运筹学讲解1

1 1 线性规划与单纯形法 第1节 线性规划问题及其数学模型 1．1 问题的提出 1.1.1 引例 例1．可取为教学参考书P8例1，或随堂构造一个相当的例子。 通过例1，得出线性规划模型的构成，并引出线性规划模型的一般形式。1.1.2 数学模型一般形式

11(1)(,)1,2,,(2)..01,2,,(3)njjjnijjijjoptzcxaxbimstxjn











 其中：⑴为目标函数；⑵和⑶为约束条件；opt=max或min。 1.1.3 数学模型特征 线性规划数学模型特征为： ⑴ 解向量Tnxxxx),...,,(21描述方案； ⑵ 所有式子均为线性式子； ⑶ 目标函数追求极大化或极小化。 1．2 图解法 线性规划的图解法(解的几何表示)一般只用于求解只有两个变量的线性规划问题，实用意义不大。但可以在二维直角坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概念和解的情况等，帮助初学者了解线性规划问题的求解过程。 1.2.1 相关概念 1.2.1.1 函数梯度 函数梯度方向是函数值增长最快的方向，这里以行向量描述梯度。 目标函数的梯度记为C=(c1,c2,,„，cn)。 1.2.1.2 线性式子的几何意义 线性等式代表一个超平面（二维时为一条直线）； 线性不等式代表一个半空间（二维时为一个半平面）。 2

1.2.1.3 一些解的概念 以数学模型一般形式为基准，介绍一些相关概念。 解：x的一个值称为一个解。 可行解：满足约束条件的解。 可行域：可行解的集合。 最优解：满足⑴的可行解。 最优值：与最优解对应的目标函数值。 1.2.2 图解法的步骤 1.2.2.1 确定可行域 可行域为各约束式子对应的区域的交。 如果可行域为空集，问题无可行解，否则，问题有可行解。 1.2.2.2 确定最优方向P maxminCoptPCopt





1.2.2.3 确定最优解 据P和可行域的情况，可以确定解的情况： 如果目标函数值可以趋向无穷大，则问题无有限最优解，否则可以在可行域边界上取得最优解。 1.2.3 解的情况 讨论可行域和解（求解结果）的可能组合。 1.2.3.1 可行域为空集 此时无可行解。 3

1.2.3.2可行域非空有界 ⑴ 唯一最优解

x1 x2

O A B D E 5 5 10 10

P 1

121212

3max10..5,0zxxxstxxxx例

**(10,0)10ETxxz



Z=0 Z=5 Z=10 ①

② ③ ④

x1 x2 O A B D E 5 5 10 10 P 11212122max10..5,0zxxxstxxxx例 可行域为空集 无可行解 ④ ③ ① ② 4 ⑵ 无穷多最优解

1.2.3.3可行域非空无界 ⑴ 唯一最优解

x1 x2

O A B 5

5 10 10 P

121212

5min5..5,0zxxxstxxx例

**5Bxxz



Z=0 Z=5

②

① ③ ④

x1 x2 O A B D E 5 5 10 10 P 12121212

4max10..5,0zxxxxstxxxx例

**(1,0,110AExxxz



Z=0 Z=5

Z=10

② ① ③ ④ 5

⑵ 无穷多最优解 ⑶ 无有限最优解 x1 x2

O A B 5

5 10

10

P 12

1212

7max5..5,0zxxxstxxx例

maxz Z=0 Z=5 ② ① ③ ④ Z=10

x1 x2 O A B 5

5 10 10 P

11212

6min5..5,0zxxstxxx例

**(1,0,15ABxxxz



Z=0 Z=5 ②

① ③ ④ 6 1.3 标准型 1.3.1 标准型 标准型为:

11max(1)01,2,,(2)..01,2,,(3)njjjnijjijjzcxaxbimstxjn











 标准型也可写为向量形式：

1max(1)0(2)..01,2,,(3)njjjjzcxPxbstxjn





 式中：),...,,(21ncccc；Tmbbbb),...,,(21；TmjjjjaaaP),...,,(21。 标准型也可写为矩阵形式： max(1)0(2)..0(3)zcxAxbstx



式中：),...,,(21nPPPA。 1.3.2 化标准型 将不符合标准型要求的数学模型化为标准型。 设已得：

11123(,)i=1,2,,m 0..0kjjjkijjijjjjoptzcxaxbxjJstxjJxjJ











无约束

⑴ 变换1

① 11minmax()kkjjjjjjzcxzcx 7

② 11(,)0(,) kkijjiijjijjaxbaxb



③ xj无约束——>以jjxx取代jx，jx，jx0。

④ xj≤0——>以jx取代jx，jx 0。

经变换1，得如下形式的数学模型：

11max(,)0i=1,2,,m ..0=1,2,,kkjjjkijjijjzcxaxbstxj











⑵ 变换2 ① 01kjijijbxa kjisijijbxxa1，松弛变量six0，sic0。

② 01kjijijbxa kjisijijbxxa1，剩余变量six0，sic0。

经变换2，得标准型。 ⑶ 变换3 必要时，变更变量的文字符号。 1.4 解的概念 以标准型为基础，讨论解的概念。 设mrA。 基：A的m阶非奇异子矩阵，记为B。 基向量:构成B的系数列向量。 非基向量：A中除基向量外的系数列向量。 基变量：与基向量对应的变量。 非基变量：与非基向量对应的变量。 基本解：令非基变量为零，由（2）得到的解。 基本可行解：满足（3）的基本解。 可行基：与基本可行解对应的基。 8

最优基：与满足（1）的基本可行解对应的基。 例4．随堂构造一个例子或取为0)(P的一个特例。 通过例4引出一些相关的概念。 第2节 线性规划问题的几何意义 2.1 基本概念 （1）凸集 设D为Rn上的点集，若对Dxx21,,]1,0[,有Dxx21)1(，则称D

为凸集。 （2）凸组合

设nKRxxx,...,,21，]1,0[,...,,21K，11Kjj，则称jKjjxx1为 Kxxx,...,,21的凸组合。

（3）顶点 设D为凸集,Dx，Dxx21,且21xx，若x不能用21)1(xxx，

)1,0(表示，则称x为D的顶点。

2．2 基本定理 定理1.若线性规划问题有可行域，则其可行域是凸集。 定理2.线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点。 定理3.若线性规划问题有可行域，则必有基本可行解。 定理4.若线性规划问题有最优解，则可以在可行域顶点上达到 最优。 定理5.最优解的凸组合仍然是最优解。