「精品」高中数学第三章函数的应用章末检测卷新人教版必修1
第三章 函数的概念与性质 单元检测卷(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
第三章 函数的概念与性质（单元检测卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y ＝－x 2＋2x ＋3的定义域为( )A.[－3，1] B.[－1，3]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)2.已知函数y ＝f(x ＋1)定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(x －1)的定义域是( )A.[0，5] B.[－1，4]C.[－3，2]D.[－2，3]3.已知函数f(x)＝Error!若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a 的取值范围是( )A.[－1，1] B.[－2，0]C.[0，2]D.[－2，2]4.设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝13，则f ＝( )A.－53B.－13C.13D.535.二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A .y ＝－14x 2＋1B.y ＝14x 2－1C .y ＝4x 2－16 D.y ＝－4x 2＋166.拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位：元)符合f(m)＝{3.71，0＜m ≤4，1.06×(0.5×[m]＋2)，m ＞4，其中[m]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2min 的话费是A.3.71元 B.4.24元C.4.77元D.7.95元7.若函数f(x)在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A.f(a)＞f(2a) B.f(a 2)＜f(a)C.f(a 2＋a)＜f(a)D.f(a 2＋1)＜f(a 2)8.若函数f (x)是奇函数，且当x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f (x)的解析式为( )A .f (x)＝x 3＋x －1B .f (x)＝－x 3－x －11()3 5()3C .f (x)＝x 3－x ＋1D .f (x)＝－x 3－x ＋1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( )A .f (3)＝9 B.f (－3)＝4C .f (x)＝x 2D.f (x)＝(x ＋1)210.函数f(x)的图象是折线段ABC ，如图所示，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，2)，(1，0)，(3，2)，以下说法正确的是( )A.f(x)＝Error!B.f(x －1)的定义域为[－1，3]C.f(x ＋1)为偶函数D.若f(x)在[m ，3]上单调递增，则m 的最小值为111.下列说法正确的是( )A.若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝x -3B.若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)D.若函数f(x)＝x ，则对于任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)有f(x 1)＋f(x 2)2≤f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.设f(x)＝11－x，则f(f(x))＝__________13.已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为________14.若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a]，则a ＝________，b ＝________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1(,2)845x-12x x ()2+15.（13分）已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．16.（14分）已知函数f(x)＝Error!(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象．17.（16分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝{400x－12x2，0≤x≤400，80 000，x＞400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)18.（16分）已知函数f(x)＝x21＋x2＋1，x∈R．1 () 2(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求f(x)＋f 的值；(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f ＋f ＋f ．19.（18分）已知二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4．(1)若a ＝2，求f(x)在[－2，3]上的最值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上单调单减，求实数a 的取值范围；(3)若x ∈[1，2]，求函数f(x)的最小值．参考答案及解析：一、单选题1()x 1()21()31()41.B 解析：由题意，令－x 2＋2x ＋3≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B ．2.A 解析：由题意知－2≤x ≤3，所以－1≤x ＋1≤4，所以－1≤x －1≤4，得0≤x ≤5，即y ＝f(x －1)的定义域为[0，5]．3.D 解析：依题意，可得Error!或Error!或Error!解得－2≤a ≤2．4.C 解析：由题意，f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－f ＝f ＝13．5.B 解析：把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．故选B ．6.C 解析：f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(0.5×5＋2)＝4.77．7.D 解析:因为f(x)是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f(a 2＋1)＜f(a 2)．故选D ．8.A 解析：∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，当x<0时，－x>0，∵x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，∴f (－x)＝(－x)3－x ＋1＝－x 3－x ＋1，∴－f (x)＝－x 3－x ＋1，∴f (x)＝x 3＋x －1．即x<0时，f (x)＝x 3＋x －1．故选A ．二、多选题9.BD 解析：令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，∴f (t)＝4＝(t ＋1)2．∴f (3)＝16，f (－3)＝4，f (x)＝(x ＋1)2．故选BD ．10.ACD 解析：由图可得当－1≤x ＜1时，图象过(1，0)，(－1，2)两点，设f(x)＝kx ＋b ，∴Error!解得Error!＝－x ＋1，当1≤x ≤3时，根据图象过点(1，0)，(3，2)，同理可得f(x)＝x －1，∴f(x)＝Error!A 正确；由图可得f(x)的定义域为[－1，3]，关于x ＝1对称，∴f(x －1)的定义域为[0，4]，f(x ＋1)为偶函数，即B 错误，C 正确；当f(x)在[m ，3]上单调递增，则1≤m ＜3，故m 的最小值为1，D 正确．故选ACD ．11.CD 解析：若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝，故A 错误；函数f(x)＝是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故在(－∞，0)上单调递增，故B 错误；幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)，故C 正确；对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，要证f(x 1)＋f(x 2)2≤f ，即x 1＋x 22≤x 1＋x 22，即x 1＋x 2＋2x 1x 24≤x 1＋x 22，即(x 1－x 2)2≥0，易知成立，故D 正确．三、填空题5()32(1)3+2()3-2(31[1(3+-1()31()3-2t 1()2+1(,2)813x -45x -12x x ()2+12.答案：x －1x (x ≠0且x ≠1)解析：f(f(x))＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x ．13.答案：－3或38解析：f(x)的对称轴为直线x ＝－1．当a ＞0时，f(x)max ＝f(2)＝4，解得a ＝38；当a ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝4，解得a ＝－3．综上所述，a ＝38或a ＝－3．14.答案：13，0解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13．又函数f(x)＝13x 2＋bx＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，则－b2×73＝0，易得b ＝0．四、解答题15.解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或m ＝3．当m ＝2时，f(x)＝x -3是奇函数，所以不满足题意，所以m ＝2舍去；当m ＝3时，f(x)＝x -4，满足题意，所以f(x)＝x -4．所以f ＝＝16．(2)由f(x)＝x -4为偶函数且f(2a ＋1)＝f(a)，得|2a ＋1|＝|a|，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，解得a ＝－1或a ＝－13．16.解：(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3．因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1．因为0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1．(2)图象如图所示．1()241()217.解：(1)设月产量为x 台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝{－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400．(2)当0≤x ≤400时，f(x)＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，f(x)max ＝25 000．当x ＞400时，f(x)＝60 000－100x 单调递减，f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．所以当x ＝300时 ，f(x)max ＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．18.解：(1)f(x)是偶函数，理由如下．f(x)的定义域为R ，关于y 轴对称．因为f(－x)＝(－x)21＋(－x)2＋1＝x 21＋x 2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x 21＋x 2＋1是偶函数．(2)因为f(x)＝x 21＋x 2＋1，所以f ＝＋1＝1x 2＋1＋1，所以f(x)＋f ＝3．(3)由(2)可知f(x)＋f ＝3，又因为f(1)＝32，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋ff ＋f ＋f ＝f(1)＋＝32＋3×3＝21219.解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2－2x ＋4，x ∈[－2，3]，因为f(x)的对称轴为x ＝1，所以f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以当x ＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝1－2＋4＝3，当x ＝－2时，f(x)取得最大值为f(－2)＝22＋4＋4＝12．1()x 221()x 11()x +1(x 1()x 1()21()31()4111[f (2)f ()][f (3)f ()][f (4)f ()]234+++++(2)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，f(x)在区间(－∞，2]单调递减，则a －1≥2，解得a≥3．所以实数a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，当a －1≤1，则a≤2，此时f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2(a －1)＋4＝7－2a ．当1＜a －1＜2，则2＜a ＜3，此时f(x)在[1，a －1]上单调递减，在[a －1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(a －1)＝(a －1)2－2(a －1)2＋4＝－a 2＋2a ＋3．当a －1≥2，则a ≥3，此时f(x)在[1，2]上单调递减，所以f(x)min ＝f(2)＝22－4(a －1)＋4＝12－4a ．综上，f(x)min ＝{7－2a ，a ≤2，－a 2＋2a ＋3，2＜a ＜3，12－4a ，a ≥3．。
高一数学人教A版必修1章末测试第三章函数的应用A 含解
第三章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0∈(－1,1)，那么b的取值范围是()A．(－2,2) B．(－1,1) C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D．(－1,0)3．已知函数f(x)＝e x－x2，则在下列区间上，函数必有零点的是()A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)4．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()5．方程3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点为()A．2个B．奇数个C．偶数个D．至少2个7．若函数y＝a x－x－a有两个零点，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(0，＋∞) D．∅8．红豆生南国，春来发几枝？如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．y＝2t B．y＝log2t C．y＝2t D．y＝t29．已知x0是函数f(x)＝2x＋11x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞010．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为()第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．12．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.13．方程13⎛⎫ ⎪⎝⎭|x |＝2－x 的实数根的个数为__________．14．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N *)内，则n ＝__________.15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(6分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．17．(6分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．18．(6分)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x －1.(1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标； (2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，试证明函数F (x )在x ∈(1,2)上有唯一零点．19．(7分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．参考答案1. 答案：B2. 解析：解方程f (x )＝2x －b ＝0，得x 0＝2b ， 所以2b∈(－1,1)，所以b ∈(－2,2)． 答案：A 3. 解析：f (－2)＝21e－4＜0，f (－1)＝1e －1＜0，f (0)＝e 0＝1＞0，f (1)＝e －1＞0，f (2)＝e 2－4＞0.∵f (－1)·f (0)＜0，∴f (x )在(－1,0)上必有零点． 答案：B4. 解析：把y ＝f (x )的图象向下平移一个单位后，只有C 图中的图象满足y ＝f (x )－1与x 轴无交点．答案：C5. 解析：设f (x )＝3x ＋x －3，则f (0)＝－2＜0，f (1)＝1＞0，则函数f (x )的零点即方程3x＋x ＝3的解所在的区间为(0,1)．答案：A6. 解析：由f (a )·f (b )＜0知，区间(a ，b )上至少有1个零点，由f (b )·f (c )＜0知在区间(b ，c )上至少有1个零点，故在区间(a ，c )上至少有2个零点．答案：D7. 解析：令f (x )＝a x ，g (x )＝x ＋a ，当a ＞1时，f (x )与g (x )的图象有两个交点，即函数y ＝a x －x －a 有两个零点． 答案：A8. 解析：当t ＝2时，y ＝4；当t ＝4时，y ＝16；当t ＝5时，y ＝32，故用y ＝2t 拟合最好．答案：A9. 解析：设y 1＝2x ，y 2＝11x -，在同一坐标系中作出其图象， 如图，在(1，x 0)内y 2＝11x -的图象在y 1＝2x 图象的上方， 即111x -＞2x 1， 所以2x 1＋111x -＜0， 即f (x 1)＜0，同理f (x 2)＞0.答案：B10. 解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D ，再根据v 1＜v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A11. 解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)12. 解析：S ＝(4＋x ) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x )＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252. 答案：125213. 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝13⎛⎫ ⎪⎝⎭|x |与函数y ＝2－x 的图象，两图象有1个交点，所以方程13⎛⎫⎪⎝⎭|x|＝2－x有1个实数根．答案：114.解析：设g(x)=ln x，h(x)=-3x+7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标是函数f(x)的零点．在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．由图象知函数f(x)的零点属于区间7 1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln 2e＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．所以n＝2.答案：215.解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%113⎛⎫-⎪⎝⎭n≤0.1%，即23⎛⎫⎪⎝⎭n≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg 2.解得n≥1lg22lg3--≈7.39.又n∈N*，∴n的最小值为8. 答案：816.解：∵－12是函数的一个零点，∴f12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增，∴当log14x≤0，即x≥1时，log14x≥－12，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当log14x＞0时，12≤x＜1.综上所述，x的取值范围是1,2 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17.解：由f(x)＝0，得x－1＝－12x2＋2，令y1＝x－1，y2＝－12x2＋2，分别画出它们的图象如图所示，其中抛物线顶点为(0,2)，与x轴交于点(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数y＝f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线．且f(－3)＝136＞0，f(－2)＝－12＜0，f12⎛⎫⎪⎝⎭＝18＞0，f(1)＝－12＜0，f(2)＝12＞0，所以函数零点所在区间为(－3，－2)，1,12⎛⎫⎪⎝⎭，(1,2)．18.解：(1)∵函数y＝log a x的图象恒过点(1,0)，∴函数f(x)＝log a(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝log a(x＋2)－1－12⎛⎫⎪⎝⎭x－1，∵函数F(x)的图象过点1 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴F(2)＝12，即log a4－1－12⎛⎫⎪⎝⎭2－1＝12，∴a＝2.∴F(x)＝log2(x＋2)－12⎛⎫⎪⎝⎭x－1－1.∴函数F(x)在(1,2)上是增函数．又∵F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝12＞0，∴函数F(x)在(1,2)上有零点，故函数F(x)在(1,2)上有唯一零点．19.解：(1)根据题意，得S＝()1220030130245(2200)3150t t t tt t t⎧⎛⎫-++≤≤∈⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤∈⎩NN，，，－＋，，＝240 6 000130909 0003150.t t t tt t t⎧≤≤∈⎨≤≤∈⎩NN－＋＋，，，－＋，，(2)当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，S有最大值，为6 400；当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S有最大值，为6 210.∵6 210＜6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S有最大值，为6 400元．。
高中数学第三章函数的应用单元检测3新人教A版必修1
第三章 函数的应用单元检测参考完成时间：120分钟 实际完成时间：______分钟 总分：150分 得分：______一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列所示函数没有零点的是( )2．下列函数中，在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x = B ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 332A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)4．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )5．已知函数f (x )＝3ax ＋1－3a ，在区间(－1,1)内存在x 0，使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜16B ．a ＞16 C ．a ＞16或a ＜－1D ．a ＜－16则x ，y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台8．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的()9则与x ) A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1 D ．y 3，y 1，y 210．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝log a x 的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关11．已知函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于012．为适应社会发展的需要，国家降低某种存款利息，现有四种降息方案：①先降息p %，后降息q %；②先降息q %，后降息p %；③先降息2p q +%，再降息2p q+%；④一次性降息(p ＋q )%(p ≠q )．上述四种方案，降息最少的是( )A ．① B．② C ．③ D．④二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．用二分法求方程x 3－2x －6＝0在区间[1,1.5]内的一个实根，若精确度为0.01，则至少需分__________次．14．我国GDP 计划从2010年至2020年翻一番，平均每年的增长率为__________．15．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少2x时，面积达到最大，此时x 的值为__________．16．若关于x 的方程12log 1mx m=-在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．18．(12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？19．(12分)已知方程x 3＋2x 2－3x －6＝0． (1)方程有几个实根？(2)用二分法求出方程的最大根(精确到0.1)．20．(12分)某城市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．(1)求f (x )和g (x )；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？21．(12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕，y 与t 的函数关系为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭(a 为常数)．整个过程的图象如图所示．(1)写出从药物释放开始，y 与t 的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室．从药物释放开始，至少需要几小时，学生才能回到教室？22．(12分)经过市场调查，某商品在销售中有如下关系：第t (1≤t ≤30，t ∈N *)天的销售价格(单位：元/件)为f (t )＝30,110,50,1030,t t t t +≤<⎧⎨-≤≤⎩第t 天的销售量(单位：件)为g (t )＝a －t (a 为常数)．且在第20天该商品的销售收入为600元．(销售收入＝销售价格×销售量)．(1)求a 的值，并求第8天该商品的销售收入；(2)求在这30天中，该商品日销售收入y 的最大值．参考答案1．A 点拨：A 选项中的函数图象与x 轴无交点． 2．B 点拨：12log y x =是单调减函数；函数y ＝x 2－12在区间(－1,1)内先减后增；函数y ＝－x 3是减函数；函数y ＝2x－1单调递增，且有零点x ＝0．3．A 点拨：∵f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0，∴f (－3)·f (－1)＜0．∵f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，∴f (2)·f (4)＜0．∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．4．D 点拨：设原有荒漠化土地面积为a ，由题意，得y ＝a (1＋10.4%)x．故其图象应如D 项中图所示，选D ．5．B 点拨：由题意，得f (－1)·f (1)＜0，即(－3a ＋1－3a )×1＜0，也即1－6a ＜0．故a ＞16．6．B 点拨：代入数据检验，注意函数值．7．C 点拨：由题意知23 000200.1250240.x x x x x ⎧+-≤⎪<<⎨⎪∈⎩N ，，即25030 00000240.x x x x ⎧+-≥⎪<<⎨⎪∈⎩N ，， 解得150≤x ＜240且x ∈N ．故生产者不亏本时的最低产量为150台．8．B 点拨：开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B ．9．C 点拨：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸性增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C 项中数据符合上述规律．10．A 点拨：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出这两个函数的图象，如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个实根，应选A ．11．A 点拨：∵函数f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )＞0．又∵0＜x 1＜x 0，∴f (x 1)＞0．12．C 点拨：方法1：特例法，不妨取p ＝20，q ＝40，验证即可．方法2：作差比较．13．6 点拨：设需分n 次，据题意，有1.512n-＜0.01＝1100，即2n＞50．因此n 最小取6，即至少需分6次．14．7.18% 点拨：设平均每年增长率为x ，则2＝(1＋p )10．∴1＋p ＝1102≈1.071 8．∴p ≈0.071 8． 15．1 点拨：由题意知S ＝(4＋x ) 32x ⎛⎫-⎪⎝⎭，即S ＝212x -＋x ＋12，因此当x ＝1时，S 最大．16．0＜m ＜1 点拨：要使方程有解，只需1mm -在函数y ＝12log x (0＜x ＜1)的值域内，即1mm-＞0． ∵x ∈(0,1)，∴12log x ＞0．∴1mm-＞0．∴0＜m ＜1． 17．解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1＜0，f (2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0， ∴函数f (x )在区间(0,2)上必定存在零点．又f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故函数f (x )有且只有一个零点．解法二：在同一坐标系内作出函数h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的图象，如图所示．由图象知y ＝lg(x ＋1)和y ＝2－2x 有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．18．解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时， ∵3 600－3 000＝600(元),100－60050＝88(辆)， ∴此时能租出88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x (3 000≤x ＜5 000)元时，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝300030003000100150100505050x x x x ---⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·50＝2150x -＋162x －21 000＝150-(x －4 050)2＋307 050， 因此x ＝4 050时，函数有最大值307 050．故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．19．解：(1)令f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6．∵f (－3)＝(－3)3＋2×(－3)2－3×(－3)－6＝－6＜0， f (－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，f (－1)＝(－1)3＋2×(－1)2－3×(－1)－6＝－2＜0， f (0)＝－6＜0，f (1)＝1＋2－3－6＝－6＜0，f (2)＝23＋2×22－3×2－6＝4＞0，又f (－1.9)＝(－1.9)3＋2×(－1.9)2－3×(－1.9)－6＝0.061＞0， ∴方程有3个实根，且分别处在下面三个区间内： (－3，－1.9)，(－1.9，－1)，(1,2)．(2)由(1)知方程最大的根处在区间(1,2)内，用二分法逐次计算，列表如下：∵最后一个区间两个端点精确到0.1的近似值都是1.7， ∴所求方程的最大根约为1.7．20．解：(1)f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝9015302303040.x x x ≤≤⎧⎨+<≤⎩，，，(2)由f (x )＝g (x )，得1530590x x ≤≤⎧⎨=⎩，或30405230x x x <≤⎧⎨=+⎩，，即x ＝18或x ＝10(舍)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0， 即f (x )＜g (x )，应选甲家；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，即可以选甲家也可以选乙家． 当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0， 即f (x )＞g (x )，应选乙家． 当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0， 即f (x )＞g (x )，应选乙家．综上所述：当15≤x ＜18时，选甲家； 当x ＝18时，可以选甲家也可以选乙家； 当18＜x ≤40时，选乙家．21．解：(1)由题意及图象可知，当0≤t ≤0.1时，可设y ＝kt ． ∵当t ＝0.1时，y ＝1，∴0.1k ＝1，k ＝10．故y ＝10t ．当t ＞0.1时，由t ＝0.1，y ＝1，得0.11116a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴a ＝0.1．∴y 与t 的函数关系式为y ＝0.110,(00.1),1,(0.1).16t t t t -≤≤⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)由题意，得0.1116t -⎛⎫⎪⎝⎭≤0.25，即2－4(t －0.1)≤2－2，从而可得－4(t －0.1)≤－2，解得t ≥0.6．故至少经过0.6小时后，学生方可回到教室．22．解：(1)当t＝20时，f(20)＝30，g(20)＝a－20，由f(20)g(20)＝30(a－20)＝600，解得a＝40．从而可得，f(8)g(8)＝38×32＝1 216(元)，即第8天该商品的销售收入为1 216元．(2)依题意当1≤t＜10时，y＝(40－t)(30＋t)＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，所以t＝5时，y取得最大值1 225元．当10≤t≤30时，y＝(40－t)(50－t)＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，因为t [10,30]时，函数为减函数，所以t＝10时，y取得最大值1 200元．故当t＝5时，该商品日销售收入最大，最大值为1 225元．。
优化方案高中数学第三章函数的应用章末综合检测新人教A版必修1
章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，3解析：选D.图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可用二分法求解的个数为3，故选D.2．下列函数中，没有零点的是( ) A ．f (x )＝lo g 2x －7 B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋x解析：选C.对于f (x )＝lo g 2x －7，当x ＝27时，f (27)＝lo g 227－7＝7－7＝0；对于f (x )＝x －1，当x ＝1时，f (1)＝1－1＝0；对于f (x )＝x 2＋x ；当x ＝－1时，f (－1)＝1－1＝0；由于函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x≠0，故该函数不存在零点．3．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A ．1，2，3 B ．1，－1，3 C ．1，－1，－3D ．无零点解析：选B ．令y ＝(x －1)(x 2－2x －3)＝0， 则有(x －1)(x ＋1)(x －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝3.4．函数f (x )＝3x－lo g 2(－x )的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2 B ．(－2，－1)C ．(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52解析：选B ．f (x )＝3x－lo g 2(－x )的定义域为(－∞，0)，所以排除C ，D ；又f (－2)·f (－1)＜0，且f (x )在定义域内是单调递增函数，故零点在(－2，－1)内．5．已知函数f (x )＝a x－2(a ＞0，a ≠1)，f (x 0)＝0且x 0∈(0，1)，则( ) A ．a ＝2 B ．1＜a ＜2 C ．a ＞2D ．a ≥2解析：选C.因为x 0∈(0，1)，所以f (0)·f (1)＜0， 即(1－2)(a －2)＜0，所以a ＞2.6．若函数f (x )唯一零点同时在(0，4)，(0，2)，(1，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 解析：选C.由函数零点的判断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f (1)与f (2)符号相反，故f (1)与f (0)符号相同，f (0)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32符号相反，故选C. 7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( ) A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：选C.由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 8．函数f (x )＝l n x －1x的零点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.令f (x )＝0，得l n x ＝1x ，在同一坐标系中作出函数y ＝l n x 与y ＝1x的图象如图所示，得两个函数的图象只有一个交点，所以原函数只有一个零点．9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；若每月超过8吨，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水( )A ．10吨B ．13吨C ．11吨D ．9吨解析：选D.设该职工该月实际用水为x 吨，易知x ＞8，则水费为16＋2×2(x －8)＝4x －16＝20，所以x ＝9.10．某工厂2015年生产某种产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增长20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年年初开始超过12万件( )A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年解析：选D.设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，所以x ＞lg 6lg 1.2≈9.8，取x ＝10，故选D.11．将甲桶中的a 升水缓慢注入大小、形状都相同的空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a en t ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选 D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.12．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|lo g a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A.设y 1＝a |x |，y 2＝|lo g a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|lo g a x |有两个根．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________． 解析：若m ≠0，则Δ＝4－12m ＝0，m ＝13，又m ＝0也符合要求，所以m ＝0或13.答案：0或1314．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析：区间(1，2)的中点为x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4＜0，f (2)＝8－4－1＞0，所以根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 15．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中，画出y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0，1)16．某商家1月份至5月份累计销售额达3 860万元，预测6月份销售额为500万元，7月份销售额比6月份递增x %，8月份销售额比7月份递增x %，9、10月份销售总额与7、8月份销售总额相等，若1月份至10月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：由题意得3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得x 2＋300x －6 400≥0， 解得x ≥20或x ≤－320(舍去)． 所以x ≥20，即x 的最小值为20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )图象是连续的，有如下表格：解：因为函数的图象是连续不断的，由对应值表可知f (－2)·f (－1.5)<0，f (－0.5)·f (0)<0，f (0)·f (0.5)<0.所以函数f (x )在区间(－2，－1.5)，(－0.5，0)以及(0，0.5)内一定有零点．18．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2lo g 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5（x －9），x ＞10.(2)由题意知1.5＋2lo g 5(x －9)＝5.5， 2lo g 5(x －9)＝4， lo g 5(x －9)＝2， 所以x －9＝52， 解得x ＝34.即老江的销售利润是34万元．19．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3，2. (1)求f (x )的解析式；(2)当函数f (x )的定义域为[0，1]时，求其值域． 解：(1)因为f (x )的两个零点分别是－3，2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝0，f （2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧9a －3（b －8）－a －ab ＝0，4a ＋2（b －8）－a －ab ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5， 故f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18，其图象的对称轴为x ＝－12，开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，则f (x )的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.所以值域为[12，18]．20．(本小题满分12分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．(1)试求y 关于x 的函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大，最大是多少？解：(1)设日均销售量y (件)与销售单价x (元)的函数关系为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把(3，600)，(5，500)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝600，5k ＋b ＝500，解得k ＝－50，b ＝750，所以日均销售量y (件)与销售单价x (元)的函数关系为y ＝－50x ＋750，3≤x ≤12. (2)设销售单价为x 元，日均获利W 元，根据题意得，W ＝(x －3)(－50x ＋750)－300＝－50(x －9)2＋1 500，因为a ＝－50＜0，且3＜9＜12，所以当x ＝9时，W 有最大值，最大值为1 500元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lo g a (x ＋2)－1(a >0，且a ≠1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.(1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标；(2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，试证明函数F (x )在x ∈(1，2)上有唯一零点．解：(1)因为函数y ＝lo g a x 的图象恒过点(1，0)，所以函数f (x )＝lo g a (x ＋2)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A (－1，－1)． (2)证明：F (x )＝f (x )－g (x )＝lo g a (x ＋2)－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，因为函数F (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以F (2)＝12，即lo g a 4－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝12， 所以a ＝2.所以F (x )＝lo g 2(x ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1－1.所以函数F (x )在(1，2)上是增函数．又因为F (1)＝lo g 23－2<0，F (2)＝12>0，所以函数F (x )在(1，2)上有零点， 故函数F (x )在(1，2)上有唯一零点．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，－x ，x <0.(1)f (x )有零点吗？(2)设g (x )＝f (x )＋k ，为了使方程g (x )＝0有且只有一个根，k 应该怎样限制？ (3)当k ＝－1时，g (x )有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由． 解：(1)画出f (x )的图象，如图(1)，从图象可以看出，图象与x 轴没有交点，f (x )没有零点．图(1)(2)从图(1)可以看出f (x )>0.图(2)对于g (x )＝f (x )＋k ，为了使方程g (x )＝0有且只有一个根，f (x )的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g (x )＝0就有两个根了．如图(2)，k 应该限制为－1<k <0.(3)有，当x ≥0时，令2x－1＝0，求得x ＝0， 当x ＜0时，令－x －1＝0，求得x ＝－1. 所以g (x )的零点为0或－1.。
高中数学(人教版A版必修一)配套单元检测：第三章 函数的应用 章末检测A
章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为()A.PP－1B.11P－1C.11P D.P－1114．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①③B．②④C．①②D．③④5．如图1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l∶x ＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的()图16．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为()A．y＝c－ac－bx B．y＝c－ab－cxC．y＝c－bc－ax D．y＝b－cc－ax7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A．38% B．41%C．44% D．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－1200Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)()A．250300 B．200300C．250350 D．2003509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x、y)() A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？() A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.82512．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19 B．20C．21 D．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)章末检测(A )1．B [由1＋1x ＝0，得1x ＝－1，∴x ＝－1.] 2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根， 令f (x )＝x 3－22－x ，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t (0≤t ≤1)12×1×2＋(t －1)×2(1<t ≤2)＝⎩⎨⎧t 2 (0≤t ≤1)2t －1(1<t ≤2) ∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.] 8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，bx 无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．] 12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点， 即0＋0.52＝0.25.14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n . 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎨⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎨⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x ≤a 3，0.9x ≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎨⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎨⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎨⎧8t ， 0≤t <1，82(22)t，t ≥1.(2)令82·(22)t ≥2，解得t ≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎨⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1， 所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个．21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .(2)理论上指数函数定义域为R .∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}．(3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x 50；当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x 50，100<x <550，51，x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤10022x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )．当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元． 小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.4 函数的应用(一)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新
3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。
高中数学第三章函数的应用单元检测题新人教A版必修1
第三章函数的应用单元检测题一、选择题1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x(x >0)的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于04．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系图象如图，则t ＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km5．若函数f (x )唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 6．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )7．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样多的商品，则应付( )A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤03，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题9.函数f (x )＝1－x21＋x的零点是________．10．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________． 11．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．12．有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，若围墙厚度不计，则围成的矩形场地最大面积为________．三、解答题13．设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．14．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．15．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下：(1)(2)在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)附加题：16．辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表：(1)y与上市时间x的变化关系：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝a log b x；(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；(3)设你选取的函数为f(x)，若对任意实数k，方程f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异的零点，求m的取值范围．。
高中数学第三章函数的应用单元检测1新人教A版必修1.docx
第三章函数的应用 一、选择题a本大题共I•小题, 只有一项是符合题目要求的》
单元检测 a时间：％分钟满分：it•分》 第I卷俺择题共《•分》 每小题■分，共••分・在每小题给出的四个选项屮,
如果函数尸在区I'可 />上的零点是•尸凹，则・^>满足4 > 2
i.
B.・k“>的符号不确定
函数厂I+ —的零点是Q x >.
<-ie> •右尸一i c. ”1 • 下列函数中，增长速度最快的是Q >. i.尸G 尸缶沁F ■
・
已知函数■匕》在区间・/I上是单调函数，且则方程■匕》=•在区 /I 内 Q >. 至少有一实根 i至多有一实根 没有实根 B必有唯一实根 某动物数量以只》与时间从年》的关系为尸=土、紅片D,设第一年有IH只，贝I」到 第七年它们将发展到4 fit. 3M 只
4 间0，
>. 4••只 C. SM 只 2 函数・匕》=弘"-一的零点所在的大致区间是Q x
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ik. （12）
a方程的解所在的区I、可为< iX. < I> i.
t某产品的利润X万元》与产量从台》之间的函数关系式为尸=一3^+4红片JH,则利 润尸取最大值时，产量•得于4 >. M B. 2» C. X B. 4«
红豆生南国，春来发几枝？如图给出了红豆生长时间与枝数尸的散点图，那 >.
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9 么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ < 杪/枝
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N某商店将进价为4•元的商品按1•元一件销售，一个月恰好卖件，而价格每提 高I元，就会少卖■个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为Q >. 4. 4•元 •弼元 €.倆元 •"元 第II卷4非选择题共I•分》 二、 填空题a本大题共•小题，每小题•分，共2«分.把答案填在题屮的横线上》 II用二分法求方程以一九「皐=•在区间Q 4》上的实数根时，取中点M=5,则下一 个有根区间是 _______________ . 口.函数■匕》=右片#有一个零点2,那么函数y匕》=民》+必|勺零点是_ . » 某种细胞分裂时，由I个分裂成，个，7个分裂成■个，…，这样一个细胞分裂" 次后，得到的细胞个数尸与“0勺函数关系式是 _________________ • 14. 函数山》=九「耳+*勺零点位于区间"，“贝i|尸= • 15. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过若初始吋含杂质2*
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学习资料 值得拥有 1 【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第三章 函数的应用章末检测卷 新人教版必修1 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题 1.函数y＝x2－2x－3的零点是( ) A.1，－3 B.3，－1 C.1，2 D.不存在 解析 令x2－2x－3＝0得x＝－1或x＝3，故选B. 答案 B 2.函数y＝1＋1x的零点是( ) A.(－1，0) B.－1 C.1 D.0 解析 令1＋1x＝0，得x＝－1，即为函数的零点. 答案 B 3.若函数f(x)＝2mx＋4在区间[－2，1]上存在x0使得f(x0)＝0，则实数m的取值范围是( ) A.－52，4 B.[－2，1] C.[－1，2] D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析 因为函数f(x)＝2mx＋4在区间[－2，1]上存在x0使得f(x0)＝0，所以 f(－2)·f(1)≤0，解得m≤－2或m≥1.
答案 D 4.函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间为( ) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4)与(1，e) D.(e，＋∞) 解析 易知函数f(x)在(2，3)上是连续的，且f(2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e＝ln2e<0，f(3)＝ln 3－1＝ln 3－ln e＝ln3e>0，所以函数f(x)的零点所在的大致区间(2，3). 答案 B 5.方程log12x＝2x－1的实根个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无穷多个 学习资料 值得拥有 2 解析 画出y＝log12x与y＝2x－1的图象可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1. 答案 B 6.若函数y＝f(x)在区间[0，4]上的图象是一条连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0，4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.与0的大小关系无法确定 解析 ∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，故方程的两个根所在的区间是(－3，－1)和(2，4)，选A.
答案 A 7.甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙.在上述股票交易中( ) A.甲刚好盈亏平衡 B.甲盈利9元 C.甲盈利1元 D.甲亏本1.1元 解析 甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和 1 000×1110×910×910元，而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元. 答案 C 8.函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a)上零点个数为( )
A.2 B.至少2个 C.奇数 D.偶数 解析 因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点. 答案 B 二、填空题 9.若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________. 解析 由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零学习资料 值得拥有 3 点，所以f(x)在定义域R上有三个零点. 答案 3 10.已知函数f(x)＝x2＋ax－1的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a的取值范围是________. 解析 根据该二次函数的图象可知，实数a的取值满足f(1)<0，即12＋a－1<0，得a<0. 答案 (－∞，0) 11.一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为________；定义域为________.
解析 该函数是指数函数，解析式为y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，x∈N}. 答案 a(1＋p%)x {x|0≤x≤m，x∈N} 12.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 9 13
y1 5 25 45 65
y2 1 612 5 59 049 371 293
y3 0 1 1.37 1.59
y4 5 6 125 1 953 125 1 220 703 125
关于变量x最有可能呈指数型函数变化的变量是________(仅有一个变量). 解析 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的，从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4
均是从1开始变化，其中变量y4的增长速度最快，则y4关于x呈指数型函数变化.
答案 y4 13.函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则m＝________，另一个零点是________. 解析 因为函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，所以(－6)2＋(－6)m－6＝0，解得m＝5，所以f(x)＝x2＋5x－6，由x2＋5x－6＝0得x＝－6或x＝1，所以另一个零点是1. 答案 5 1 14.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________. 解析 画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c. 学习资料 值得拥有 4 答案 a＜b＜c 15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完
毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室. 解析 (1)由题图可设y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1，1)分别代入y＝kt和y＝
116
t－a
，解得k＝10，a＝0.1.
(2)由116t－0.1＜0.25，解得t＞0.6.
答案 (1)y＝10t，0≤t≤110，116t－0.1，t＞110 (2)0.6 三、解答题 16.讨论方程4x3＋x－15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由. 解 令f(x)＝4x3＋x－15， ∵y＝4x3和y＝x在[1，2]上都为增函数. ∴f(x)＝4x3＋x－15在[1，2]上为增函数， ∵f(1)＝4＋1－15＝－10＜0， f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0， 学习资料 值得拥有 5 ∴f(x)＝4x3＋x－15在[1，2]上存在一个零点， ∴方程4x3＋x－15＝0在[1，2]内有一个实数解. 17.已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围. 解 函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.
结合图象可知（m－2）2－4（5－m）>02－m2>24＋2（m－2）＋5－m>0， 解得－518.某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P(单位：分)和Q(单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m(单位：分钟)的关系有经验公式P＝15m＋36，Q＝65＋23m. (1)试建立数学总成绩y(单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x(单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域； (2)如何计划使用时间，才能使所得分数最高. 解 (1)设对卷Ⅱ用x分钟，则对卷Ⅰ用120－x分钟，所以y＝P＋Q＝65＋23x＋15(120－x)＋36＝－15x＋23x＋125，其定义域为[20，100]. (2)令t＝x∈[25，10]，则函数为关于t的二次函数：y＝－15t2＋23t＋125－ 15(t－53)2＋140.
所以当t＝53， 即x＝75时，ymax＝140. 答：当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高. 19.已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根； (2)若12(1)证明 由f(x)＝1得x2＋(2t－1)x＋1－2t＝1， 即x2＋(2t－1)x－2t＝0.