高三一轮复习复数公开课教案
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——复数
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3.(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是
(D)
A.1z对应的点在第一象限
C.z 的虚部为 I
B.|z|<|z＋1| D.z＋－z<0
解析 ∵z＝－1＋i，∴1z＝－11＋i＝（－1＋－i）1（－－i 1－i）＝－12－2i .则1z对应的
点在第三象限，故 A 错误； |z|＝ 2，|z＋1|＝1，故 B 错误； z的虚部为1，故C错误； z＋－z＝－2<0，故 D 正确.
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(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔___a_＝__c_且__b_＝__d____(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔__a_＝__c_，__b_＝__－__d___ (a，b，c，d∈R). (5)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi| ＝____a_2＋__b_2__(a，b∈R).
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训练2 (1)(1＋2i)(2＋i)＝( B )
A.－5iB.5iFra bibliotekC.－5
D.5
解析 (1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.
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(2)(2022·乌鲁木齐模拟)已知复数 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则zz2－＋12等于( B )
A.2＋2i
B.2－2i
C.2i
解析 z1＝22－ ＋ii＝（2＋（i2）－（i）2－2 i）＝53－54i，所以 A35，－45， 设复数 z2 对应的点 B(x0，y0)，则A→B＝x0－35，y0＋45. 又向量A→B与虚轴垂直，∴y0＋45＝0，故 z2 的虚部 y0＝－45.
高三数学一轮复习 第37课 复数学案(无答案) 学案
第 37课 复 数一、考纲知识点：1.复数的有关概念（B ）;2.复数的四则运算（B ）;3.复数的几何意义（A ）. 二、课前预习题：1．复数z=1-5i 的实部是 ,虚部是 . 2．若(3-10i)y+(1+2i)x=5-6i,则实数x= ,y= .3.如果复数2()(1)m i mi +•+是实数，则实数m 的值是 . 4.已知复数z满足3)3,i z i =则z = .5.复数11iz i-=+，则246810z z z z z ++++的值为 .6. 100100(1)(1)++= .7. 若35a <<,则复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z在第________象限.8. 已知,||3z C z z i ∈+=+,则z = .9.在复平面内,AB 与AC 对应的复数分别为12i -+与23i --,则BC 对应的 复数为 .10．已知复数1274,3z i z i =-=+,则12||Z Z =________________.11．复数2(1)3(1)2i i z i++-=+，若21(,)z az b i a b R ++=+∈，则a b += .12．已知复数,,z a x 满足1a zx az-=-且||1z =,则||x = . 13．复数(,)z x yi x y R =+∈满足条件|4||2|z i z -=+则24xy+的最小值是_______.14．复数z 满足方程241z i+=+,那么复数的对应点P 组成的图形为______________. 三、课堂例题：例题1 实数m 为何值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数例题2 计算1922(5)i ++-4例题3 设z 是虚数,11z z z=+是实数,且112z -<<. （1）求||z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+,求证u 为纯虚数 ； （3）求21z u -的最小值。
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
2011版高三数学一轮精品复习学案：数系的扩充与复数的引入
高三数学一轮精品复习:数系的扩充与复数的引入【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。
若b=0,则a+bi 为实数，若b ≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b ≠0，则a+bi 为纯虚数。
（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).。
（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
（5）复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义 （1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。
3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则:设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i;②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i;③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。
2024届新高考一轮复习人教A版 第5章 第5讲 复数 课件(53张)
的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2022·浙 江 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， a ＋ 3i ＝ (b ＋ i)i(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则
( B) A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
D．a＝1，b＝3
(5)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |＝( D )
＝ －42＋－32＝5，故选 B.
解法二：依题意可得 i2·z＝(3－4i)i，所以 z＝－4－3i，则|z|＝
－42＋－32＝5，故选 B.
6．(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i
B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
[解析] (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
－ 7．(2019·全国卷Ⅱ，2,5 分)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点
位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－
2)，位于第三象限，故选 C.
考点突破 · 互动探究
考点一
复数的基本概念——ห้องสมุดไป่ตู้主练透
题组二 走进教材
2．(必修2P73T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a 的值为( B )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析] 依题意，有aa2－－13≠a＋0，2＝0， 解得 a＝2.故选 B.
高三一轮总复习高效讲义第6章第4节复数课件
(2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边
形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，
→ OZ
＝OZ1＋OZ2，
Z1Z2＝OZ2－OZ1．
(3)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律 ①交换律：z1＋z2＝____z_2＋__z_1____． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝_____z_1_＋__(_z2_＋__z_3)______．
2．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A．1
B． 3
C． 5
D．3
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以 x2＋（y－2）2 ＝1，即x2＋ (y－2)2＝1，
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：因为11－ ＋ii
＝
（1－i）2 （1＋i）（1－i）
＝－22i
＝－i，11＋－ii
＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）
＝
2i 2
＝i，
所以z＝(－i)2 021＋i2 022＝－i－1＝－1－i，则－z ＝－1＋i．
答案：C
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 复数的运算[典例引领]
－
∴z0＝
z z
＝
3－i 3＋i
＝
3－i2
3＋i
3 2
i，
∴z0在复平面内对应的点为12，－
3 2
，∴z0在复平面内对应的点位于第四象限．
(2)复数z对应的点P的坐标为(－1，2)，所以复数z＝－1＋2i，
所以zi ＝－1＋i 2i ＝－－i－1 2 ＝2＋i，所以复数zi 的虚部为1．
复数 教案 一轮复习
复数教案一轮复习教案标题：复数教案一轮复习教案目标：1. 通过一轮复习，帮助学生巩固和掌握复数形式的基本规则。
2. 培养学生对于复数形式的正确运用能力。
3. 提高学生的听说读写能力，培养他们对于复数形式的敏感度。
教学重点：1. 复习复数形式的基本规则。
2. 练习运用复数形式进行口头和书面表达。
3. 培养学生的听说读写能力。
教学难点：1. 区分不规则复数形式和规则复数形式。
2. 运用正确的复数形式进行交流和表达。
教学准备：1. 复数形式的规则总结表格。
2. 复数形式的练习题和答案。
3. 多媒体设备和投影仪。
教学过程：步骤一：复习复数形式的基本规则（10分钟）1. 使用多媒体设备展示复数形式的规则总结表格，包括一般名词、不规则名词和特殊名词的复数形式规则。
2. 与学生一起快速回顾并复习这些规则，提醒他们注意不同类型名词的复数形式规则。
步骤二：练习运用复数形式进行口头表达（15分钟）1. 将学生分成小组，每组选择一个话题，例如“家庭成员”、“学校设施”等。
2. 要求学生在小组内轮流用正确的复数形式表达自己的观点、意见和建议。
3. 教师在小组之间巡视，纠正学生的发音和语法错误，并给予必要的指导和建议。
步骤三：练习运用复数形式进行书面表达（20分钟）1. 分发练习题和答案，要求学生根据题目要求填写正确的复数形式。
2. 学生独立完成练习题，教师提供必要的辅导和解答。
3. 学生交换答案并互相检查，教师进行梳理和总结。
步骤四：听说读写综合训练（15分钟）1. 教师朗读一段包含复数形式的短文，要求学生仔细听，并回答相关问题。
2. 学生进行小组讨论，分享听到的信息和自己的理解。
3. 学生个别完成一篇关于自己喜欢的事物的短文，要求使用正确的复数形式进行书写。
4. 学生互相交换短文，进行修改和改进。
步骤五：课堂总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起总结复数形式的基本规则和运用技巧。
2. 学生回答教师提出的问题，分享自己的学习心得和体会。
高三一轮复习教案-复数
第1课时 数系的扩充与复数的引入知识回顾1. 复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做_______,其中i 叫做___________，(i 2=-1) a 与b 分别叫做复数a+bi 的______部和_______部。
复数通常用字母_____来表示。
________________叫做复数的代数形式。
全体复数所成的集合叫做________集。
用字母________来表示。
2. 复数a+bi=c+di 的充要条件是：____________________. 特例a+bi=0⇔_______________.3. 对于复数a+bi ，当且仅当___________时，它是实数；当且仅当__________时，它是纯虚数。
4. 复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x 轴叫做________轴，y 轴叫做_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。
5. 复数的模：向量的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即=+=bi a z ________________.6. 共轭复数：当两个复数实部______,虚部_____________时，这两个复数叫做共轭复数。
z=a+bi 的共轭复数记作_____________.虚部不为零的两个共轭复数也叫做____________. 性质：2222b a z zz z +===⋅，a z z 2=+； ()()22b a bi a bi a +=++7. 复数加、减法法则：(a+bi)+(c+di)=__________________. (a+bi)-(c+di)=__________________. 基础训练1．i 是虚数单位，234234i i i i +++ = ____________. 23482348i i i i i +++++= ____________.2. 若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于 ． 3．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 4．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是 ． 5．22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 例题例1．已知：复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为：⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；例2.计算下列各题： ⑴()31i - ⑵3123ii ++ ⑶)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+练习:1.（07全国Ⅰ）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a = .A 12.B 1.C 32.D 22.（07全国Ⅱ）设复数z 满足12ii z+=，则z = .A 2i -+.B 2i -- .C 2i -.D 2i +3.（07北京）()221i =+4.（07福建）复数21(1i)+等于.A12.B 12-.C1i 2.D 1i 2-5.（07安徽）若a=，则a 等于.A.B.C .D -6. (07天津)是虚数单位，32i 1i=- .A 1i +.B 1i -+ .C 1i -.D 1i --7.（07四川）复数311i i i++-的值是 .A 0 .B 1 .C 1- .D i8.（07江西）化简224(1)ii ++的结果是 .A 2i +.B 2i -+.C 2i -.D 2i --9.（07湖南）复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于.A 4i .B 4i -.C 2i.D 2i -10.（07湖北）复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 （写出一个有序实数对即可）11.(07上海，9)对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的命题的所有序号是12.（07重庆）复数322ii +的虚部为 13.（07浙江）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z =14.（06上海）若复数z 同时满足z －z ＝2i ，z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ 15.（06浙江）已知11mni i=-+，其中m 、n 是实数，i 是虚数单位，则m ni += .A 12i + .B 12i - .C 2i + .D 2i -16.（06湖北）设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 17.（06福建）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）.A 0ad bc -= .B 0ac bd -= .C 0ac bd += .D 0ad bc +=18.（06江西）已知复数z 满足)33i z i =，则z ＝.A 32 .B 34 .C 32 .D 34 19.（06全国Ⅰ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =.A 1 .B 1- .C .D历届高考中的“复数”试题精选（自我检测）一、选择题：(每小题5分，计70分)1．(2008广东文)已知0<a<2，复数z=a+i （i 是虚数单位），则z 的取值范围是（ ）A ．(1,3) B. (1,5) C. ( 1,3) D.(1,5)2.（2006北京理）在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） （A ）第一象限 (B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．(2008辽宁理) 复数11212i i +-+-的虚部是（ ） A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-4．（2005广东）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（ ）A ．0B ．2C ．25D ．55．(2008全国Ⅰ卷理)设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6．（2007湖南理）复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -7．（2005福建理科）复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +18.（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z2i1=+，则z =（ ） (A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i9.（2007全国Ⅰ理）设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝（ ） （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ）210.（2006四川理）复数3)i 1(-的虚部为（ ）（A ）3. （B ）－3. （C ）2 （D ）－211.（2006浙江理）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）(A)1+2i (B) 1-2i (C) 2 —i (D)i 2+12．(2005天津理科)若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） （A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)613.(2004浙江理科) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t=（ ）(A) 43 (B) 34 (C) --34 (D) --4314．（2004辽宁）设复数z 满足=+=+-|1|,11z i zz则（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2二、填空题：（每小题5分，计20分）15．（2008北京理）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．16.（2007重庆理）复数322ii+的虚部为________.17.(2006上海文)若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++(i 为虚数单位)为纯虚数,其中m R ∈。
高三数学一轮复习课件——复数的三角形式(一)
导公式. 导公式
个弧度的正弦值，应当小于零 因此， (3) sin5 是角为 5 个弧度的正弦值，应当小于零. 因此，
3π 3π (sin 5) ⋅ (cos + i sin ) 5 5
3π 3π − i sin ) 5 5 3π 3 ) + i sin( π + π )] = ( − sin 5)[cos(π + 5 5 8π 8π = ( − sin 5)(cos + i sin ). 5 5 = ( − sin 5)( − cos
例 2．已知复数 z 的模为 2，实部为 3 ，求复数 z 的代数 ． ， 式和三角式. 式和三角式
分析与解答： 分析与解答： 解法一： 解法一：先求代数形式 由题， 由题，令 z = 3 + bi(b ∈ R ) ∵ |z|=2, ∴ 3 + b 2 = 2 , 解得 b=±1. ± ∴ z = 3 + i或 z = 3 − i . 化为三角形式
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
要求： 掌握复数三角形式的有关概念、 运算及几何 要求 ： 掌握复数三角形式的有关概念 、 意义，并能解决简单问形式： 例 1．化下列复数为三角形式： (1) − 2(cos π + i sin
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：复数
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z
对应的点在第一象限，则下列结论正确的是
√A.复数
z
的虚部为
3 2
√B.1z＝12－
3 2i
C.z2＝z＋1
D.复数
z
的共轭复数为－12＋
3 2i
设复数z＝a＋bi(a，b∈R). 因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
∵z·i3＝1－2i， ∴－zi＝1－2i， ∴z＝1－－i2i＝(1－－i22i)i＝2＋i， ∴ z ＝2－i，
∴ z 的虚部为－1.
题型三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其
中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫
(c＋di≠0).
知识梳理
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加、减法的几何意 义，即O→Z＝ —OZ→1 ＋—OZ→2 ，—Z1→Z2＝ —OZ→2 －—OZ→1 .
常用结论
1.(1±i)2＝±2i；11＋ －ii＝i；11－＋ii＝－i. 2.－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). 3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N). 5.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
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高考一轮复习学案《复数》 2014.12.26
一.考纲要求
1.理解复数的有关概念
2.了解复数的几何意义。
3.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则。
4.了解从复数加减运算的几何意义。
二.命题趋势
高考对于复数的考查较简单，一般只有一个选择题，以代数形式运算为主，另外还有时考查复
数的有关概念，复数的几何意义基础
三．知识梳理：
1.复数的有关概念：
（1）复数z =a+bi ⎪⎩⎪⎨
⎧）
（
纯虚数）
（
非纯虚数虚数（
）
实数（
){
其中i 是虚数单位，i 就是－1的一个平方根，i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；
（2）若Z 1=a 1+b 1i,Z 2=a 2+b 2i,当Z 1=Z 2⇔ ； （3）若z=a+bi （a,b ∈R ）①则z=0⇔ ；
②Z 的共轭复数：z ＝ （实部相等，虚部互为相反数） ③2||||||z a bi OZ a =+==对应复平面上的点Z( , )
（4）|z 1－z 2|表示在复平面内 的距离 2. 复数的运算： （1）(a +bi ) ±(c +di )= ；（2）(a +bi )(c +di )= ； （3）(a +bi )÷(c +di )= ；
（4）①i 具有周期性:i 4n+1= ；i 4n+2= ； i 4n+3= ； i 4n
= ；
i n +i n+1+i n+2+i n+3 = （n ∈N ）
②(1+i)2＝ ; (1-i)2＝ ; ③i
i
-+11＝ ；i
i =-11＝ ；
④１的一个立方根w=21+
23i;则w =21--2
3
i;w 3=1; 题型一：复数的概念
例1设复数z=lg(m 2–2m –2)+( m 2+3m+2)i ，试求实数m 取何值时，（1）z 是纯虚数；
（2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限.
题型二：复数的运算
例2(1) (2011·新课标全国卷)复数
212i
i
+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35
i （C ）i - （D ）
(2) （2011·浙江卷）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )
（A ）
31 （B ）41 （C ）61 （D ）12
1
题型三：复数的几何意义
例3（2010·陕西卷）复数
1i
z i =
+在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
四.知能升华
1 了解数系的扩大， （填常用数集）
2. 两个复数(不全为实数时)不能比较大小，但它们的模可以比较大小
3. 复数的运算符合多项式的四则运算法则，满足加、乘的交换律、结合律、分配律，只是在运算中含有虚数单位i
4. 掌握复数的有关概念，特别是纯虚数易忽视b ≠0致错。
五.巩固练习（课时作业二十八P50）
1. （2011·湖南卷）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b =-=-
D ．1,1a b ==-
2（2011·江西卷）若i
z i
1+2=
，则复数z =（ ） A ． i -2- B ． i -2+ C ． i 2- D ． i 2+
3.（2011·安徽卷）设i 是虚数单位，复数2i ai
i
+-为纯虚数，则实数a 为（ ）
A ．2 B.-2 C.12- D.1
2
4. 若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为 ( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. -1或1。