勾股定理---勾股定理的证明.ppt

17、1、1 勾股定理
228and235
勾股定理—中国人的定理 (毕达哥拉斯定理）
勾股定理的证明方法有400多种，既然这个定理如此受追 捧，我们也试着去证明勾股定理吧!
B
勾
a C
c
弦
A
RtABC中，C 90 ，
0
则a b c
2 2
2
b 股
我们古代将直角三角形中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫做弦。
b
∟
a
c
1 1 1 (a + b)(b + a) = 2 c2 + 2( 2 2 1 1 1 2 2= a + ab + 2 b 2 c2 + ab 2 a2 + b2 = c2
ab )
b
∟
c
a
证 法 4：
毕达哥拉斯证法
a2
a2 c2
b2
a 2 + b 2 = c2
例题精讲
1已知：a 6, b 8, 求c; 2已知：a : b 3 : 4，c 15，求a、b 1 解： 在RtABC中，c 90 0 2 由a : b 3 : 4, 设a为3 x, b为4 x; 又 a 6, b 8 a 2 b 2 c 2 勾股定理 2 2 2 c 2 a 2 b 2 勾股定理 3 x 4 x 15
为了纪念毕达哥拉斯这个人，希腊就将这个图形发行了希腊邮票
赵爽的“弦图”
早在公元3世纪，我国数 学家赵爽就用左边的图形验证 了“勾股定理”。 在北京召开的2002年国际 数学家大会（TCM－2002）的 会标，其图案正是“弦图”， 它标志着中国古代的数学成就 . 思考:你能验证吗？
b
(1)
用四块底为a、高为b、斜边为C的直角 C 三角形拼成正方形，则大正方形的面积有 两种求法：
c a 2 b2 6 2 82 100 10
x1 3, x 2 3舍去 即：x 3 9 x 2 16 x 2 225 x2 9
1、在RtABC中，c 90
0
小结：同学们我们本节学习了什么知识？
你是怎样得到这个定理的？ 完成导学案
两千多年来，人们对勾股定理的 证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近 人们的生活实际，以致于古往今来， 下至平民百姓，上至帝王总统都愿意 探讨它的证明，因此丌断涌现新的证 法。下面我们一起学习几种证明勾股 定理的方法。
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方. a2+b2=c2
32
42
52
c
b a b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
证 法 3
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年 人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党 议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两 个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探 讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚 两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在 地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？ 只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形 的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔 德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别 为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲 尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道 理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋 味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他 留下的难题。
a
(2)
c (a-b)2 (3) (2) c
c
c
证 法 一
(3)
(a-b)2 +4×
(4)
1 ab = 2
C
2Байду номын сангаас
a2－2ab +b2 +2ab= c2
可得：a2 + b2 = c2
b
a
c b (a+b )2
证 法 二
a
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证 法称为“总统”证法。