二次函数的图象和性质 二次函数yax2+k的图象和性质 专题练习题 基础 打印
y=ax2+k图象和性质
1
2
3
y=x2+1 y=x2-1
… …
10 8
5 3
2 0
2 0
5 3
10 8
… … …
-1
抛物线y=x2 y=x2+1,y=x2－1的开口方 向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1 与抛物线y=x2有 什么关系?
(1)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2+1 y=x2－1
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是最低点
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 ，在___
,对称轴
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=
增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
x
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 y
1 yy x2 1 2 1
x
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
x y 6 3
例题2
开口方向 对称轴
向上 向上 向下 向下 Y轴 X=h Y轴 X = -h
顶点坐标
（ 0， 0）
（ h， 0）
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
华东师大版九年级数学下册26.2.1：二次函数y=ax2的图象与性质 同步测试题(含答案)
华东师大版九年级数学下册第26章二次函数26.2 二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质同步测试题一、选择题1.二次函数y＝x2的图象是(C)A.线段B.直线C.抛物线D.双曲线2.如图，函数y＝－2x2的图象是(C)A.①B.②C.③D.④3.对于函数y＝4x2，下列说法正确的是(B)A.当x>0时，y随x的增大而减小B.当x<0时，y随x的增大而减小C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大4.已知原点是抛物线y＝(m－2)x2的最低点，则m的取值范围是(A)A.m>2B.m>－2C.m<2D.m<05.已知抛物线y＝－x2过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜06.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是(B)A.开口向下B.图象对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小7.已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－n)(n＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是(D)A.y＝xB.y＝－2xC.y＝x2D.y＝－x28.如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴.若AB＝6，则点A的坐标为(D)A.(3，3)B.(3，9)C.(－3，3)D.(－3，9)9.二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D)A. B. C. D.二、填空题10.抛物线y＝－x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴.11.二次函数y＝(k＋2)x2的图象如图所示，则k的取值范围是k＞－2.12.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是(－1，－2).13.已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”).14.二次函数y＝ax2(a＞0)的图象经过点(1，y1)，(2，y2)，则y1＜y2(填“＞”或“＜”).15.当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0.16.已知二次函数y＝mxm2－1，在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，则m17.下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝12x2；④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④.18.如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为a＞b＞d＞c.19.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是2.三、解答题20.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y＝2x2；(2)y＝12x2.解：列表：描点、连线可得图象如图.21.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质.解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.22.根据下列条件求m的取值范围.(1)函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(2m－1)x2有最小值；(3)抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同.解：(1)∵函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y 随x的增大而增大，∴m＋3＜0.∴m＜－3.(2)∵函数y＝(2m－1)x2有最小值，∴2m－1＞0.∴m＞1 2 .(3)∵抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同，∴m＋2＝±1 2 .解得m＝－52或－32.23.已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的图象相交于点A(－2，2)和B(n，8)两点.(1)求二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的表达式；(2)试判断△AOB的形状，并说明理由.解：(1)∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(－2，2).∴2＝4a，a＝1 2 .∴二次函数的表达式为y＝12x2.∵一次函数y＝mx＋4的图象经过点A(－2，2)，∴2＝－2m＋4，m＝1.∴一次函数的表达式是y＝x＋4.(2)△AOB是直角三角形.理由如下：∵点B(n，8)在一次函数y＝x＋4的图象上，∴8＝n＋4，n＝4.∴B(4，8).∵A(－2，2)，∴OA2＝22＋22＝8，OB2＝42＋82＝80，AB2＝(4＋2)2＋(8－2)2＝72. ∴OA2＋AB2＝OB2.∴△AOB为直角三角形，且∠OAB＝90°.。
二次函数 y=ax2的图象和性质
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
二次函数的图像与性质 打印版
【例1】 ⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，如果存款额是100元，一年到期后，本息和y = 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和y = 元（不考虑利息税）． ⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①213y x =-，②()5y x x =-，③213y x=，④()()312y x x =-+，⑤4221y x x =++，⑥()221y x x =--，⑦2y ax bx c =++．⑶ ①如果函数22(1)1k k y k x kx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k = ．②2(2)m m y m x -=-是关于x 的二次函数，则m = ．③若函数2221(1)m m y m x --=-为二次函数，则m 的值为 ．④已知222m m y mx -+=是关于x 的二次函数，则m 的值为 ．模块二 二次函数的图象与性质模块一 二次函数的解析式2y ax = 2y ax c =+ ()2y a x h =- ()2y a x h k =-+ 2y ax bx c =++二次函数图象与系数的关系 ⑴a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其开口大小相同，即若a 相等，则开口 方向及大小相同，若a 互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧． 简称“左同右异”.⑶c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．【例2】 在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①22y x =、②212y x =、③2y x =-和 ④22y x =-的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断 的图象开口最大．【例3】 ⑴ 若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为 ．⑵ 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，， ⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =，24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为 ．【例4】 ⑴关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是 ．⑵抛物线2y ax bx c =++经过点()27A -，，()67B ，，()38C -，，则该抛物线上纵坐标为8-的另一个点D 的坐标是 ．⑶已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y =___________．【例5】 ⑴判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数73522+--++=x x c bx ax y 在坐标平面上的图形有最低点？ （ ）A ．0=a ，4=b ，8=cB ．2=a ，4=b ，8-=cC ．4=a ，4-=b ，8=cD ．6=a ，4-=b ，8-=c⑵二次函数()n m x a y ++=2的图象如图，一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限⑶顶点为(50)-，，开口方向、大小与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x y D ．2)5(31+=x y⑷ 二次函数()()2---=m x m x y 的最小值为 ．⑸ 二次函数()2214y x k x =-++的顶点在y 轴上，则k = ，若顶点在x 轴上，则k = ．【例6】 ⑴二次函数()()022＞a c x a y +-=，当自变量x，3，0时，对应的值分别为1y 、2y 、3y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为 ．⑵二次函数()02＜a c bx ax y ++=的图象经过点A (2-，0)、O (0，0)、B (3-，y 1)、 C (3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是 ．【例7】 已知二次函数6422-+=x x y ．⑴ 将其化成()2y a x h k =-+的形式；⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标； ⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标； ⑷ 画出函数图象；⑸ 说明其图象与抛物线22y x =的关系； ⑹ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小； ⑺ 当x 取何值时，0y >，0y =，0y <； ⑻ 当x 取何值时，函数y⑼【例8】 若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线243y x x =++上(点P 、Q 不重合)，且y 1=y 2，求代数式81651242121++++n n n x x 的值.易错题若函数()2221m m y m m x --=+为二次函数，则m 的值是 ． 抛物线2(2)3y x =-++的顶点坐标是（ ）A ．()23，B ．()23，-C ．()23，-D ．()23，--训练1.若二次函数()2223y x =--的图象上有两个点1(5)A y ，、2(1)B y -，，则下列判断中正确 的是（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．1y 与2y 的大小不确定【探索】若二次函数()222y x k =-+的图象上有两个点1(7.2)A y -，、2( 5.8)B y -，，则1y ，2y 的大小关系为 ；若二次函数()222y x k =---的图象上有两个点1(5.5)A y ，、2( 2.5)B y -，，则1y ，2y 的大小关系为 ；若二次函数()22 1.5y x k =-+的图象上有两个点1(5.5)A y ，、2( 2.5)B y -，，则1y ，2y 的大小关系为 ．训练2. 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）A ．10m -<B ．10m ->C ．10m -=D ．以上都可能训练3. 抛物线2244y x x =-+对称轴为22x m n =-，函数的最小值是43n m -，求实数m ，n ．训练4. ⑴函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）B ADC 思维拓展训练⑵设a 、b 是常数，且0b >，抛物线2256y ax bx a a =++--为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）作业：知识模块一 二次函数的定义 课后演练【演练1】 二次函数2347y x x =-+的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．347--，，B ．347-，，C ．347，，D ．347-，， 知识模块二 二次函数的图象与性质 课后演练【演练2】 一抛物线和抛物线22x y -=的开口大小、开口方向完全相同，顶点坐标是(1-，3)，则该抛物线的解析式为( ) A ．()2213y x =--+ B. ()2213y x =-++ C ．()2213y x =-++D. ()2213y x =--+【演练3】 已知函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则b =_____．【演练4】 已知二次函数22222()y x a b x a b =-+++，,a b 为常数，当y 达到最小值时，x 的值为（ ） A ．a b + B ．2a b + C ．2ab - D ．2a b-【演练5】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11A y ，、()22B y ，象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定【演练6】 已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在二次函数23y ax ax b =-+的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<函数的图象特征与a 、b 、c 的关系专练：知识点：a 看开口方向，c 看与y 轴的交点位置，b 结合a 、看对称轴的位置。
二次函数y=ax^2+k的图像与性质
Ox 向上
y
O
x
向下
(0 ,0) y轴
(0 ,0) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
4
-10
-5
O
5
x
10
2 y=x2
-10
-5
O
5
x
10
-2
y=-x2
-4
-2 y=x2-2
-6
-8 y=-x2-2
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上，对称轴 是 y轴，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ；
（2)对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1， 2）的点的解析式，
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
y轴
（0，k）
顶点是最低点有最小值 顶点是最高点有最大值
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
作业：
习题22.1 5、（1）
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐
九年级数学上册(人教版)复习知识点讲解与练习--二次函数y=ax2+k的图象和性质
九年级数学上册(人教版)复习知识点讲解与练习二次函数y＝ax2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( C )A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴 D．直线x＝22．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B )①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝12x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.A．①④ B．②⑤C．②③⑤ D．①②⑤【解析】a决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a相同，选B.3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋34．[2013·德州]下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( B )A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1C．y＝1xD．y＝－x2＋15．抛物线y＝－2x2－5的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．【解析】根据抛物线y＝ax2＋c的特征解答即可．6．抛物线y＝13x2－4可由抛物线y＝13x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y轴__，当__x＝0__时，y有最__小__值为__－4__，当__x>0__时，y随x的增大而增大，当__x<0__时，y随x的增大而减小．【解析】抛物线y＝13x2－4与y＝13x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝13x2－4的图象可由抛物线y＝13x2的图象沿y轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．7．[2013·湛江]抛物线y＝x2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__．8．(1)填表：x…－2－1012…y＝－2x2y＝－2x2＋1y＝－2x2－1(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象；(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？(4)由抛物线y ＝－2x 2怎样平移得到抛物线y ＝－2x 2＋1与y ＝－2x 2－1? 解：(1)略 (2)略(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；(4)抛物线y ＝－2x 2＋1可由抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位得到；抛物线y ＝－2x 2－1可由抛物线y ＝－2x 2向下平移1个单位得到．9．二次函数y ＝－12x 2＋c 的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在B 点左侧．(1)求c 的值；(2)求A ，B 两点的坐标．解：(1)∵抛物线经过点⎝⎛⎭⎪⎫－3，92， ∴－12×(－3)2＋c ＝92，∴c ＝6.(2)∵c ＝6，∴抛物线为y ＝－12x 2＋6.令y ＝0，则－12x 2＋6＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23，∵A 点在B 点左侧，∴A (－23，0)，B (23，0)．10．如图22－1－12，两条抛物线y1＝－12x2＋1、y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )图22－1－12A．8B．6C．10D．4【解析】两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.11．抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y＝－8x2－6____，它是由抛物线y＝－8x2向__下__平移__6__个单位得到的．【解析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k值，从而可判断平移方向．∵抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－8.又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k＝－6，∴y ＝－8x 2－6，它是由抛物线y ＝－8x 2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)． (1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a ，c 的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y ＝0时x 的值．解：(1)∵y ＝ax 2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点， ∴⎩⎨⎧4a ＋c ＝－7，a ＋c ＝2.∴⎩⎨⎧a ＝－3，c ＝5.∴y ＝－3x 2＋5. (2)列表：x －2 －112－1 －12 0 12 1 112 2y ＝－3x 2＋5 －7 －1342 4145 4142 －134－7描点、连线：(3)当y ＝0时，－3x 2＋5＝0，解得x 1＝153，x 2＝－153， 故函数图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫153，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0.13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m ，这时，拱高(O 点到AB 的距离)为4 m.图22－1－13(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？(2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？【解析】 观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A(－10，－4)，B(10，－4)，可设y＝ax2，把A点或B点坐标代入可得a＝－125，所以y＝－125x2；(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y＝ax2＋4.又y＝ax2＋4的图象过A(－10，0)，B(10，0)，将A点或B点坐标代入可得0＝100a＋4，解得a＝－1 25，所以y＝－125x2＋4.因为两抛物线解析式的a相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．图22－1－1414．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC 为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．【解析】 (1)抛物线关于y轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y＝ax2＋6中，则可求出a的值；(2)将x＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y值与4.2比较大小，y值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，∵抛物线过(4，2)点，∴16a＋6＝2，∴a＝－1 4，∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋6.(2)当x＝2.4时，y＝－14x2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．图22－1－1515．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0，解得：a＝1 4；(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a＝1 4，∴y＝14x2－4，令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4＝－154，∴C(－1，－154 )，∵C关于原点对称点为D，∴D 的坐标为(1，154)，则CE ＝DF ＝154S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB ·DF ＋12OB ·CE ＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD 的面积为15平方米．第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质[见A本P16]1．与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是( D )A．y＝1＋12x2B．y＝(2x＋1)2C．y＝(x－2)2 D．y＝2x22．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是( D ) A．是中心对称图形B．开口向上C．对称轴是x＝－2D．最高点是(2，0)3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是( A )A．(1，0) B．(－1，0)C．(－2，1) D．(2，－1)4．下列关于抛物线y＝4(x－1)2＋2的说法中，正确的是( B ) A．开口向下B．对称轴为x＝1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标为(－1，0)5．二次函数y＝2(x－32)2图象的对称轴是直线__x＝32__.6．函数：①y＝12x－3，②y＝－2x(x<0)，③y＝(1－x)2(x>1)，其中y随x的增大而增大的有__①②③__(填序号)．解：∵y＝12x－3中，k＝12>0，∴y随x的增大而增大；∵函数y＝－2x中k＝－2，∴当x<0时，y随x的增大而增大；∵y＝(1－x)2(x>1)中，开口向上，对称轴为x＝1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，故答案为①②③.7．二次函数y＝(x－2)2，当__x＜2__时，y随x的增大而减小．8．抛物线y＝－23(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，当x＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__．9．抛物线y＝2(x－2)2与x轴交点A的坐标为__(2，0)__，与y轴交点B的坐标为__(0，8)__，S △AOB ＝__8__．【解析】 画草图帮助理解题意． 当x ＝2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝8， S △AOB ＝12×OA ×OB ＝12×2×8＝8.10．已知：抛物线y ＝－14(x ＋1)2.(1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表；x … －7 －31 3… y … －9－1…(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．图22－1－16解：(1)抛物线的对称轴为x ＝－1. (2)填表如下：x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 …(3)描点作图如下：11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．(1)y＝2(x＋1)2(2)y＝－4(x－5)2.解：(1)由y＝2(x＋1)2可知，二次项系数为2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5，顶点坐标为(5，0)．12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值．解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5，故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小；∵－3＜0，∴二次函数的开口向下，当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)．(1)求a和h的值；(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式．解：(1)∵对称轴为x＝－2，∴h＝－2，∵与y轴交于点(0，2)，∴a·22＝2，∴a＝1 2；(2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝12(x－2)2.14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式．(2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∴关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，∴关于y轴对称的抛物线的函数解析式为y＝2(x＋h)2；(2)抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∵关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向不变，∴关于y轴对称的抛物线解析式为y＝a(x＋h)2；∵关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变，∴关于x轴对称的抛物线解析式为y＝－a(x－h)2；∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向改变，∴关于原点对称的抛物线解析式为y＝－a(x＋h)2.15．在直角坐标平面内，已知抛物线y ＝a (x －1)2(a ＞0)顶点为A ，与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC 为直角三角形时，求a 的值．图22－1－17解：∵y ＝a (x －1)2(a ＞0)的顶点为A ，所以点A 的坐标为(1，0)． 由x ＝0，得y ＝a ，所以点C 的坐标为(0，a )， 由x ＝3，得y ＝4a ，所以点B 的坐标为(3，4a )，所以有⎩⎨⎧AC 2＝1＋a 2AB 2＝4＋16a 2BC 2＝9＋9a2(1)若BC 2＝AC 2＋AB 2得 9＋9a 2＝1＋a 2＋4＋16a 2即a 2＝12，a ＝±22，因为a >0，∴a ＝22；(2)若AB 2＝AC 2＋BC 2 得4＋16a 2＝1＋a 2＋9＋9a 2即a2＝1，a＝±1.∴a>0，∴a＝1；(3)若AC2＝AB2＋BC2得1＋a2＝4＋16a2＋9＋9a2即a2＝－12，无解．综上所述，当△ABC为直角三角形时，a的值为1或2 2 .第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质[见B本P16]1．抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是( A )A．(3，1) B．(3，－1)C．(－3，1) D．(－3，－1)2．对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2C．3 D．4【解析】①∵a＝－12<0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝－1，错误；③顶点坐标为(－1，3)，正确；④∵x>－1时，y随x的增大而减小∴x>1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C.3．下列二次函数中，图象以x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( C )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3【解析】设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋k，把点(0，1)代入检验．4．如图22－1－18，关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是( D )图22－1－18A．顶点坐标是(1，－2)B．对称轴是直线x＝1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小5．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( A )A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－36．[2013·雅安]将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D )A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x2【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；再向下平移3个单位为：y＝x2＋3－3，即y＝x2.故选D.7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A )图22－1－19A．m＝n，k>h B．m＝n，k<hC．m>n，k＝h D．m<n，k＝h8．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2，y＝－12x2－1，y＝－12(x＋1)2－1的图象，并列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标．解：列表如下：xy＝－12x2y＝－12x2－1y＝－12(x＋1)2－1－4－5.5－3－4.5－5.5－3－2－2－3－1.5－1－0.5－1.5－100－1－1.51－0.5－1.5－32－2－3－5.53－4.5－5.5描点、连线如图：抛物线对称轴顶点坐标y＝－12x2，即y＝－12(x－0)2＋0x＝0(0，0)y＝－12x2－1，即y＝－12(x－0)2＋(－1)x＝0(0，－1)y＝－12(x＋1)2－1，即y＝－12[x－(－1)]2＋(－1)x＝－1(－1，－1) 9．已知：抛物线y＝(x－1)2－3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)当x____________时，y随x的增大而减小，当x____________时，y随x的增大而增大．解：(1)抛物线y＝(x－1)2－3，∵a＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－3)；(2)∵对称轴是x＝1∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，∴可设为y＝a(x－1)2－1，当x＝0时，y＝0，∴0＝a(0－1)2－1，a＝1，所求函数解析式为y＝(x－1)2－1.11．二次函数y＝x2的图象如图22－1－20所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0?图22－1－20解：(1)画图略．依题意得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x－1，∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1；(2)当y＝0时，即x2－2x－1＝0，∴(x－1)2＝2，∴x－1＝±2，∴x1＝1－2，x2＝1＋2，∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．由图可知，当x＜1－2或x＞1＋2时，二次函数y＝x2－2x－1的函数值大于0.12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x －h)2＋k，则下列结论正确的是( A )图22－1－21A．h>0，k>0 B．h<0，k>0C．h<0，k<0 D．h>0，k<0【解析】∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0.故选A.13．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图22－1－22所示，则一次函数y＝ax ＋c的大致图象可能是( A )【解析】根据二次函数开口向上知a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过一、二、三象限，故选A.14．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y ＝－(x＋1)2－2__．【解析】二次函数y＝(x－1)2＋2顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y ＝－(x ＋1)2－2.15．二次函数y ＝－(x －2)2＋94的图象与x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23画出图象来分析)．图22－1－23【解析】 令－(x －2)2＋94＝0，解得x 1＝12，x 2＝72，抛物线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，94，画出图象，图象与x 轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个．16．已知抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a 的值；(2)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m <n <3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小． 解：(1)∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2) ∴a (1－3)2＋2＝－2 ∴a ＝－1.(2)解法一：由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下 在对称轴x ＝ 3的左侧，y 随x 的增大而增大∵m<n<3∴y1<y2解法二：由(1)得y＝－(x－3)2＋2∴当x＝m时，y1＝－(m－3)2＋2当x＝n时，y2＝－(n－3)2＋2y－y2＝(n－3)2－(m－3)21＝(n－m)(m＋n－6)∵m<n<3∴n－m>0，m＋n<6，即m＋n－6<0∴(n－m)(m＋n－6)<0∴y1<y217．如图22－1－24，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．图22－1－24解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0. 解得m ＝－1，∴二次函数的解析式是y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3， ∴C (0，3)，∵点B 与C 关于x ＝2对称， ∴B (4，3)，于是有⎩⎨⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1，∴一次函数的解析式是y ＝x －1. (2)x 的取值范围是1≤x ≤4.。
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》综合练习(附答案)
22.1二次函数图像性质 综合练习题(附答案)1、函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。
2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。
4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。
5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。
6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。
求：（1）求出此函数关系式。
（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。
7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。
2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。
2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y 。
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。
《26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质》同步练习(含答案解析)
26.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象与性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象1．二次函数y ＝－5x 2的图象开口________，对称轴为________，顶点坐标为________． 2．抛物线y ＝ax 2(a <0)经过( )A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限3．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝1100v 2，则下列表示s 与v 之间函数关系的图象为( )图26－2－14．2020·启东市校级月考已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象可能是( )26－2A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． (1)y ＝－3x 2； (2)y ＝14x 2.知识点 2 二次函数y ＝ax 2的性质6．在二次函数y ＝－14x 2中，当x >0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2; 当x <0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“<”)7．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．关于二次函数y ＝12x 2，有下列说法：(1)其图象是轴对称图形；(2)当x <0时，y 随x的增大而减小；(3)当x >0时，y 随x 的增大而增大；(4)当x ＝0时，y 有最小值．其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．2020·连云港已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)经过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>010．已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)． (1)求a 的值；(2)当x ＝3时，求出y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．11．如图26－2－3，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )图26－2－3A ．4B ．8C ．12D ．1612．函数y ＝k (x －k )，y ＝kx 2与y ＝kx (k ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象正确的是( )图26－2－413．定义运算“※”为：a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab 2（b >0），－ab 2（b ≤0），如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y ＝2※x 的图象大致是( )图26－2－5 14．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的值为________．15．根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；(2)二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值．16．教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响．17．如图26－2－6①所示，P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，点A 的坐标为(4，0)．(1)设点P 的坐标为(x ，y )，试求出△AOP (O 为坐标原点)的面积S 关于点P 的横坐标x 之间的函数关系式；(2)试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S 关于x 的函数图象．图26－2－618.如图26－2－7，平行于x 轴的直线AC 与抛物线y 1＝x 2(x ≥0)和y 2＝x 23(x ≥0)分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝________．图26－2－7详解详析1．向下 y 轴(或直线x ＝0) (0，0)2．B [解析] ∵a <0，∴抛物线的开口向下． 又∵抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为(0，0)， ∴该抛物线经过第三、四象限．故选B.3．C [解析] 因为1100>0，所以函数s ＝1100v 2的图象开口向上．由于自变量v >0，故选C.4．B [解析] 当a ＞0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y ＝ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当a ＜0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y ＝ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确．∴两函数的图象可能是②③，故选B.5．略 6．< >7．B [解析] 抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2的开口向上，y ＝－x 2的开口向下，故①错误；抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴，②③正确；④错误．故选B. 8．D 9．C [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)，∴A (－2，y 1)关于y 轴的对称点的坐标为(2，y 1)．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 1>y 2>0.故选C.10．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)， ∴a ×1＝3， ∴a ＝3.(2)把x ＝3代入y ＝3x 2中，得y ＝3×32＝27. (3)抛物线的开口向上；坐标原点是该抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可)．11．B [解析] 由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.故选B.12．C [解析] 一次函数y ＝k (x －k )＝kx －k 2， ∵k ≠0，∴－k 2＜0，∴一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上．A 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，A 不正确；B 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，B 不正确；C 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴上，C 正确；D 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，D 不正确．13．C [解析] y ＝2※x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（x >0），－2x 2（x ≤0）.当x ＞0时，图象是抛物线y ＝2x 2对称轴右侧的部分；当x ≤0时，图象是抛物线y ＝－2x 2对称轴左侧的部分．故选C.14．2 [解析] 因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系数大于0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －4＝2，k ＋2＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3或k ＝2，k >－2，∴k ＝2.15．解：(1)∵二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＋3＜0，解得m ＜－3.(2)∵二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值，∴2m －1＞0，解得m ＞12.16．解：(1)列表如下：连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a |相同，两条抛物线的形状就相同；|a |越大，抛物线的开口就越小． 17．解：(1)由于P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ，y )，所以点P 到x 轴的距离为y ＝x 2，所以S ＝12×4×x 2＝2x 2(x ＞0)．(2)由于x >0，所以画出的图象为抛物线S ＝2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图．18．3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，a )，令x 2＝a ，解得x ＝a (负值已舍去)，∴点B (a ，a )．令x 23＝a ，则x ＝3a (负值已舍去)，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ，∴点D 的纵坐标为(3a )2＝3a ， ∴点D 的坐标为(3a ，3a )．∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a . 令x 23＝3a ，∴x ＝3 a (负值已舍去)，∴点E 的坐标为(3 a ，3a )， ∴DE ＝3 a －3a . 故DE AB ＝3 a －3a a＝3－ 3.。
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二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 专题练习题
1．二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
2．抛物线y＝x2＋4的顶点坐标是( )A．(4，0) B．(－4，0) C．(0，－4) D．(0，4)
3．在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是( )
A．(1，0) B．(0，0) C．(0，－1) D．(1，1)
4．抛物线y＝12x2－3的对称轴为_______ ．5．二次函数y＝x2＋1的最小值是____．
6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a<0)的图象上，若x1>x2>0，则y1____y2.(填“>”“<”
或“＝”)
7．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过点(1，3)，求此抛物线的解析式．
8．抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2怎样平移得到的( )
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
9．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( )
①y＝－3x2；②y＝－12x2；③y＝－12x2－1；④y＝2x2＋1；⑤y＝5x2－3；⑥y＝－5x2＋13.
A．①④ B．②③ C．⑤⑥ D．②③④
10．在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )
11．已知二次函数y＝2x2＋3的图象上有三点A(2，y1)，B(5，y2)，C(－5，y3)，则y1，y2，y3的大
小关系为( )
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
12．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( )
A．a＋c B．a－c C．－c D．c
13．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图象的顶点是(3，2)；③图象与x轴没有交
点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是___ _．
2
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物
线y＝13x2于点B，C，则BC的长度为____．
15．求符合下列条件的抛物线的解析式：
(1)将抛物线y＝－x2先向上平移1个单位长度，再绕其顶点旋转180°；
(2)抛物线y＝ax2＋1经过点(1，0)；
(3)抛物线y＝ax2－1与直线y＝12x＋3的一个交点是(2，m)．
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位．
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
3
答案：
1—3 CDA
4. y轴
5. 1
6. <
7. 解：设此抛物线的解析式y＝ax2＋2，则3＝a＋2，解得a＝1，∴此抛物线的解析式为y＝x2＋2
8---12 CBCBD
13. ①③
14. 6
15. 解：(1) y＝x2＋1 (2) y＝－x2＋1 (3) y＝54x2－1
16. 解：(1)y＝－12x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴
(2)x＝0时，y有最大值为2