复数复习课学案
复数小结与复习(一) 教案示例
复数小结与复习(一)·教案示例目的要求1．通过本课的小结与复习，对本章第一单元(复数及其四则运算)知识内容进行梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．2．通过对例题的讲解、讨论及相关训练，进一步理解复数的有关概念、复数的代数表示与向量表示、复数代数形式的运算及相关的几何背景．内容分析1．本单元内容大致可分为三个部分：(1)复数的概念数集的扩充过程是：自然数集(N *)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．教学中应强调数集扩充的必要性，以及复数产生的必然性．2．复数的表示：代数表示与几何表示任一复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)和复平面内的一点Z(a ，b)对应，也可以和点，的位置向量对应，这些对应都是一一对应，即→Z(a b)OZ在这些对应下，复数的各种运算都有特定的几何意义．3．复数的四则运算复数的加、减、乘、除与实数四则运算相类似，学生不难掌握．关键是四则运算的几何意义，学生掌握起来有点困难．教师在教学时，应先复习一下平面向量的相关知识，再结合前面复数与向量的一一对应关系就可迎刃而解．教学过程1．内容小结对本章第一单元知识作一番小结，可采用列提纲或填表格形式，让学生自己归纳总结所学知识内容．教师可因势利导，对一些关键之处予以强调点拨，如复数＝＋与复平面上的点，和位置向量之→z a bi Z(a b)OZ间的对应关系、复数加法与减法的几何意义、平行四边形法则与三角形法则的用法等等．2．注意的问题(1)应注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系．它们的关系可用以下图表示：(2)复数z ＝a ＋bi 用复平面内的点Z(a ，b)表示，点Z 的坐标是(a ，b)而不是(a ，bi)，也就是说，复平面内纵坐标的单位长度是1，而不是i ．(3)复数虽然不能一概地去比较大小，但因为复数的模是实数，可以比较大小，利用复数的模可得出一些不等式，如||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|及|z|＜r 等等，这些复数模的不等式都有鲜明的几何意义，应加以留心．(4)复数的加减运算与用坐标表示的平面向量的加减运算是一致的．一般地，用复数的代数形式进行复数的加减运算较为方便．3．讲解例题例已知、∈，＝＝，＋＝，求－．1 z z C |z ||z |1|z z ||z z |121212123解法1：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，z 1－z 2＝(a －c)＋(b －d)i ．∵＝＝，＋＝．|z ||z |1|z z |12123∴a 2＋b 2＝1①c 2＋d 2＝1②(a ＋c)2＋(b ＋d)2＝3③将①、②代入③可得ac bd ＋＝．12于是|z 1－z 2|＝1．解法2：由|z 1|＝|z 2|＝1可知，z 1、z 2所对应的点在单位圆上．如图5－13所示，设z 1、z 2、z 1＋z 2分别对应A 、B 、C 之点．则|OA||OB|1|OC|→→→＝＝，＝．3又＝＋，→→→OC OA OB∴四边形OACB 是平行四边形．∴∠＝＋－·＝＋－＋＝－．→→→→→cos OAC (||||||)||||||||||||||OA AC OC OA OC z z z z z z 2221222122122212 ∴∠OAC ＝120°，∠AOB ＝60°．因此，△是正三角形，故－＝＝→AOB |z z ||AB|112例2 复平面内点A 对应的复数是1，经过点A 作虚轴的平行线l ，设上的点对应的复数为，求所对应点的轨迹．l z 1z分析：因为在复平面上的点A 的坐标为(1，0)，l 过点A 平行于虚轴．因此，直线l 上的点对应的复数z 的实部为1，可设z ＝1＋bi(b ∈R)，然后再求所对应的点的集合．1z解：如图5－14所示，因为点A 对应的复数为1，直线l 过点A 且平行于虚轴，所以，可设直线l 上的点对应的复数为z ＝1＋bi(b ∈R)．因此，＋－＋，1z =11bi =1bi 1b 2 设＝＋，于是1zx yi x yi i ＋＝＋－＋．11122b b b 根据复数相等的条件，有x y ＝＋，＝－＋．11122b b b ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 消去b 可得x y (b 1b )x 2222＋＝＋＋－＋＝．1122()b ∴x 2＋y 2＝x(x ≠0)．即－＋＝≠．(x )y (x 0)221214 ∴所对应点的集合是以、为圆心，为半径的圆，但不包112z (120) 括原点O(0，0)．4．课堂练习教科书复习参考题A 组第6、9题．5．归纳小结着重对上述例题的解题思路进行小结．布置作业教科书复习参考题B 组第4、7题．。
复数复习教案
复数复习教案教学目标〔1〕控制复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
〔2〕正确对复数进行分类，控制数集之间的附属关系；〔3〕理解复数的几何意义，初步控制复数集C和复平面内全部的点所成的集合之间的一一对应关系。
〔4〕培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的规律思维能力.教学倡议〔一〕教材分析1、学问构造本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.2、重点、难点分析〔1〕正确复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是 .留意在说复数时，肯定有，否那么，不能说实部是，虚部是，复数的实部和虚部都是实数。
表明：对于复数的定义，特殊要抓住这一规范形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮忙。
〔2〕正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类规范要统〔3〕不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要留意：①化为复数的规范形式②实部、虚部中的字母为实数〔4〕在讲复数集与复平面内全部点所成的集合一一对应时，要留意：①任何一个复数都可以由一个有序实数对〔〕唯一决定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对〔〕叫做复数的.②复数用复平面内的点Z〔〕表示.复平面内的点Z的坐标是〔〕，而不是〔〕，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1 ，所以用复平面内的点〔0，1〕表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点〔0，1〕标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴. 由此可见，复平面〔也叫高斯平面〕与普通的坐标平面〔也叫笛卡儿平面〕的区分就是复平面的虚轴不包括原点，而普通坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点Z〔a，b〕中的Z，书写时大写.要学生留意.〔5〕关于共轭复数的概念设，那么，即与的实部相等，虚部互为相反数〔不能认为与或是共轭复数〕. 老师可以提一下当时的特别状况，即实轴上的点关于实轴本身对称，示例：5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特别情行.〔6〕复数能否比拟大小教材最后指出："两个复数，假如不全是实数，就不能比拟它们的大小'，要留意：①按照两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，则 .两个复数，假如不全是实数，惟独相等与不等关系，而不能比拟它们的大小.②命题中的"不能比拟它们的大小'确实切含义是指："不管怎样定义两个复数间的一个关系，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质'：〔i〕对于任意两个实数a，b来说，a〔ii〕假如a〔iii〕假如a〔iv〕假如a0，则ac〔二〕教法倡议1.要留意学问的间断性：复数是二维数，其几何可随意编辑意义是一个点，因此留意与平面解析几何的联系.2.留意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建设了一对应关系，所以用"形'来解决"数'就成为可能，在本节要留意复数的几何意义的解说，培养学生数形结合的数学思想.3.留意分层次的教学：教材中最后对于"两个复数，假如不全是实数就不能本节它们的大小'没有证实，假如有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证实，可以在课下给学有余力的学生进行解答。
高中数学复数教案和学案
高中数学复数教案和学案主题：复数一、知识目标1.了解复数的定义和性质2.掌握复数的加法、减法、乘法及除法运算规则3.能够将复数表示成为代数式的形式二、能力目标1.能够运用复数进行实际问题的求解2.能够理解复数在数轴上的表示和作图三、情感目标1.培养学生对复数的兴趣和热情2.激发学生对数学的学习积极性四、教学过程1.引入：引导学生复习实数及虚数的概念，引出复数2.讲解：介绍复数的定义，讲解复数的加法、减法、乘法及除法运算规则3.练习：让学生进行复数的运算练习，巩固所学知识4.拓展：引导学生解决实际问题，提高应用能力5.总结：总结本节课所学内容，巩固学生的理解五、课后作业1.完成教师布置的练习题2.思考实际问题，尝试用复数进行求解数学复数学案范本主题：复数一、认识复数1.复数的定义：复数是由实数和虚数组成的数，例如\(a+bi(a,b\in R，i^2=-1)\)2.实部和虚部：复数\(a+bi\)中，\(a\)为实部，\(b\)为虚部二、复数的表示形式1.方形式：\(a+bi\)2.三角形式：\(r(cos\theta+isin\theta)\)三、复数的运算1.加法：\( (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)2.减法：\( (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)3.乘法：\( (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)4.除法：\( \frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}·\frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)四、实际问题的求解1.问题：若复数\(z_1=-1+i\)，\(z_2=2-3i\)，求\(z_1+z_2\)和\(z_1·z_2\)的值2.解答：\(z_1+z_2=(-1+i)+(2-3i)=1-2i\)，\(z_1·z_2=(-1+i)·(2-3i)=5-5i\)五、数轴上的复数表示1.将复数\(a+bi\)表示在复平面上2.在复数轴上画出点\(a+bi\)六、拓展思考1.实际问题求解思路2.复数在现实生活中的应用通过以上教案和学案的设计，可以使学生对复数有一个清晰的认识，并能够熟练运用复数进行计算和解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
复数单元复习课
(2 a a2 b2 ) (b 4)i 0
2
a
a2 b2 b40
0
a b
3 4
z iz i2 i z 1 i 1
1i
试一试
1.若已知复数z满足
1 z i，则
1 z
z 1的值为
2.
2.复数 z1, z2在复平面内的对应点关于虚轴
对称，已知 z1=2+i, 则 z1 z2 4i 3
思考题
设f
(n)=( 1
1
i i
1
)n+(1
i i
)n
(n
∈Z)，则集合
｛x｜x=f (n)｝中元素的个数是( C )
A.1
B.2
C.3
D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n， ∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0. ∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝. 答案：C
试一试
1.已知复数 z= (5+ 2i)2 的虚部为: 20
2.若复数 (a2 3a 2) (a 1)i 为纯虚数， 则实数a的值为：2
典例分析
例2.（1）复数（ 3i 1）z=2，求1 z z2
（2）复数 z 1 i 1i
求1 z z2 z3 z2015
练一练
1. (1+i）3
.复数单元复习课
知识框架
温故知新
Q1:虚数单位i是怎样规定的？i2 1
Q2:复数z的代数表达形式是怎样的？
z a bi,(a,b R)
复数z为实数的充要条件？ 复数z为纯虚数的充要条件？ 复数z=0的充要条件？
温故知新
2020届一轮复习人教A版 复数 学案
高考总复习：复数【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.2. 概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。
说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈），当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.所以复数的分类如下: z a b i =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+⇔==且.特别地: 00a bi a b +=⇔==.应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
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复数复习课学案
教学目的：
1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.
2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.
3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.
4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义
教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．
教学难点：复数的知识结构的梳理
一、知识要点：
1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即 21i; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四
则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一
个根是－i
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
4.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体
复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)zabiabR，把复数表示成a+bi
的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)abiabR，当且仅当b=0时，
复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫
做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数
相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以
比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直
角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上
的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是
z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
2
12．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实
部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
13.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
14.除法运算规则：
(a+bi)÷(c+di)=2222dcadbcdcbdac i.
利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将dicbia的分母有理化得：
原式=22()()[()]()()()abiabicdiacbidibcadicdicdicdicd
222222
()()acbdbcadiacbdbcadicdcdcd
.
15共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
16. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量1OP、2OP，那么，以OP1、
OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量
17.复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量
对应.
18．复数的模：22||||||zabiOZab
19. 复数代数形式开平方：复数zabi开平方，只要令其平方根为xyi，
由2()xyiabi222xyaxyb，解出,xy有两组解
二、讲解范例：
例1对于下列四个命题，正确的是 ( )
①z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2+(z2－z3)2=0，则z1=z3 ②设z∈C，则z+z1∈R的充要条件是
｜z｜=1 ③复数不能比较大小 ④z是虚数的充要条件是z+z∈R
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3
例2已知复数z=3i+2，则z1（ ）
(A)-1+3i (B)-1-3i (C)3+3i (D)3-3i
例3已知复数z满足zz则,31的最大值是（ ）
(A)22 (B)8 (C)10 (D)4
例4已知复数i2321，求证：ω3=1；
三、课堂练习：
1．设集合I=C={复数}， R={实数}，M={纯虚数}，那么（ ）
A.R∪M=C B.R∩M={0} C.R∪R=C D.C∩R=M
2. i (1-i) =（ ）
(A) -1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i
3.若(m2－m)+(m2－3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A.1 B.1或2 C.0 D.－1，1，2
4.若实数x,y满足(1+i)x+(1－i)y=2,则xy的值是（ ）
A.1 B.2 C.－2 D.－3
5.在复平面内分别与复数1+3i，2-i对应的两点间的距离是（ ）
(A)13 (B)13 (C)17 (D)17
6.已知复数z= -1-i，则在复平面上与z对应的点的坐标是（ ）
(A)（-1，-1） (B)（-1，1） (C)（1，1） (D)（1，-1）
7.已知 z=1-i，则在复平面上与zi对应的点所在的象限是（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
8.已知z是虚数，zzzz111是实数，则是（ ）
(A)0 (B)不为0的实数 (C)纯虚数 (D)不为纯虚数的虚数
9.已知z1=(a2-a-6)+(1-2a)i，z2=(a-3)+(a2-2a+2)i，(其中a∈R）且21zz，则a =
10.计算：5234)2(iii
11.已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量1OZ、2OZ（O为
原点），若向量21ZZ对应的复数为纯虚数，求a的值
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四、小结 ：通过系统复习复数的知识，及例题的训练，进一步体会数学转化的思想、方程的思
想、数形结合思想的运用
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：