江苏省盱眙县都梁中学高中数学苏教版必修四练习：1.3.1 三角函数的周期性(含答案解析)
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.2
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系课堂精练 苏教版必修41．若4sin 5α=且α是第二象限角，则tan α＝__________.2．若βsin cos ββ=-，则β的取值范围是__________．3． (1) 若4sin 5θ=-，tan θ>0，则cos θ＝__________. (2) 已知α是第二象限的角，1tan 2α=，则cos α＝__________.4．(1)已知sin α=，则sin 4α－cos 4α的值是__________．(2)已知tan α=3ππ<<2α，则cos α－sin α的值为__________．5．(1)若cos 2sin αα+=tan α＝__________. (2)若1cos sin 5αα+=，则sin αcos α＝__________. (3)已知cos 21sin x x =-+，则sin 1cos x x-＝__________.6．函数y =+__________．7． 已知3π(π,)2α∈，tan α＝2，则cos α＝__________.8．(1)已知sin αβ=，tan tan αβ=，ππ<<22α-，0<β<π，求α，β.(2)已知sin α，cos α是方程5x 2＋5kx －2(1＋k )＝0的两根，求实数k 的值．参考答案1. 答案：43-解析：∵α是第二象限角，∴3cos 5α==-. 则sin 4tan cos 3ααα==-. 2. 答案：π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：sin cos sin cos ββββ==+=-.∴sin β≥0，cos β≤0.又β∈(0,2π)，∴π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.3. 答案：(1) 35-(2) 5-解析：(1) sin tan 0cos θθθ=>，知sin θ与cos θ同号．∴3cos 5θ==-.(2)∵222sin 1tan cos 4ααα==，∴221cos 1cos 4αα-=，24cos 5α=. ∵α是第二象限角，∴cos α<0，∴cos α=. 4. 答案：(1) 35-解析： (1)sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝23215⋅-=-. (2)由22sin cos 1,sin tan cos ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩得23sin 4α=，21cos 4α=. 又3ππ<<2α，∴sin α=，1cos 2α=-.∴11cos sin ()222αα-=--=. 5. 答案：(1)2 (2) 1225-(3)2 解析：(1) 22cos 2sin sin cos 1,αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∴22sin (2sin )1αα+=.∴sin 5α=-，cos 5α=-.∴sin tan 2cos ααα==. (2)∵1cos sin 5αα+=， ∴两边平方得112sin cos 25αα+=.∴12sin cos 25αα=-. (3)∵(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ， 且1＋sin x ≠0，cos x ≠0. ∴cos 1sin 21sin cos x x x x -==-+.∴sin 12cos x x-=.6. 答案：{－2,0,2}解析：∵cos sin cos sin x xy x x=+=+.∴当x 为第一象限角时，y ＝1＋1＝2； 当x 为第二象限角时，y ＝－1＋1＝0； 当x 为第三象限角时，y ＝－1－1＝－2； 当x 为第四象限角时，y ＝1－1＝0. ∴函数值域为{－2,0,2}． 7.答案：5-解析：3π(π,)2α∈，tan α＝2，∴sin 2cos αα=.又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5cos 2α＝1.∴cos α=. 8. 解：(1) sin αβ=，①tan tan αβ=.②由，得222cos sin 3αβ=.③ 又由①2，得sin 2α＝2cos 2β.④ 由③＋④，得2222cos sin 13ββ+=， ∴23sin 4β=.∵0<β<π，∴sin β=.∴π2π33β=或.代入①式，得ππ44α=-或. (2)∵方程5x 2＋5kx －2(1＋k )＝0有实根，则Δ＝25k 2＋40(1＋k )≥0，即5k 2＋8k ＋8≥0.①又由根与系数的关系知sin cos ,2(1)sin cos ,5k k αααα+=-⎧⎪+⎨⋅=-⎪⎩由②2，得1＋2sin αcos α＝k 2. ④ 将③代入④，得22(1)125k k -+⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦，即5k 2＋4k －1＝0. 解得k ＝－1或15k =.经检验知，两个解均满足①式． ∴k ＝－1或15k =.。
(教师用书)高中数学 1.3.1 三角函数的周期性配套课件 苏教版必修4
x π x π (2)y＝2cos(－ ＋ )＝2cos( － )， 2 4 2 4 2π ∴T＝ ＝4π. 1 2 (3)由 y＝sin x 的周期为 2π，可猜想 y＝|sin x|的周期应 为 π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知 y＝|sin x|的周期是 π.
【思路探究】 要证函数 y＝f(x)是周期函数，就是要找 到一个常数 T(T≠0)，使得对于任意实数 x，都有 f(x＋T)＝ f(x)，可根据 y＝f(x)的奇偶性与对称性推导证明．
【自主解答】
由 y＝f(x)的图象关于 x＝a 对称得 f(2a
－x)＝f(x)，∴f(2a＋x)＝f(－x)． ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(2a＋x)＝f(x)， ∴f(x)是以 2a 为周期的函数．
(1)正弦函数、余弦函数的周期
kπ(k∈Z 且 k≠0) 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2 ________________
2π 都是它们的周期，它们的最小正周期都是______.
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 2π T＝ ω A，ω，φ 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期_________.
1.3
三角函数的图象和性质 三角函数的周期性
教师用书独具演示
1．3.1
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期 函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用 周期函数定义进行简单运用．
2．过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波 浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析 这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦 函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在 实践中加以应用． 3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认 识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性， 树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．
苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性 (习题+解析)
苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性（习题+解析）②从f （x ＋T ）＝f （x ）来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如f （2x ＋T ）＝f （2x ）中，T 不是周期，而应写成(2)2()(2)2T f x T f x f x ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦，则2T 是f （x ）的周期。
③对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。
④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。
例如常数函数()(f x C C =为常数），其周期T 是任意实数，没有最小正数。
⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f （x ）的周期，那么kT （k ∈Z ，k ≠0）也一定是函数的周期。
【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若x 是定义域D 内的一个值，则且,(Z k kT x ∈+)0≠k 也一定属于定义域D ，因此周期函数的定义域D 一定是无限集，而且定义域D 一定无上界且无下界。
（2）其次看恒等式是否成立对于定义域D 内任意一个x ，是否有()()f x f x T =+恒成立。
如果成立，则是周期函数。
否则，不是周期函数。
二、sin()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的周期一般地，函数y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝ωπ2。
【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。
（1）定义法；（2）公式法，对y ＝A sin （ωx ＋φ）或y ＝A cos （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），T ＝||2ωπ； （3）图象法。
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。
【优化方案】高中数学 第一章1.3.1三角函数的周期性精品课件 苏教版必修4
2．三角函数的周期 (1) 正 弦 函 数 y ＝ sinx(x ∈ R) 的 周 期 是 2kπ(k∈Z且k≠0) ，最小正周期是________. 2π __________________ (2) 余 弦 函 数 y ＝ cosx(x ∈ R) 的 周 期 是 2kπ(k∈Z且k≠0) ，最小正周期是_________. __________________ 2π (3)函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ2π )(其中 A、 ω、 φ 为常数， 且 A≠0， ω＞0)的周期 T＝______. ω (4) 三 角 函 数 的 周 期 ， 如 没 有 特 别 说 明 指 的 是 最小正周期 _________________ ．
1．3 三角函数的图象和性质
1．3.1 三角函数的周期性
学习目标： 了解三角函数的周期性，知道三角函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ)， y＝ Acos(ωx ＋ φ)的周期为 T ＝ 2π . ω
三 角1 函. 数3 的. 周1 期. 性
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
sin(α ＋ 2kπ) ＝ _________ ， cos(α ＋ 2kπ) ＝ sinα cosα tan α Z)． _________ ，tan(α＋2kπ)＝__________ (k∈
知新益能 1．周期函数的概念 (1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T， 定义域 内 的 每 一 个 x 值 ， 都 满 足 使 得 ___________ f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做___________， _______________ 周期函数 非零常数 T叫做这个函数的______________． 周期 (2)最小正周期 对于一个周期函数 f(x) ，如果在它所有的周期中存 在一个最小的 __________ ，那么这个最小的正数就 叫做f(x)的____________________ ． 正数 最小正周期
高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性温故知新 苏教版必修4(2021年整理)
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1。
3.1 三角函数的周期性温故知新新知预习1。
一般地，对于函数f(x ）,如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值都满足f(x+T ）=f(x)，那么函数f(x)就叫做_____________。
非零常数T 叫做这个函数的_____________.2。
对于一个周期函数f （x)，如果存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做它的_____________。
3。
正弦函数y=sinx 的最小正周期为_____________.余弦函数y=cosx 的最小正周期为_____________.正切函数y=tanx 的最小正周期为_____________.知识回顾1。
同角三角函数的基本关系式sin 2α+cos 2α=1,tan α=ααcos sin 。
2。
诱导公式cos （α+k·2π)=cos α（k∈Z ）；sin （α+k·2π）=sin α(k∈Z )；tan （α+k·2π）=tan α(k∈Z );cos （-α）=cos α;sin （—α)=-sin α;tan(—α)=-tan α；cos[α+(2k+1）π］=—cos α(k∈Z )；sin ［α+（2k π+π）］=-sin α(k∈Z ）；tan ［α+（2k+1）π]=tan α(k∈Z )。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.1
江苏省盱眙县都梁中学高中数学第1章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数课堂精练苏教版必修41．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于__________．2．以下四个命题：(1)终边相同的角的正弦值相等；(2)终边不同的角的正弦值不相等；(3)两个角的正弦值相等，则这两个角相等；(4)两个角的正弦值相等，则这两个角有相同的终边．其中错误．．的命题个数为__________．3．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角；(2)若α是第一、二象限角，则sin α>0；(3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα=.其中正确的序号是__________．4．依据三角函数线，作出如下四个判断：①π7πsin sin66=；②ππcos()cos44-=；③π3πtan tan88>；④3π4πsin sin55>.其中判断正确的个数有__________．5．(2011 江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=y＝__________.6．(1)已知角α的终边与射线y＝－3x(x≥0)重合，则sin α·cos α－tan α的值为__________．(2)设角α的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α的值是__________．7．(1)求在上满足1sin2x≥的x的取值范围．(2)求函数y=8．(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α的值；(2)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P()y，且sin4yα=(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值．9.若π2α<<，利用三角函数线证明0<sin α<α<tan α.参考答案1. 答案：2-解析：∵点坐标为(1,，x ＝1，y =2r ==.∴sin 22y r α===-. 2. 答案：33. 答案：(2)解析：只有(2)正确；∵πsin 102=>，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α=α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．4. 答案：2解析：分别作出各角的三角函数线，可知：π7πsin sin 66=-，ππcos()cos 44-=，π3πtan tan 88<，3π4πsin sin 55>，∴②④正确． 5. 答案：－8解析：根据题意sin 05θ=-<及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限= 又∵y <0， ∴y ＝－8(合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8.6. 答案：(1) 2710 (2) 2255-或 解析：(1)在α终边上取一点P (1，－3)，此时x ＝1，y ＝－3.∴r ==∴由三角函数定义有siny r α==cosx r α==tan 3y x α==-. ∴327sin cos tan (3)31010ααα⋅-=-=-=.(2)当a >0时，5r OP a ===， ∴33sin 55a a α==，44cos 55a a α-==-. ∴22sin cos 5αα+=. 当a <0时，r ＝－5a ，33sin 55a a α==--，44cos 55a a α-==-， ∴22sin cos 5αα+=-. 7. 解：(1)如图，利用单位圆中的正弦线可知图中阴影部分表示的角即为所求， ∴π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (2)要使函数有意义，只需2cos x －1≥0， ∴1cos 2x ≥.如图作12x =与单位圆交于P 1，P 2两点，连结OP 1，OP 2.当角α的终边由OP 1逆时针转到OP 2时，满足1cos 2x ≥. ∵OP 2为角π2π3k +的终边， OP 1是角π2π3k -+ (k ∈Z )的终边， ∴当ππ2π,2π33x k k ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )，即角的终边落在图中阴影部分时，1cos 2x ≥成立．∴函数的定义域为ππ2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦.8. 解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，则r ==∴sinyr α===.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，则r ==siny r α===.(2)依题意，P 到原点O 的距离r OP ===.∴sin 4y y r α===.∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16.∴273y =，3y =±.∴点P 在第二或第三象限，且3cos 4α===-.9. 证明：如图，∠AOP ＝α，MP ，AT 分别为角α的正弦线和正切线，连结AP . 由于π02α<<，显然有0<S △POA <S 扇形POA <S △TOA .1111sin sin 222POA S OA MP αα∆=⋅⋅=⋅⋅=，211122POA S αα=⋅⋅=扇子， 1111tan tan 222TOA S OA AT αα∆=⋅⋅=⋅⋅=， ∴1110sin tan 222ααα<<<，即0<sin α<α<tan α.。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.3
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式课堂精练 苏教版必修41． cos 300°＝__________.2．下列三角函数： ①4πsin(π)3n + (n ∈Z )；②πsin(2π)3n + (n ∈Z )； ③πsin (21)π6n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ (n ∈Z )；④πsin (21)π3n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ (n ∈Z )． 其中函数值与πsin 3的值相等的是__________． 3．求值：tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)＝__________.4．(1)已知81sin(π)log 4α-=，且π(,0)2α∈-，则tan(2π－α)＝__________. (2)已知πcos()22ϕ+=，且π2ϕ<，则tan φ＝__________. (3)若cos(π)5α+=-，且π(,0)2α∈-，则3πtan()2α+＝__________. 5．(1)已知πsin()sin(π)22011cos()sin(2π)x x x x -+-=-+-，则tan(x ＋π)＝__________. (2)已知1sin(3π)4α+=- π(0)3α<<，则5π3πsin()tan()22αα+-＝__________. 6．已知3πsin(π)cos(2π)tan(π)tan()2()sin(π)f αααααα----+=--，(1)化简f (α)，并判断函数f (α)的奇偶性；(2)若α是第三象限角，3π1cos()25α-=，求f (α)的值； (3)若α＝－1 920°，求f (α)的值．参考答案1. 答案：12解析：cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 2. 答案：②④解析：∵当n 为偶数时，4π4πππsin(π)sin sin(π)sin 3333n +==+=-； 当n 为奇数时，4π4ππsin(π)sin sin 333n +=-=， ∴①不正确． ∵ππsin(2π)sin33n +=，∴②正确． ∵πππsin (21)πsin(π)sin 666n ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎣⎦， ∴③不正确． ∵πππsin (21)πsin(π)sin 333n ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎣⎦， ∴④正确．3. 答案：0 解析：原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin(－720°＋114°)＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 114°＝sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.4. 答案：(2) (3) 解析：(1)∵812sin(π)sin log 43αα-===-， ∴2sin 3α=-. 而π(,0)2α∈-，∴cos α==∴sin tan cos 5ααα==-.∴tan(2π)tan()tan ααα-=-=-=.(2) πcos()sin 2ϕϕ+=⇒-=，∴sin ϕ=又π2ϕ<，∴π3ϕ=-.∴ππtan tan()tan 33ϕ=-=-=(3) cos(π)cos αα+=-=，∴cos α=. 又π(,0)2α∈-，∴sin 5α===-.∴πsin()3ππcos 2tan()tan()π22sin 3cos()2αααααα++=+==-==+5. 答案：(1) 10051006 (2) 154-解析：(1)由已知得cos sin 2011cos sin x xx x +=-； ∴1tan 20111tan xx +=-. ∴1005tan 1006x =. ∴1005tan(π)tan 1006x x +==.(2)由1sin(3π)4α+=-得1sin 4α=.∵π(0,)3α∈，∴cos α==. ∴原式＝ππsin()tan 2π()22αα⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦ πsin()π2cos tan()cos π2cos()2ααααα+=⋅+=⋅+22cos cos 154cos 1sin sin 44ααααα=⋅=-=-=--. 6. 解：(1) 3πsin()2sin cos (tan )3πcos()2()sin(π)f ααααααα--⋅-=-+ cos sin cos (tan )sin cos sin ααααααα--⋅-==-.由已知得f (α)的定义域是π|,Z 2k k αα⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称． ∵f (－α)＝－cos(－α)＝－cos α＝f (α)，∴f (α)是偶函数． (2)∵3π1cos()sin 25αα-=-=，∴1sin 5α=-. 又α为第三象限角，∴cos 5α==-.∴()cos 5f αα=-=. (3)∵α＝－1 920°，∴f (α)＝－cos(－1 920°)＝－cos 1 920°＝－cos(5×360°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)＝cos 60°＝12.。
苏教版高中数学必修4三角函数的周期性.doc
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作三角函数的周期性班级_______姓名______ 学号_________成绩_________[基础过关]1、若函数)(x f y =满足)3()1(-=+x f x f ，则此函数是周期函数，则（ ）为其一个周期。
A ．1B 。
3C 。
－3D 。
４2、函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期为（ ） A ．52π B 。
25π C 。
π2 D 。
π5 3、在函数|sin ||,|sin x y x y ==,)32sin(π+=x y ,)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数有（ ） A ．１个 B 。
２个 C 。
３个 D 。
４个4、由函数⎩⎨⎧++∈+∈=)22,12[1)12,2[0)(n n x n n x x f （)Z n ∈的图象，可知此函数的周期为（ ） A ．2k B ．23k C ．k D ．2k （以上k 0,≠∈k Z ） 5. 已知|sin |x y ω=的周期是x y 4sin =周期的４倍，则正数ω的值为（ ） A ．21 B 。
１ C 。
２ D 。
４ 6、已知函数)53sin(2π+=kx y 的周期为23π，则ｋ的值为 。
7、函数|)62sin(|π+=x y 的周期为 。
8、已知函数7)34sin(3++=πx k y 的最小正周期不小于４，则正整数ｋ的最小值为 。
9、)(x f 是以2π为周期的奇函数，且1)2(-=-πf ，那么)25(πf = 。
10. 已知()x f 是定义在R 上的奇函数，()()()61,21+=+=x f x f f , 求()()()5.224100f f f ++的值；11、已知()()x f x f -=+2，当[]6,4∈x 时()12-=x x f ，求()x f 在[]2,0上的表达式。
12、已知定义域为R 的奇函数()x f 满足()()x f x f -=+11，当()0,1-∈x 时,()512+=x x f , 求()202log f 的值；[智能升级]13. 设)35sin()(π+=kx x f ，其中Z k k ∈≠,0。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式课堂精练苏教版必修4
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第1章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式课堂精练 苏教版必修41． cos 300°＝__________.2．下列三角函数： ①4πsin(π)3n + (n ∈Z )；②πsin(2π)3n + (n ∈Z )； ③πsin (21)π6n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ (n ∈Z )；④πsin (21)π3n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ (n ∈Z )． 其中函数值与πsin 3的值相等的是__________． 3．求值：tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)＝__________.4．(1)已知81sin(π)log 4α-=，且π(,0)2α∈-，则tan(2π－α)＝__________. (2)已知πcos()2ϕ+=，且π2ϕ<，则tan φ＝__________. (3)若cos(π)α+=，且π(,0)2α∈-，则3πtan()2α+＝__________. 5．(1)已知πsin()sin(π)22011cos()sin(2π)x x x x -+-=-+-，则tan(x ＋π)＝__________. (2)已知1sin(3π)4α+=- π(0)3α<<，则5π3πsin()tan()22αα+-＝__________. 6．已知3πsin(π)cos(2π)tan(π)tan()2()sin(π)f αααααα----+=--，(1)化简f (α)，并判断函数f (α)的奇偶性；(2)若α是第三象限角，3π1cos()25α-=，求f (α)的值； (3)若α＝－1 920°，求f (α)的值．参考答案1. 答案：12解析：cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 2. 答案：②④解析：∵当n 为偶数时，4π4πππsin(π)sin sin(π)sin 3333n +==+=-； 当n 为奇数时，4π4ππsin(π)sin sin 333n +=-=， ∴①不正确． ∵ππsin(2π)sin 33n +=，∴②正确． ∵πππsin (21)πsin(π)sin 666n ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎣⎦， ∴③不正确． ∵πππsin (21)πsin(π)sin 333n ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎣⎦， ∴④正确．3. 答案：0 解析：原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin(－720°＋114°)＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 114°＝sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.4. 答案：(2) (3) 解析：(1)∵812sin(π)sin log 43αα-===-， ∴2sin 3α=-. 而π(,0)2α∈-，∴cos 3α==.∴sin tan cos ααα==.∴tan(2π)tan()tan ααα-=-=-=(2) πcos()sin 2ϕϕ+=⇒-=，∴sin 2ϕ=-又π2ϕ<，∴π3ϕ=-.∴ππtan tan()tan 33ϕ=-=-=.(3) cos(π)cos αα+=-=，∴cos 5α=. 又π(,0)2α∈-，∴sin α===∴πsin()3ππcos 2tan()tan()π22sin cos()2αααααα++=+==-==+5. 答案：(1) 10051006 (2) 154-解析：(1)由已知得cos sin 2011cos sin x xx x +=-； ∴1tan 20111tan xx +=-. ∴1005tan 1006x =. ∴1005tan(π)tan 1006x x +==.(2)由1sin(3π)4α+=-得1sin 4α=.∵π(0,)3α∈，∴cos 4α==. ∴原式＝ππsin()tan 2π()22αα⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦ πsin()π2cos tan()cos π2cos()2ααααα+=⋅+=⋅+22cos cos 154cos 1sin sin 44ααααα=⋅=-=-=--. 6. 解：(1) 3πsin()2sin cos (tan )3πcos()2()sin(π)f ααααααα--⋅-=-+ cos sin cos (tan )sin cos sin ααααααα--⋅-==-.由已知得f (α)的定义域是π|,Z 2k k αα⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称． ∵f (－α)＝－cos(－α)＝－cos α＝f (α)，∴f (α)是偶函数． (2)∵3π1cos()sin 25αα-=-=，∴1sin 5α=-. 又α为第三象限角，∴cos α==∴()cos f αα=-=(3)∵α＝－1 920°，∴f (α)＝－cos(－1 920°)＝－cos 1 920°＝－cos(5×360°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)＝cos 60°＝12.。
高中数学第1章三角函数1.3-1.3.1三角函数的周期性课件苏教版必修4
1．对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得 当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么 函数 f(x)就叫作周期函数，非零常数 T 叫作这个函数的周 期．对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在 一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正 周期．
题型 1 利用周期函数的定义或公式求周期
[典例 1] 求下列函数的最小正周期： (1)y＝3cos x，x∈R； (2)y＝sin 3x，x∈R； (3)y＝2cos2xf(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定 义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x) 就叫作周期函数，非零常数 T 叫作这个函数的周期．
根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周 期，最小正周期是 2π.
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1．若函数πcos()6yx (ω>0)的最小正周期是π5，则ω＝__________.
2．如图所示的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速
度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，
则振子的振动周期T＝__________s.
3．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当
π
(0,)2x时，f(x)＝sin x，则5π()3f
的值为__________．
4．下列函数是周期函数的是__________．(填序号)
①f(x)＝x ②f(x)＝2x ③f(x)＝1
5．(1)若函数()3sin(3)5kfxx (k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k＝
__________.
(2)已知函数π()2sin()6fxkx的最小正周期T∈(1,3)，则正整数k的取值集合是
__________．
6．ABCD—A1B1C1D1是单位正方体，黑、红两个蜘蛛都从点A出发，沿棱向前爬行，
每走完一条棱称“走完一段”，红蜘蛛爬行的路线是AA1→A1D
1
→…，黑蜘蛛爬行的路线是
AB→BB
1
→…，它们都遵循如下原则：所爬行的第i＋2段直线都与第i段所在直线是异面直
线(其中i∈N＋)．设黑、红两个蜘蛛走完第2011段后各停在正方体的某个顶点处，这时黑、
红两蜘蛛的距离是__________．
7．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心为O，若从A点处上去，顺时针转动，
4.5分钟时到达最高点，若点B处与点A在同一高度处，且由B到A的时间为1分钟．
(1)求该摩天轮旋转周期是多少分钟？
(2)某游客上去后15分钟时，在摩天轮左边还是在右边？
(3)此时游客至少还需多长时间可以从B处下摩天轮？
8．若函数π()sin()6nfn (n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 009)的值．
参考答案
1. 答案：10
解析：∵2ππ5T，∴ω＝10.
2. 答案：4
解析：振子由平衡位置O运动到B的时间为4T，而振子以相同的速度通过M，N的时
间为t1＝1，则O到N的时间为12t，又向右经N—B—N的时间为t2＝1，则N到B的时间为
12t，∴12
11142222ttT
.
∴T＝4(s)．
3. 答案：32
解析：∵T＝π，∴5π2π2πππ()(π)()(π)()33333fffff.
∴f(x)是偶函数，且当π(0,)2x时，f(x)＝sin x，
∴πππ3()()sin3332ff.
∴5π3()32f.
4. 答案：③
解析：①由f(x＋T)＝x＋T≠x，T≠0，知f(x)＝x不是周期函数；
②由f(x＋T)＝2x＋T＝2T·2x≠2x，T≠0，知f(x)＝2x不是周期函数；
③由f(x＋T)＝1＝f(x)，知f(x)＝1是周期函数．
5. 答案：(1)32 (2){3,4,5, 6}
解析：(1)由题意，2π10π15Tkk，∴k≥10π.
又k∈N*，∴k的最小值为32.
(2)由题意得2π2π,12π132π2π,33kkkkk
即2π2π3k.
∵k∈N*，∴k＝3,4,5,6.
6.答案：2
解析：如题图，按题中原则，列出红蜘蛛的路线：
AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA
1
→….黑蜘蛛的路线：
AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA→AB→…，由分析可发现：红、黑两蜘蛛走完六段后必
回到起点，即每六段为一个周期，∵2 011＝6×335＋1，
∴只考虑黑、红两蜘蛛各走完1段后的位置即可，此时红蜘蛛在A1点，黑蜘蛛在B点，
所求距离为221112BA.
7. 解：(1)设摩天轮旋转的周期为T，由已知可得，由A到最高点处时间为4.5分钟，则
由最高点到B点时间也为4.5分钟，由B点到A点的时间为1分钟，则周期T＝4.5＋4.5＋1
＝10分钟．
(2)15分钟为一个周期零5分钟，此时游客第二次经过点A处，又4.5分钟后经过最高
点处，因此5分钟后在摩天轮的右侧．即此时游客在摩天轮右侧．
(3)从最高点到B处需要4.5分钟，由于15分钟后游客刚过最高点处0.5分钟，故还需4
分钟可以从B处下摩天轮．
8. 解：∵π()sin6fnn，
∴f(n)的周期2π12π6T.
又∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，且2 009＝12×167＋5，
∴(1)(2)(2009)(1)(2)(3)(4)(5)ffffffff
π2π3π4π5π
sinsinsinsinsin66666
1331
1232222
.