2-3 无穷小量与微分
大学微积分无穷小量的性质与无穷小量的阶
sin
cos
1
sin(
2
)
2 sin(
)(5)
2
cos sin 1 sin( ) sin( )(6)
2
cos cos 1 cos( ) cos( )(7) sin sin 21 cos( ) cos( )(8)
2
arctan x lim x0 arcsin x
解 ∵ 当 x 0 时，
arctan x ~ x, arcsin x ~ x
lim arctanx lim x 1 x0 arcsin x x0 x
微积分（二） calculus
例8 求 lim x0
1 x sin x 1 ex2 1 x0（或
x ）时，
( x )
f (x) 与 g(x)是同阶无穷小量.
特别的，当 c 1时，则称当 x x0（或 x ）时，
f (x) 与 g(x)是等价无穷小量，记作
f (x) ~ g(x) x x0 或 x
注意
无穷小量阶的意义： 反映无穷小量趋于零的速度.
补充：
微积分（二） calculus
思考题：
任意两个无穷小都可以比较吗？
x 2 sin 1
lim
x0
x x2
lim sin 1 x0 x
不存在. 不可比.
作业
微积分（二） calculus
先看书 再做练习
P66 练习2.4 T1（2、3、4），T2(3、4)， T5（3、4）
补充三角函数的微和积差分（化二积） 与calc积ulu化s 和差
x0
x0
x0
微积分（二） calculus
推论：有限个无穷小量的代数和还是无穷小.
十二个等价无穷小公式
十二个等价无穷小公式【实用版】目录1.引言：介绍无穷小量的概念2.等价无穷小公式的定义与性质3.十二个等价无穷小公式的具体内容4.实例解析：如何应用等价无穷小公式5.结论：总结等价无穷小公式的重要性和应用场景正文1.引言在微积分中，无穷小量是一个重要的概念。
无穷小量是指当自变量趋近某个值时，因变量趋近于零的量。
无穷小量的研究有助于我们理解函数在某一点的性质，以及函数的变化趋势。
等价无穷小公式是一种将复杂的无穷小量简化的方法，它有助于我们更容易地分析和计算无穷小量。
2.等价无穷小公式的定义与性质等价无穷小公式是指当自变量趋近某个值时，两个无穷小量的比值趋近于 1。
等价无穷小公式具有以下性质：（1）若函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内可导，且f"(x0)=g"(x0)，则 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。
（2）若函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内为无穷小，且它们的比值在 x0 的某邻域内为常数，则 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。
3.十二个等价无穷小公式的具体内容等价无穷小公式有很多，这里列举十二个常用的等价无穷小公式：（1）当 x 趋近 0 时，sinx 与 x 是等价无穷小。
（2）当 x 趋近 0 时，x^2 与 x^3 是等价无穷小。
（3）当 x 趋近 0 时，x^n 与 x^(n+1) 是等价无穷小（其中 n 为正整数）。
（4）当 x 趋近 0 时，e^x 与 x 是等价无穷小。
（5）当 x 趋近 0 时，e^x 与 x^2 是等价无穷小。
（6）当 x 趋近 0 时，ln(x) 与 1/x 是等价无穷小。
（7）当 x 趋近 0 时，1/x 与 1/x^2 是等价无穷小。
（8）当 x 趋近 0 时，x^(-1) 与 x^(-2) 是等价无穷小。
（9）当 x 趋近 0 时，x^(-n) 与 x^(-n-1) 是等价无穷小（其中 n 为正整数）。
无穷小增量公式
无穷小增量公式摘要：一、引言二、无穷小增量公式的概念1.无穷小量的定义2.增量公式的概念三、无穷小增量公式的推导1.泰勒公式2.泰勒公式的简化四、无穷小增量公式的应用1.函数的微分2.导数的计算五、结论正文：一、引言无穷小增量公式是微积分中一个非常重要的公式，它可以帮助我们更好地理解函数的变化以及导数的计算。
本文将详细介绍无穷小增量公式的概念、推导及其应用。
二、无穷小增量公式的概念1.无穷小量的定义无穷小量是指一个量在趋于零的过程中，其增量趋于零的量。
简单来说，无穷小量就是一个接近于零的量。
在数学中，我们用希腊字母ε（epsilon）表示无穷小量。
2.增量公式的概念增量公式是指描述一个量在某一点的变化的公式。
通常表示为：Δy = f"(x)Δx，其中Δy 表示函数y 在x 点的增量，f"(x) 表示函数y 在x 点的导数，Δx 表示自变量的增量。
三、无穷小增量公式的推导1.泰勒公式泰勒公式是一种描述函数在某一点附近变化的方法。
它表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! + ...+ f^n(a)(x-a)^n/n! + ε(x-a)^n，其中f(x) 表示函数，a 表示函数在x 点的泰勒级数展开点，f"(a)、f""(a) 等表示函数在a 点的各阶导数，ε(x-a)^n 表示泰勒级数展开的余项。
2.泰勒公式的简化当n 趋于无穷大时，泰勒公式可以简化为：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! + ...+ f^n(a)(x-a)^n/n! + ε(x-a)^n。
在这个公式中，我们可以看到，当n 无穷大时，函数f(x) 在x 点的增量趋于零，即Δx 趋于零时，Δy 也趋于零。
四、无穷小增量公式的应用1.函数的微分无穷小增量公式可以用于函数的微分。
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
所有等价无穷小替换公式
所有等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种重要的工具，用于替换函数中的无穷小量，以便更方便地进行计算。
通过等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的极限计算问题化简为简单的代数运算。
在本篇文章中，我将介绍一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋向于正无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x， tan(x) = x 和 sec(x) = x。
- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。
-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量x替换，即e^x-1=x。
-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量x替换，即1/(1+x)=x。
2.当x趋向于负无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 sin(x) = -x， tan(x) = -x 和 sec(x) = -x。
- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 ln(1+x) =-x。
-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量-x替换，即e^x-1=-x。
-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量-x替换，即1/(1+x)=-x。
3.当x趋向于0时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x。
- 无穷小量 tan(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 tan(x) = x。
- 无穷小量 sec(x) 可以用等价无穷小量 1 替换，即 sec(x) = 1- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。
无穷小的微积分意义
无穷小的微积分意义在微积分中，我们常常会遇到一些非常小的量，这些量被称为无穷小。
尽管它们具有非常小的值，但无穷小在微积分中有着重要的作用，它们被用来建立微积分的理论框架和计算方法。
首先，什么是无穷小？简单来说，无穷小是指在某个极限下，趋近于零但非常小的量。
我们可以用符号o(x)来表示。
o(x)通常被称作“小o”。
与之相对应的是“大O”符号O(x)。
大O的表示是指，在某个极限下，x趋近于无穷大时的数量级。
那么，如何理解无穷小在微积分中的应用？我们可以从两个方面来探讨。
一、无穷小的极限性质在微积分中，我们经常需要讨论函数在某个点处的极限。
对于一个函数f(x)，x点的极限可以表示为lim_ {x→a}f(x)。
如果函数在x点的极限存在，那么我们称该函数在x点处连续。
对于一个无穷小o(x)，它随着x趋近于某个值a而趋近于零，我们可以推出以下性质：1.若f(x)=o(g(x))，则lim_ {x→a}(f(x)/g(x))=0这个性质说明，如果f(x)可以表示为o(g(x))，那么当x趋近于a时，f(x)相比g(x)的“影响”会越来越小，而当x趋近于a时，二者的比值会趋近于零。
2.若f(x)=o(g(x))且g(x)=o(h(x))，则f(x)=o(h(x))这个性质说明，如果f(x)和g(x)都是一些非常小的量，而g(x)本身也表示为某个更小的量h(x)，那么f(x)也可以表示为h(x)，而且同样地非常小。
因此，我们可以将复杂的无穷小分解为简单的部分。
这些性质的应用，可以让我们更加灵活地处理无穷小和极限的关系，从而发现更多微积分中的规律和方法。
二、无穷小在微积分中的计算现在，我们可以讨论无穷小在微积分中的具体应用。
以下几个例子可以帮助我们理解无穷小在微积分中的含义和计算方法。
1.泰勒公式泰勒公式是微积分中重要的定理之一。
它可以将一个函数表示为一个无穷级数，这个级数的每一项都可以用函数的各阶导数来表示。
具体来说，对于一个在某个点a处连续可导的函数f(x)，它的泰勒级数可以表示为：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)/2(x−a)^2+...其中，f′(a)表示f(x)在a点的一阶导数，f′′(a)表示二阶导数。
微积分课后题答案第二章习题详解
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.
几个重要的等价无穷小公式
几个重要的等价无穷小公式在微积分中，等价无穷小是指与其中一无穷小量在极限过程中具有相同趋势的另一个无穷小量。
等价无穷小公式是描述不同无穷小之间关系的重要工具。
以下是几个重要的等价无穷小公式：1. 零比无穷小：如果a是一个非零常数，那么 lim(x->∞) a/x = 0。
也就是说，当分母增长到无穷大时，分母与分子的比值趋近于零。
2.无穷大与幂函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) x^n/x^m = ∞，其中n>m>0。
也就是说，比起低次数的幂函数，高次数的幂函数增长更快。
- lim(x->∞) x^a/e^x = 0，其中a为常数。
指数函数的增长速度高于幂函数。
3.无穷大与指数函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) e^x/x^n = ∞，其中n>0。
指数函数的增长速度高于幂函数。
- lim(x->∞) a^x/x^n = 0，其中a为常数，n>0。
指数函数的增长速度高于幂函数。
4.无穷大与对数函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) ln(x)/x^n = 0，其中n>0。
对数函数的增长速度低于幂函数。
5.无穷大与三角函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) sin(x)/x = 0。
正弦函数相对于x增长得很慢，所以其与x的比值趋近于零。
这些等价无穷小公式在微积分中被广泛应用，可以帮助我们判断函数的极限，计算积分和求解微分方程等。
了解这些公式有助于我们更好地理解和应用微积分的概念。
十二个等价无穷小公式
十二个等价无穷小公式摘要：1.引言：介绍无穷小量的概念以及等价无穷小公式2.十二个等价无穷小公式的列举与解释3.实际应用：说明等价无穷小公式在微积分中的作用4.结论：总结等价无穷小公式的重要性和便利性正文：一、引言在微积分中，无穷小量是一个非常重要的概念。
当一个函数在某一点的极限为0 时，我们就称这个函数在这一点为无穷小量。
等价无穷小公式，顾名思义，就是一组可以互相替换的无穷小量公式。
今天我们将介绍十二个等价无穷小公式，并了解它们在微积分中的应用。
二、十二个等价无穷小公式的列举与解释1.sinx~x (x 趋近0)2.x^2~2x (x 趋近0)3.x^3~3x^2 (x 趋近0)4.x^4~4x^3 (x 趋近0)5.x^5~5x^4 (x 趋近0)6.x^6~6x^5 (x 趋近0)7.x^7~7x^6 (x 趋近0)8.x^8~8x^7 (x 趋近0)9.x^9~9x^8 (x 趋近0)10.x^10~10x^9 (x 趋近0)11.x^11~11x^10 (x 趋近0)12.x^12~12x^11 (x 趋近0)以上公式表示当x 趋近0 时，左边的函数与右边的函数是等价的，可以互相替换。
例如，当x 趋近0 时，sinx 可以替换为x，x^3 可以替换为3x^2 等。
三、实际应用在求极限问题中，等价无穷小公式可以大大简化计算过程。
例如，求极限：lim(x->0) [sinx - x]。
由于sinx 与x 是等价无穷小，所以原式可化为：lim(x->0) [x - x]，结果为0。
四、结论十二个等价无穷小公式是微积分中非常基础且重要的工具，它们为求极限等问题提供了便利。
无穷小增量公式
无穷小增量公式摘要：1.无穷小增量公式的定义和意义2.无穷小增量公式的推导过程3.无穷小增量公式在实际问题中的应用4.总结正文：无穷小增量公式是微积分中的一个重要概念，它描述了当自变量发生微小变化时，因变量的相应变化。
这个公式在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
无穷小增量公式定义为：如果函数f(x)在点x0附近有导数，那么当自变量x沿着切线方向发生微小变化Δx时，因变量f(x)的变化量可以表示为f"(x0)Δx，其中f"(x0)是函数f(x)在点x0处的导数。
为了推导无穷小增量公式，我们先假设函数f(x)在点x0附近可微，即导数存在。
那么，我们可以将自变量x表示为x0加上一个无穷小量Δx，即x = x0 + Δx。
接下来，我们将这个无穷小量Δx带入函数f(x)中，得到：f(x) = f(x0 + Δx)我们对上式两边求导，根据导数的定义，有：f"(x0) = lim(Δx→0) [f(x0 + Δx) - f(x0)] / Δx由于Δx是无穷小量，我们可以将f(x0 + Δx)展开为f(x0) + f"(x0)Δx +o(Δx)，其中o(Δx)表示当Δx趋近于0时，比Δx高阶的无穷小量。
带入上式，得到：f"(x0) = lim(Δx→0) [f(x0) + f"(x0)Δx + o(Δx) - f(x0)] / Δx化简后，我们可以得到无穷小增量公式：f"(x0) = lim(Δx→0) [f"(x0)Δx]这说明当自变量x沿着切线方向发生微小变化Δx时，因变量f(x)的变化量等于f"(x0)乘以Δx。
无穷小增量公式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以用它来计算物体在给定力作用下的加速度、速度和位移等物理量；在工程领域，它可以用于分析结构的受力情况，为工程设计提供依据。
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x0
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不
定义: 设 , 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )； (2) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无 穷小; 记作 ~ ; (3) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的
当 x 0 时， x ,tan x与 x 是等价无穷小． sin
即 sin x ~ x ( x 0). tan x ~ x ( x 0).
二、等价无穷小代换
1 1 设 ~ 1 , ~ 1且 lim 存在, 则 lim lim . 1 1
证
定理２(等价无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小代换定理)
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x 1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) 2 dx 1 x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关;
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
三、可微的条件
定理
函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
可导 可微.
A f ( x 0 ).
无穷小.
例2 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 . 1 sin x ( 1) tan x sin x cos x 解 lim lim x 0 x0 x3 x3
1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x 0 x x 2
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
应用：
o
y f ( x)
）
M
dy y
x
x0
x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
五、微分的求法
dy A x, dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
2
例
sin x sin1 求 lim x . x 1 e 1 e 1
解
当x 1时, sin x ~ x, e x 1 ~ x.
x 原式 lim 1. x 1 x
注意：作等价无穷小代换时，必须是无穷小.
例
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 x
解
当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
在一元微积分中可导与可微是一致的
f ( x0 ) f ( x0 ) x (x) 即，
f ( x0 ) f ( x0 )x (x) Ax (x)
2
tan 2 x tan 2 x tan 2 x 2x 2x 2 原理： lim lim . x 0 1 cos x x0 2x 2 x 1 cos x x2
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 2 x 2 x2
无穷大量和无穷小量的关系：
定理 : 若 lim f ( x ) 0, 则f ( x )是无穷小量，
x a
1 （f ( x ) 0）是无穷大量。反之亦然 f ( x) 1 2 2 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. 例1 x 2 x lim 0, x 2比3 x要快得多;
例5 解
ex 1 求 lim . x 0 x
令 e 1 u,
x
则当 x 0 时, 有 u 0,
即 x ln(1 u), 1 1 ex 1 u lim 1. lim lim u 0 ln(1 u ) x 0 u0 ln(1 u) ln e x u
x x 原式 lim 3 lim 0 0. x 0 x x 0 x 3
注意：作等价无穷小代换时，必须是乘积因子 tan x sin x 解 lim 3 x 0 x
1 sin x 1 cos x 1 lim( ) 2 x 0 cos x x x 2
例
解
(1 x ) 1 求 lim x0 cos x 1
(1 x ) 1 lim x0 cos x 1
1 2 3
1 2 3
1 2 x lim 3 2 x 0 x 2 2 3
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x 0
lim
dy |x x0 x
x 1 lim x 0 x 2
1 2
1 x 2
所以是同阶无穷小
例：y f (ln x )e f ( x )，f 可微，求dy
1 f ( x) dy ydx [ f (ln x ) e f (ln x )e f ( x ) f ( x )]dx x 1 e f ( x ) [ f (ln x ) f (ln x ) f ( x )]dx x
即，当 x 0 时，x ~ e x 1.
e x 1 u,
常用等价无穷小:
当x 0时,
x ~ sin x
x ~ tan x x ~ ln(1 x ) ~ e x 1
1 2 1 cos x ~ x 2
(1 x )a 1 ~ ax (a 0)
例
sin 7 x 求 lim . x 0 tan 2 x
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
例函数 y f ( x ), 有f ( x0 ) 1 , 当 x 0 时，该函数在 2 x x0 处的微分dy是 x 的同阶？高阶？还是低阶无穷小？ 解：根据函数微分的定义， dy |x x0 f ( x0 ) x
六、微分形式的不变性
设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x )dx;
( 2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可 微函数 x ( t ), 则 dy f ( x )( t )dt
( t )dt dx, dy f ( x )dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数
y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx
微分形式的不变性
一阶微分形式不变性的应用
1. 隐函数和参数方程求导
２．计算函数增量的近似值
隐函数的导数
定义:由方程G(x,y)=0所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x ) 形式称为显函数 .
1 1 lim lim( ) 1 1
1 1 1 lim lim lim lim 1 1 1
ln(1 x ) . 例4 求 lim x 0 x 1 ln(1 x ) 解 lim lim ln(1 x ) x ln e 1. x 0 x 0 x 即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x ).
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
dy f ( x )dx.
dy f ( x ). dx
即函数的微分 与自变量的微分 之商等于 dy dx 该函数的导数. 导数也叫 微商". "
四 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T N P
o( x )
tan x sin x为x的三阶无穷小 . 1 3 tan x sin x x 2
例3
x2 lim 0， x 0 3 x
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
tan x sin x sin x lim cos xlim 1 lim 1， lim x 0 x x 0 x x x 0 x
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
即dy
x x0
A x .
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;