函数值域的十五种求法
函数值域求法大全
函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数值域的求法
函数值域的求法求函数的值域是函数部分的重点，也是难点。
本文通过对函数值域的求法的归纳与总结，使学生对其求法有一个总的轮廓和了解，便于学生在解题过程中灵活应用（1） 观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。
例1． 求函数)1(,11≥++-=x x x y 的值域。
),2[+∞例2． 求函数1062++=x x y 的值域。
),1[+∞ （2） 最值法：对于闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法。
例3． 求函数]2,2[,2-∈=x y x 的值域。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41 例4． 求函数6522++-=x x y 的值域。
]873,(-∞ （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。
例5． 求函数22122+-+=x x x y 的值域。
),21[)1,(+∞-⋃--∞（4） 反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。
例6． 求函数⎪⎭⎫⎝⎛≠-+=32,2332x x x y 的值域。
⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3232,例7． 求函数⎪⎭⎫⎝⎛-≠≠++=c d x c d cx b ax y ,0,的值域。
⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a（5） 换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。
例8． 求函数x x y 21--=的值域。
提示：设x t 21-=，则0,212≥--=t t t y 且，…… ]21,(-∞ （6） 复合函数法：对函数)(),(x g u u f y ==，先求)(x g u =的值域充当)(u f y =的定义域，从而求出)(u f y =的值域的方法。
例9． 求函数()352log 221++-=x x y 的值域。
),849[+∞ （7） 利用基本不等式求值域：例10． 求函数xx y 1+=的值域。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值1 2例 1 已知f (x) = -(x € R,且x 工一1) , g(x) = x + 2( x €R).1十—(1) 求f(2) , g(2)的值；(2) 求f [ g(3)]的值.” 1 1 1解(1) ••• f(x) = ,••• f(2)= =-.1 十x 1 +2 32又•/ g(x) = x 十 2,2•g(2) = 2 + 2= 6.2(2) ••• g(3) = 3 + 2= 11,1 1•-f[g(3)] = f(11) = 1—11 =悝.反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)] 的区别.—十1跟踪训练4已知函数f(x)= .—十2(1) 求f(2) ； (2)求f[f(1)].—十 1 2 + 1 3解(1)•••f(x)= X+2，•f(2)= 2十2 = 4.1十1 2(2) f(1)=乐=3, f[f(1)]5.已知函数f (x)=—十x— 1.1(1) 求f(2) , f(—)；z\.(2) 若f (—) = 5,求—的值.解(1) f (2) = 22十 2— 1 = 5,21 1 1 1 十———f ( ) = 2 十—1 = 2 -------.XXX —2f2 3十15=f(3)=厂=8.3十2⑵■/ f (x) = x2+ x— 1 = 5,「. x2+ x— 6= 0,•- —= 2，或—=—3.⑶4.函数f (x)对任意自然数—满足f (x十1) = f (x)十1, f (0) = 1,则f (5) = ______答案 6解析 f (1) = f (0) + 1 = 1 + 1 = 2, f (2) = f (1) + 1 = 3,f (3) = f (2) + 1 = 4, f (4) = f (3) + 1 = 5, f (5) = f (4) + 1 = 6.二、值域是函数y=f （x ）中y 的取值范围。
专题一：求函数值域十六法
求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。
原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。
本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、基本知识1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2． 函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。
⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。
从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷．可以用函数的单调性求值域。
⑸．其他。
3． 函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例1：求函数()1y x =≥的值域。
)+∞例2：求函数y = [)1,+∞例3：求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法1、利用非负数的性质根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1322+-=x x y 的值域。
解析：(1)161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x故 所求函数的值域为 []40，∈y 。
(2)012>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2+=-y y x ， 当1≠y 时，y y x -+=132， 02≥x ，013≥-+∴yy ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ，故 所求函数的值域为 ），13[-∈y 。
2、利用函数的图象对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。
例2、求函数|1||2|+--=x x y 的值域。
解析：去掉绝对值符号得 ：⎪⎩⎪⎨⎧-<=++-≤≤-+-=+-->=+--=)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2x x x x x x x x x x y 。
画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为]33[，-∈y 。
3、利用二次函数的性质对于二次函数或与二次函数相关的函数，在求其值域时常用此法。
例3、(1)求函数]22[2，，-∈+-=x x x y 的值域。
(2)求函数]231[27，，∈-=x x x y 的值域。
解析：(1)41)21(22+--=+-=x x x y ，]22[，-∈x ，416≤≤-∴y 故 所求函数的值域为 ]416[，-∈y(2)849)471(2722727222+--=+-=-=-=x x xx x x x y ， ]231[，∈x ，4273≤≤∴y 解得：, 故 所求函数的值域为 ]4273[，∈y 。
4、利用互为反函数的性质因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。
函数值域的八大求法
函数值域的八大求法方法一：观察法例1. 求函数2x 4y -=的值域。
解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。
故此函数值域为]2,0[。
方法二：不等式法例2. 求函数)0x (x )1x (y 222≠+=的值域。
解析：4x 1x 2x 1x 2x x )1x (y 22224222≥++=++=+= ，∴此函数值域为),4[+∞。
方法三：反函数法例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。
解析：由2x 1x y +-=得y 11y 2x -+=。
由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。
∴此函数值域为),25[)1,(+∞⋃-∞。
方法四：分离常数法例4. 求函数6x 13x 6)1x (6y 2422+++=的值域。
解析：：6x 13x 66x 12x 66x 13x 6)1x (6y 24242422++++=+++=25242511x 613x 6116x 13x 6x 122242=-≥++-=++-=。
从而易知此函数值域为]1,2524[。
评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。
注意形如)ad bc ,0a (b ax d cx y ≠≠++=的值域为),a c()a c ,(+∞⋃-∞。
方法五：判别式法例5. 求函数1x x 1x y 22--+=的值域。
解析：原式整理可得0)1y (yx x)1y (2=+---。
当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。
当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=∆，解得552y 552y -≤≥或。
综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞⋃--∞。
评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。
方法六：图象法例6. 求函数1x 1y -=)0x (1≥-的值域。
解析：作出此函数的图象，如下图所示。
可知此函数值域为),1(]2,(+∞-⋃--∞。
求函数值域十种常见求法总结
函数值域方法归纳1．常见函数的值域．（1）一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦． （3）反比例函数()0k y k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠． （4）指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． （5）对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．（6）正，余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ．2．求函数值域（最值）的常用方法．一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求y=|x+2|+3的值域．2、求函数y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。
三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）1、求函数12+=x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域．四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数2122x y x x +=++的值域．2、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数的值域①y x =+x x y 41332-+-=．2.求函数y=cos2x-sinx+3的值域。
六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13y x x =-+-的值域。
求函数值域的方法
求函数值域的方法函数值域是什么，怎么求？不清楚的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“求函数值域的方法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!求函数值域的方法值域域为数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
函数值域的求法1、配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如：的形式;2、逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围;常用来解，型如： ;3、换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想;4、三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;5、基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域;6、单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
7、数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
8、定义法：已知某个三角函数的定义值域，通过转化成三角函数来求解该函数的值域9、画图法：这种方法简单快捷，只要将函数图形画出来，一眼就能看到函数的值域。
拓展阅读：函数最小正周期怎么求所谓的函数的最小正周期，一般在高中时期的话遇到的都是那种特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a。
还有是三角函数y=A sin(wx+b)+t，最小正周期就是T=2帕/w。
最小正周期求法1、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是;函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0)一类三角函数的最小正周期(这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1.求函数的值域。
解：∵?∴
显然函数的值域是：
2.配方法?
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2.求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，
故函数的值域是：[4，8]
3.判别式法
例3.求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵?∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，
即不能确保方程（1）有实根，由?求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵?∴
∴代入方程（1）
解得：?即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4.求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5.求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：
?即
∵?∴
即?解得：
故函数的值域为
6.函数单调性法
例6.求函数的值域。
解：令?则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
例7.求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然y>0，故原函数的值域为
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作?
例8.求函数的值域。
解：因
即
故可令
∴
∵
∴
∴
故所求函数的值域为
例9.求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令，则有
∴
当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例10.求函数，的值域。
解：
令，则?
由?且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。
例11.求函数的值域。
解：由，可得
故可令
∵?∴
当时，
当时，
故所求函数的值域为：
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址??手机版地址求函数的值域。
解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10
故所求函数的值域为：
例13.求函数的值域。
解：原函数可变形为：
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为
例14.求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。
即：y=|AP|-|BP|
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成△ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。
9.不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例15.求函数的值域。
解：原函数变形为：
当且仅当tanx=cotx
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例16.求函数y=2sinxsin2x的值域。
解：y=4sinxsinxcosx
当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：
10.映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。
故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例17.求函数的值域。
解：∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为
11．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址??手机版地址
,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵，上述分式不等式与不等式同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x 代入z=xy+3x中，得(-1≤x≤3/2),
∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
12.构造法
13.根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
14.例19.求函数的值域。
15.点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
16.解：原函数变形为
17.作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则
EK=2-x,KF=2+x,,。
18.由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
19.∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
20.点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
13．比例法
14．对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
15．例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数的值域。
16．点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
17．解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
18．∴x=3+4k,y=1+3k,
19．∴。
20．当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，。
21．函数的值域为｛z|z≥1｝.
22．点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
23．
24．利用多项式的除法
25．例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
26．点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
27．解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
28．∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
29．∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
30．点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
31．
15.多种方法综合运用
例22.求函数的值域。
解：令，则
（1）当t>0时，，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例23.求函数的值域。
解：
令，则
∴
∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。