高中数学 第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法学案 苏教版必修1
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 向量的加减法 第1课时 向量的加法
解 作出图形,如图.船速船 与岸的方向成角,由图可知
水 + 船 = 实际 ,结合已知条件,四边形为平行四边形.
在Rt △ 中,
= = 水 = 10 m/min,
= 船 = 20 m/min,
所以cos =
=
10
20
1
2
= ,
所以 = 60∘ ,从而船与水流方向成120∘ 的角.
①④
③ + + + ；④ + + + .其中结果为0的是______（填序号）.
[解析]① + + = + = ;
② + + + = + + + = + = ≠ ;
图①
方法二:利用平行四边形法则作 + + ,如图②所示,作 = , = , = ,以
,为邻边作▱,则 = + ,再以,为邻边作▱,则
= + = + + .
图②
【题型二】向量加法及运算律
例2[2023启东检测]已知下列各式:① + + ；② + + + ；
（2）以这两个已知向量为邻边作平行四边形.
（3）平行四边形中,与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.
跟踪训练1如图所示,已知向量,,,试作出向量 + + .
解 方法一:利用三角形法则作 + + ,如图①所示,作 = ,以为起点,作 = ,
再以为起点,作 = ,则 = + = + + = + + .
高中数学 3.1.1《空间向量及其线性运算》教学案 苏教版选修2-1
3.1.1空间向量及其线性运算班级 姓名一、教学目标1.运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；2.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3.理解空间向量共线的充要条件. 二、重难点空间向量及其线性运算，共线、共面定理、空间向量基本定理及其运用. 三、课前预习1. 的量称为向量.2. 叫做AB 的模，记作 .3. 向量叫做零向量.记作 .4. 向量叫做单位向量.5. 向量叫做平行向量.6.由于平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称为 .7.向量加法的三角形法则、向量家法的平行四边形法则、向量减法法则.8.空间向量的加法和数乘运算律满足如下运算律：（1） ； （2） ； （3） .9.共线向量定理： . 四、典型例题例1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1CB BA +；（2）112AC CB AA ++； （3）1AA AC CB --.例2.如图，在长方体111OADB CA D B -中，OA=3，OB=4，OC=2，OI=OJ=OK=1，点E ，F 分别是DB ，11D B 的中点.设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和.OF五、随堂练习1.给出下面命题：①空间向量,,a b c ，若a b =，且.b c =则必有a c =.②,a b 为空间两个向量，若,a b =则a b =.③若a ∥b ，则表示a 与b 的有向线段所在直线平行.其中错误．．命题的序号是 .2.如图在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，CF=2FD,连接EF ，CE ，AF ，BF.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）AC CB BD ++； （2）AF BF AC --；（3）1223AB BC CD ++. （第2题）FE DA（第3题）C1B1A1FEDA3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是上底面1111A B C D 和侧面11CDD C 的中心，求下列各题中m ，n 的值：（1）1AE mAB nAD AA =++； （2）1AF mAB AD nAA =++.4.已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，,,,AB a AD b AP c ===E 为PC 的中点，试用,,a b c 表示向量CE .六、小结：1.共线向量； 2.共线向量定理.。
新教材高中数学第9章平面向量9.2向量运算9.2.1第1课时向量的加法课件苏教版必修第二册
[解] (1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋ B→E＝G→E.
→ AC
[(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝A→B＋B→O＋O→M＋M→B＋B→C
＝A→C.]
3．A→B＋B→C＋C→A＝________. 0 [A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0.]
合作 探究 释疑 难
向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【例 1】 如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
②平行四边形法则：
如图，已知两个不共线的非零向量 a，b，作O→A＝a，O→C＝b，以
_O_A_， _O_C_为邻边作▱OABC，则以 O 为起点的对角线表示的向量O→B
＝a＋b，这个法则叫作向量加法的平行四边形法则．
思考：向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量 的加法都适用？
提示：向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以实施；向 量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量．
[思路点拨] 根据三角形法则或平行四边形法则求解．
[解] 法一：可先作 a＋c，再作(a＋c)＋b，即为 a＋b＋c(用到向 量加法运算律)．
如图①，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量 A→B＝c，则得向量O→B＝a＋c，然后作向量B→C＝b，则向量O→C＝a＋b ＋c 为所求．
第9章 平面向量
9.2 向量运算 9.2.1 向量的加减法 第1课时 向量的加法
学习目标
核心素养
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法 的物理意义及其几何意义．(重点)
1.通过向量加法的 概念及向量加法法
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法 则的学习，培养数学
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算2课件
(2)
(3)
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一
二
思维(sīwéi)
辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)方向相反的向量就是(jiùshì)相反向量. (
(2)相反向量一定是共线向量. (
(3)相反向量的模一定相等. (
)
)
)
(4)向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算. (
(3)因为邻边相等的平行四边形是菱形,所以要使 ABCD 是菱形,
应满足||=||,即|a|=|b|.
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角
2.2.2 向量减法(jiǎnfǎ)运算及其几何意义
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课 标 阐 释
思 维 脉 络
1.理解相反向量的概念.培养
数学抽象素养.
向量减法运算及其几何意义
2.理解向量减法的意义,掌握
相反向量
向量减法的运算法则及其几
向量减法定义
何意义.培养数学抽象及直观
想象素养.
向量减法 运算法则
【例 2】 如图,ABCD 是平行四边形,设=a,=b.
(1)试用 a,b 表示 , ;
(2)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是矩形?
(3)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是菱形?
分析结合向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则进行分析求
部编版2020高中数学 第二章 平面向量 第一讲 向量的概念及表示学案 苏教版必修1
向量的概念及表示二、重难点提示重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。
难点：向量的概念和共线向量的概念。
一、向量及相关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。
注意：向量与数量的区别向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。
故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。
（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定零向量与任一向量平行。
【要点诠释】两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。
向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。
平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。
二、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB用AB表示。
（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（a）与书写体a不一样。
（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。
【易错点】注意：1.零向量的手写体为0，书写体用黑体字0表示。
2. 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。
3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。
示例：四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD的形状是________。
思路分析：根据相等向量的定义可得。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法学案 苏教
2．2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法[学习目标] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答 不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).要点一 向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________.(3)在平行四边形ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O .则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FA → ＝AC →＋CF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式：①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 ①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二 利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．证明 AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： ①要把几何问题中的边转化成相应的向量； ②通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系． 跟踪演练2 下列命题：①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点． 其中真命题为________．答案 ②解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 可能三点共线，③错误． 要点三 向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝ 8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答． 跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度．设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10， ∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°， ∴∠CMB ＝30°，所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是________．①FD →＋DA →＋DE →＝0； ②AD →＋BE →＋CF →＝0； ③FD →＋DE →＋AD →＝AB →； ④AD →＋EC →＋FD →＝BD →. 答案 ①②③解析 FD →＋DA →＋DE →＝FA →＋DE →＝0； AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0； FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →； AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 2．下列结论正确的是________．①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. 答案 ①③解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，而不是0，②不正确． DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确．3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础达标1.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.①AD →；②DB →；③BC →；④CB →. 答案 ①③解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →＝AD →.2．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →.3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________________________________________________________________________.答案 2解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.4．如图在▱ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的有________．①AB →＝CD →，BC →＝AD →； ②AD →＋CO →＝BO →； ③AO →＋OD →＝AC →＋CD →；④AB →＋BC →＋CD →＝DA →. 答案 ②③5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________________________________________________________________________． 答案 8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8.∴|a ＋b |的最大值为8. 6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. 答案3解析 如图所示，OA →＋OB →＝OC →，|OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°， |OA →|＝|AC →|＝1， ∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →.证明 如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →，所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →. 因为D ，E ，F 分别为各边的中点， 所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0.所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 二、能力提升 8．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC→＝________________________________________________________________________.答案 0解析 如图所示，连结AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． 答案 20,4解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 10．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有AB →与AC →的夹角为90°.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD是平形四边形． 证明 如图所示．AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →. 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 为平形四边形． 三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置． 解 如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的和位移，即AC →＝AB →＋BC →， 在Rt△ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ， 在Rt△ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。
2018_2019学年高中数学第二章平面向量的线性运算(第1课时)向量加法运算及其几何意义教案(含解析)
第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果是位移AC，与从A点直接到C点的位移AC相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．对于零向量与任一向量(3)向量加法的运算律①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子AB＋BA＝0正确吗？提示：AB＋BA的和为零向量，即AB＋BA＝0，0不能写成0，故式子AB＋BA＝0不正确．[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律： .知识点1[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？ 提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2]三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示，AC ＝AB ＋AD (平行四边形法则)，又∵BC ＝AD ，∴AC ＝AB ＋BC (三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设OA ＝a ，∵a 与b 有公共点A ，故过A 点作AB ＝b ，连接OB 即为a ＋b .(2)如图ⓑ，设OA ＝a ，过O 点作OB ＝b ，则以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，连接OC ，则OC ＝OA ＋OB ＝a ＋b .类题·通法应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)．讲一讲2．化简下列各式：(1) AB＋DF＋CD＋BC＋FA；(2)( AB＋DE)＋CD＋BC＋EA.[尝试解答] (1) AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝AC＋CD＋(DF＋FA)＝AD＋DA＝0.(2)( AB＋DE)＋CD＋BC＋EA＝(AB＋BC)＋(CD＋DE)＋EA＝AC＋CE＋EA＝AE＋EA＝0.类题·通法解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：(1) BC＋CE＋EA；(2) OE＋AB＋EA；(3) AB＋FE＋DC.解：(1) BC＋CE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2) OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.(3) AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是| AB|＋|BC|；两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC.依题意，有| AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC|＝|AB―→|2＋|BC―→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.类题·通法利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设AB、BC分别是轮船的两次位移，则AC表示最终位移，且AC＝AB＋BC.在Rt△ABD中，|DB|＝20 km，|AD|＝20 3 km，在Rt△ACD中，|AC|＝|AD―→|2＋|DC―→|2＝40 3 km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b.则OB＝a＋b.2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b.题组2 向量加法运算3.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0解析：选A 因为D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以BE＝DF，CF ＝FA.又因为AD＋DF＋FA＝0，所以AD＋BE＋CF＝0，故选A.4．化简下列各式：①AB＋BC＋CA；②(AB＋MB)＋BO＋OM；③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC.其中结果为0的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B 由向量加法的运算法则知①④的结果为0.②③的结果分别为AB，BA.故选B.5．在矩形ABCD中，| AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于( ) A．2 5 B．4 5C．12 D．6解析：选B 因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.6．根据图示填空．(1) AB＋OA＝________；(2) BO＋OD＋DO＝________；(3) AO＋BO＋2OD＝________.解析：由三角形法则知(1) AB＋OA＝OA＋AB＝OB；(2) BO＋OD＋DO＝BO；(3) AO＋BO＋2OD＝AD＋BD.答案：(1) OB(2) BO(3) AD＋BD7．在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝________.解析：因为DC＋BA＝0，BC＋DA＝0，所以BC＋DC＋BA＋DA＝0.答案：08．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：(1) OA＋OC；(2) BC＋FE；(3) OA＋FE.解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以OA ＋OC＝OB.(2)因为BC与FE方向相同且长度相等，所以BC与FE是相等向量，故BC＋FE与BC方向相同，长度为BC长度的2倍，因此BC＋FE可用DA表示．所以BC＋FE＝－DA.(3)因为OA与FE长度相等且方向相反，所以OA＋FE＝0.题组3 向量加法的应用9．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设AB ＝a ，BC ＝b ，则AC ＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则|AC |＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用OA 表示雨滴下落的速度，OB 表示风使雨滴水平向东的速度．以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，OC 就是雨滴下落的实际速度．在Rt △OAC 中，|OA |＝4，|AC |＝433， ∴|OC |＝|OA ―→|2＋|AC ―→|2＝42＋⎝⎛⎭⎪⎫4332＝833， ∴tan ∠AOC ＝|AC ―→||OA ―→|＝4334＝33，∴∠AOC ＝30°.故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东. [能力提升综合练]1．设a ＝(AB ＋CD )＋(BC ＋DA )，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析：选C a ＝(AB ＋CD )＋(BC ＋DA )＝AB ＋BC＋(CD ＋DA )＝0， ∴①③⑤是正确的．2．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C 三点共线时，也满足AB＋BC＋CA＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则OA＋BC＋AB＝( )A．CD B．OCC．DA D．CO解析：选B OA＋BC＋AB＝OA＋AB＋BC＝OB＋BC＝OC.4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是( )A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．5．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.解析：∵|OA|＝|OB|且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，∴|a＋b|＝3 2.答案：3 26．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝________.解析：∵PA ＋PB ＝PC ，则四边形APBC 是平行四边形．又P 为△ABC 的外心，∴|PA |＝|PB |＝|PC |.因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且| AB |＝|AD |＝1，OA ＋OC ＝OB＋OD ＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC ＋BC |与|CD ＋BC |. 解：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ＝0，∴OA ＝CO ，OB ＝DO .∴四边形ABCD 是平行四边形．又| AB |＝|AD |＝1，知四边形ABCD 为菱形．又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．∴|DC ＋BC |＝| AB ＋AD |＝|AC |＝2|AO |＝3，|CD ＋BC |＝|BD |＝| AB |＝1.8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，|CD |＝| AB |＝|v 水|＝10 m/min ，|AD |＝|v 船|＝20 m/min ，∴cos α＝|CD ―→||AD ―→|＝1020＝12， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．。
苏教版高中数学选择性必修第二册6.1.1空间向量的线性运算(1)
数学应用
例2. 如图, 在平行六面体 ABCD-ABCD 中,用 AB, AD, AA
表示 AC, BD 及 DB.
解: AC AA AB BC
-AA AB AD
D A
C B
AB AD- AA.
D
C
BD BA AA AD
A
B
-AB AA AD
AA AD- AB.
DB DA AB BB -AD AB AA AB AA - AD.
AC CC AC.
A D
A
B C
B
数学应用
变1. 如图, 已知平行六面体 ABCD-ABCD , 化简下列各表达式, 并在图中标出化简结果的向量:
(1) AB BC; (3) AB AD 1 CC;
2
解: (3) AB AD 1 CC
2 AB BC 1 CC
2 AC 1 CC
当 l>0 时, la 与向量 a 方向相同; la 的长度是 a 的长度的 |l| 倍.
当 l<0 时, la 与向量 a 方向相反; la 的长度是 a 的长度的 |l| 倍.
当 l=0 时, la为零向量.
a
B
如:
3a
-22aa
C
D
A
AB 3a.
CD -2a.
2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律. 3.共线向量定理
6.推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量； A1A2 A2 A3 A3 A4 An-1An A1An
情景引入
O 正东
C
向上
B
正北
A
F2
F3
F1
如图：OA=6米，AB=6米， BC=3米，求OC的长。 如何用向量来研究？
平面向量的基本概念及线性运算 教案
一.易忽视零向量这一特殊向量
二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.
三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
四.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.
对于B，由题意得 ，又 ，所以 共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．
对于C，由题意得 ，又 ，所以 不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确．
对于D，由题意得 不共线，所以B、C、D三点不共线．
故选B．
3.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
巧用系数判共线
＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．
【题干】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量 与 相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
A.1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵E＋ ＝λ ＋μ ，
∴λ＋μ＝ ＋ ＝ .
【题干】设平面向量 不共线，若 ＝ ＋5 ， ＝－2 ＋8 ， ＝3( )，则
平面向量的基本概念及线性运算
适用学科
高中数学苏教版必修二《平面向量》课件
4
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• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
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• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
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• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
12
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• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
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向量的加减法 向量的加法 一、考点突破
知识点 课标要求 题型 说明
向量的加法 1. 了解向量加法在物理学中的背景知识； 2. 掌握向量加法的运算（三角形法则和平行四边形法则），理解向量加法的几何意义； 3. 会推导向量加法的交换律与结合律 选择 填空 高考必考 向量的加法要注意向量的“形”的应用
二、重难点提示 重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 难点：向量加法的交换律与结合律的推导。
向量的减法 一、考点突破
知识点 课标要求 题型 说明
向量的减法 1. 了解相反向量的概念； 2. 了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系；（重点） 3. 掌握向量减法运算，并理解其几何意义（难点） 选择 填空
高考必考
向量的减法要注意向量的“形”的应用
二、重难点提示 重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系。 难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。
向量的加法 一、向量加法的定义及运算法则 1. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 其中0,()()0aaaaaa。 2. 向量加法的运算法则 （1）三角形法则：如图1，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则向量OB叫做a与b的和，记做a＋b，即a＋b＝OA＋AB＝OB。 2
图1 （2）平行四边形法则： 把向量a，b平移到同一点O，如图2，作出平行四边形，则a＋b＝OB。
图2 【核心归纳】 准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 （1）两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，但是在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三角形法则和它的平行四边形法则都应该熟练掌握。 （2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的。 （3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同。
二、向量加法的运算律 （1）交换律：a＋b＝b＋a； （2）结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 【核心突破】 （1）两个向量的和仍然是一个向量。 （2）当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且abab＋＋。
（3）特殊位置关系的两向量的和 ①向量a与b同向，则a＋b与a、b方向相同，则abab＋＋；
②向量a与b反向，若a＋b与b方向相同，则abba＋。 （4）向量加法广泛应用于力的合成、速度的合成等。 示例：在四边形ABCD中，ACABAD，试判断四边形的形状。 思路分析：要结合图形中的三角形运用加、减法的法则。 答案：如图所示
由向量加法的三角形法则得ACADDCACABADABDC 即AB∥DC，且ABDC四边形ABCD是平行四边形。
技巧点拨： 如果再添上ABAD，那么四边形ABCD是菱形；如果ABAD和垂直，那么四边形 3
ABCD是矩形。 向量的减法 一、向量的减法定义 如果bxa，则向量x叫做a与b的差，记为ab，求两个向量差的运算叫做向量的减法。 【要点诠释】 向量的减法是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义，ABBA，就可以把减法转化为加法。
二、向量减法的运算法则——三角形法则 在平面内任取一点O，作,OAaOBb，则BABOOAOBOAab，即ab表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。
【要点诠释】 1. 向量的减法运算与向量的加法运算可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 2. 以向量,ABaADb为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线ACab，BDba，DBab。
向量的加法 例题1 （向量加法的化简与运算） 化简或运算：
如图所示，梯形ABCD中，DA＝8，BC＝10，试求DABC。
思路分析：利用三角形法则，先求和向量，再求模。 答案：如图所示，作CE＝DA，
则BC＋DA＝BC＋CE＝BE， 结合图形可知DABC＝BE
＝BC－CE ＝BC－DA＝10－8＝2。 4
技巧点拨： 求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则，求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连。
例题2 （向量加法在平面几何中的应用） 如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO＝OC，DO＝OB。 求证：四边形ABCD是平行四边形。
思路分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明AD＝BC，且A，B，C，D不在一条直线上即可。 答案：由向量的加法法则，知： AD＝AO＋OD，BC＝BO＋OC，
∵DO＝OB，∴OD＝BO， 又AO＝OC，∴AD＝BC， ∵A，B，C，D不在一条直线上， ∴AD与BC平行且相等， ∴四边形ABCD是平行四边形。 技巧点拨： 利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题。
向量的减法 例题1（已知向量作和（差）向量） 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c。
思路分析：先将a，b首尾相连，作出a＋b，然后根据向量减法的定义作a＋b与c的差向量。 答案： 作法一 如图（1）所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c； 作法二 如图（2）所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，过点B作CB＝c，则OC＝a＋b－c。 5
【重要提示】 1. 求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用。 2. 求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量。 3. 作图时一定要注意箭头的方向。
例题2 （向量加减法的基本运算） 化简：（AB－CD）－（AC－BD）。 思路分析：思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如AB＝OB－OA等。 答案： 方法一 （利用相反向量） （AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD ＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA＝0； 方法二 （利用向量减法的几何意义） （AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝（AB－AC）－CD＋BD＝CB－CD＋BD＝DB＋BD＝0；
方法三 （利用AB＝OB－OA） 设O是平面内任意一点，则 （AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD ＝（OB－OA）－（OD－OC）－（OC－OA）＋（OD－OB） ＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0； 技巧点拨： 1. 向量减法运算的常用方法： 6
2. 注意在满足下列两种形式的情况下可以化简： （1）首尾相连且为和； （2）起点相同且为差。 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用。
向量的加法
忽视零向量与数0的区别致误 化简AB＋BC＋CA。 【错解】AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0。 【错因分析】错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量。 【防范措施】向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意0与0的不同。 【正解】AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0。
向量的减法
利用“形”解决向量的模的求值问题 已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值。 思路分析：解答本题可先由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a＋b|的值。
答案：如图，OA＝a，OB＝b，则BA＝|a－b|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝|a＋b|，由于（7＋1）2＋（7－1）2＝42.故2OA＋2OB＝2BA，所以△AOB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有OC＝BA＝4，即|a＋b|＝4。
技巧点拨： 向量在平面几何中的应用一般有两种题型： （1）以平面几何为背景的向量计算、证明问题； （2）利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用。 解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化。