最新人教版高中数学必修二同步知识点培优训练六 球的体积和表面积

六球的体积和表面积【基础全面练】(20分钟35分) 1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )A．C24πB．C22πC．C2πD．2πC2【解析】选C.由2πR＝C，得R＝C2π，所以S球面＝4πR2＝C2π.2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1【解析】选A.设两个球的半径分别为R1，R2，由表面积公式知，两球的表面积之比为R21∶R22＝1∶9.3．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( )A．8 B．8 2 C．8 3 D．4 2【解析】选A.因为球的半径为1，且正方体内接于球，所以球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝43，所以正方体的表面积为6a2＝6×43＝8.4．表面积为8π的球的半径是________.【解析】S＝4πR2＝8π，故R＝ 2 .答案： 25．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为______与______．【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积S ＝4π×12＋2×22＋4×2×4＝40＋4π，几何体的体积： V ＝43 π×13＋22×4＝16＋43 π.答案：40＋4π 16＋4π36．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 【解析】如图，设球心为O ，半径为r ，EF 为正四棱锥的高，则在Rt △AOF 中，(4－r)2＋( 2 )2＝r 2，解得r ＝94 ，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2＝814 π.【综合突破练】 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )A ．π3 B ．π4C ．π2D ．π【解析】选C.设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43 R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43 R 2＝8R 2，所以S 1︰S 2＝π2 .2．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱【解析】选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43 πR 3＝a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 3 ＝32 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 3＝2π.S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱 ＝4πR 26πr 2 ＝23 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2 ＝323 <1，S 正方体S 圆柱 ＝6a 26πr 2＝1π ⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 2＝34π >1. 所以得出S 球<S 圆柱<S 正方体．3．为感恩护士在疫情期间的辛苦付出，某新冠肺炎患者，制作了一个工艺品送给尊敬的护士，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4 3 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A.2 B．4C．2 6 D．4 6【解析】选B.设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2 3 ，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋()232，即R2＝22＋()232＝16，所以R＝4.4．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于( )A．1 B． 2 C． 3 D．2【解析】选C.设两圆的圆心分别为O1，O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2＝OE，而OE＝OA2－AE2＝ 3 ，所以O1O2＝ 3 .5．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π【解析】选A.由三视图知三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形．由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1.顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上．由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边的中点就是外接球的球心，则三棱锥的外接球半径R为1，三棱锥的外接球表面积S＝4πR2＝4π.二、填空题(每小题5分，共15分)6．在三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，3 2，62，则该三棱锥外接球的表面积为________．【解析】三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径．因为侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，32，62，所以12AB·AC＝22，12AD·AC＝32，12AB·AD＝62，所以AB＝ 2 ，AC＝1，AD＝ 3 ，所以球的直径为：2＋1＋3 ＝ 6 ，所以半径为62，所以三棱锥外接球的表面积为4π×64＝6π.答案：6π7．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________.【解析】画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，所以CB＝33PC＝ 3 r，PB＝2 3 r，所以圆锥的侧面积S1＝π× 3 r×2 3 r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.答案：3∶28．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝R －1，则(R －1)2＋32＝R 2，解得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4 π×52＝100 π(cm 2). 答案：5 100π三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，圆柱的底面半径为r ，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(1)计算圆柱的表面积．(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【解析】(1)已知圆柱的底面半径为r ，则圆柱和圆锥的高为h ＝2r ，圆锥和球的底面半径为r ，则圆柱的表面积为S 圆柱表＝2×πr 2＋4πr 2＝6πr 2.(2)由(1)知V 圆锥＝13 πr 2×2r ＝23 πr 3，V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3，V 球＝43πr 3，V 圆锥∶V 球∶V 圆柱＝23 πr 3∶43πr 3∶2πr 3＝1∶2∶3. 10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球顶正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．【解析】如图，⊙O 是球的最大截面圆，它内切于△ABC ，球的半径为r.设将球取出后，水面在MN 处，MN 与CD 交于点E.则DO ＝r ，AD ＝ 3 r ，AB ＝AC ＝BC ＝2 3 r ，所以CD ＝3r.由图形知V 圆锥C E ∶V 圆锥C D＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π·ME 2·CE ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫13π·AD 2·CD ＝CE 3∶CD 3.又因为V圆锥C D ＝π3( 3 r)2·3r＝3πr3，V圆锥C E ＝V圆锥C D－V球O＝3πr3－43πr3＝53πr3，所以5πr33∶3πr3＝CE3∶(3r)3，所以CE＝315 r.所以球从容器中取出后，水的深度为315 r.。