⎛⎫=⇒-=-⇒=- ⎪⎝⎭ ，又知212213,462p p px x x x =⇒==，所以1y =，则112y k p x ==-，即直线l 的倾斜角为60 ，故D 正确.故选：AD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知,,M N P 分别是棱111,,C D AA BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30 ，则（）A.1DB ⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面图形为正六边形C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为32【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，如图所示以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,2,2,2P M N B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==--=-.设平面PMN 的法向量为(),,m x y z = ，则2020m PM x y z m PN x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z x y =⇒==得()1,1,1m =，易知12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，即A正确；B 选项，取111,,AB CC AD 的中点,,F QE ，连接11,,,,,,,,NE NF ME MQ PQ PF A B EP D C ，结合题意可知11////,////NF A B EP EP CD MQ ，所以N F P E 、、、四点共面且M Q P E 、、、四点共面，两个平面都过点P ，所以M Q P E N F 、、、、、六点共面，易知EM MQ QP PF FN NE ======，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形ENFPQM ，B正确；C 选项，由上知1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心133B S 为半径在平面PMN 上作圆，由题意可知Q 轨迹即为该圆，结合B 的结论可知平面PMN 平分正方体，根据正方体的中心对称性可知S 平分1DB，故半径1111332B S DB =⨯=，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点D 的这一空间几何体的球的半径最大值，结合A 项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心O 在1DB 上，该球与平面PMN 切于点S ，与平面ABCD 、平面11A D DA 、平面11D C CD 都相切，设球心为()(),,01O a a a a <≤，则球半径为a ，易知()1,1,1S ，故()223312RS a a a a -=⇒-=⇒=，D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：关于立体几何中截面的处理思路有以下方法（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.关于立体几何中求动点轨迹的问题注意利用几何特征，比如动直线与定直线夹角为定值，可以考虑结合圆锥体得出动点轨迹.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值_________________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线求异面直线夹角即可.【详解】如图所示连接1,A D BD ，根据正方体的特征易知11//B C A D ，且1A DB △为等边三角形，所以1DA B ∠即异面直线1A B 与1B C 所成的角，且160DA B ∠= ，11cos 2DA B ∠=.故答案为：1214.在正项等比数列{}n a 中，若234234111502a a a a a a ++=++=，，3a =_____________．【答案】5【解析】【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可【详解】正项等比数列{}n a 中，23450a a a ++=，234242334332224323234343323111502a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++====，解得35a =±，舍去负值，所以35a =.故答案为：515.以两条直线1220350l x y l x y +=++=：，：的交点为圆心，并且与直线3490x y -+=相切的圆的方程是_____________________．【答案】()()221216x y -++=【解析】【分析】直接利用交点坐标和点到直线的距离公式求出圆心和半径，最后求出圆的方程.【详解】利用20350x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆心坐标为()1,2-，设圆的方程为()()22212x y r -++=利用圆心()1,2-到直线3490x y -+=的距离d r =，整理得4r ==，故圆的方程为()()221216x y -++=.故答案为：()()221216x y -++=.16.关于x 的不等式()1e ln x a x x a x +--≥恒成立，则实数a 的最大值为_____________________．【答案】2e 2【解析】【分析】构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可.【详解】设()()()e 1ln 0,xf x x x xg x x=+->=，易知()()()2e 11,x x x f x g x x x''--==，则当1x >时，()()0,0f x g x ''>>，即此时两函数均单调递增，当01x <<时，()()0,0f x g x ''<<，即此时两函数均单调递减，故()()()()12,1e f x f g x g ≥=≥=，对于不等式()()11ln e ln e 1ln x x x a x x a a x x x++---≥⇔≥+-，由上可知1ln 2u x x =+-≥，故1ln e 1ln x xa x x+-≤+-，又()()e 2u g u u u =≥单调递增，故()()2e 22g u g a ≥=≥.所以实数a 的最大值为2e 2.故答案为：2e 2.【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于()1ln e 1ln x x a x x +-≥+-，构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=判定其单调性与最值分参计算即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足()111,211n n a a a n n n n +-==++．（1）证明数列{}n na 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb n a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求20S ．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n （2）202021S =【解析】【分析】（1）根据题中递推公式可得()111n n n a na ++-=，结合等差数列的定义和通项公式分析求解；（2）由（1）可得111n b n n =-+，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为()1111n n a a n n n n +-=++，则()111n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以首项112a ⨯=，公差1d =的等差数列，可得211n n na n =+-=+，所以1+=n n a n .【小问2详解】由（1）可得()2111111n n b n a n n n n ===-++，所以20111111201122320212121S =-+-+⋅⋅⋅+-=-=.18.设圆C 与两圆()()22221221,21C x y C x y ++=-+=：：中的一个内切，另一个外切．（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线()00x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值．【答案】（1）2213y x -=（2）2±【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）联立方程结合韦达定理运算求解.【小问1详解】圆()22121C x y ++=：的圆心为()12,0C -，半径为1，圆()22221C x y -+=：的圆心为()22,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1,2a c ==，可得2223b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程2213y x -=.【小问2详解】联立方程22130y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得222230x mx m ---=，则()()222Δ4831220m m m =---=+>，可知直线与双曲线相交，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y，可得120003,222x x m m x y x m +===+=，即3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2210x y +=上，则2231022m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =±，所以实数m 的值为2±.19.如图所示，用平面11BCC B 表示圆柱的轴截面，BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线1CC 的中点，已知1AA 为一条母线，且14AB AC AA ===．（1）求证：平面AEO ⊥平面1AB O ；（2）求平面1AEB 与平面OAE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证11,B O AO B O EO ⊥⊥，由线线垂直得线面垂直，根据线面垂直的性质可得面面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【小问1详解】依题意可知AB AC ⊥，则ABC 是等腰直角三角形，故AO BC ⊥，由圆柱的特征可知1BB ⊥平面ABC ，又AO ⊂平面ABC ，1BB AO ⊥，因为11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，则AO ⊥平面11BCC B ，而1B O ⊂平面11BCC B ，则AO ⊥1B O ，因为14AB AC AA ===，则2221124BC B O B B BO ==∴=+=，222222*********,36OE OC CE B E E C B C B O OE =+==+==+，所以1B O OE ⊥，因为1B O OE ⊥，AO ⊥1B O ，,AO OE O AO OE =⊂ 、平面AEO ，所以1B O ⊥平面AEO ，因为1B O ⊂平面1AB O ，所以平面AEO ⊥平面1AB O ；【小问2详解】由题意及（1）知易知1,,AA AB AC 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系则()()()14,0,4,0,4,2,2,2,0B E O ，所以()()()114,0,4,0,4,2,2,2,4AB AE B O ===-- ，由（1）知1B O 是平面AEO 的一个法向量，设(),,n x y z = 是平面1AB E 的一个法向量，则有1440420n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22,1z x y =-⇒==，所以()2,1,2n =- ，设平面1AEB 与平面OAE 的夹角为θ，所以111cos cos ,6n B O n B O n B Oθ⋅====⋅ .即平面1AEB 与平面OAE夹角的余弦值为6.20.已知函数()ln ,f x a x x a =-∈R ．（1）设1x =是()f x 的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤时，()10f x x+<在()1,+∞上恒成立.【答案】（1）1a =，单调区间见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义分析求解，进而可得单调区间；（2）根据题意分析可得()112ln f x x x x x +<-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，利用单调性判断其单调性和符号，即可得结果.【小问1详解】因为()ln f x a x x =-的定义域为()0,∞+，则()1a f x x'=-，若1x =是()f x 的极值点，则()110f a -'==，解得1a =，当1a =，则()ln f x x x =-，()111x f x x x-=-='，令()0f x '>，解得01x <<；令()0f x '<，解得1x >；则()f x 在()0,1内单调递增，在()1,∞+内单调递减，可知1x =是()f x 的极大值点，即1a =符合题意，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，则ln 0x >，且2a ≤，可得ln 2ln a x x ≤，即()112ln f x x x x x+≤-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，则()()22212110x g x x x x-=--=-<'在()1,∞+内恒成立，可知()g x 在()1,∞+内单调递减，可得()()10g x g <=，即()112ln 0f x x x x x +≤-+<，所以当2a ≤时，()10f x x +<在()1,∞+上恒成立.21.对每个正整数(),,n n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(),n n n B s t ．（1）证明：()41n n x s n =-≥；（2）取12n n x +=，并记n n n a A B =，求数列{}n a 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）11142134n n n +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程结合韦达定理分析证明；（2）根据抛物线的定义结合（1）可得1424n n n a =++，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：抛物线24x y =的焦点()0,1F ，且直线n n A B 的斜率存在，设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程214n y k x x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440n x k x --=，可得216160n k ∆=+>，所以()41n n x s n =-≥.【小问2详解】因为12n n x +=，由（1）可得142242n n n n s x +=-=-=-，则22144144,44444n n n n nn n n x s y t +======，可得12424n n n n n n n a A B y t ==++=++，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则()21221114442444n n n n T a a a n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭()1111414441124211143414n nn n n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=-+- ⎪-⎝⎭-，所以11142134n n n T n +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求n a .22.已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b ：的离心率32，点3⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()()()()0,1,,0,4,02A M t N t t -≠，直线AM AN ，分别与椭圆C 交于点,(,S T S T 异于),A AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．【答案】（1）2214x y +=（221-【解析】【分析】（1）根据题意结合离心率列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）联立方程求,S T 的坐标，根据向量平行可知直线ST 过定点()2,1Q ，进而分析可知点H 在以AQ 为直径的圆上，结合圆的性质分析求解.【小问1详解】由题意可得：2222213142a b c a b c e a ⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意可得：直线:AM x ty t =-+，联立方程2214x ty t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()22224240t y t y t +-+-=，解得2244t y t -=+或1y =，可知点S 的纵坐标为2244t t -+，可得2224844t t x t t t t -=-⋅+=++，即22284,44t t S t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：()()()()2228444,4444t t T t t ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，即()22284812,820820t t t T t t t t ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭，取()2,1Q ，则()222228,44t QS t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪++⎝⎭ ，()222228,820820t QT t t t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪-+-+⎝⎭，因为()()222222222288082044820t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-----=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪-+++-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知QS ∥QT ，即,,Q S T 三点共线，可知直线ST 过定点()2,1Q ，又因为AH ST ⊥，且()0,1A ，可知：点H 在以AQ 为直径的圆上，该圆的圆心为()1,1E ，半径112r AQ ==，所以OH的最小值为1OE r -=.。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案(共3套)
高二第一学期期末考试试卷数学试题注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确．2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分．1．若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =__________．2．求行列式的值：111111124-=__________．3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________．4．椭圆2214y x +=的焦距为__________．5．双曲线221916y x -=的渐近线方程是__________．6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________．7．已知圆()224x a y -+=被直线1x y +=截得的弦长为a 的值为_________．8．将参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件32x y y x+≤⎧⎨≤⎩，则34z x y =+的最大值为__________．10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________．11．过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________．12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则1x yx ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是（ ）（A ）3arctan 4- （B ）3arctan4π+ （C ）3arctan 4π⎛⎫+-⎪⎝⎭（D ）3arctan 24π+14．若点M 在曲线sin 2cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上，则点M 的坐标可能是 （ ）（A ）1,2⎛ ⎝（B ）31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）(（D ）(15．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是 （ ）（A ）,33⎛-⎝⎭ （B ）0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ （C ）3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（D ）13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭16．关于曲线C ：441x y +=，则下列四个命题中，假命题．．．是（ ）（A ）曲线C 关于原点对称（B ）曲线C 关于直线y x =-对称（C ）曲线C 围成的面积小于π （D ）在第一象限中y 随x 的增大而减小三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．17．（本题8分）已知两条直线1l ：5560x my ++=，2l ：()21520m x y m -++=． （1）当m 为何值时，1l 与2l 相交； （2）当m 为何值时，1l 与2l 平行．18．（本题8分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K -，若AK AF =，求AFK △的面积．19．（本题10分）已知点()2,2P ，()0,4Q ，动点M 满足0PM QM ⋅=，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求POM △的面积．20．（本题12分）设椭圆221925x y +=的两焦点为1F 、2F ．（1）若点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积；（2）若AB 是经过椭圆中心的一条弦，求1F AB △面积的最大值．21．（本题14分）抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >； （3）若直线l 的斜率依次为1111,,,,,2482n ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为123,,,,,n N N N N ，求12231111n nN N N N N N -+++．参考答案一、填空题1．121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭2．6-3．()()2210x y --+=4．5．34y x =± 6．线段12F F 7．3或1- 8．2y x =-，[]2,3x ∈9．11 10．a 11．3π 12．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题 13．C14．B15．D16．C三、解答题 17．【解】()()55553215mD m m m ==--+-，()()651033215x mD m m m -==+--，()564322y D m m m-==-+--．当5m =时，两直线平行；当5m ≠且3m ≠-时，两直线相交．18．【解】（1）点A 的轨迹是以点F 为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，所以28y x =．（2）过点A 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，则AH AF =，所以AK =，所以三角形AHK是等腰直角三角形，所以AF KF ⊥，所以三角形AFK 的面积8S =． 19．【解】（1）M 的轨迹是以线段PQ 为直径的圆，所以点M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．（2）设圆心为C ．因为OP OM =，所以()1,3OC =垂直于直线MP ，所以直线MP 的方程为()()2320x y -+-=，即380x y +-=．圆心到直线MP的距离5d =，故弦长5MP =，点O 到直线MP的距离5h =，所以三角形POM的面积1162555S =⋅⋅=．20．【解】（1）设1P F m =，2PF n =，在三角形12PF F 中，由余弦定理，()()2221212122cos 21cos F F m n mn F PF m n mn F PF =+-∠=+-+∠，解得12mn =，所以三角形12F PF的面积121sin 2S mn F PF =∠= （2）因为直线AB 斜率存在，所以设其方程为y kx =，则点1F 到直线AB的距离d =．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆的方程：221925y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x ⇒=．则21AB x x ==-=所以三角形1F AB的面积12S AB d =⋅⋅=，当且仅当0k =时，取得最大值12． 21．【解】（1）1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩()2222204k k x k x ⇒+-+=（*）．因为l 交抛物线于两点，所以0k ≠且二次方程（*）根的判别式0∆>，解得()()1,00,1k ∈-⋃．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，21222k x x k-+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为2221,2k kk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，所以0211322x k =+>． （3）设(),0m m N x ，则142m m x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．高二年级第一学期数学期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ．9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。
浙江省杭州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线:10l x ++=的倾斜角的大小为（）A.30 B.60C.120D.150【答案】D 【解析】【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由:10l x ++=可得3333y x =--，所以直线l 的斜率为33k =-，设直线l 的倾斜角为α，则tan 3α=-，因为0180α≤<o ，所以150α= ，故选：D.2.若数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则12100111a a a +++= （）A.100101B.1101C.101100D.99100【答案】A 【解析】【分析】利用裂项相消求和可得答案.【详解】()111111n a n n n n ==-++，则1210011111111110011223100101101101+++=-+-++-=-= a a a .故选：A.3.若数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，则2024a =（）A.3B.2C.12D.1-【答案】C 【解析】【分析】由递推公式计算数列的前几项得出周期，即可的答案.【详解】因为数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，所以212a =，31a =-，42a =，512a =，...，故数列的周期为3，故202421.2a a ==故选：C.4.在空间四边形ABCD 中，,,DA a DB b DC c === ，且,2DM MA BN NC == ，则MN =（）A.112233a b c --B.121233a b c-++C.112233a b c-++ D.111222a b c-++ 【答案】C 【解析】【分析】由MN MA AB BN =++可表示出.【详解】()1223MN MA AB BN DA DB DA BC=++=+-+()()1223DA DB DA DC DB =+-+-121112332323DA DB DC a b +=+-+-=+.故选：C.5.以下四个命题中，正确的是（）A.若1123OP OA OB =+，则,,P A B 三点共线B.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠，则b c =【答案】B 【解析】【分析】根据向量三点共线可判断A ；假设,,a b b c c a +++ 共面，设()()a b m b c n c a +=+++得出矛盾可判断B ；举反例可判断C ；利用数量积公式计算可判断D.【详解】对于A ，若,,P A B 三点共线，则OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，而1151236+=≠，故A 错误；对于B ，假设,,a b b c c a +++共面，设()()()a b m b c n c a ma mb m n c +=+++=+++，因为{},,a b b c c a +++ 为空间的一个基底，所以110m n m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，该方程组无解，假设不成立，故B 正确；对于C ，设()()()1,3,1,2,2,1,3,4,1a b c ==-=，则()()515,20,5a b c c ⋅⋅== ，()()()33,9,315,20,5a b c a ⋅⋅=⨯=≠，故C 错误；对于D ，由a b a c ⋅=⋅r r r r 得()0a b c ⋅-=，设a 与b c - 的夹角为θ，所以cos 0a b c θ⋅-=，因为0a ≠ ，所以cos 0b c θ-= ，不一定有b c = ，故D 错误.6.已知圆()()221:2416C x y -++=，圆222:230C x y x ++-=，则两圆的公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆()()221:2416C x y -++=，圆()222:14C x y ++=，所以125C C =，12126,2R R R R +=-=，所以121212R R C C R R -<<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（）A.﹣51B.﹣20C.27D.40【答案】D 【解析】【分析】由{a n }是等比数列可得S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，列方程组，从而即可求出S 40的值．【详解】由{a n }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠= ，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率（）A.3B.9C.D.2【解析】【分析】根据双曲线定义和22MN NF =得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率.【详解】设2NF n =，则2MN n =，23MF n =，由双曲线定义得212MF MF a -=，故132MF n a =-，由勾股定理得2221212MF MF F F +=，即()2229324n n a c +-=①，连接1NF ，则122NF NF a -=，故12NF a n =+，由勾股定理得22211MF MN NF +=，即()()2224322n n a a n +-=+②，由②得43n a =，代入①得22204a c =，故ca=故选：C二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列求导运算正确的是（）A.若()cos(23)f x x =+，则()2sin(23)f x x '=+B.若21()e x f x -+=，则21()e x f x -+'=C.若()e xx f x =，则()1e x xf x ='-D.若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+【答案】CD 【解析】【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.【详解】对于选项A:()cos(23)f x x =+ ,()sin(23)(23)2sin(23)f x x x x ''∴=-+⋅+=-+,故选项A 错误；对于选项B:21()e x f x -+= ,()2121()e 212e x x f x x '-+-+∴=⋅-+=-',故选项B 错误；对于选项C:()ex xf x = ,()()2e e 1e e x xx xx xf x --∴==',故选项C 正确；对于选项D:()ln f x x x = ,1()1ln ln 1f x x x x x'∴=⨯+⋅=+,故选项D 正确；故选：CD.10.某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）A.极差B.中位数C.平均数D.方差【答案】ACD 【解析】【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B 错误.故选：ACD.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，12AB AC AA ===，,E F 分别是11,BC A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A.//EF 平面11AA B BB.若D 是11B C 上的中点，则BD EF ⊥C.直线EF 与平面ABC所成角的正弦值为5D.存在点D 使直线BD 与直线EF 平行【答案】AC 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断各选项的正误.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()10,2,2C 、()1,1,0E 、()0,1,2F .对于A 选项，()1,0,2EF =- ，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =，0EF m ⋅= ，则EF m ⊥，又因为EF ⊄平面11AA B B ，所以，//EF 平面11AA B B ，故A 正确；对于B 选项，当D 是线段11B C 的中点时，()1,1,2D ，()1,1,2BD =-，则50BD EF ⋅=≠，故B 错误；对于C 选项，由A 知()1,0,2EF =- ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1u =，则·sin ,cos ,5EF uEF u EF u EF u===，故C 正确；对于D 选项，设()()1112,2,02,2,0B D B C λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()112,2,2BD BB B D λλ=+=-，假设存在点D 使直线BD 与直线EF 平行，则存在0μ≠使EF BD μ=，即2·20·21·2μμλμλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，无解，所以假设不成立，故D 错误.故选：AC.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(2,0),(2,0),(1,1)F F A --，若动点P 满足126,PF PF +=则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F 面积的最大值为C.对任意的点P ，都有292PA PF +>D.椭圆上存在2个点P ，使得1PAF 的面积为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆22195x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =，即可判断A ；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F 面积的取最大值，即可判断B ；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-即可判断C ；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，即可判断D.【详解】由题知，点P 的轨迹是3a =，2c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =22195x y +=，A ：当点P 为椭圆右顶点时，2321PF a c =-=-=，故A 正确；B ：当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，且最大值为1212F F b =B 错误；C ：2112266PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==，因为96 4.59 4.52≈>=，故C 正确；D ：设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为()00,P x y ，由A ，1F 坐标知，1AF =，直线1AF 的方程为20x y -+=，则1322=，解得0010x y --=或0050x y -+=，联立00220010195x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得20075200y y +-=，则2528200∆=+⨯>，因此存在两个交点；同理可得直线与椭圆联立00220050195x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200725400y y -+=，则22528404950∆=-⨯=-<，所以不存在交点；综上，有且仅有2个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：①椭圆上任意一点的焦半径范围为a c PF a c -≤≤+；②椭圆中当点P 位于椭圆上下顶点时焦三角形()12PF F 的面积有最大值bc ；③求直线与椭圆交点个数时，将直线与椭圆方程进行联立，利用判别式判断交点个数.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等差数列{}n a 中，12565,7a a a a +=+=，则910a a +=________.【答案】9【解析】【分析】根据等差数列的性质可得910a a +的值.【详解】因为()9101256214a a a a a a +++=+=，125a a +=，所以9109a a +=.故答案为：914.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15.若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【答案】18a ≥【解析】【分析】依题意可得()210af x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210af x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当14x =时()max 18g x =所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.16.高斯函数[]y x =是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中R,[]x x ∈表示不超过x 的最大整数，如[π]3,[3.5]4=-=-.已知{}n a 满足()*111,21n n a a a n +==+∈N ，设1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，[]{}n S 的前n 项和为n T .则（1）3T =_____；（2）满足2024n T ≥的最小正整数n 为____．【答案】①.1②.91【解析】【分析】利用构造法可得数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，则由题意可得，111112221n n n a a ++=-⋅-，231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭ ，利用放缩法可得所以122n n n S -<<，所以[]1,2121,22n n n k S nn k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，可解问题.【详解】由题可知：()*111,21n n a a a n +==+∈N ，则()()*1121n n a a n ++=+∈N，且112a +=，即{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，则21nn a =-，所以11121111222121n n n n n a a +++-==-⋅--．所以231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭．设231111212121n n R ++++--=- ，则231211111101221212122n n nR +<+++<+++<---= ．所以231111112222121212n n n n nS +-⎛⎫<=-⋅+++< ⎪---⎝⎭ ．所以[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩且k 为正整数，所以30011T =++=．所以222001122k T k k k k +=++++++++=+ ，221001122k T k k +=+++++++= ．所以9190202520241980T T =>>=，所以满足2024n T ≥的最小正整数n 为91．故答案为：1；91．【点睛】思路点睛：利用放缩法求出122n n n S -<<，从而由题意得[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，即可解决问题.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B +b A c =（1）求C ；（2）若5c =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）π3C =（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；（2）表示出面积，结合余弦定理计算即可.【小问1详解】由已知及正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=,即()2cos sin sin C A B C ⋅+=，故2cos sin sin C C C ⋅=,由()sin sin 0A B C +=>，可得1cos 2C =,因为()0,πC ∈，π3C ∴=.【小问2详解】由已知得，1sin 2ABC S ab C =⋅= 又π3C =，所以8ab =,由余弦定理得：222cos 25a b ab C +-⋅=，所以2233a b +=，从而()249a b +=，即7a b +=,∴ABC 周长为12a b c ++=．18.如图，在平行四边形ABCD 中，1,2,60AB BC ABC ∠=== ，四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD ⊥平面ACEF .（1）证明:AB CF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ADF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34.【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到AB AC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到面面角的余弦值.【小问1详解】因为1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，于是222AC AB BC +=，所以AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面ACEF ，又CF ⊂平面ACEF ，所以AB CF ⊥【小问2详解】因为四边形ACEF 为正方形，所以AF AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF ⊂平面ACEF ，所以AF ⊥平面ABCD .以A 为原点，AB ，AC ，AF所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.()0,0,0A，()1,0,0B，()C，(F，(E，()D-，(BE=-，()0,EF=，()AD=-，(AF=.设平面BEF的一个法向量为(),,m x y z=，所以m BE xm EF⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0y=，令1z=，则x=)m= ，设平面ADF的一个法向量为()111,,n x y z= ，所以111n AD xn AF⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得10z=，令11y=，则1x=)n= ，所以33cos,224m nm nm n⋅⋅〈〉===⋅⨯，记平面BEF与平面ADF的夹角为θ，则3cos cos,4m nθ=〈〉=，即平面BEF与平面ADF夹角的余弦值为34.19.已知函数32()2f x x ax=-.（1）讨论()f x的单调性；（2）已知1a=时，直线:l y kx=为曲线32()2f x x ax=-的切线，求实数k的值．【答案】（1）答案见解析（2）0k=或18k=-【解析】【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当0a>，0a=，0a<时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.（2）求导后根据导数的几何意义设切点00(,)P x y，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.【小问1详解】()()26223f x x ax x x a -='=-．令()=0f x '，得0x =或3a x =．若0a >，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+⎪⎝⎭时，()>0f x '；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；若0a =时，3()2f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a <，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()>0f x '；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述：当0a >时，()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；a<0时，()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．【小问2详解】当1a =时，()()3222,62f x x x f x x x'=-=-设切点00(,)P x y ，则切线方程为()()()322000000262y y y x x x x x x -=--=--因为切线过原点，故32320000262x x x x -+=-+，即32004x x =，解得00x =或014x =所以0k =或18k =-.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11212n n n n b a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）42n a n =-（2）224123n n T n n-=+-【解析】【分析】（1）根据n a 与n S 的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【小问1详解】2844n n n S a a =++ ①2111844n n n S a a ---∴=++②①-②整理得11()(4)0,2n n n n a a a a n --+--=≥ 数列{}n a 是正项数列，14,2n n a a n -∴-=≥当1n =时，21111844, 2.S a a a =++=由可得∴数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列，42n a n ∴=-；【小问2详解】由题意知，1223n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故()()24222122215943n n T n -=+++++++++- ()()114143142nn n ⨯-+-=+-24123n n n -=+-.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()11,A x y 是曲线C 上一点．（1）若154AF y =，求点A 的坐标；（2）若直线:l y x m =+与抛物线C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过点(4,0)P ，求||AB .【答案】（1）1,14⎛⎫⎪⎝⎭或()4,4（2）或【解析】【分析】（1）利用点()11,A x y 是曲线C 上一点，结合抛物线的定义整理计算即可;（2）结合题意转化为0PA PB ⋅=，借助韦达定理得0m =或12=-m ，再借助弦长公式计算即可.【小问1详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点为()1,0F ，由抛物线的定义可得11AF x =+，而2114y x =，所以2115144y y +=，解得11y =或14y =.当11y =时，114x =;当14y =时，14x =.所以点A 的坐标为114⎛⎫⎪⎝⎭，或()4,4.【小问2详解】设()22,B x y ，联立方程24y x my x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+=，所以16160m ∆=->，即1m <,且121244y y y y m+=⎧⎨=⎩，由题知，12121212(4)(4)(4)(4)0PA PB x x y y y m y m y y ⋅=--+=----+=，整理得()()()212122440y y m y y m -++++=，即()()284440m m m -+++=，解得0m =或12=-m ，当0m =时，12AB y=-===；当12=-m 时，12AB y y =-===.综上所述：弦长AB 的值为或.22.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =，焦点到渐近线的距离为1，过点(0,4)M 作直线AB （不与y 轴重合）与双曲线C 相交于,A B 两点，过点A 作直线:l y t =的垂线,AE E 为垂足．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得直线EB 过定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）焦点到渐近线的距离为b ，在根据渐近线方程求出a ；（2）计算出EB 的直线方程，再令0x =即可求出定点坐标.【小问1详解】焦点到渐近线的距离不妨求()0,c 直线ay x b=的距离221bc d b a b===+，渐近线方程3ay x b=±=，得3a =所以双曲线方程为2213y x -=；【小问2详解】假设存在实数t ，使得直线EB 过定点P ,设直线()()1122:4,,,,AB y kx A x y B x y =+，则()1,E x t ．联立22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()2238130k x kx -++=则1212228,3313x k x x k x k +=-=--．直线2121:()y tEB y t x x x x --=--，令0x =得:()211211121121212144p kx x tx y x tx kx x x tx y t t tx x x x x x -++-+--+=+=+=+---又()121212121313,88x x kx x x x x x k =--=++ 2121131988p x t x y t x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∴=+-当1319088t ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即3t 4=时，p y 为定值198所以存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
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1
高二上学期 期末 数学
高二数学上学期期末考试题第I卷（试题）
（总分150分，考试时间120分钟）
一、 选择题：（每题5分，共60分）
1、若a<1,那么 （ ）
（A）a1>1, (B)|a|<1, (C)a2<1, (D)a3<1
2、若a,b为实数，且a+b=2,则3a+3b的最小值为（ ）
（A）18， （B）6， （C）23， （D）243
3、与不等式xx23≥0同解的不等式是 （ ）
（A）（x-3）(2-x)≥0, (B)0
4、直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则 （ ）
(A)k=－23,b=3 (B)k=－32,b=-2
(C)k=－23,b=-3 (D) k=－32,b=-3
5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么a等于 （ ）
（A）－3， （B）－6， （C）－23， （D）32
6、已知L1:x–3y+7=0, L2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）
（A）L1到L2的角为43， （B）L1到L2的角为4
（C）L2到L1的角为43， （D）L1到L2的夹角为43
7、和直线3x–4y+5=0关于x轴对称的直线方程是 （ ）
（A）3x+4y–5=0, (B)3x+4y+5=0,
(C)-3x+4y–5=0, (D)-3x+4y+5=0
8、直线y=x+23被曲线y=21x2截得线段的中点到原点的距离是
（ ）
（A）29 （B）29 （C）429 （D）229
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高二上学期 期末 数学
9、直线y=x–1上的点到圆x2+y2+4x–2y+4=0上的点的最近距离是
（ ）
（A）22 （B）2－１ （C）22－１ （D）1
10、椭圆252x+92y=1上一点p到一个焦点的距离为5，则p到另一个焦点的
距离为（ ）
（A）5 （B）6 （C）4 （D）10
11、双曲线： 的准线方程是191622xy （ ）
（Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±516
12、抛物线：y=4ax2的焦点坐标为 （ ）
（A）（a41，0） （B）（0, a161） (C)(0, -a161) (D) (a161,0)
二、填空题：（每题4分，共16分）
13、若不等式ax2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= .
14、由x≥0,y≥0及x+y≤4所围成的平面区域的面积为 .
15、已知圆的方程sin43cos45yx为（为参数），则其标准方程
为 .
16、已知双曲线162x-92y=1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双
曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .
3
高二上学期 期末 数学
三、
解答题：（74分）
17、如果a，bR，且a≠b，求证： 422466bababa（12分）
18、解不等式：|x1|552x（12分）
19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x
轴作线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹方程。（12分）
4
高二上学期 期末 数学
20、斜率为1的直线经过抛物线yx42的焦点与抛物线相交于两点A，B，
求线段AB的长。（12分）
21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如
果池底每1㎡的造价为150元，池壁每1㎡的造价为120元，问怎样设计水
池能使总造价最低，最低造价是多少元？（13分）
5
高二上学期 期末 数学
22、某家具厂有方木料90m3，五合板600㎡，准备加工成书桌和书橱出售，
已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2㎡，生产每个书橱需方木料
0.2m3，五合板1㎡，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润
120元，问怎样安排同时生产书桌和书橱可使所获利润最大？（13分）
6
高二上学期 期末 数学
高二数学上学期期末考试参考答案
一、 选择题：
1、（D）， 2、（B）， 3、（B）， 4、（C）， 5、（B）， 6、（A）， 7、（B），
8、（D）， 9、（C）， 10、（A）， 11、（D）， 12、（B）。
二、 填空题：
13、-10， 14、 8， 15、（x-5）2+(y-3)2=42, 16、1352222yx
三、 解答题：
17、证明：(a）422466()babab
0)()())(()()()()222224422224224426246baba
baba
babbaa
babbaa
于是422466422466,0)()babababababa即
18、解：得15512xx
,432141320450651551552222xxxxxxxxxxxxx或
或
所以原不等式的解集为4321|xxx或
19、解：设点M的坐标为(x, y) , 点P的坐标为(x),00y，则
x=x44),(,2,2020220000yxyxyxPyy上所以在圆因为 (1)
将 x44)1(2,2200yxyyx得代入方程
即1422yx，所以点M的轨迹是一个椭圆。
20、解：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），
所以直线AB的方程为y=x-1 (1)
将方程（1）代入抛物线方程y化简为得,4)1(,422xxx
7
高二上学期 期末 数学
223,223016212xxxx得
将x222,222:),1(,2121yyx得的值代入方程
即A，B的坐标分别为(3+2222,223(),222,2)
所以8)24()24(22AB
21、解：设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米x34800，
又设水池总造价为L元，根据题意，得
297600,40,16002976004027202400001600.2720240000)1600(720240000)348003232(12034800150有最小值时即当LxxxxxxxxxL
答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低，
最低总造价是297600元。
22、解：设生产书桌x张，书橱y张，由题意得
,
06002902.01.0y
ox
yx
yx
求Z=80x+120y的最大值最优解为两直线
6002902.01.0yx
yx
的交点A（100，400）。
答：生产书桌100张，书橱400张时，可使生产利润最大。