蒲丰投针问题
蒲丰投针――MonteCarlo算法
蒲丰投针 ―― Monte Carlo 算法背景：蒙特卡罗方法（Monte Carlo ），也称统计模拟方法，是在二次世界大战期间随着科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为基础的一类非常重要的数值计算方法。
蒙特卡罗方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。
蒙特卡罗方法的名字来源于世界著名的赌城 —— 摩纳哥的蒙特卡罗。
其历史起源可追溯到1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周的方法 —— 随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
问题：设在平面上有一组平行线，间距为d ，把一根长L 的针随机投上去，则这根针和平行线相交的概率是多少？(其中 L < d )分析：由于 L < d ，所以这根针至多只能与一条平行线相交。
设针的中点与最近的平行线之间的距离为 y ，针与平行线的夹角为 θ (0 ≤ θ ≤ π)。
相交情形 不相交情形易知针与平行线相交的充要条件是：sin 2Ly x θ≤=由于1[0,], [0, ]2y d θπ∈∈，且它们的取值均满足平均分布。
建立直角坐标系，则针与平行线的相交条件在坐标系下就是曲线所围成的曲边梯形区域（见右图）。
所以有几何概率可知针与平行线相交的概率是sin d 2212LL p d d πθθππ==⎰Monte Carlo 方法：随机产生满足平均分布的 y 和 θ，其中1[0,], [0, ]2y d θπ∈∈，判断 y 是否在曲边梯形内。
重复上述试验，并统计 y 在曲边梯形内的次数 m ，其与试验次数 n 的比值即为针与平行线相交的概率的近似值。
clear;n = 100000; L = 1; d = 2; m = 0;for k = 1 : ntheta = rand(1)*pi; y = rand(1)*d/2;if y < sin(theta)*L/2m = m + 1; end endfprintf('针与平行线相交的概率大约为 %f\n', m/n)计算π的近似值利用该方法可以计算 π 的近似值：sin d 22 22 1n LL m p d m d L d n πθθπππ⇒≈==≈⎰下面是一些通过蒲丰投针实验计算出来的 π 的近似值：蒲丰投针问题的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π值，而是在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
几何概型与蒲丰投针问题
新教师教学课例研究在蒲丰提出投针问题之前，传统随机概型的事件个数是有限的。
蒲丰投针问题将随机事件的个数由有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。
传统蒲丰投针问题的结果可以由微积分等多种方法解得，由于该结果包含无理数π，数学家们也用蒲丰投针过程来模拟估计π的值。
通过对蒲丰投针及其推广问题的解答过程的研究，可以进一步理解几何概型的含义，同时，通过研究数学家们对投针问题结果的应用，可以更好地理解不同领域之间的相互交叉和共同发展。
一、蒲丰投针问题的突破性提出与概率论发展史（一）概率论的起源概率论起源于赌博问题。
18世纪，雅各布.伯努利的《猜度术》和亚伯拉罕•棣莫弗的《机遇论》的诞生使得概率论具有了数学基础，这两本书中也给出了一系列计算复杂概率问题的方法。
伯努利证明了一系列基础的大数定理，这些定理表明在大量的随机试验中，平均结果很可能趋近于均值。
在很长的一段时间里，概率论的研究对象都是有限个离散的随机事件，直到蒲丰投针问题提出，数学家们的研究对象才从古典概型扩展到了几何概型。
（二）蒲丰投针的突破性提出及其意义古典概型是指包含有限个等可能随机事件的概率模型，在很长一段时间内是数学家们的研究主题。
1777年法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将随机事件的个数从有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。
后来数学家们将投针问题扩展到投小圆片等，这一类问题都被称之为“蒲丰问题”。
这些问题都具有无限个等可能的随机事件。
因为蒲丰投针问题的结果恰好和π相关，而当时人们普遍关注π的近似计算，因此蒲丰投针问题获得了很大进展。
曾经有数学家自己进行数千次投针实验，利用频率近似等于概率的思想得到无理数π的近似值。
在蒲丰提出投针问题的时候，数学家们并没有预料到这个突破性地引出了几何概型的经典问题，在未来会被如此之多地应用到无理数π的近似求解中。
二、蒲丰投针问题及其推广（一）经典蒲丰投针问题及其解答经典的蒲丰投针问题是：在平面上有一组间距为a 的平行线，将一根长度为l 的针（l a ）随机地投掷到平面上，求针和平行线相交的概率。
投针试验--北师大版
——毕达哥拉斯
义务教育课程标准实验教科书 九年级 上 册
6.2
投 针 试 验
温二十中
你闻到了吗？
相信自己，勇 敢的表达自己 的想法！
课外冲浪
蒲丰投针法国自然哲学家蒲丰先生经 常搞点有趣的试验给朋友们解闷。 1777年的一天，蒲丰先生又在家里 为宾客们做一次有趣的试验，他先在 一张白纸上画满了一条条距离相等的 平行线。然后，他抓出一大把小针， 每根小针的长度都是平行线之间距离 的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小 针一根一根地往纸上随便扔吧。”客 人们好奇地把小针一根一根地往纸上 乱扔。
π的试验值
3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5 3.141 592 9 3.17 5
课外冲浪
用计算机实现统计模拟或抽 样，以获得问题的近似解，称为 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法， 又称统计模拟法或统计试验法。 它是以概率和统计的理论为基础 的一种计算方法，他将所求解的 问题与一定的概率模型相联系。
准确、美观、独特、创新…的制作表1
Just do it!
分工合作：统计全班的试验数据 实验次数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700
相交频数 相交频率
请每组同学利用全班的试验数据制作折线统计图； 通过本次试验、统计的过程，你什么发现和感想吗？
投针试验的历史资料
我的课堂，我做主
小组讨论： 用几句话归纳这节课的几个环节 完成了这节课的学习，对我影响最深的学 习体验是什么？
这节课还存在的疑惑是什么？又将如何去解决？
课外冲浪
最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次， 其中与直线相交的就有704次。用704去除2212， 得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π 的近似值。”这时，众宾客哗然：“圆周率π? 这根本和圆沾不上边呀?”蒲丰先生却好像看透 了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀 疑，这的确就是圆周率π的近似值。你们看，连 圆规也不要，就可以求出π的值来。只要你有耐 心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精 确。”这就是数学史上有名的“投针试验”。
第二节 引例
结合图 8．2 中的图形(1)分析，只要已知各种参数及函数（a，b，H，f(x)） ，有以下两种 方法可近似计算水塘面积．
1．随机投点法 1）赋初值：试验次数 n=0，成功次数 m=0；规定投点试验的总次数 N；
2）随机选择m个数对 xi , y i ,1 < i < m, ，其中 a < xi < b,0 < y i < H ，置 n＝n＋l； 3）判断 n ≤ N ，若是，转 4，否则停止计算； 若成立则置m=m+1， 转 2， 4） 判断条件 y i < f ( xi ) (表示一块溅水的石头)是否成立， 否则转 2； 5）计算水塘面积的近似值 S = H × (b − a ) × m / N ．
拓展资料-蒲丰投针及蒙特卡罗模拟
概率模型的随机模拟与蒲丰投针实验第1章模拟** 模拟的概念每一个现实系统外部环境之间都存在着一定的数学的或者逻辑的关系，这些关系在系统内部的各个组成部分之间也存在。
对数学、逻辑关系并不复杂的模型，人们一般都可用解析论证和数值计算求解。
但是，许多现实系统的这种数学、逻辑模型十分复杂，例如大多数具有随机因素的复杂系统。
这些系统中的随机性因素很多，一些因素很难甚至不可以用准确的数学公式表述，从而无法对整个系统采用数学解析法求解。
这类实际问题往往可以用模拟的方法解决。
模拟主要针对随机系统进行。
当然，也可以用于确定性系统。
本文讨论的重点是其中的随机模拟。
采用模拟技术求解随机模型，往往需要处理大批量的数据。
因此，为了加速模拟过程，减少模拟误差，通常借助于计算机进行模拟，因此又称为计算机模拟。
计算机模拟就是在已经建立起的数学、逻辑模型的基础之上，通过计算机试验，对一个系统按照一定的决策原则或作业规则，由一个状态变换为另一个状态的行为进行描述和分析。
** 模拟的步骤整个模拟过程可以划分为一定的阶段，分步骤进行。
(1)明确问题，建立模型。
在进行模拟之前，首先必须正确地描述待研究的问题，明确规定模拟的目的和任务。
确定衡量系统性能或模拟输出结果的目标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状态变量之间的关系，以此为基础建立所研究的系统模型。
为了能够正确反映实际问题的本质，可先以影响系统状态发生变化的主要因素建立较为简单的模型，以后再逐步补充和完善。
(2)收集和整理数据资料。
模拟技术的正确运用，往往要大量的输入数据。
在随机模拟中，随机数据仅靠一些观察值是不够的。
应当对具体收集到的随机性数据资料进行认真分析。
确定系统中随机性因素的概率分布特性，以此为依据产生模拟过程所必需的抽样数据。
(3)编制程序，模拟运行。
选择适当的计算机语言。
按照系统的数学、逻辑模型编写计算机程序。
然后可以进行调试性模拟，分析模拟结果是否能够正确地反映现实系统的本质。
小学趣味数学：比丰投针问题
小学趣味数学：比丰投针问题
比丰投针问题（Buffon'sneedleproblem）是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
这问题是十八世纪法国数学家比丰和勒克莱尔提出的，并记载于比丰1777年出版的著作中──“在一平面上画有一组间距为d的并行线，将一根长度为L（L<d）的针任意投掷这个平面上，求此针与任一并行线相交的概率。
”。
比丰证明了该针与任意并行线相交的概率为p=2L/（dπ）。
利用这公式，将这一试验重复进行多次，并记下相交的次数，便得到p的经验值，即可算出圆周率π的近似值。
1850年沃尔夫在投掷五千多次后，得到π的近似值为3.1596.1855年英国人史密斯投了3200次，得到π的值为3.1533.
另一英国人福克斯只投了1100次，却得到了精确的三位小数的π值3.1419.直到目前，用这方法得到最好π值的是意大利人拉泽里尼，他在1901年投了3408次，得到的圆周率近似值精确到6位小数。
比丰投针问题开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，对概率论的发展有一定贡献。
——来源网络，仅供个人学习参考1 / 1。
简述蒲丰投针的原理
简述蒲丰投针的原理蒲丰投针，又称为“蒲扇投针”，是一种古老的传统技艺，源于中国民间，被列为国家级非物质文化遗产。
它以独特的技巧和准确度令人惊叹，是一项需要长时间的训练和精确动作的艺术表演。
蒲丰投针是通过将一枚针射出，然后立即由另一只折扇迅速击落这枚针。
表演者通常会用嘴巧妙地抓住一枚针，然后用手迅速将其放入弹弓设备中。
然后他们会用嘴接住折起来的扇子，并将其放在弹弓的侧面。
最后，当他们用力按下弹弓时，针会被迅速射出，被折叠的扇子迅速击中，使针钉在靶上。
这个过程，虽然看似简单，但实际上非常考验投针者精湛的技巧和敏捷的反应能力。
他们必须在非常短的时间内完成将针射出和击中的动作，并且必须非常准确。
这需要长时间的练习和耐心，才能达到高超的水平。
蒲丰投针的原理基于物理学中的一些基本原理。
首先，投针者在将针放入弹弓时，需要精确掌握弹弓的力度和方向。
这样才能使针以合适的速度射出并朝向目标。
其次，投针者在接住折扇时，需要准确而迅速地将其放在弹弓的侧面。
这样才能确保喷出的空气流能够迅速击中针，并使其飞向目标。
最后，针需要在短短的瞬间内被击中，因此需要投针者具备快速反应和敏锐的观察能力。
除了物理原理外，蒲丰投针还依赖于投针者的技巧和经验。
投针者需要通过长时间的训练和反复练习，熟练掌握每一个动作的细节，从而能够准确地完成整个过程。
投针者还需要在训练过程中不断提高反应能力和准确度，以便在表演中达到更好的效果。
蒲丰投针不仅是一种技术，更是一门艺术。
在表演中，投针者需要将技术与表演技巧相结合，以吸引观众的眼球。
他们通常会进行一系列的吸引人的动作和花样，以展示自己的技艺和敏捷度。
这使得蒲丰投针成为一种具有观赏价值和娱乐性的表演艺术形式。
总之，蒲丰投针是一项以准确度和技巧为基础的艺术表演。
它通过将针射出并用折扇击中目标，展示了投针者的精湛技巧和敏捷度。
在演练中，投针者需要准确掌握弹弓的力度和方向，并在非常短的时间内完成各个动作。
这需要长期的训练和经验，以及反应能力和观察力的提高。
蒲丰投针 2
• 1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用 一根长36mm的针，平行线间距为45mm，投 掷5000次，得π ≈3.1596. • 1864年，英国人福克投掷了1100次，求得 π ≈3.1419.1901年，意大利人拉泽里尼投 掷了3408次，得到了准确到6位小数的π 值 .
2013-3-24
• 其中投针问题可述为：设在平面上有一组
平行线，其距都等于D，把一根长l<D的针 随机投上去，则这根针和一条直线相交的 概率是2l/π D.由于通过他的投针试验法可 以利用很多次随机投针试验算出π 的近似 值，所以特别引人瞩目，这也是最早的几 何概率问题.并且蒲丰本人对这个实验给予 证明。
2013-3-24
在考虑一个以r(r <l/2)为半径的硬币与平 面上画有间距为l的平行线相交的概率时, 假设硬币的周长为c, c=2π r, 则其概率结 果可以改写成: P0 =2r/ l =2π r/ (π l) =c/ (π l).
• 从上面的结果发现, 它们的形式是一 样的, 都是周长除以π l的形式，本小 组从中得到启发: 在蒲丰问题中, 对 投掷一个一般的凸多边形来说, 它与 平行线相交的概率可能与这个凸多边 形的周长密切相关.
2013-3-24
蒲丰投针问题研究史
• 蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针
问题闻名于世，发表在其1777年的论著《 或然性算术试验》中.其中首先提出并解决 下列问题：把一个小薄圆片投入被分为若 干个小正方形的矩形域中，求使小圆片完 全落入某一小正方形内部的概率是多少， 接着讨论了投掷正方形薄片和针形物时的 概率问题.这些问题都称为蒲丰问题.
2013-3-24
• 解 1) 和三角形与平行线相交的讨论相似, 四边形与平行 线相交也有5种情形: • ①四边形只有一个顶点在一条平行线上(1个交点) (如图(a)） • ②四边形有两条边分别与平行线相交(2个交点) (如图(b)）； • ③平行线过四边形的对角线(2个交点) (如图(c)); • ④四边形的某一顶点恰好在平行线上, 其对应的某一边也 在同一条平行线上(2个交点) (如图(d)); • ⑤四边形的某一条边与平行线重合(无穷多个交点) (如图 (e)).
改进的蒲丰投针问题探究
次运用概率 的方法求 出 了 订的近似值 ． 在 蒲丰投针 问题
：
中平 面内有等距 的平行 线 ，假设平行线之 间的距 离为 ｌ ， 向
一
平 行线 中任意 的投 一根长 为 ａ的针 ， 当ａ ＜ ｌ 时． 我们 得到针
与平行线相交的概率 Ｐ － — ＿． ｌ 关于蒲丰投针问题； Ｎ ： 针与垂直线相交． 假设 上述事件发生分别是 ｎ 和ｎ 。
－
Ｖ 竹 （ 孚一 ） ＝
可 以看 出我们 通过新 的方法 求 出的 订 值 比经 典蒲 丰 投针实验更加精确并且在运算的过程中效率更高－ 由于在平
面 内只有正 四边形 ， 正三角形 ， 才能构成 一个 没有缝 隙的平
Ｖ Ｉ ｒ ｄ ＋ １
一
百
整体的平均估 计值 １ Ｔ ：
）
盯 ＝
半
、 ／ ｄ
Ｖ 竹 （ 孚一 ） ＝
当ｌ ／ ｄ ＝ １ 时有最小值 ， 渐进方差为 对于 ＇ ７ Ｉ ＂ ２， ～ 易知也 为 的无偏估计 ， 设
４ 正 四边 形 组 成 的 平 面 内投 针 所 得 的 概 率
竹ｃ ｌ
我们设 ｎ为投针的次数 ， ｎ 为与平行线相 交的次数 ， 则
概率 Ｐ ＝ ， 所 以估计值 叮 ｒ
订 ＝
研究成果 ． 大多数将 蒲丰投入平 行线 中的针 进行变形 ， 从 而 变成 弯针投入平行线 中 ， 部分将 针变化成多变形 ， 有 的甚至 变成立方体 ， 从 而将 蒲丰投针 实验推广 到三维空 间中． 本 文 阐述 了在针 的形状 不改变的情况下投入 由多边形组成 的平
第３ １卷 第 ９期 （ 上）
２ ０ １ ５年 ９月
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
几何概型及蒲丰投针试验主讲
注：几何度量是指长度、面积、体积。
几何概型的应用
例1：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻 有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它 停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区 间 [2 , 3] 上的概率。
2 0 3 4
1
几何概型的应用
例2：甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点 会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方 可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他 y 们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点 的机会是等可能的。 30
蒲丰Comte de Buffon
1707～1788， 法国数学家， 自然科学家， 几何概率的 开创者，以 蒲丰投针问题 闻名于世。
蒲丰投针问题 Buffon’s needle problem
在平面上画有等距离 为2a(a 0) 的一些平 行线，向平面上随机 投一长 2 L ( L a ) 的 针。1768年，蒲丰利 用投针试验估计值。
课后作业
几何概型 ：P17：15 ，P31:14，思考题 蒙特卡罗方法：对蒲丰投针试验进行蒙特 卡罗模拟，取a=2,l=3,得到的值。
几何概型Geometric Probability
问题 1 ：假设车站每隔 10 分钟发一班车， 乘客随机到达车站，问等车时间不超过 3 分 钟的概率 ？ 问题 2 ： 已确定失事飞机的黑匣子可能落在 面积 1 000平方公里的海域，调查人员每次 出海搜索的区域面积为 50 平方公里，假设在 这片海域随机地选择一点进行搜寻，问能够 找到黑匣子的概率是多少？
Monte Carlo名字的由来
Monte Carl是由Metropolis在二次世界大战 期间提出的：Manhattan计划，研究与原子 弹有关的中子输运过程。
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蒲丰投针问题.txt世上有三种人：一是良心被狗吃了的人，二是良心没被狗吃的人，三是良
心连狗都不吃的人。︶﹋丶 爱情是个梦，而我却睡过了头﹌蒲丰投针问题
1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投
针问题。这一方法的步骤是：
1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。
2) 取一根长度为l（l
3）计算针与直线相交的概率．
18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著
作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l
d) π为圆周率 利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。
下面是一些资料
实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值
沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596
史密斯 1855 3204 1219 3.1554
德摩根 1680 600 383 3.137
福克斯 1884 1030 489 3.1595
拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929
赖纳 1925 2520 859 3.1795
布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定
性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。
像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法
称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算
机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、
社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。
法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验。并于1777年给出了针与平行线相
交的概率的计算公式P=2L/πd(其中L是针的长度，d是平行线间的距离，π是圆周率)。
由于它与π有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。
此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与
π有关。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量
（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法
已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
投针试验——计算π的最为稀奇的方法之一
计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：
在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；
如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．
布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如
果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π
的值．
公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——
准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他
州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道
发现π，这是着实令人惊讶的！
证明
下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线
间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交
点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。 现在设想把圆圈拉
直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂
些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。 由于圆圈和直线
的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交
点的总数可望也是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点
总数应大致为2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟
平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。为了求
出k来，只需注意到，对于l=πd的特殊情形，有m=2n。于是求得k=(2n)/(πd)。代入前式
就有：m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm)