高三上学期数学知识点
北京市各区2021-2022学年高三上学期期末考试数学解答题分类之导数
2021-2022学年度第一学期北京市各区期末解答题分类之导数1、（2022年海淀区期末第20题）函数()e sin 2x f x a x x =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≥时，求函数()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）直接写出a 的一个值，使()f x a ≤恒成立，并证明.已知函数2()e (1)x f x x ax =++.（Ⅰ）若0a =，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在(1,1)-上恰有一个极小值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若对于任意(0]2x π∈，，2()e (cos 1)x f x x x >+恒成立，求实数a 的取值范围.已知函数()2ln ln f x x x a =--，0a >.（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处切线的斜率；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值；（Ⅲ）设2()=e x g x a x -，当(1,e)a ∈时，求函数()g x 的零点个数,并说明理由.曲线lnA t t处的切线l交x轴于点M.=在点(,ln)y xt=时，求切线l的方程；（Ⅰ）当e（Ⅱ）O为坐标原点 ,记AMO∆的面积为S.求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.已知函数2a≠.=-∈R且0)f x x a x a()ln((Ⅰ) 当1a=时，求曲线()y f xf,处的切线方程；=在点(1(1))a（Ⅱ）若()0f x≥恒成立，求的取值范围.已知函数2()1f x x =-，函数x a x g ln )(=，其中2a ≤．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与()y g x =在1x =处具有公共的切线，求a 的值及切线方程；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求a 的取值范围．已知函数21()e xax x f x -+-=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(01)-，处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）求证：当a ≤1-时，()f x ≥e -．已知函数()(1)ln ()a f x a x a x=--∈R . (Ⅰ) 若1,a =-求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ) 曲线()y f x =在直线2y x =-的上方，求实数a 的取值范围.2021-2022学年度第一学期北京市各区期末解答题分类之导数答案与解析1、解：（Ⅰ）因为()e sin 2x f x a x x =-+，所以(0)f a =且'()e cos 2x f x a x =-+，所以'(0)121f a a =-+=+，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y a a x -=+-，即(1)y a x a =++.（Ⅱ）当0a ≥，[0,1]x ∈时,因为'()e cos 202cos 0x f x a x x =-++->≥,所以()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在[0,1]上的最小值为(0)f a =.（Ⅲ）取1a =-，以下证明()e sin 21x f x x x =--+-≤恒成立.令()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立.（1）当(,0]x ∈-∞时，有e 1x ≤, cos [1,1]x ∈-，所以'()e cos 20x g x x =+-≤，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =≥在(,0]-∞上恒成立.（2）当(0,)x ∈+∞时，令()'()e cos 2x G x g x x ==+-.因为e 1x >, sin (0,1]x ∈，所以'()e sin 0x G x x =->，所以()'()e cos 2x G x g x x ==+-在(0,)+∞上单调递增，所以'()'(0)0g x g >=在(0,)+∞上恒成立.所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g x g =≥在(0,)+∞上恒成立.综上，()0g x ≥恒成立，所以()f x a ≤恒成立.2、解：（Ⅰ）当0a =时，2()e (1)x f x x =+，2()e (21)x f x x x '=++，所以(0)1f '=，(0)1f =，所以切线方程为1y x =+.（Ⅱ）由2()e (1)x f x x ax =++，得2()e [(2)1]x f x x a x a '=++++.令()0f x '=，得11x a =--，21x =-.①若12x x ≤，则0a ≥，()0f x '≥在(1,1)-上恒成立，因此，()f x 在(1,1)-上单调递增，无极值，不符合题意.②若12x x >，则0a <，()f x '与()f x 的情况如下：因此，()f x 在(,1)-∞-，(1,)a --+∞上单调递增，在(1,1)a ---上单调递减.若()f x 在(1,1)-上有且只有一个极小值点，则需111a -<--<，所以20a -<<.综上，a 的取值范围是(2,0)-.（Ⅲ）因为e 0x >，所以22()e (1)e (cos 1)x x f x x ax x x =++>+，即22cos x ax x x +>.又因为0x >，所以22cos x ax x x +>，即cos a x x x >-.令()cos g x x x x =-，所以()cos sin 1(cos 1)sin g x x x x x x x '=--=--. 因为(0,]2x π∈， 所以cos 10x -<， 又sin 0x x >， 所以()0g x '<，所以()g x 为(0,]2π上减函数， 所以()(0)0g x g <=，所以0a ≥ 综上，实数a 的取值范围为[0,)+∞.3、解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞2()x f x x -'=， (1)1f '=，所以曲线()y f x =在()1,(1)f 处切线的斜率为1.（Ⅱ）()2ln ln f x x x a =--，则2()x f x x-'=. 令()0f x '=得2x =.当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的极大值为(2)f =24ln e a . （Ⅲ）()e 2(1e)x g x a x a '=-<<，当(],0x ∈-∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在(],0x ∈-∞时单调递增.而(0)0g a =>，(1)10eag -=-<. 所以方程()0g x =在()1,0x ∈-时有且只有一个根，即方程()0g x =在(],0x ∈-∞时有且只有一个根.当0x >时，讨论函数()g x 的零点个数即讨论方程2e x a x =根的个数，即研究方程ln 2ln a x x += (1e >0)a x <<,的根的个数，即研究函数()f x =2ln ln x x a--(1e >0)a x <<,的零点个数.当1e a <<时，22e e a >，2244(2)lnln 0e e f a =<<，则函数()f x 在(0,)+∞上无零点. 综上,当(1,e)a ∈时，函数()g x 有且仅有一个零点. 4、解：（Ⅰ）设函数()ln f x x =，()f x 的定义域为()0+∞，.因为1'()f x x=，所以1'(e)e f =.当e t =时，ln 1t =，即(e,1)A . 所以切线l 的方程为11(e)ey x -=-， 即1ey x =. …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线方程为1ln ()y t x t t-=-，即1ln 1y x t t=+-.令0y =，得ln x t t t =-，所以(ln 0)M t t t -，.11()ln ln =(ln )ln 22S t t t t t t t t t =-⋅-. ()S t 的定义域为(0,1)(1,e)(e,)+∞.设()(ln )ln (0)t t t t t t ϕ=->， 则 2'()ln ln 1t t t ϕ=+-.令'()0t ϕ>，解得ln t <ln t >即 0t <<，或t >.当01t <<，或e t >时，1()()2S t t ϕ=，''1()()2S t t ϕ=.'()0S t >，得 0t <<，或e t >.当1e t <<时，1()()2S t t ϕ=-，''1()()2S t t ϕ=-.'()0S t >，得 1t <<.所以函数()S t 的单调增区间为，，(e,)+∞.5、解：（Ⅰ）当1a =时，因为2()ln f x x x =-，所以1()2f x x x'=-，(1)1f '=. 又因为(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程为11y x -=-.即0x y -=. （Ⅱ）因为2()ln (f x x a x a =-∈R 且0)a ≠，所以22()2(0).a x af x x x x x-'=-=∈+∞，，当0a <时，()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增.取1e ax =，则112(e )(e )10aa f =-<，不符合题意.当0a >时，令()=0f x '，解得x =x =（舍）.当(0x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0上单调递减.当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间)+∞上单调递增.所以()f x 在(0)+∞，上的最小值为(1ln )222a a af a =--.若()0f x ≥恒成立，只需0f ≥，解得02e a <≤. 综上可知，a 的取值范围是(02e],.6、解：（Ⅰ）()2,()(0)af x x g'x x x'==> 由题意，公共切线的斜率(1)(1)k f g ''==，即2a =又因为(1)0f =，所以切线方程为220x y --=．（Ⅱ）设函数2()()()1ln (0)h x f x g x x a x x =-=-->．“曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()h x 有且仅有一个零点”．22'()2a x a h x x x x -=-=① 当0a ≤时，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增． 又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．② 当2a =时，令 ，解得1x =()h x '与()h x 的变化情况如下：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．③ 当02a <<时， 令()0h x '=，解得x = ()h x '与()h x 的变化情况如下：所以()h x 在上单调递减，在+∞）上单调递增， 所以当x =min ()h x h = ()0h x '=因为(1)0h =1<，且()h x在+∞）上单调递增，所以(1)0h h <= 又因为存在1e(0,1)a-∈ ，使得1212(e)e 1ln(e)e0a aa ah a ----=--=>所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0,1x ，与题意不符综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，a 的范围是{|0a a ≤或2}a =.7、解：（Ⅰ）2222(1)e (1)(e )(21)2()e )e x x x x ax x ax x ax a x f x ''-+-⋅--+-⋅-++'==（(1)(2)e xax x --=因为(0)2f '=，(0)1f =-所以曲线()y f x =在点01-（，）处的切线方程为21y x =-. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：(1)(2)()xax x f x e --'=，（x ∈R ）因为0a >，令()0f x '=，所以1x a=或2x =， 当102a <<时，12a>， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：当12a =时，12a=，则 ()0f x '≥恒成立，()f x 在R 内恒增； 当12a >时，102a<<，则 ()()x f x f x '，，的变化情况如下表：综上，当102a <<时，单调递增区间是(2)-∞，和1()a +∞，，单调递减区间是1(2)a，； 当12a =时，单调递增区间是∞∞（-，+)，无单调递减区间； 当12a >时，单调递增区间是1()a -∞，和 (2)+∞，，单调递减是1(2)a，. （Ⅲ）当1a -≤时，令()0f x '=，得1x a =或2x =，易知1[10)a∈-， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：所以当1x a =时，()f x 取得极小值1()f a111e e a a-=-=-由于1a -≤，则1[10)a ∈-，，1(01]a-∈，，1e (1e]a -∈，，1e [e 1)a --∈-， 所以由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x -≥. 接下来，研究()f x 在2x ≥的变化情况.因为e 0x >恒成立，设2()1(21)g x ax x x a =-+--，≥，≤ 对称轴102x a=<，140a ∆=->，(2)140g a =-> 所以由二次函数的性质可知：当2x ≥时，()(2)0g x g >>恒成立 所以()0f x >在2x ≥时恒成立.综上所述：当1a -≤时，()e f x -≥. 8、解：（I ）1a =-时，2112()2ln ,'()f x x f x x x x=-+=+. '(1)3,(1)1,f f ==-所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1),y x +=-即340x y --=.（II ）只需求满足0,x ∀>(1)ln 2aa x x x-->-恒成立的实数a 的取值范围. 设()(1)ln 2,ag x a x x x=--+-其中0x >. 2222(1)(1)(1)()'()1.a a x a x a x x a g x x x x x ----+-=--+==①若0,a ≤'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增. 因为(1)10,g a =-<所以0a ≤不满足条件. ②若0,a >令'()0,.g x x a ==当(0,)x a ∈时，'()0,()g x g x <在(0,)+∞上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增， 所以min ()()1(1)ln 2(1)(1ln ).g x g a a a a a a ==--+-=-- 令min ()(1)(1ln )0g x a a =-->，解得1 e.a <<综上，实数a 的取值范围为(1,e).。
高三数学期末总结10篇
高三数学期末总结10篇高三数学期末总结10篇总结是指社会团体、企业单位和个人在自身的某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而肯定成绩，得到经验，找出差距，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，不如静下心来好好写写总结吧。
总结一般是怎么写的呢？下面是小编收集整理的高三数学期末总结10篇，欢迎阅读与收藏。
高三数学期末总结10篇1本学期我任教高三17、18班的两个班的文科数学课，17班是一个实验班，学生基础比较好，学习自觉性比较高，有良好的思维习惯。
18班是一个普通班，基础差，不能坚持长时间学习，学习自觉性比较差。
回顾一学期的教学工作，我们有成功的经验，也发现了不足之处。
下面就我上学期的具体做法谈谈自己的一点看法，总结如下：一、研读高考考纲，梳理知识模块仔细推敲考纲对考试内容的三个不同层次的要求，准确把握所考的知识点，准确把握所考知识点的深度，做到考纲考什么，讲课就讲什么，练习就练什么，小考就考什么。
帮助学生梳理知识，加强知识板块之间的联系，通过梳理知识，让学生牢固记住所学的所有知识和典型例题的通法通解。
建立起数学知识的框架。
复习时要求全面周到，准确把握考试内容，做到复习不超纲，不做无用功，使复习更有针对性。
在复习过程中，除了注重学生基础知识的掌握情况，还注重了学生能力的培养，充分调动学生分析问题、思考问题的积极性，最大限度地调动学生学习的积极性。
二、加强集体备课，优化课堂教学积极参加每周一学校组织的教研活动，认真聆听同头老师的建议和安排，认真做好教研记录。
集体备课时，积极参与发言。
解决教学过程中出现的疑难问题。
服从教研组长的教学安排，做到同学科，同教案，同进度，同练习，同考试。
严格按照学校的“四步十六字”方针，认真落实“四步导学练”，积极调动学生学习的积极性，主动性，让学生在学中练，练中学，培养独立解题的习惯，养成良好的数学思维。
2023届北京市部分区高三上学期期末考试数学试题分类汇编——导数解答题(含解析)
（关华整理2023年西城区）高三期末（20） 已知函数()ln e e xf x a x x =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）当 a = 0时， 求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a > 0时，判断()f x 的零点个数， 并加以证明； （Ⅲ）当 a < 0时，证明：存在实数m ，使()f x ≥ m 恒成立.（关华整理2023年海淀区）高三期末 20. 已知函数()ln(1)f x x x =+.（Ⅰ）判断0是否是()f x 的极小值点，并说明理由； （Ⅱ）证明：2()112f x x x >-+.（关华整理2023年房山区）高三期末20. 已知函数()()()21e 2x f x a x x =-+-（a ∈R ）. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 恰有一个零点，则a 的取值范围为______.（只需写出结论）（关华整理2023年东城区）高三期末 （20）已知函数()e xf x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）证明：当1m ≤时，曲线1:()C y f x =与曲线2:ln C y x x m =++至多存在一个交点.（关华整理2023年大兴区）高三期末（20）已知函数()ln()(1)f x x a a=+（Ⅰ）当函数()y f x =在1x =处的切线斜率为0时，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()y f x =单调性并说明理由；（Ⅲ）证明：对12[0)x x ∀∈+∞，，有212|()()||f x f x x --成立.（关华整理2023年朝阳区）高三期末 （20）已知函数ln ()(0)xf x a ax=>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1()f x x a-≤对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若211212ln ln 0()x x x x x x +=≠，证明：122x x +>．（关华整理2023年昌平区）高三期末 20. 已知函数()()e e1,0xxf x m m x m -=++-≤.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当e 1m -≤<-时，证明：对任意的()()0,,2x f x ∞∈+≥-恒成立.（关华整理2023年通州区）高三期末（20） 已知函数22()(1)x af x x -=+.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 存在极小值时，求证：函数()f x 的极小值一定小于0.（关华整理2023年丰台区）高三期末20. 已知函数()ln sin f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[1,e]上的最小值； （3）证明函数()f x 只有一个零点．答案（关华整理2023年西城区）高三期末20. 【答案】（1）2e 2e 0x y --= （2）1个 （3）证明见解析 【解析】【分析】(1)根据0a =代入()f x 解析式,求出()()1,1f f ',根据点斜式写出切线方程即可; (2)对函数()f x 求导求单调性,观察到()10f =,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数()f x 求导,再通分,令()()1e ,xh x a x x =++再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析()h x 的正负,即()f x '的正负,进而求出()f x 的单调性及最值,若()f x m ≥恒成立,只需()min f x m ≥即可,()f x 有最小值,即存在实数m ,使()f x m ≥恒成立. 【小问1详解】 解:由题知0a =,()e e x f x x ∴=-, ()()1e x f x x '∴=+, ()()10,12e f f '∴==,故()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 1y x =-, 即2e 2e 0x y --=; 【小问2详解】由题()ln e e xf x a x x =+-,()0x >,()()1e x af x x x'∴=++, 0,0x a >>,()0f x '∴>,故()f x 在()0,∞+上单调递增,()10f =,故()f x 有1个零点; 【小问3详解】由题()ln e e xf x a x x =+-,()0x >,()()()1e 1e x xa x x a f x x x x=++'∴=++,()0x > 令()()1e ,xh x a x x =++()()231e ,x h x x x '=++∴0x ,()0h x '∴>,即()h x ()0,∞+上单调递增,()00h a =<,且()()1e ah a a a a =++()1e aa a a =+-()()1e10aaa =+->,故00x ∃>,使得()00h x =, 即()()00001e 0,xh x a x x ++==()h x 在()0,∞+上单调递增, ()()000,,0,x x h x ∴∈<即()0f x '<,()f x 单调递减,()()00,,0,x x h x ∈+∞>即0fx,()f x 单调递增,故()()0min f x f x =, 若()f x m ≥恒成立, 只需()min f x m ≥, 即()0f x m ≥即可,故存在实数m ,使()f x m ≥恒成立.【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有: (1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数; (3)对新的函数进行求导求单调性;(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为0x ,判断0x 左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.（关华整理2023年海淀区）高三期末（20）解：（Ⅰ）将点(2,1)P -，Q 坐标带入椭圆E 的方程，得222411,8 1.a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得228,2a b ==. 所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线l 斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 点重合，B 和N 点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时||||(2(22GM GN ⋅=⨯+=，符合题意. 若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y (12x ≠-且22x ≠-).联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(41)1680k x kx +++=.222(16)32(41)32(41)0k k k ∆=-+=->，214k ∴>，即12k >或12k <-.1221641k x x k -+=+，122841x x k =+. 1112PA y k x -=+，所以直线PA 的方程为111(2)12y y x x -=+++，取0x =得112(1)(0,1)2y M x -++. 同理可得222(1)(0,1)2y N x -++.由||||2GM GN ⋅=得12122(1)2(1)1212222y y x x --+-⋅+-=++， 即12122(1)2(1)11222kx kx x x ++-⋅-=++.所以21212(21)222x xk x x -⋅=++， 即2121212(21)22()4x x k x x x x -=+++.2222841(21)283244141k k kk k +-=-+++， 即22(21)1483k k k -=-+， 因为12k >， 所以得|21|1|23|k k -=-，即1k =.经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+.综上所述，直线l 的方程为0x =或2y x =+.（关华整理2023年房山区）高三期末20. 【答案】（1）2211612x y +=（2）1y x =+（答案不唯一） 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，得到4a =，代入(2,3)P ，可得b ，计算得到椭圆C 的方程. （2）联立直线l 与椭圆C ，利用韦达定理，得到12x x +和12x x ，再分别利用,,P A B ，得到直线PA 和直线PB ，进而得到M y 与N y ，利用线段MN 的垂直平分线经过点P ，必有6M N y y +=，整理可得211212123()2()120x y x y x x y y +-+-++=，此时，利用韦达定理进行换元，得到23k m -=-，然后，对k 进行赋值，即可得到满足题意的直线方程. 【小问1详解】点P 到两个焦点的距离之和为8，故28a =，4a =,椭圆C 的方程为222116x y b+=，代入(2,3)P ，可得249116b +=，解得b =，故椭圆C 的方程为：2211612x y += 【小问2详解】由题意，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程，可得，2211612x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得，222(1612)3216(12)0k x kmx m +++-=， 化简∆得，2216120k m +->，故221612k m +>；122321612km x x k -+=+，212216(12)1612m x x k -=+，又)3(2,P ， 可设直线PA ：1133(2)2y y x x --=⋅--，设直线PB ：2233(2)2y y x x --=⋅--， 故113(2)32M y y x -=⋅-+-，223(2)32N y y x -=⋅-+-， 若线段MN 的垂直平分线经过点P ，必有6M N y y +=，故有121233(2)3(2)3622y y x x --⋅-++⋅-+=--，整理得， 121233022y y x x --+=--，化简得，2121(2)(3)(3)(2)x y y x --=---， 得到，21211221326236x y x y x y y x --+=-++-，211212123()2()120x y x y x x y y +-+-++=，21121212()()3()2()120x kx m x kx m x x y y +++-+-++=， 1212122(3)()2()120kx x m x x kx m kx m +-+-++++=， 1212122(3)()2()4120kx x m x x k x x m +-+-+-+=，12122(32)()4120kx x m k x x m +--+-+=，利用韦达定理，得22232(12)(32)32412016121612k m m k kmm k k ---⋅--+=++，2232(12)(32)32(124)(1612)0k m m k km m k ----⋅+-⋅+=，222223238432966419214464480km k km km k m k k m m --++++--=， 238496192144480k km k m -+++-=， 282430k km k m -+++-=，24832k k m km -+=-， (23)(21)(12)k k m k --=-，当12k ≠时，23k m -=-，此时，直线l 为：32y kx k =+-， 故令1k =，则必有1m =，满足221612k m +>， 此时，满足题意的直线l 为：1y x =+（答案不唯一）（关华整理2023年东城区）高三期末20 解：（Ⅰ）因为()e xf x x =所以()()1e xf x x '=+.所以()00f =，()0 1.f '=所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x = (4)分（Ⅱ）令()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1+x ∈-∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x =-时，()0f x '=，()f x 在1x =-时取得极小值.所以函数()f x 的极小值为1e-，不存在极大值.…………………9分（Ⅲ）令()e ln xg x x x x m =---，其定义域为(0,)+∞.11()(1)e 1(1)(e )10.x xg x x x x x x'=+--=+-+>， 令()1e xh x x =-，()21e +0xh x x'=>， 所以()h x 在()0+∞，上单调递增.011(1)0,()0,(,1)22h h x ><∃∈因为所以，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；当0x x =时，()0h x =，即001e =xx ，()g x 取得极小值()0g x . ()00000e ln x g x x x x m =---，因为001e =xx ，所以00e =1xx ，00ln x x =-， 所以()01g x m =-.因此，当1m <时，()00g x >， 所以()0+x ∀∈∞，，()0g x >，即()0+x ∀∈∞，，()ln f x x x m >++，曲线1C 与曲线2C 无交点； 当1m =时，()00g x =，所以存在且仅存在一个01(,1)2x ∈，使得()00g x =，对()0+x ∀∈∞，且0x x ≠，都有()0g x >，即()ln f x x x m >++.所以当1m =时，曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个交点； 故当1m ≤时，曲线1C 与曲线2C 至多存在一个交点.…………………15分（关华整理2023年大兴区）高三期末（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）()ln()f x x a =+，所以1()f x x a '=+，…………………… 2分 由(1)0f '=11a=+，所以1a =.…………………… 4分（Ⅱ）函数()y f x =在(,)0+∞单调递增. …………………… 1分 因为1a ，所以函数()f x 定义域为[0)+∞，.…………………… 2分1()f x x a '==+，因为21)11x a a a -=+--.…………………… 4分因为1a，所以()0f x '. …………………… 5分因此函数()y f x =在区间()+∞0，上单调递增.（Ⅲ）证明：当12x x =时，显然有21|()()||f x f x -=，不等式成立；……………… 1分当12x x ≠时，不妨设12x x <，…………………… 2分由于函数()f x 在区间()+∞0，上单调递增， 所以2121|()()|()()f x f x f x f x -=-，又|=则21|()()|f x f x --21()()f x f x =---21ln()ln()x a x a =++12ln()ln()x a x a =+-+12lnx ax a+=+.…………………… 4分 因为12x x <，所以210x a x a +>+>， 所以1201x ax a+<<+， 所以12ln0x ax a+<+.…………………… 6分综上，对任意的12,[0)x x ∈+∞，，212|()()||f x f x x --成立.（关华整理2023年朝阳区）高三期末（20））解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．由ln ()x f x ax =得21ln ()xf x ax-'=． 令()0f x '=得e x =．因为0a >，所以当(0,e)x ∈时，()0f x '>；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．（Ⅱ）由0a >，依题意，2ln 0x ax x -+≤在(0,)x ∈+∞上恒成立．设2()ln g x x ax x =-+，则2121()21ax x g x ax x x-++'=-+=．令()0g x '=，得10x =<（舍），20x =>．当2(0,)x x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在2(0,)x 上单调递增； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在2(,)x +∞上单调递减． 故2max 2222()()ln g x g x x ax x ==-+．又由2()0g x '=得22212x ax +=． 所以22222211()ln ln 22x x g x x x x +-=-+=+．依题意需max ()0g x ≤，即221ln 02x x -+≤． 设1()ln 2t h t t -=+，则易知()h t 在(0,)+∞为增函数． 又(1)0h =，所以对任意的(0,1]t ∈，有()0h t ≤；对任意的(1,)t ∈+∞，有()0h t >． 所以201x <≤，即01<，解得1a ≥． 所以a 的取值范围为[1,)+∞． （Ⅲ）由211212ln ln 0()x x x x x x +=≠得1212ln ln 0x x x x +=，且11x ≠,21x ≠． 由（Ⅱ）知，当1a =时，ln 1xx x-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以111ln 1x x x <-，222ln 1x x x <-． 两式相加得122112ln ln 2x x x x x x +<+-，即1220x x +->． 故122x x +>．（关华整理2023年昌平区）高三期末20. 【答案】（1）()e 11y x =-+ （2）答案详见解析 （3）证明详见解析 【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()f x '，对m 分类讨论，由此来求得()f x 的单调区间. （3）结合（2）求得()f x 在区间()0,∞+上的最小值，由此证得结论成立. 【小问1详解】当0m =时，()()e ,e 1xxf x x f x '=-=-，()()01,1e 1f f '==-，所以切线方程为()()1e 1,e 11y x y x -=-=-+. 【小问2详解】依题意，()()e e1,0xxf x m m x m -=++-≤，()()()()()e 1e e e 1e 1e ex x x x x x xm m f x m m m --+'=-+-=-+-=， 当0m =时，()e 10xf x ='-=，解得0x =,则()f x 在区间()()(),0,0,f x f x '-∞<递减；在区间()()()0,,0,f x f x '+∞>递增. 当0m <时，()0f x '=解得()ln x m =-或0x =,当10m -<<时， ()f x 在区间()()()()(),ln ,0,,0,m f x f x '-∞-+∞>递增； 在区间()()()()ln ,0,0,m f x f x '-<递减. 当1m =-时，()()0,f x f x '≥在R 上递增.当1m <-时，()f x 在区间()()()()(),0,ln ,,0,m f x f x '-∞-+∞>递增； 区间()()()()0,ln ,0,m f x f x '-<递减. 【小问3详解】当e 1m -≤<-时，()1e,0ln 1m m <-≤<-≤，由（2）可知，()f x 在()()0,ln m -递减，在()()ln ,m -+∞递增， 所以()()()()()()()ln ln ln ee1ln m m f x f m m m m ---≥-=+⨯+-⨯-()()()11ln m m m m m=-+⨯+-⨯-- ()()()11ln 1112m m m m m =--+-⨯-≥--+-⨯=-，所以对任意的()()0,,2x f x ∞∈+≥-恒成立.【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解，将复杂的问题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据导函数的结构来制定.（关华整理2023年通州区）高三期末（20） 解：（Ⅰ）当0a =，22()(1)xf x x =+，则 (0)0f = ，因为322()(1)x f x x -+'=+,所以(0)2f '=.所以曲线)(x f y =在)0,0(的切线方程为2y x =. ………………………4分（Ⅱ）函数定义域为{}|1x x ≠-. ………………………5分44(222)(1)21)(1)()(1)(1)x a x x a x f x x x -+++---+'==++（， ………………………6分 令()0f x '=，解得：1x a =+. ……………………7分 当11a +=-即2a =-时33222212()0(1)(1)(1)x x f x x x x ---+-'===<+++（）. 所以函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞，无单调递增区间. 当11a +<-即2a <-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)a -∞+和(1,)-+∞，………………………8分 单调递增区间为(1,1)a +-.当11a +>-即2a >-时， ………………………9分 函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)a ++∞，单调递增区间为(1,1)a -+. ………………………10分 综上所述：2a =-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞，无单调递增区间.2a <-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)a -∞+和(1,)-+∞，单调递增区间为(1,1)a +-.2a >-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)a ++∞，单调递增区间为(1,1)a -+. （Ⅲ）函数定义域为{}|1x x ≠-.由题意，函数存在极小值，则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增.………………………12分由（Ⅱ）可知，当2a <-时，函数)(x f y =在1x a =+处取得极小值.………………………14分即222(1)21()(1)0(11)(2)2a a a f x f a a a a +-+=+===<++++极小值. ………………………15分（关华整理2023年丰台区）高三期末20. 【答案】（1）()1cos11sin1cos10x y +--+-= （2）()1sin1f = （3）见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，求出()()1sin1,11cos1f f =+'=，由点斜式方程即可求出答案； （2）令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-，得出()g x 在[1,e]的单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减，再比较()()1,e f f 的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论01x <≤，1x π<≤和x π>时，()f x 的正负，即可得出证明. 【小问1详解】()ln sin f x x x =+的定义域为()0,∞+，故1()cos f x x x'=+，()()1sin1,11cos1f f =+'=， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()()sin11cos11y x -=+-， 化简得：()1cos11sin1cos10x y +--+-= 【小问2详解】 令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-， 当[]1,e x ∈时，()21sin 0g x x x'=--<， 所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>， ()11211e cose<cos 0e e 3e 2g π=++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的α，使()()0g f αα'== 又当()1,x α∈时，()()0g x f x '=>；当(),e x α∈时，()()0g x f x ='<； 所以()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减， 又因为()()()1ln1sin1sin1,e lne sine 1sine 1,f f f =+==+=+> 所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()1sin1f =. 【小问3详解】()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞，若01x <≤，1()cos 0f x x x+'=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()1sin10f =>，111sin 0e ef ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点， 若1x π<≤，则ln 0,sin 0x x >≥，则()0f x >， 若x π>，因为ln ln 1sin x x π>>≥-，所以()0f x >， 综上，函数()f x 在()0,∞+有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.。
高三上学期自我总结(8篇)
高三上学期自我总结化学到底该怎么去学高中化学有一定难度，所以同学们高中学习化学这科时，最好是每节课都跟住老师的思路，不要落下，虽然自己去补也能学会，但是需要浪费大量的时间跟精力，很是划不来。
化学初中基础差也没关系，高中一样可以学会，但是要努力了。
化学首先也是最重要的一点就是把化学方程式学会，为什么是学会而不是背会呢因为化学方程式需要自己会配平，不能只会背方程式，有些考试中要求大家现场配平，因此这种能力很重要，况且高中化学方程式特别多，同学们根本没有精力完全背会。
配平方程式的过程还需要同学们学会化合价、质量守恒定律等，同时还要学一些化学实验以及无机物和有机物等。
化学计算题目是稍难的，但是只要同学们认真去听课，它会比数学题目要简单。
化学重在理解与背诵，此外还需要多做题目进行练习。
2高中化学怎么能学会高中化学并不难，只要肯花时间去学都能学好。
学化学也需要按照预习、听课、做题、总结等步骤去学习，每一个过程都要认真去做，听不懂的地方就要反复去思考和琢磨，直至研究懂了为止。
化学难题没有太多，遇到不理解的地方千万不能得过且过，否则最终只会害了自己，高三复习做题时就会遇到越来越多的不会题目。
如果在高一高二学习时多花些时间，把每一个知识点都学透了，那么即使慢一点，少做一些题目，心里还是踏实的。
高中化学也会遇到一些比较抽象的地方，老师也会拿一些模型来讲课，方便同学们更好的理解课程内容，如果大家还是不理解，那么也可以在网上找一些免费视频来学习，尽量不要让自己在化学学习时留有问题。
高三上学期自我总结（二）1学好高中化学的学习方法要科学地阅读教材和资料书新教材在充分考虑学生心理、生理特征、教育教学原理、学科特点、社会发展等诸多因素的基础上精心编制而成的，具有极高的阅读价值，课前阅读能把握好重点方能提高听课效率，课上阅读使学生有充足的时间去分析思考问题，发现疑点，展示其特长，减少惰性，减少两极分化，课后充分利用资料书，可以及时弥补课堂上因疏忽等原因而产生的疑惑，并使已有的知识得到进一步升华，安排阅读应抓住时机，应本着阅读后能解决问题，能在提出新问题，再阅读再解决问题的原则，通过阅读仔细推敲，全面准确地领会知识的内涵，明确联系，掌握规律，使知识成块、成串，逐步培养自学能力。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
高三下学期知识点
高三下学期知识点高三下学期是一个关键的阶段，同学们需要巩固和掌握上学期所学的知识，并且学习新的知识点。
本文将介绍一些高三下学期的重点知识，帮助同学们更好地备战高考。
一、语文知识1. 阅读理解阅读理解是语文考试中重要的一部分，要求同学们能准确理解文本并回答相关问题。
同学们需要注意文本的主旨、作者观点、文中事实和细节等信息，提高阅读理解能力。
2. 写作技巧写作是语文中的重要部分，同学们需要掌握不同类型的文章写作技巧，如记叙文、议论文和说明文等。
要注重提升语言表达能力和逻辑思维能力，准确表达自己的观点。
3. 名著阅读名著阅读是高考语文考试的必考内容，同学们需要阅读全本名著并理解其中的思想和情节。
重点关注人物形象、情节发展和主题思想等方面，做好相关阅读笔记。
二、数学知识1. 函数与方程函数与方程是数学中的基础概念，同学们需要掌握函数的性质和运算规则，熟悉一元二次方程、绝对值方程和分式方程等。
同时，还需要能够应用函数与方程解决实际问题。
2. 数列与数学归纳法数列是数学中的重要内容，同学们需要掌握数列的性质和分类，比如等差数列和等比数列。
此外，数学归纳法也是解决数学问题的重要方法，同学们需要熟悉并掌握其应用。
3. 三角函数三角函数是数学中的重要知识点，同学们需要熟悉正弦函数、余弦函数和正切函数等的定义、性质和图像变换。
通过大量实例计算和解题训练，掌握三角函数的应用。
三、英语知识1. 阅读理解英语阅读理解是高考的重要考点，同学们需要阅读不同类型的文章并回答相关问题。
要注意抓住文章的关键信息，掌握文章结构和逻辑关系，提高阅读理解的准确性和速度。
2. 写作技巧英语写作是考察同学们语言表达和思维逻辑能力的部分，要注意熟练运用各种句型和词汇，增加文章的表达能力。
同时，要注意提高写作的条理性和连贯性，使文章逻辑清晰。
3. 语法和词汇语法和词汇是英语学习的基础，同学们需要掌握各种时态、语法规则和常用词汇。
通过大量的练习和积累，提高语法和词汇的准确性和运用能力。
2022学年高三上(编号：1-25)向量小题汇编(教师版)
2022学年高三上（编号：1-25）向量小题汇编（教师版）一、选择题1：（2023届如皋市高三上期初调研解析第4题）1：黄金分割（Golden Sec tion ）是一种数学上的比例关系，黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0．618，就像圆周率在应用时取3．14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．人民还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0．618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0．618处，能使琴声更加柔和甜美．黄金矩形（Golden Re tan c gle ）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1．618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达⋅芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．在矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，BF AC ⊥，DH AC ⊥，AE BD ⊥，CG BD ⊥，512BE BO -=，则BF = （ ）A 355510BG -++B 355510BG --+C 515510BG --+ D 3555BG -+ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理及其应用、向量的加法、减法、数乘运算分析：本题考查数学文化、平面向量的线性运算与平面向量基本定理，属于基础题． 解析：因为512BE BO -=，所以5510BO BG +=，因为 ()515122BF BA AF BA AO BA BO BA --=+=+=+- 5135512235BA BOBO -+-=+-． 所以35525BF BA BG -=+，故选D2：（2023届如皋市高三上期初调研解析第5题） 2：（2022⋅全国⋅月考试卷）在ABC ∆中，3,2,3AB AC A π===，过ABC ∆的外心O 的直线（不经过点A ）分别交线段,AB AC 于,DE ，且,AD AB AE AC λμ==，则λμ+的取值范围是（ ）A ．11461310⎤+⎥⎣⎦ B ．11462315⎤+⎥⎣⎦C ．14361310⎤+⎥⎣⎦ D ．14362315⎤+⎥⎣⎦ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理的应用，利用导数求函数的最值（不含参）、平面向量共线定理与三点共线问题、余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用分析：本题考查了正弦、余弦定理的综合应用、平面向量基本定理以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于难题．解析：在ABC ∆中，由余弦定理得2227BC AB AC AB AC BAC +-⋅⋅∠ 再由正弦定理得2212sin BC AO BAC ==∠，即21AO ． 设BAO θ∠=，则2cos 221ABAO θ==，解得sin 27θ=作平行四边形AFOG ，如图，在AFO ∆中，2,333AFO AOF OAG ππππθ∠=-=∠=∠=-． 由正弦定理得：2sinsin 33AF AOππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 即2131423322127AF ⎫=-⨯=⎝． 再由正弦定理：2sin sin 3FO AOπθ=，解得13FO AG ==． 故41,96AFAG AF AB AB AG AC AC AC AC====． 因为,,O D E 三点共线，结合向量加法的平行四边形法则，的 ()()411196AO t AD t AE t AB t AC AB AC λμ=+-=+-=+． 由平面向量基本定理得()49116t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．解得()49161t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．结合01,01λμ<≤<≤可解得4596t ≤≤．令()()4145,96196f t t t t λμ=+=+≤≤-．则()()224145',99661f t t t t =-+≤≤-． 由()'0f t =可得826t -=48269⎛- ⎝⎭上()f t 单调递减，在区间82656⎫-⎪⎪⎝⎭上()f t 单调递增，由4138261146523,910615f f f -+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．知λμ+的取值范围是11462315⎤+⎥⎣⎦。
高三上学期数学期末总结(通用13篇)
高三上学期数学期末总结（通用13篇）又即将迎来学期末，这个学期，相信大家曾经面临许多挑战，但最终都努力战胜了，将过去这一个学期的工作感想，都写进期末总结里吧！我们要怎么写期末总结呢？下面是小编为大家整理的高三上学期数学期末总结，希望对大家有所帮助。
高三上学期数学期末总结篇1本学期我担任高三（8）班的数学教学和高三年级的年级副主任，在这学期我结合本校的实际条件和学生的实际情况，勤勤恳恳，扎扎实实的工作，使本学期的工作有计划，有组织，有步骤地开展。
具体工作总结如下：一、年级工作1.团结协作，共同拼搏备课室是老师们办公学习的场所，更是老师们互相沟通理解的场常所，在日生活中，备课室都能保持整洁、干净，给大家一个舒服工作、交流的场所。
在年级日常管理中，我们坚持“以人为本，构建和谐年级”的管理理念，注意弘扬教师敬业爱岗，无私奉献的优秀传统。
无论是日常教学、教研、还是班级管理，我们相互理解，相互关心，相互支持，用真诚构建了年级的和谐，虽然我们朝出暮归却快乐着！2、我感谢我年级的所有老师，因为有这么好的一个集体，才能各师共同成长、共同发展，形成良好的教育教学氛围。
俗话说：“众人拾材火焰高”集体的力量是无穷的，在这一学期里，我年级的老师扎实做好每一项工作，勤勤肯肯。
特别是几位班主任，他们认真履行自己的每一项职责，充分发份自己的聪明智慧，把班级搞有有声有色。
我也从几位班主任那学到了很多、认识到了很多、理解了很多、看透了很多、很多很多很多……学生的思想品德要靠教师去陶冶，良好的年级风气主要靠教师去营造。
这其中最重要的就是教师在思想品质方面要做好表率，以自己的人格力量去影响教育学生。
凡事身体力行，表里如一，言行一致，各方面尽量起模范带头作用：其次，老师们经常要交流、座谈，共同学习和探讨教育教学新理论、新形式，共同探讨本年级教育教学中存在的新现象、新问题及其解决之道，从而保证对学生的教育教学工作的科学性和实效性。
再次，积极配合学校的工作要求，根据每一位教师的能力、兴趣等，尽可能地创造条件，发挥每位教师的聪明才智。
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高三上学期数学知识点
在高三上学期的数学课程中，学生们将接触到许多重要的数学知识点。
这些知识点不仅是高考的重要内容，也是日后学习和工作中的基础。
本文将简要介绍高三上学期数学课程中的一些重要知识点。
一、函数与方程
1. 一次函数：一次函数是最简单的线性函数，其表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
学生们需要掌握一次函数的性质和图像。
2. 二次函数：二次函数是一种常见的非线性函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为0。
学生们需要了解二次函数的顶点、对称轴等重要概念，并掌握二次函数的图像变化规律。
3. 三角函数：三角函数是高中数学中重要的部分，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
学生们需要熟悉三角函数的基本性质和图像，并能够灵活运用三角函数解决实际问题。
4. 方程与不等式：方程与不等式是数学中常见的表示式，学生
们需要学会解一元一次方程、一元二次方程以及简单的一元不等
式等，并能够运用这些知识解决实际问题。
二、数列与数列的极限
1. 等差数列：等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一
项的差值恒定。
学生们需要了解等差数列的通项公式以及等差数
列求和公式，并能够应用于实际问题。
2. 等比数列：等比数列是一种常见的数列，其中每一项与前一
项的比值恒定。
学生们需要熟悉等比数列的通项公式和求和公式，并能够解决与等比数列相关的问题。
3. 数列的极限：数列的极限是数学分析中的重要概念，学生们
需要了解数列极限的定义和性质，并能够计算常见数列的极限值。
三、几何与向量
1. 三角形与四边形：学生们需要熟悉三角形和四边形的性质，包括各边和角度之间的关系、中线、中垂线、高线等重要概念，并能够解决与三角形和四边形相关的问题。
2. 圆：学生们需要了解圆的基本性质，包括圆心角、弧长、扇形面积等，以及与圆相关的定理，如切线定理、割线定理等。
3. 向量：向量是几何中的一个重要概念，学生们需要了解向量的定义、运算法则、数量积和向量积的概念，并能够灵活运用向量解决几何问题。
四、概率与统计
1. 概率：概率是数学中的一个重要分支，学生们需要了解概率的基本概念、计算方法以及与概率相关的定理，如加法原理、乘法原理、全概率公式等。
2. 统计：统计是一种对数据进行收集、整理、分析和解释的方法，学生们需要了解统计学中的基本概念和常用的统计方法，如平均数、方差、频率分布等。
总结起来，高三上学期的数学课程涵盖了函数与方程、数列与数列的极限、几何与向量、以及概率与统计等多个重要的数学知识点。
学生们在学习过程中应该注重理论的掌握与实际问题的应用，通过不断练习与思考，提升数学思维和解决问题的能力。
数学的学习需要坚持和耐心，相信只要付出努力，就能够取得优异的成绩。