圆锥曲线存在性问题(精编文档).doc
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圆锥曲线中的存在性问题
一、基础知识
1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在
2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标()
,x y
00
（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）
（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程
3、解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解
②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，
列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例
1：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
，过右焦点F 的
直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距
离为
2
。
（1）求,a b 的值
（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有
OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若
不存在，说明理由 解：（1
）::3
c e a b c a ==?=
则,a b =
=，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时
:0l y x c x y c =-?--=
2
O l d -∴=
=
解得：1c =
a b ∴== 椭圆方程为：22
132
x y +=
（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-
OP OA OB =+
012012
x x x y y y =+?∴?
=+?
联立直线与椭圆方程：()2
2
1236
y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：
()2
222316x k x +-=，整理可得：
()2
222326360k
x k x k +-+-=
2
122632
k x x k ∴+=+
()3121222
64223232
k k
y y k x x k k k k +=+-=-=-++
22264,3232k k P k k ??
∴- ?++??
因为P 在椭圆上
2
2
222
642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++????
()()()
2
2
42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+
()
2224632k k k ∴=+?=
当
k =时，):1l y x =-，3,2
2P ? ??
当
k =时，):1l y x =-，322P ?? ???
当斜率不存在时，可知:1l x = ，1,,1,33A B ???
- ?????
，则()2,0P 不在椭圆上
∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ??- ???或):1l y x =-，3,22P ? ??
例
2：过椭圆()22
22:10x y a b a b
Γ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B
两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为
8，
（1）求椭圆Γ的方程
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；
若不存在，请说明理由 解：（1）由
1AF B 的周长可得：482a a =?=
2
c e c a ∴=
=?= 2221b a c ∴=-=
椭圆2
2:14
x y Γ+=
（2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内
01r ∴<<
若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y
PQ 与圆相切
()2221O l d r m r k -∴=
=?=+
0OP OQ OP OQ ⊥??=
即12120x x y y +=
联立方程：22
44
y kx m x y =+???+=?()222
148440k x kmx m +++-= 2121222844
,4141
km m x x x x k k -∴+=-=++
()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++
()222
2
244814141m km k km m k k -??=?++?-+ ?++??
22254441
m k k --=
+
225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立
将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=
()()225410r k ∴-+=
245
r ∴=
∴存在符合条件的圆，其方程为：2245
x y +=
当
PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =
若
:PQ x =
，则,P Q ????
0OP OQ ∴?= :PQ x ∴=
若
:PQ x =，同理可得也符合条件 综上所述，圆的方程为：224
5
x y += 例
3：已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>经过点(，离心率为12
，左，
右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c （1）求椭圆C 的方程
（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，
交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ?为定值
② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由 解：（1）依题意可知：1
2
c e a =
=可得：::2a b c =
∴椭圆方程为：22
22143x y c c
+=，代入(可得：1c =
∴椭圆方程为：22
143
x y +
= （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：
()2
2
43412
y k x x y ?=+??+=?? 化为：()2222343264120k x k x k +++-=
由0?>解得：2
14k <
且22121222326412
,4343
k k x x x x k k --+==++
2
120216243x x k x k +∴==-+
()002
12443
k
y k x k =+=+ 01034y k x k
∴=
=- 13344
k k k k ∴=-
?=- ② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则1
1F N AD k k ?=-
1202202
1243416114134F N
k
y k k k k x k k +∴===+--++
()22
22422
AD
k x y k x x +==
++ ()122
2441142
F N AD k x k
k k k x +?=
?=--+ 即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-?=--<- 因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾 所以不存在符合条件的直线l 例
4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ??
???
在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长
为半径的圆相切
（1）求椭圆E 的方程
（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）
0l 与圆相切
10
25
O l d r -∴=
== 2a ∴=
将31,2P ??
???代入椭圆方程22214x y b +=
可得：b =∴椭圆方程为：22
143
x y +
= （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3
:12
PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：
()2
2
13412
y k x x y ?=-??+=??消去y 可得：()2222
4384120k x k x k +-+-= ()()()2
222218443412144144k k k k ∴?=-+-=+
()2122
12143
k AB x k +∴=-==
+
同理：
联立直线PQ 与椭圆方程：
()223123412y k x x y ?
=-+?
?
?+=?
消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--=
()()()22
2222181244123431444k k k k k k k ?????=----+=++ ?????
PQ ∴==
因为四边形PABQ 的对角线互相平分
∴四边形PABQ 为平行四边形
AB PQ ∴= (
)
2
2
12143
k k +∴
=+解得：34
k =
∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分
例
5：椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为
A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12
PF PF ?的最大值的取值范围是
22,3c c ????
，其中c =
（1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围
（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -
()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--
22212PF PF x y c ∴?=+-
由22221x y a b +=可得：222
22b y b x a
=-代入可得： 222
2
2
222
22212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ???=+-=-+-=+- ???
[],x a a ∈- ()
212
max
PF PF b ∴?=
22
22222222
2
2334c a c b c c a c c c a
?≤?
∴≤≤?≤-≤??≥??
21114222
e e ∴≤≤?≤≤
（2）当1
2
e =
时，可得：2,a c b ==
∴双曲线方程为22
2213x y c c
-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>
当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==
13tan 13c BF A c
∴=
= 14
BF A π∴∠= 因为12
BAF π
∠=
112BAF BF A ∴∠=∠
所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑100
1100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c
∠=-=-
∠==-+ ()
()
0001012
2
2
2100
00222tan tan 21tan 1y y x c BF A x c
BF A BF A
x c y
y x c ?
+∠+∴∠=
==
-∠+-??- ?+??
由双曲线方程22
2213x y c c
-=，可得：2220033y x c =-
()()()()2
2
2222
2000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-
()()()
000
11000
2tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠=
=
=∠+-- 112BAF BF A ∴∠=∠
结论得证
2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立
例
6：如图，椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>
的离心率是
2，过点()
0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E
截得的线段长为
（1）求椭圆E 的方程
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，
QA PA QB
PB
=恒成立？若存在，求出点Q 的坐
标；若不存在，请说明理由 解：（1
）2
c e a =
=
::a b c ∴=
∴椭圆方程为22
2212x y b b
+=
由直线l 被椭圆E
截得的线段长为
点)在椭圆上
22221
122b b b
+=?= 24a ∴=
∴椭圆方程为22
142
x y +=
（2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =
1QA PA QB
PB
∴
=
=即QA QB =
Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y
当l 与x 轴垂直时，则()()0,
2,0,2
A B -
21,21PA PB ∴=-=+
002,2
QA y QB y =-=+
00221
21
2
y QA PA QB
PB
y --∴=?=
++可解得01y =或02y = ,P Q 不重合
02y ∴=
()0,2Q ∴
下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立
若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y
联立方程可得：()222224
124201
x y k x kx y kx ?+=?++-=?=+?
由
QA PA QB
PB
=
可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠
∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-?+=
()()1122,,,A x y B x y ∴
1212
22
,QA QB y y k k x x --∴=
= ()()()211221121212121212
22222QA QB x y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=
+==
①
因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，11221
1
y kx y kx =+?∴?
=+?代入①可得：
()()()
()
211212121212
12
1122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+=
=
联立方程可得：()222224
124201
x y k x kx y kx ?+=?++-=?=+?
1212
22
42
,1212k x x x x k k ∴+=-
=-++
222
24212120212QA QB k
k k k k k k ?-
+
++∴+=
=-
+
0QA QB k k ∴+=成立
QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：
QA PA QB
PB
=
例
7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ??
???
是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程
（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F c
AP 为直径的圆经过F
FA FP ∴⊥
0FA FP ∴?=
()4
,,,3
3b FA c b FP c ??=-=- ???
2
22
440033
33b b c c c c ??∴--+=?-+= ???
由4,33b P ??
???
在椭圆上，代入椭圆方程可得：
22
22
11611299
b a a b ?+?=?= 2
222240
1332b c c b c b c a ?-+=??==?
?+==?
∴椭圆方程为2
212
x y +=
（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+
12M l M l d d --∴=
=
所以依题意：
()1222
12122
11
M l M l k km m d d k λλλλ--+++?=
=
=+ ①
因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：
()22222
21422022
y kx m
k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ?=-+-= 化简可得：2221m k =+，代入①可得：
()()2212122221212221
12111
k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=?++++=++
()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均
成立
1211221
21
101λλλλλλλλ
=-?=-??
∴+=???=??
所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -
例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上
任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程
（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于1
4
-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由 （1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=
由椭圆方程可得：12,22F F ????
- ? ? ? ?????
12OQ PF PF =+
且1002003
3,,,PF x y PF x y ????=---=-- ? ? ? ?????
()002,2Q x y ∴--
00002222
x x x x y y y
y ?
=-?=-??∴???=-??=-??代入到220041x y +=可得：
2
214
x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y
2OT MN OM ON =++
()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 2121
22x x x y y y =+?∴?=+? 设直线
,OM ON
的斜率分别为
,OM ON
k k ，由已知可得：
21211
4
OM ON y y k k x x ?=
=- 121240x x y y ∴+=
考
虑
()()2
2
2221214242x y x x y y +=+++()()2222
11221212444416x y x y x x y y =+++++
,M N 是2C 上的点
22
112
2
2244
44
x y x y ?+=?∴?+=?? 22444420x y ∴+=+?=
即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆22
1205
x y +=焦
点的距离和为定值
,A B ∴为椭圆的焦点
(
)),A B
∴
所以存在定点,A B 例
9：椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的焦点到直线30x y -=
的距离为
，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CD
λ+为常数？若存在，求出λ的
值；若不存在，请说明理由 解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c
25
F l d c -∴=
=
?=
c e a a ∴=
=?= 2221b a c ∴=-=
2
2:15
x E y ∴+=
28y x ∴=
（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y
与椭圆联立方程：()()2222
22
25120205055y k x k x k x k x y ?=-??+-+-=?+=?? 22121222
20205
,1515k k x x x x k k
-∴+==++ ()
()22
2
12122
2511415k AB k x x x x k
+∴=++-=
+
直线与抛物线联立方程：()()22222
248408y k x k x k x k y x ?=-??-++=?=?? 2342
48
k x x k +∴+=
CD 是焦点弦
()2342
814k CD x x k +∴=++=
()()()()
2
2222222
242051420581251851851k k k k AB CD k k k k λλλλ++++∴+=+==++++
若1AB CD
λ
+为常数，则2054λ+= 165
λ∴=-
例
10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()
22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为
6
3
，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为
26
（1）求椭圆C 的方程
（2）是否存在点E ，使得
22
11EA EB +为定值？若存在，请求出点E
的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由 解：（1
）依题意可得：3
c e a =
=
::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径
22b AB a ∴==
a b ∴==22
162
x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。因为E 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E 点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得22
11
EA EB +为定值。
解：（2）假设存在点E ，设()0,0E x 若直线AB 与x
轴重合，则(
)),A B
00EA x EB x ∴=+=
(
)()()
202
2
2
2
2
20
111
1
2126x EA
EB
x
x
x
+∴
+
=
+
=
-+-
若直线AB 与x 轴垂直，则,A B 关于x 轴对称
∴设()()00,,,A x y B x y -，其中0y >，代入椭圆方程可得：
220162x y y +=?=
EA EB ∴==
2
2
22
00
112
6623
x x EA
EB
∴
+
=
=
--
()
()()()22222
00002
2
20
0212
62666666x x x x x x +∴
=
?+-=---，可解得：
0x =
2
2
2
116
26x EA
EB
+
=
=- ∴若存在点E
，则()E
。若)E ，设()()1
1
2
2
,,,A x y B x y
设:AB x my =+C
联立方程可得：2236
x y x my ?+=??=+??，消去y 可
得：
((
)2
22236330my y m y ++=?++-=
1212
223
,33
y y y y m m ∴+=-
=-++
(
)
()2
2
22222
2
1
1
111
11
111m y y
m y EA
x y
=
=
=
++-+，同理：()2
22
211,
1m y EB
=
+
()()()()()2
22
121212
22
2222222222
12121221
1
111111y y y y y y m y m y m y y m y y EA EB +-+∴+=+==++++
代入1212
223
,33
y y y y m m ∴+=-
=-++可得：
()()()()()
()222
2222
2222222222126332333111818291913133m m m m m m m m EA EB m m m ++???
?--?- ? ?+++??+??+====++??
+- ?+??+ 所以
2
2
11EA
EB
+
为定值，定值为2
若()E ，同理可得
2
2
11EA
EB
+
为定值2
综上所述：存在点()
E ，使得2
2
1
1EA
EB
+
为定值2
三、历年好题精选
1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆()
22
22:10x y E a b a b
+=>>
过点
P ?，离心率为
12，过直线:4l x =上一点M 引椭圆E 的
两条切线，切点分别是,A B （1）求椭圆E 的方程
（2）若在椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的任一点()00,N x y 处的切线方
程是00221x x y y
a b
+=，求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标
（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=?恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点），若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由
2、已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦
点重合，31,
2D ??
???
是椭圆C 上的一点 （1）求椭圆C 的方程
（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，,P Q 是椭圆C 上异于,A B 的两个动点，直线,AP AQ 的斜率之积为1
4
-，设
APQ 与BPQ 的面积
分别为12,S S ，请问：是否存在常数()R λλ∈，使得12S S λ=恒成立？
若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由
3、已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>经过点(
，离心率为1
2
，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c （1）求椭圆C 的方程
（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，
交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ?为定值
② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由 4、已知圆(2
2:36M x y +
+=，定点)N
，点P 为圆M 上的动
点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2,0NP NQ GQ NP =?= （1）求点G 的轨迹C 的方程
（2）过点()2,0作直线l ，与曲线C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，设OS OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OASB 的对角线相等（即OS AB =）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由
5、（2014，福建）已知双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的两条渐近线
分别为1:2l y x =，2:2l y x =- （1）求双曲线E 的离心率
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3
则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：
圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题
招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O
即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-
【智博教育原创专题】三大圆锥曲线经典结论
1 注重结论 巧妙应用之三大圆锥曲线经典结论 【结论1】在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值22b a -（注：若椭圆焦点在y 轴上时，即0b a >>，则定值为2 2a b -）。 【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 是椭圆上的任意不同的两点，00(,)P x y 是弦AB 中点。 221122 120221202222 1221x y x x x a b y y y x y a b ?+=?+=?????+=??+=??，由以上几式可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=。可转化为201 22120y y y b x x x a -?=-，即22AB OP b k k a ?=-。 【结论2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值22b a （注：若双曲线为焦点在y 轴上的形式，则定值为2 2a b ）。 【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 是双曲线上的任意两个不同的点，00(,)P x y 是弦AB 的中点。 221122 120221202222 1221x y x x x a b y y y x y a b ?-=?+=?????+=??-=??，由以上几式可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=。可转化为201 22120y y y b x x x a -?=-，即22AB OP b k k a ?=。 【结论3】抛物线22y px =上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为0 p x （0x 为弦中点的横坐标）。 【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 为22y px =上任意两个不同的点，00(,)P x y 为弦AB 中点。 212011212022 2222x x x y px y y y y px ?+==?????+==???，可得121212()()2()y y y y p x x +-=-，两边同除以12()x x +得：1212121212()()2()y y y y p x x x x x x +--=++，即得：01 212000 ,AB OP y y y p p k k x x x x x -?=?=-。 在解决圆锥曲线中有关弦的斜率与中点坐标问题时，利用“设而不求，代点作差”较麻烦，灵活运用上述结论，能够快速、简捷地解决圆锥曲线的有关问题。 1. 求中心在原点O ， 一焦点为，截直线32y x =-所得弦的中点横坐标为 12 的椭圆的方程。 【解析】设32y x =-与椭圆交于1122(,),(,),A x y B x y AB 中点为1 20001(,),22 x x P x y x +==在32y x =-上得012y =-，由上述结论知22AB OP b k k a ?=-，而3,1AB OP k k ==-。所以2 23b a =。由题意
圆锥曲线中存在探索型问题
圆锥曲线中存在探索型问题 存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题 例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由． 分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22 ，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③ 联立????? y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2 ，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2 ＝2， 解得a ＝32 ，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32 ×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题 例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原 点O ，椭圆x 2a 2＋y 29 ＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(2 2 =++y x 上 运动，求AB 的中点M 的轨迹。 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为 32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2 =36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. M B A
解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2 )又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2 +y 2 =36－(x 2 +y 2 ),即x 2 +y 2 －4x －10=0因此点R 在一 个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 0,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2 －4x －10=0,得2 44)2()24(22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2 =56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴 是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：（选修2-1P 50第3题）点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义) 讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆 22 22:1(0)x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远， 此时，设l 与x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时， ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为222220b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2a 、2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是
否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ，ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y = -，当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线24x y =的焦点为F ， A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM ·AB 为定值； （2）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值． 简解：（1）(01)F ， ，设点A B ，的横坐标为12x x ，，则过点A B ，的切线分别为2111()42 x x y x x -=-，2 222()42x x y x x -=-，结合AF FB λ=，求得 0FM AB =为定值； （2） FM AB =，则 ABM △的面积 3 3 124 2 22FM AB S 1= =?=≥． 难点二、求参数范围（或值）问题 求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候
课时达标检测(四十九) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 Word版含解析
课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在 性问题 [一般难度题——全员必做] 1．(2018·郑州质检)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程； (2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物 线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2 ＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立????? x 2＝4y ， y ＝kx －2，消去y 整理得x 2－4kx ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2 ＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)． 即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24 ， ∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24 x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24 ＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)． (1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值； (2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0， 则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2 ＋1＝0， 化简得y 2＝－x 1x 24y 1 ，
高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析
有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存
则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
神奇的圆锥曲线问题探究
神奇的圆锥曲线动态结构 目录 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 17．焦弦直线，中轴分比
四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题
37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等
圆锥曲线发展史
圆锥曲线发展史 对的研究大致经历了如下几个阶段。 一．最初发现 早在公元前5世纪~ 公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”三大不可能问题。当初，他们并不知道这是不可能问题，所以努力想解决这些它们。虽然他们没有能解决这三大问题，但是却获得了不少意外的成果。据说，圆锥曲线的被发现，就是从这里开始的。 古希腊数学家希波克拉底（Hippocrates of Chios 公元前460），在解决“立方倍积” 问题时，发现圆锥曲线。另外一位古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus 公元前375 ~ 公元前325），用平面截不同的圆锥，发现圆锥曲线。 关于圆锥曲线的被发现还有一说，根据数学史家诺伊格鲍尔（Neugebauer，Otto 1898~ ？）的意见，圆锥曲线可能是在制作日晷时被发现的。可惜，关于日晷的发明和制作在古代就已失传，所以不可详考。 二．奠基工作 在古希腊，有许多数学家都研究过圆锥曲线。譬如，老阿里斯泰库斯（The Elder Aristacus 约公元前4世纪）、欧几里得、阿基米德、厄拉多塞（Eratosthenes 公元前274~公元前194）和阿波罗尼（Apollonius 公元前260 ~ 公元前190）等。其中，阿波罗尼的《圆锥曲线》是最杰出的，它与欧几里得的《几何原本》同被誉为古希腊几何登峰造极之作。 《圆锥曲线》8篇，共487个命题。 第1 篇，圆锥曲线的定义、性质； 第2 篇，双曲线渐近线的作法、性质，由此引入共轭双曲线，圆锥曲线切线的作法； 第3 篇，圆锥曲线与其切线、直径所成图形的面积，极点极线的调和性，焦点的性质； 第4 篇，极点极线的其它性质，各种位置的圆锥曲线可能有的交点数； 第5 篇，从特定点到圆锥曲线所能作的最长线和最短线； 第6 篇，全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形； 第7 篇，有心圆锥曲线两共轭直径； 第8 篇，失传，也许是关于如何定出有心圆锥曲线的共轭直径，使其长度的某些函数具有给定的值。 《圆锥曲线》现在的版本中，前4卷是从12~13世纪的希腊手稿本复制的，其后的3卷是从1290年阿拉伯译本转译的，第8卷已失传，现为17世纪的哈雷根据帕普斯书中的启示而搞出来的一个代替稿。阿波罗尼总结了前人的成就，提出了自己的创见，在《圆锥曲线》中，将圆锥曲线的性质收集殆尽，以至以致后代学者在千余年间对圆锥曲线的性质几乎没有插足的余地。以下，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的基础性的工作。 在古希腊，阿波罗尼之后，帕普斯（Pappus 约4 世纪）对圆锥曲线也作了重要的工作，即在《数学汇编》证明：与定点及定直线的距离成定比例的点的轨迹是圆锥曲线。这是阿波罗尼的《圆锥曲线》中所没有的。总而言之，在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由于没有坐标系统，所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷。 三．长期停滞 在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13 个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究没有什么进展。公元11 世纪，中亚数学家海雅姆（Khaym，Omar 1048 ~ 1131）利用圆锥曲线来解三次方程，而对圆锥曲线本身并没有深入的研究。
2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导
2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是山东卷高考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可
以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归。 解题方法荟萃 1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。 直接法一般有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
圆锥曲线解答题中存在性问题 (2)
圆锥曲线解答题中存在性问题 121,1)1.3 123,1.2 1XOY B A O P AP BP P AP BP x M N P F x -=??1.在平面直角坐标系中，点与点（关于原点对称，是动点， 且直线与的斜率之积等于-（）求动点的轨迹方程； （）设直线和分别与直线交于点。问：是否存在点， 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存 在，说明理由。 2.已知椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F ，在轴上，离 心率e=（）求1223E F AF E ∠椭圆的方程； （）求的角平分线所在直线l 的方程； （）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出； 若不存在，说明理由。 3.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2,3），且点F （2,0）为其右 焦点。 （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线 OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。 1122112222 12121222114.:2. 12,11A B A B B F B F x y C A A B B F F a b A B S S C P A B OP AP PB ===?=如图，椭圆+=1的顶点为，，，，焦点为，，（）求椭圆的方程； （）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在， 求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
2 15.2 312 . x C PA PB PM m -?=已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点（，）.过点P （2,1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M.(1)求椭圆C 的方程； （2）求直线l 的方程以及点M 的坐标； （3）是否存在过点P 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点A,B ，满足 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由 226.:36,20. 1. 220.;M x y N P M Q NP G P MP NQ GQ NP G C l C A B O OS OA OB l OASB l ++==?==+已知圆（点），为圆上的动点，在上，在M 上，且满足，（）求点轨迹方程（）过点（，）作直线与曲线交于、两点，为原点，且是否存在直线，使四边形对角线相等?若存在，求出直线若不存在，请说明理由. 7.如图，A 、B 、22 221(0),2. 12x y a b A BC a b O AC BC BC AC C E E P Q PC QC x PQ +=>>⊥==C 是椭圆E ：上的三点，其中点的坐标为（），过椭圆的中心，且（）求点的坐标及椭圆的方程； （）若椭圆上存在两点、，使得直线与直线关于直线的斜率.
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线存在性问题Revised on November 25, 2020
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与 C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 。
（1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1 ）::3 c e a b c a = =?= 则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为：22 132 x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =- 联立直线与椭圆方程：()22 1236 y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222 2316x k x +-=，整理可得： 22264,3232k k P k k ?? ∴- ?++?? 因为P 在椭圆上 当k = 时，):1l y x =- ，3,22P ? ?? 当k = ):1l y x =- ，32P ? ?? 当斜率不存在时，可知:1l x = ，1,,1,33A B ???- ? ????，则()2,0P 不在椭圆上 ∴ 综上所述：):1l y x =- ，3,22P ?- ?? 或):1l y x =- ，3,22P ? ??
[高中数学]圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由