高等数学二重积分1

授课单元13教案 授课单元名称 多元函数积分学 授课学时 6

单元教学 目标

知识目标 1、理解二重积分的概念，了解其性质； 2、掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法； 3、会用二重积分解决简单的应用题（体积、质量）

能力目标 弄清二重积分所解决的问题（即与二元函数有关总量的模型，并会用它解决简单的应用题。

主要教学 知识点 1、二重积分的概念和性质 2、直角坐标系下二重积分的计算。直角坐标系下二重积分交换积分次序。 3、二重积分的微元法及其简单应用 教学难点 直角坐标系下二重积分的计算方法，用二重积分解决简单的应用题。

教材处理 规范直角坐标系下二重积分的主要步骤，关键点。 参考资料 《分层数学》李德才《高等数学》侯风波

教学资源 电子教案、课件

教学方法与手段 启发式、讲练结合 案例教学、多媒体 考核 评价点 二重积分的概念，直角坐标系下二重积分的计算。

教学内容 课题1二重积分的概念与性质 先回顾求曲边梯形面积四步法 一、问题的提出

引例1设有一立体，它的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面),(yxfz，这里),(yxf≥0且在D上连续-7），这种立体称为曲顶柱体。试计算此曲顶柱体的体积V. 如果曲顶柱体的顶是与xOy平面平行的平面，也就是该柱顶的高度是不变的，那么它的体积可以用公式体积=底面积×高来计算，现在柱体的顶是曲面),(yxfz，当自变量（x,y）在区域D上变动时，高度),(yxf是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。下面，我们仿照求曲边梯形面积的方法： 分割→作近似→求和→取极限 来解决求曲顶柱体的体积问题。

第一步：分割 将区域D任意分成n个小区域1，2，…，n，且以i表示第i个小区域的面积，分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.

第二步：作近似 对于第i个小曲顶柱体，当小区域i的直径足够小时，由于),(yxf

连续，在区域i上，其高度),(yxf变化很小，因此可将这个小曲顶柱体近似看作以i



为底，iif),(为高的平顶柱体（图11-8），其中),(ii为i上任意一点，从而得到第i个小曲顶柱体体积iV的近似值 nifViiiI,2,1,),(.

第三步：求和 把求得的n个小曲顶柱体的体积的近似值相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值：

iiiuiniIfVV),(11.

第四步：取极限 当区域D分割得越细密，上式右端的和式越接近于体积V.令n个小区域的最大直径0，则上述和式的极限就是曲顶柱体的体积V，即 niiiifV10),(lim

.

引例2 设有一质量非均匀分布的平面薄片，占有xOy平面上的区域D，它在点),(yx处的面密度),(yx在D上连续，且),(yx﹥0.试计算该薄片的质量M. 我们用求曲顶柱体体积的方法来解决这个问题。

第一步：分割 将区域D任意分成n个小区域1，2，

D x

y

z O x

zyo

D

),(yxfz

i

),(ii …，n，并且以i表示i个小区域的面积（图11-9） 第二步：作近似 由于),(yx连续，只要每个小区域i 的直径很小，相应于第i个小区域的小薄片的质量iM的近似值为 niMiiii,,2,1,),(，

其中),(ii是i上任意一点. 第三步：求和 将求得的n个小薄片的质量的近似值相加，便得到整个薄片的质量的近似值

niniiiiIMM11),(

. 第四步：取极限 将D无限细分，即n个小区域中的最大直径0时，和式的极限 就是薄片的质量

niiiiM10),(lim



即 上面两个问题的实际意义虽然不同，但都是把所求的量归结为求二元函数的同一类型和式的极限，这种数学模型在研究其它实际问题量也会经常遇到的，为此引进二重积分的概念。 二、 二重积分的定义 设z = f (x, y)为有界闭区域D上的有界函数. (1)把区域 D 任意分成 n 个小闭区域 i ，其面积为i (i = 1, 2, · · ·, n)； (2)在每个小闭区域i中任意取一点Pi(i, i)， (3)作和

(4) 求极限 其中 ={n个小区域中的直径最大者} 则此极限值为函数 f (x, y)在闭区域D上的二重积分，记作：

其中),(yxf称为被积函数，D称为积分区域，dyxf),(称为被积式，d称为面积微元，x与y称为积分变量。 由二重积分定义,立即可以知道：

曲顶柱体的体积

i

),(ii

xy

oiiif),(作乘积

niiii)Δ,ηf(ξ1

niiiif10),(lim



Df(x,y)d

DdyxfV),( 平面薄片的质量 关于二重积分的几点说明：

（2）如果被积函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分存在，则称f(x,y)在D上可积。 f(x,y)在闭区域D上连续时，f(x,y)在D上一定可积。 三、二重积分的几何意义 当 f (x, y)≥0时，

当 f (x, y)≤0时， 当 f (x, y) 有正有负时， 特别的 四、二重积分的性质 二重积分具有与定积分类似的性质，现叙述如下。 性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面。即

DDdyxfkdyxkf),(),(

性质2 函数代数和的积分等于各函数积分的代数和。即 DDdyxfdyxgyxf),(),(),(Ddyxg),(

性质3 对区域具有可加性

性质4 在区域D上 则有 特别地

性质5

（二重积分估值不等式） 性质6

（二重积分中值定理） 性质7

DdyxM),(

（1） 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的，Pi(i ,i)的选取任意.

曲顶柱体VdyxfD),(曲顶柱体VdyxfD),(

下曲顶柱体上曲顶柱体VVdyxfD),(.1DSd表示区域的面积其中S

)(21DDD.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf

),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf.),(),(DDdyxfdyxf

设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则 DMdyxfm),(

设函数f(x,y)在闭区域D上连续， 为D的面积，则在D上至少存在一点 ),(使得

),(),(fdyxf

D

轴对称或没有公共点且关于、设)(,2121xyDDDDD0),(Ddyxf则 例：比较积分D2)][ln(()ln(dyxdyxD与的大小，其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).

例： 练习： 小结 二重积分的定义（和式的极限），二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 作业：下册p39 1,2

ox

y121

D

o x y D 4y2xy

,(),(1）的奇函数或是关于）若（yxyxf,)),()2(的偶函数（或是关于若yxyxf21),(2),(2),(DDDdyxfdyxfdyxf则

解：三角形斜边方程x+y=2, 在D内有eyx21 , 故 0<1)ln(yx, 于是2)ln()ln(yxyx,

因此 Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.

所围成的闭区域与为，利用性质求42yxyDxydxdyID

解：由于区域D关于y轴对称，xy是区域D上关于x的奇函数

0Dxyd所以

)0()1(222aayxDdyxID为圆域：利用性质及几何意义求