空间向量与垂直关系2
两个空间向量垂直的公式
两个空间向量垂直的公式“两个空间向量垂直的公式”，也称为叉积公式，是在空间上判断两条线段是否垂直的一种计算方法。
它是由三角函数的知识扩展而来的，可以用于计算两个空间向量之间的夹角，也可以用来判断两条线段之间的垂直关系。
叉积公式有两种形式：一种是矢量形式，另一种是矩阵形式。
矢量形式：设$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 是两个空间中的两个向量，它们的叉积为：$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$$矩阵形式：若已知两个空间中的两个向量：$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的叉积可写成如下矩阵形式：$$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$$根据叉积公式，可以判断两个空间向量是否垂直，即可以判断两条线段是否垂直，若两个空间向量的叉积为零向量，则证明这两个向量垂直。
例如设$\overrightarrow{a}=(6,4,0)$ 、$\overrightarrow{b}=(3,2,-1)$ 是两个空间中的向量，则它们的叉积为：$$\begin{aligned} \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)\\ &=(4\times(-1)-0\times2, 0\times 3 - 6\times (-1), 6\times 2 - 4\times 3 )\\ &=(-4,18,-12) \end{aligned}$$可以看出，叉积不为零向量，因此$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$不垂直。
3.2 第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系
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第2课时 利用向量证明空间 中的垂直关系课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【思考】若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为 μ2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂直的一 般方法是什么?
答案l1与l2垂直,因为μ1·μ2=1-3+2=0,所以μ1⊥μ2,又μ1,μ2是两直线 的方向向量,所以l1与l2垂直.
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第2课时 利用向量证明空间 中的垂直关系
内的直线的方向向量垂直.( ) (4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立
空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.( ) (5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β
互相垂直.( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
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第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系
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第2课时 利用向量证明空间 中的垂直关系
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
课标阐释
思维脉络
1.理解垂直关系与直线方向向量、平面 利用空间向量证明垂直关
法向量的关系.
线线垂直
2.掌握利用空间向量证明线线垂直、线 系 线面垂直
面垂直、面面垂直的基本方法.
面面垂直
故无论点 E 在边 BC 上的何处,都有 PE⊥AF.
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第2课时 利用向量证明空间 中的垂直关系
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 当堂检测
反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线 方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律, 结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的 运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线 的方向向量互相垂直.
空间向量垂直平行公式
空间向量垂直平行公式以空间向量垂直平行公式为标题，我们来探讨一下空间向量的性质和相互关系。
在三维空间中，向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
空间向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。
而空间向量垂直和平行的概念是空间向量之间的重要关系。
我们来了解一下空间向量的垂直关系。
两个向量a和b垂直的条件是它们的数量积为零。
数量积又称为点积或内积，可以表示为a·b=0。
这个公式告诉我们，当两个向量的数量积为零时，它们垂直于彼此。
例如，向量a=(1, 2, 3)和向量b=(-2, 1, 0)，它们的数量积为1*(-2)+2*1+3*0=0，因此a和b垂直。
接下来，我们来讨论空间向量的平行关系。
两个向量a和b平行的条件是它们的叉积为零。
叉积又称为矢量积或外积，可以表示为a×b=0。
这个公式告诉我们，当两个向量的叉积为零时，它们平行于彼此。
例如，向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 4, 6)，它们的叉积为(2*3-4*2, 4*1-6*1, 6*2-2*4)=(0, 0, 0)，因此a和b平行。
除了垂直和平行关系，空间向量还具有一些其他的性质。
例如，向量的模可以表示为|a|=√(a1^2+a2^2+a3^2)，其中a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z轴上的分量。
模表示向量的大小，可以用于计算两个向量之间的夹角。
两个向量a和b的夹角可以表示为cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)，其中θ表示夹角。
夹角的范围是0到180度，如果夹角为90度，则表示两个向量垂直；如果夹角为0度或180度，则表示两个向量平行。
空间向量还可以进行向量投影。
向量投影是将一个向量投影到另一个向量上的过程，可以用来计算两个向量之间的距离。
向量a在向量b上的投影可以表示为projb a=(a·b)/|b|*(b/|b|)，其中projb a 表示向量a在向量b上的投影，b/|b|表示向量b的单位向量。
空间向量的共面与垂直判定
空间向量的共面与垂直判定在三维空间中，向量与平面的关系非常重要。
判断向量是否在同一平面上或者垂直于某个平面对于解决几何问题和物理问题都具有重要意义。
本文将介绍空间向量的共面与垂直判定方法。
一、共面判定1. 向量叉乘法向量叉乘法是判断向量是否共面的基本方法之一。
假设有三个向量A、B和C，我们可以使用向量叉乘法来判断它们是否在同一平面上。
具体的步骤如下：1) 对向量A和B进行叉乘，得到一个新的向量D。
2) 计算D与向量C的点积，如果结果为零，表示向量A、B和C共面；如果结果不为零，则表示向量A、B和C不共面。
2. 线性方程组法除了向量叉乘法外，还可以利用线性方程组来判断向量是否共面。
假设有三个向量A、B和C，我们可以将它们表示为以下形式：A = (a1, a2, a3)B = (b1, b2, b3)C = (c1, c2, c3)然后可以得到以下线性方程组：| a1 a2 a3 || b1 b2 b3 | = 0| c1 c2 c3 |解这个线性方程组，如果方程组有非零解，表示向量A、B和C共面；如果方程组只有零解，表示向量A、B和C不共面。
二、垂直判定如果我们想判断一个向量是否垂直于某个平面，可以使用以下方法。
1. 点积法假设有一个向量A和一个平面，平面可以由平面上的一点P和法向量n来表示。
我们可以使用点积法来判断向量A是否垂直于该平面。
具体的步骤如下：1) 计算向量A与平面的法向量n的点积，如果结果为零，表示向量A垂直于该平面；如果结果不为零，则表示向量A不垂直于该平面。
2. 投影法另一种判断向量是否垂直于平面的方法是使用投影。
假设有一个向量A和一个平面，平面可以由平面上的一点P和法向量n来表示。
我们可以使用向量的投影来判断向量A是否垂直于该平面。
具体的步骤如下：1) 将向量A投影到平面上得到向量B。
2) 计算向量A与向量B的点积，如果结果为零，表示向量A垂直于该平面；如果结果不为零，则表示向量A不垂直于该平面。
3.2.2 利用向量证明空间中的垂直关系
垂直关系
一、基础知识
1、立体几何中如何证明两条直线垂直？
①利用定义：证明两直线所成角为 900； ②利用线面垂直的性质来证明线线垂直.
线面垂直的性质:如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线 垂直该平面内的任一直线.
αA
l B
Q C
lα AB α
l
BB1，CD 的中点，求证：D1F⊥平面 ADE.
【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角
z
D1
C1 坐标系.设棱长为 2，由题意可得
A1
D(0,0,0),D1(0,0,2),F(0,1,0),A(2,0,0),
B1
E(2,2,1)
D xA
E C
y
D1F (0,1,2),DE (2,2,1),DA (2,0,0)
C.l1⊥l2
D.不能确定
2.设平面α的法向量为a (1,2,2) ，平面β的法向量为
b (2,4,k)，若α⊥β，则 k=( B )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
3.已知平面α内的两个向量a (2,2,1),b (2,0,0)，则平面的一个
法向量是( A )
A.(0,1,2) B.(1,0,2) C.(1, 2, 1) D.(0,0, 2)
(1)l⊥m
(2)l//m
答案： (1)α β
(2)α //β
设两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则
α β ab ab0
二、自我检测
C 1、直线 l1,l2 的方向向量分别为a (1,2,2),b (2,3,2) ，则( )
课时作业10：3.2 第2课时 空间向量与垂直关系
第2课时 空间向量与垂直关系一、基础达标1.若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( )A.l 1∥l 2B.l 1⊥l 2C.l 1、l 2相交但不垂直D.不能确定答案 B解析 ∵a·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2.若a ＝(2，－1,0)，b ＝(3，－4,7)，且(λa ＋b )⊥a ，则λ的值是( )A.0B.1C.－2D.2答案 C解析 λa ＋b ＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)＝(3＋2λ，－4－λ，7).∵(λa ＋b )⊥a ，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.3.若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是( )A.n 1＝(1,2,3)，n 2＝(－3,2,1)B.n 1＝(1,2,2)，n 2＝(－2,2,1)C.n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2,2,1)D.n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2，－2，－2)答案 D解析 两个平面平行时，其法向量也平行，检验知正确选项为D.4.已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A.－3或1B.3或－1C.－3D.1 答案 A解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.5.已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )A.(1，－1,1)B.(2，－1,1)C.(－2,1,1)D.(－1,1，－1) 答案 C解析 显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ·n ＝0，b ·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2,1,1).6.下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0；②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.正确的命题序号是________.答案 ①②③解析 两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然.7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点.证明：PC ⊥平面BEF .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系.∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标分别为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2).又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1).∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1,0,1).∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0.∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →.∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF .二、能力提升8.已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.(33，33，－33) B.(33，－33，33) C.(－33，33，33) D.(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1).设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ).∵⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)，单位法向量为±n |n |＝±(33，33，33). 9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →. 其中正确的是________(填序号).答案 ①②③解析 AP →·AB →＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确.AP →·AD →＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP ⊥AD ，即②正确.又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，③正确.④不正确.10.如图，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一个公共边AB ，二面角CABD的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于________.答案 16解析 设AB ＝2，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角CABD的平面角.∵CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1，结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM →＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·(12AC →－AE →)＝12，故EM 、AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16. 11.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点.(1)求证：P A ∥平面EDB ；(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.(1)证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设DC ＝a .连接AC ，AC交BD 于G ，连接EG .由题意，得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，∴P A →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2， ∴P A →＝2EG →，这表明 P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)解 由题意，得B (a ，a,0)，C (0，a,0).取DC 的中点F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，连接EF ，BF . ∵FE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，FB →＝⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，DC →＝(0，a,0)， ∴FE →·FB →＝0，FE →·DC →＝0，∴FE ⊥FB ，FE ⊥DC .又FB ∩DC ＝F ，∴EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角.在Rt △EFB 中，|FE →|＝a 2，|FB →|＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，∴tan ∠EBF ＝|FE →||FB →|＝a 252a ＝55，∴EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55. 12.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点.求证：平面DEA ⊥平面ECA .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1).所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1).分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0， 即⎩⎨⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0.解得⎩⎨⎧ y 1＝－3x 1，z 1＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0， 即⎩⎨⎧ 3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎨⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直.所以平面DEA ⊥平面ECA .三、探究与创新13.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.解 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a ).(1)A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a,0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴n 1·DB →＝0，n 1·DA 1→＝0，n 2·DB →＝0，n 2·DE →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e). 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2.∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
空间向量与平行、垂直关系
第三章
空间向量与立体几何
1 1 → ∴MN· n＝ 2， 0， 2 · (1，－ 1，－ 1)＝0，
→ ∴MN⊥ n. 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
1 → 1→ 1 → → → 法二：∵ MN ＝ C1N － C1M ＝ C1B1 － C1C ＝ 2 2 2 1→ → → → → (D1A1－D1D)＝ DA1，∴MN∥DA1， 2 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
则有 D(0， 0， 0)， A(2， 0，0)， C(0， 2， 0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， → 所以FC1 ＝ (0， 2， 1)， → → DA＝ (2，0，0)，AE＝ (0， 2， 1)．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
(1)设 n1＝ (x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量， → → 则 n1⊥DA， n1⊥AE， → n1· DA＝ 2x1＝ 0 即 ，得 → n1·AE＝ 2y1＋ z1＝0
(－3，－9，0)．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
解：(1)a· b＝ 1× 8＋ (－ 3)×2＋ (－ 1)× 2＝0， ∴直线 l1， l2 垂直． 1 (2)∵ u＝－ v，∴ u∥ v，即平面 α， β 平行． 3
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 求平面的法向量
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
z3＝－2 令 x3＝ 2，∴ ，∴ n3＝ (2，－ 1，－ 2)．(10 y3＝－ 1
空间向量的垂直与平行
空间向量的垂直与平行空间向量是三维空间中的矢量，具有方向和大小。
在进行向量运算时，了解向量之间的垂直与平行关系至关重要。
本文将探讨空间向量的垂直与平行性质，以及它们在几何和物理等领域的应用。
1. 垂直向量两个向量的垂直关系可以通过它们的点积（内积）来判断。
设有向量A和向量B，若它们的点积等于零，则A与B垂直。
点积的计算公式为：A·B = |A| × |B| × cosθ其中，A·B表示向量A与向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
如果A·B = 0，则cosθ = 0，即θ = 90°，这说明向量A与向量B相互垂直。
利用向量的垂直关系，我们可以解决诸如平面交线、直线垂直性等几何问题。
在物理学中，垂直向量的概念也被广泛应用于力的分解和求和等问题。
2. 平行向量两个向量的平行关系可以通过它们的叉积（外积）来判断。
设有向量A和向量B，若它们的叉积等于零，则A与B平行。
叉积的计算公式为：|A × B| = |A| × |B| × sinθ其中，A × B表示向量A与向量B的叉积，|A × B|表示向量A与向量B叉积结果的模长，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
如果A × B = 0，则sinθ = 0，即θ = 0°或θ = 180°，这说明向量A与向量B相互平行。
平行向量常常涉及到直线的平行性和共面性的问题。
在物理学上，平行向量用于计算力的合成以及判断物体的平衡状态等应用。
3. 垂直向量和平行向量的应用垂直向量和平行向量在几何和物理学中有广泛的应用。
以下是它们的一些具体应用：3.1 几何应用- 判断直线的垂直性或平行性，用于解决平面几何中的交线问题。
- 通过垂直向量和平行向量的性质，求解平面的法线向量和方向向量。
空间向量与平行、垂直关系
立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量和平面的法向量的意义．2.掌握空间向量的运算与立体几何问题的对应关系，掌握使用空间向量研究立体几何中的平行与垂直关系的方法．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．()(2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．()(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )A ．(2，2，6)B ．(－1，1，3)C ．(3，1，1)D ．(－3，0，1)答案：A3．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，14 B ．(2，－1，0) C ．(1，2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2 答案：C4．若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32探究点一 直线的方向向量与平面的法向量已知A (1，0，1)、B (0，1，1)、C (1，1，0)，求平面ABC的一个法向量．[解] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由题意知AB→＝(－1，1，0)，BC →＝(1，0，－1)． 因为n ⊥AB →且n ⊥BC →，所以⎩⎨⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0， 令x ＝1，得y ＝z ＝1.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，1，1)．利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．(2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB→，AC →. (3)列方程组：由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组． (4)解方程组：⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．1. 如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解：如图，以A 为原点，以AD→，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)， 则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x . 取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，所以平面SDC 的一个法向量为(2，－1，1)．探究点二 利用空间向量证明平行关系已知正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以FC 1→＝(0，2，1)， DA→＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎨⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE→＝2y 1＋z 1＝0， 得⎩⎨⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1，2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎨⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .向量法证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则 P (3，0，1)，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，1)． PQ→＝(－3，2，1)，RS →＝(－3，2，1)， 即PQ→＝RS →，故PQ →∥RS →. 又P ∉RS ，因此PQ ∥RS .法二：因为RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→， PQ →＝P A 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，所以RS→＝PQ →.所以RS→∥PQ →.又P ∉RS ，所以RS ∥PQ . 探究点三 利用空间向量证明垂直关系(规范解答)(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，E 为BB 1的中点．求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .[证明] 由题意得AB 、BC 、B 1B 两两垂直，以B 为原点，BA →、BC →、BB 1→的方向分别为x 轴、y 轴、 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，(1分)则A (2，0，0)，A 1(2，0，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (0，0，1)，(2分)则AA 1→＝(0，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，2)，AE →＝(－2，0，1)．(3分)设平面AA 1C 1C 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎨⎧2z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0，(5分) 令x 1＝1，得y 1＝1，所以n 1＝（1，1，0）.(6分)设平面AEC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＋2z 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，(8分)令z 2＝2，得x 2＝1，y 2＝－1，所以n 2＝（1，－1，2）. (9分)因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×2＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .(12分)向量法证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．B1C1D1中，若E为A1C1的中3.(1)在正方体ABCD-A点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.解：(1)选B.建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，。
2022年 《学案1.4.1空间向量与垂直关系》优秀教案
第2课时 空间向量与垂直关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1能利用平面法向量证明线面和面面垂直．重点 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．重点、难点 借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养
因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．
1．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 2．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线1的方向向量为u＝a1，a2，a3，直线2的方向向量为v＝b1，b2，b3，那么1
⊥2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直 设直线的方向向量是u＝a1，b1，c1，平面α的法向量是n＝a2，b2，c2，那么⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔a1，b1，c1＝λa2，b2，c2λ∈R 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝a1，b1，c1，平面β的法向量n2＝a2，b2，c2，那么α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 思考：假设一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，那么这两个平面是否垂直？ [提示] 垂直．
1．思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞 1同一个平面的法向量均为共线向量． 2假设a，b是平面α内的向量，且n·a＝0，n·b＝0，那么n可以作为平面α的一个法向量． 3假设点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，那么错误!错误!错误!错误!错误!错误! ，n和平面α 1假设⊥m，⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，那么⊥α 2假设∥m，m⊥α，那么⊥α 1证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直． 2证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
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空间向量与垂直关系
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β
的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
5．设直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(2,3,2)，则l1与l2的关系
是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
6.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系
是( )
A．平行 B．相交
C．相交且垂直 D．以上都不是
二、填空题
7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，
－2,1)与平面α平行，则z＝______.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三
个平面中互相垂直的有______对．
9．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号)
三、解答题
10．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱
CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
11．已知ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，求证：平
面AB1D⊥平面ABB1A1.
能力提升
12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC
＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
13．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥
平面PBC.
§3.2 立体几何中的向量方法(二)
——空间向量与垂直关系
知识梳理
1．a⊥b a∥u u⊥v
2.
线线垂直 线面垂直 面面垂直
①证明两直线的方
向向量的数量积为
0.
②证明两直线所成
角为直角.
①证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量． ②证明直线与平面内的相交直线互相垂直. ①证明两个平面的
法向量垂直．
②证明二面角的平
面角为直角.
作业设计
1．B [∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2.]
2．C [∵AB→＝(－3，－2，－5)，AC→＝(－1,4，－1)，BC→＝(2,6,4)，∴AB→·AC→＝0，∴AB⊥
AC，且|AB→|≠|AC→|≠|BC→|，∴△ABC为直角三角形．]
3．B [∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
4．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
5．B [∵a·b＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.]
6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC1→与CE→的关系判断．]
7．－9
解析 ∵l⊥α，∴u⊥v，
∴(1，－3，z)·(3，－2,1)＝0，
即3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
8．0
解析 ∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
9．①②③
10．证明
如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，AC→、AA1→所在直线为y轴、z轴，则A(0,0,0)，
B132，12，1，
M34，34，0，N0，1，14.
∴AB1→＝32，12，1，MN→＝－34，14，14.
∴AB1→·MN→＝－38＋18＋14＝0，
∴AB1→⊥MN→，即AB1⊥MN.
11．证明
如图，取AB1的中点M，
则DM→＝DC→＋CA→＋AM→.
又DM→＝DC1→＋C1B1→＋B1M→，
两式相加得2DM→＝CA→＋C1B1→
＝CA→＋CB→.
由于2DM→·AA1→＝(CA→＋CB→)·AA1→＝0，
2DM→·AB→＝(CA→＋CB→)·(CB→－CA→)
＝|CB→|2－|CA→|2＝0.
∴DM⊥AA1，DM⊥AB，AA
1
∩AB＝A，
∴DM⊥平面ABB1A1，而DM⊂平面AB1D.
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
12．证明
取O为坐标原点，以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如
图所示)．
设A(1,0,0)，C(0,0,1)，
B－12，32，0.
∵P为AC中点，∴P12，0，12.
∵AB→＝－32，32，0，
又由已知，可得AQ→＝13AB→＝－12，36，0，
又OQ→＝OA→＋AQ→＝12，36，0，
∴PQ→＝OQ→－OP→＝0，36，－12.
∴PQ→·OA→＝0，36，－12·(1,0,0)＝0，
故PQ→⊥OA→，即PQ⊥OA.
13.
证明 如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半
轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0，a,0)，
则B(2，0,0)，C(2，a,0)，
P(0,0，2)，E(22，0，22)．
于是AE→＝(22，0，22)， BC→＝(0，a,0)，
PC
→
＝(2，a，－2)，
则AE→·BC→＝0，AE→·PC→＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因为BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.