基于子空间方法的模型失配检测研究

基于子空间方法的模型失配检测研究陈贵;杨江;谢磊;张荣金【摘要】As a key factor in model-based control technique, model fidelity has significant influence on control performance. Model-plant mismatch (MPM) is an important step in the procedure of control performance monitoring and system maintenance. A subspace-based MPM approach for control systems was proposed. First, the residual was constructed through subspace transformation. Then the residual was analyzed by using statistical local approach, from which an indicator could be constructed to detect the mismatch. Using orthogonal subspace, it was not needed to estimate system states and residual could be obtained only by using input and output data. Furthermore, based on the state space model, the proposed approach was suitable for MIMO process. The effectiveness of the proposed approach was illustrated by both simulation and industrial applications.%随着工业过程的不断复杂化和对控制系统高性能的要求,控制系统性能评估与监控以及故障诊断成为现代控制系统不可或缺的要素.过去的二士年中,性能监控与评估技术已经取得了很多成果[1-2],但是分析性能下降的原因及故障诊断仍然有很多问题亟待解决.性能下降的原因主要可分为以下几个方面:①不当的控制器参数;②硬件缺乏维护;③阀门黏滞;④模型失配;⑤随机扰动等[3].【期刊名称】《化工学报》【年(卷),期】2011(062)009【总页数】7页(P2575-2581)【关键词】模型失配检测;子空间;统计局部方法【作者】陈贵;杨江;谢磊;张荣金【作者单位】浙江大学智能系统与控制研究所,工业控制技术国家重点实验室,浙江杭州310027;浙江大学智能系统与控制研究所,工业控制技术国家重点实验室,浙江杭州310027;浙江大学智能系统与控制研究所,工业控制技术国家重点实验室,浙江杭州310027;浙江大学智能系统与控制研究所,工业控制技术国家重点实验室,浙江杭州310027【正文语种】中文【中图分类】TP277引言随着工业过程的不断复杂化和对控制系统高性能的要求，控制系统性能评估与监控以及故障诊断成为现代控制系统不可或缺的要素。

过去的二十年中，性能监控与评估技术已经取得了很多成果［1－2］，但是分析性能下降的原因及故障诊断仍然有很多问题亟待解决。

性能下降的原因主要可分为以下几个方面：①不当的控制器参数；②硬件缺乏维护；③阀门黏滞；④模型失配；⑤随机扰动等［3］。

事实上，硬件故障和阀门的黏滞以及随机扰动等问题，都可以通过模型失配的检测来作初步判定，然后对具体故障原因作具体的检测与分析。

对于已经广泛应用于先进控制中的模型预测控制器，模型精度是保证其性能的决定性因素［4］，模型失配往往导致控制器性能下降，因此，有效的模型失配检测技术非常重要，在发生模型失配时，能够提醒工程师采取措施，例如重新辨识或者重新整定控制器参数等，从而控制性能得到保证。

基于传递函数模型，Huang［5］利用输出误差模型残差结合统计局部方法验证模型的精确度，Huang［6］、Jiang等［7］利用双模型散度算法（two model divergence algorithm）检测模型参数是否发生变化，以上算法需要重新辨识模型，因此对测试信号具有较高要求，计算复杂度很大。

Badwe等［8］提出模型残差和操作变量的偏相关分析方法来检测模型失配。

以上基于传递函数模型的方法用于多输入多输出（MIMO）过程模型适配检测时，需要将问题分解为多个MISO问题加以分析。

由于多变量系统的耦合普遍存在，这种分解增大了处理的复杂程度。

基于上述原因，基于状态空间表示的性能监控与故障诊断受到越来越多的关注。

相对于传递函数模型而言，状态空间模型能够更加简便地描述多变量控制系统［9］。

利用多变量统计分析方法与子空间结合进行性能监控与故障诊断取得了很多的研究成果［10－11］，根据现有资料，只有 Harrison等［12］通过分析Kalman新息的阶次和相关性对状态反馈情形下状态空间模型失配问题进行了分析，该方法没有提出新的残差产生方法。

参数变化检测方法中，统计局部方法（statistical local approach）已经在很多重要的场合得到成功的应用。

统计局部方法具有诸多优点，诸如高灵敏度、强渐进一致性等［13－14］。

相对于重新辨识参数来判断参数是否发生变化的方法而言，统计局部方法要简便得多，而且许多现成的基于参数辨识的检测方法可以转化统计局部方法。

统计局部方法的应用关键在于找到一个可作为充分统计量的残差序列。

虽然状态空间模型在MIMO系统的表达与处理上较传递函数模型有诸多优点，但是基于状态空间的残差的获取与处理更为困难。

本文利用过程标称模型的正交补空间来避免对过程状态的估计，从而利用过程输入输出数据便可得到过程的残差向量序列，该残差的性质被证明适合使用统计局部方法。

然后利用统计局部方法对该残差向量序列加以分析，将问题转化为χ2检验问题。

1 问题描述线性时不变多变量系统的状态空间模型描述如下［15］式中 x（t）∈Rn为状态变量；u（t）∈Rl和y（t）∈Rm分别为系统输入变量和输出向量；v（t）∈Rn及e（t）∈Rm为过程噪声和测量噪声。

｛A，B，C｝为系统矩阵，假设为可控可观，可以通过子空间辨识得到。

假定u（t）与v（t）和e（t）无关，并且v（t）和e（t）为相互独立的高斯白噪声过程，协方差矩阵分别为∑v和∑e。

令系统标称模型表示为｛A0，B0，C0｝，当系统矩阵发生改变，假定变化量为｛ΔA，ΔB，ΔC｝，根据式（1），此时系统应当描述如下模型失配检测的目标在于当｛ΔA，ΔB，ΔC｝不全为0的时候指示出这一变化。

2 基于子空间变换的模型失配检测原理2.1 参数变化检测的统计局部方法统计局部方法由于其诸多优点被广泛应用于参数变化检测，其理论基础是中心极限定理。

利用统计局部方法进行参数变化检测的原理如下［13］。

以θ0表示标称模型参数，z（t）为时刻t对应的数据向量［uT（t）yT（t）］T，其中uT（t）为输入数据，yT（t）为输出数据。

假设原始残差（primary residual）序列h（θ，z（t））∈Rnh满足式中 w（θ0）＼θ0表示θ0除去自身的一个邻域，E｛·｝表示期望算子。

定义改进残差序列（im－当K足够大，且模型未发生变化时，利用中心极限定理可知，ζ（θ0，K）服从均值为0的多维正态分布，协方差矩阵为值得注意的是，对于θ∈w（θ0）＼θ0的ζN（θ）均值不再为0。

因此，统计局部方法利用T2统计量进行参数变化检验，令则T2服从自由度为nh的χ2分布。

令T20为相应置信限，则当T2≤T20时，认为参数未发生变化，否则，认为参数发生了变化。

2.2 基于子空间变换的残差序列生成方法假定k＞n，定义如下向量［9］利用式（2），可得如下向量方程式中y（t）、u（t）及x（t）分别为t时刻的系统输入值、系统输出值和状态值；Γk为扩展可观测性矩阵；Hk及Λk为下三角Toeplitz矩阵。

vk（t）和ek（t）的结构与yk（t）一致，而系统矩阵变化ΔA和ΔB导致输出向量的变化量φk（t）及ΔC导致系统输出向量的变化量ζk（t）分别为定义矩阵结合式（6），可以得到如下矩阵方程式中 X0＝［x（0） x（1）… x（N－1）］∈Rn×k为初始状态矩阵。

而ΛkΨ0｜N－1＋Ξ0｜N－1为由于系统矩阵变化导致的输出矩阵Y0｜N－1的变化量。

将U0｜N－1移项到方程左边，式（7）可改写为式（8）可进一步简化为由于系统初始状态未知，利用正交投影去除与其有关的项。

以∈Rkm×（km－n）表示Γk列空间的正交补［16］，并乘以式（9）两边，得式（10）左边部分由Γk及输入输出信号确定，将其记为F0｜N－1，有其中由于W0｜N－1为输入输出信号的组合，F0｜N－1中唯一未知的量为扩展可观测性矩阵Γk。

工业过程的控制系统中，许多控制器正是基于状态空间模型设计的，从而可以方便地提取扩展可观测性矩阵Γk。

即便没有状态空间模型相关信息，利用系统运行的历史数据，通过子空间辨识方法（由子空间辨识技术可知［9］，要得到Γk只需对数据的子空间投影一次即可，无须完成全部辨识步骤）也可得到扩展可观测性矩阵Γk。

（1）未发生模型失配时，ΔA＝ΔB＝ΔC＝0，此时由于vt和et为相互独立的高斯白噪声过程，故fk（i）＝（i），i＝0，…，N－1为高斯分布的随机噪声序列，其均值为0，协方差ΣF满足式（12）［17］式中 Rv＝Ik⊗Σv∈Rkn×kn，Re＝Ik⊗Σe∈Rkm×km分别为vk（i），i＝0，…，N－1和ek（i），i＝0，…，N－1的协方差矩阵，⊗表示Kronecker积。

（2）发生模型失配后，此时ΔA、ΔB、ΔC不全为0，从而有fk（i）＝（i）＋（i），其中为模型失配部分。

此时fk（i）的均值为由于模型失配产生的向量（i），通常情况下，由于状态变量x（t）和输入变量u（t）不会同时为0，模型失配将会使得（i）不为0。

因此，采用2.1节中对于原始残差序列的要求，可用于检测模型失配。

2.3 残差序列用于局部方法2.2 节中，本文定义了可以作为原始残差序列fk（i），i＝0，…，N－1。

相应地，改进残差序列为对应于2.1节中的T2统计量为利用2.1节中的χ2检验方法，可以判定模型参数是否发生变化。

实际使用中，为了减少测量数据中的暂态相应和噪声的影响，可以先对残差序列fk（i），i＝0，…，N－1进行指数加权滑动平均滤波（exponential weight moving average，EWMA），然后将滤波后的数据用于计算T2。