《轴对称》知识点总结
古代轴对称知识点总结
古代轴对称知识点总结一、轴对称的概念及性质轴对称是在数学上广泛存在的一种对称形式，它能够将一个图形绕着一条直线旋转180度后仍然保持不变。
这条直线称为轴对称轴。
轴对称性质包括以下几个方面：1. 图形与其轴对称图形的对应关系轴对称轴是图形的中心对称轴，如图形A绕着轴对称轴旋转180度后得到图形A'，则A 与A'之间存在一一对应的关系。
即A中的任意一点对应到A'中的一个点，而A'中的任意一点对应到A中的一个点。
2. 图形与其轴对称图形的性质轴对称的图形具有一些特殊的性质，例如，图形A与其轴对称图形A'在轴对称轴上的对应点重合，而其他点的位置关系也有特定的规律。
比如，轴对称图形的对称中心点可以看作图形的轴对称轴上的点。
3. 轴对称图形的特点轴对称图形不仅与其轴对称图形之间存在一一对应的关系，而且它们在轴对称轴上的对应点重合，对称轴上的点不变，其他点之间的位置关系也有特定的规律。
二、轴对称的基本概念1. 轴对称图形轴对称图形是指图形在某条直线上进行反演后还是原来的图形。
在空间中，轴对称图形可以是二维图形（如平面图形）或者三维图形（如立体图形）。
2. 轴对称轴轴对称轴是指在进行轴对称操作时，图形绕着旋转的直线。
这条直线不仅可以是图形的对称轴，也可以是图形的一条边或者一个对称中心。
3. 轴对称图形的判定对于平面图形而言，轴对称图形可以根据其内部结构和性质进行判定。
比如，如果平面图形的每一点在轴对称轴两侧的距离相等，那么这个图形就是轴对称图形。
三、轴对称的具体应用1. 几何图形的判断轴对称在几何图形中应用广泛，可以用来判断平面图形（如多边形、椭圆等）或者立体图形（如立体几何体）是否具有轴对称性。
2. 图案的设计轴对称图形在图案设计中有非常广泛的应用，可以通过轴对称性将一些简单的线条、形状或者图案进行变换，得到新的美学效果。
3. 艺术创作轴对称图形在艺术创作中也有重要的应用。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：（1）定义。
经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
（2）性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3， ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
（3）判定。
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上。
6、等腰三角形：（1）定义。
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
✍相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
✍两腰的夹角叫做顶角。
✍腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°-2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒ 可见，底角只能是锐角。
（2）性质。
✍等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。
✍等边对等角。
如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。
✍三线合一。
（3）判定。
✍有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点在日常生活中，轴对称经常出现在各种图形、物品和自然事物中。
轴对称是一种基本的几何概念，是我们理解图形、计算面积和体积等几何问题的重要基础。
本篇文章将重点讨论轴对称的概念、性质和应用，帮助读者全面了解轴对称的知识点。
一、轴对称的基本概念轴对称是指平面上的一个点、线或面，将图形沿着该点、线或面折叠后，两侧重合的现象。
例如，一个圆可以沿着其圆心为轴对称，一个矩形可以沿着其中心的对角线为轴对称。
轴对称的基本概念包括以下几个要素：1. 轴：轴是平面上的一个点、直线或面，用于将图形分割成对称的两部分。
2. 对称中心：对称中心是轴对称的中心点或中心线，是图形对称的基准点。
3. 对称轴：对称轴是指通过对称中心的直线或平面，用于确定图形的对称位置。
4. 对称面：对称面是指沿着某个平面进行对称的现象，例如，一个立方体可以沿着一个面为对称面。
二、轴对称的性质轴对称是一种基本的几何概念，具有一些重要的性质，包括：1. 对称关系：轴对称的两侧是对称关系，互为镜像。
例如，一个字母“S”在其对称轴的两侧是相似的镜像形。
2. 对称轴必须经过对称中心：轴对称的对称轴必须经过对称中心，这是其对称的基准点。
3. 对称轴是唯一的：轴对称的对称轴是唯一的，它既可以是一条直线，也可以是一个平面。
4. 对称图形具有相同的面积和周长：轴对称的图形具有相同的面积和周长，这意味着，我们可以通过测量一侧的面积和周长，计算出整个图形的面积和周长。
三、轴对称的应用轴对称是一种重要的几何概念，在各种领域都有广泛的应用，包括：1. 在工程绘图中，轴对称被广泛用于设计对称性的零件和构件。
例如，一个机器零件可能需要在两侧具有相等的重量和力学性能，这就需要使用轴对称进行设计。
2. 在纹样和图案设计中，轴对称是一种常见的设计手段。
例如，一些印度图案和中国的剪纸，都是基于轴对称设计的。
3. 在数学中，轴对称被广泛应用于计算面积和体积。
例如，计算一个图形的面积，可以将其沿着某个轴对称的线分割成对称的两部分，计算一部分的面积后，再乘以2。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C-轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
轴对称古代知识点总结
轴对称古代知识点总结一、轴对称的概念轴对称，又称对称轴，是指物体上的某条直线，对这条直线上的点作对称变换时，这条直线是对称变换的轴。
也就是说，沿着轴对称的直线将物体划分为两部分，两部分是完全相似的，只是在轴对称线上的点的位置互相翻折。
轴对称是几何图形中的一种对称性。
在古代的数学中，轴对称的概念并不是以轴对称的名义出现的，但在古代的几何学和美学中，对称性的概念得到了充分的重视。
古希腊的几何学家欧几里得在其著作《几何原本》中系统地论述了几何学的基本概念，其中包括了对称性的讨论。
在古代的雕塑和建筑中，对称性也被广泛地应用，因此，轴对称的概念在古代的数学和美学中得到了广泛的应用和发展。
二、轴对称的性质1、轴对称的稳定性轴对称的稳定性是指物体在轴对称的直线上做对称变换后，物体的形状、大小、质地等性质不变。
这个性质使得轴对称的直线成为了一种特殊的对称轴，因为它不仅能够将物体分为两部分，还能够保持物体的形状和结构不变。
2、轴对称的唯一性在平面上，物体的轴对称轴是唯一的。
也就是说，如果一个物体有轴对称，那么它的轴对称轴是唯一的。
这个性质在数学和美学中都得到了广泛的应用，因为它使得研究轴对称的直线更加简洁和明了。
3、轴对称的延伸性轴对称的直线可以被延伸到整个空间中。
也就是说，轴对称的性质并不仅仅局限于平面上，而是可以延伸到三维空间中。
这个性质使得轴对称的概念更加普遍和实用。
三、轴对称的应用1、在建筑中的应用古代的建筑中，轴对称的概念被广泛地运用。
古罗马的庞贝城就是一个典型的例子。
在庞贝城的建筑中，轴对称的对称性得到了充分的体现。
建筑师们利用轴对称的直线将建筑物分成了对称的部分，使得整个建筑物看起来更加整齐和谐。
2、在绘画中的应用古代的绘画中，轴对称的概念被广泛地运用。
例如，在中国的绘画中，轴对称的直线被用来构建绘画作品的结构。
在古代的绘画作品中，轴对称的直线被用来分割画面，使得画面更加平衡和和谐。
3、在雕塑中的应用古代的雕塑中，轴对称的概念被广泛地运用。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是几何学中一个重要的概念，它在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
轴对称是指某个图形或物体通过一个轴线进行对称时，两边完全一致的性质。
在本文中，我们将讨论轴对称的定义、性质和应用，并且介绍一些与轴对称相关的重要知识点。
首先，让我们来了解一下轴对称的定义。
轴对称是指一个图形或物体相对于某个轴线对称，也就是说，通过这个轴线，图形或物体的两边是完全一致的。
轴对称可以在平面图形中看到，如圆、正方形和矩形，也可以在三维物体中观察到，如立方体和圆柱体。
轴对称是指对称性的一种表现形式，它使得物体更加稳定、对称和美观。
轴对称具有一些重要的性质。
首先，任何图形或物体都可以有轴对称的特性，但并不是所有的图形都有轴对称。
例如，一个长方形具有轴对称性，而一个任意形状的图形则不一定具有轴对称性。
其次，在一个轴对称图形中，与轴线对称的两个点之间的距离是相等的。
这是因为轴对称性要求两边完全一致，在不损失对称性的前提下，点与轴线的距离必须相等。
最后，轴对称图形可以通过折叠沿着轴线重叠在一起。
这是因为两边完全一致，所以它们可以完全叠在一起。
轴对称具有广泛的应用。
在艺术领域，轴对称可以被用来组织和设计画作、雕塑和建筑物。
许多艺术品都运用了轴对称来增强美感和视觉效果。
在生活中，轴对称也经常出现在日用品中。
例如，镜子是常见的具有轴对称特性的物体。
它们通过镜面上下左右的对称，可以反射出完整的镜像。
在科学研究中，轴对称也有着广泛的应用。
例如，轴对称可以用于研究分子的结构、晶体的对称性以及光学中的偏振等。
除了轴对称的基本概念外，还有其他一些与轴对称相关的重要知识点。
首先是轴对称图形的判定方法。
判定一个图形是否具有轴对称性的方法之一是观察图形是否可以通过某条直线进行对折，如果两边重合，那么它就是轴对称的。
其次是轴对称和平移的关系。
轴对称性是平移不变性的一种特例。
也就是说，如果一个图形具有轴对称性，并且在平移下保持不变，那么它就是具有轴对称性的。
轴对称知识点总结
（2） 对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3） 对应点到对称轴的距离相等。 （4） 对应点的连线互相平行。 5、 线段的垂直平分线： （1）
定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB， 直线m⊥AB于C， ∴直线m是线段AB的垂直平分线。
图2
（2） 性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
重要结论。在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
如图7， ∵在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A=30° ∴BC=AB 或AB=2BC
图7
坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根
据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见 11（1）。 9、 对称轴的画法：
等边三角形的三个内角都等于60°。 如图6，在△ABC中
∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C=60°。
图6
（3） 判定。 三条边都相等的三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC中
∵AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形 。 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC中 ∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 。 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC中 ∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC） ∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC是等边三角形 。 （4）
添加辅助线口诀 几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连. 线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现； 公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结
一、会判断轴对称图形以及做出其对称抽
[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
二、（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
三、（1）会作出已知图形关于某条直线的对称图形，会写作法。
P40
（2）会在直角坐标系中已知图形关于某条直线的对称图（找出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标，并描出这些点，并连接这些点。
P44
（3）会作已知线段的垂直平分线，会写作法。
（4）已知等腰三角形底边和底边上的高，会作出该等腰三角形。
P52
三、（1）垂直平分线又叫中垂线。
（2）图形轴对称的性质及线段。
P32
（3）线段垂直平分线的性质和性质逆定理。
P33
四、等腰三角形
(1)等腰三角形的性质P50
(2)等腰三角形的判定
1、根据定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）
（3）等边三角形的判定：
1、三个角相等的三角形是等边三角形。
2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
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1、轴对称图形：
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：
（1）区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴 对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：
（1）定义。
经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，
∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
（2）性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
m C A B
图1 图 2
m
C A B P D'
D C'B'A'K J I H
如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。
6、等腰三角形：
（1）定义。
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
✍相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
✍两腰的夹角叫做顶角。
✍腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角；底角=顶角顶角
21
-902180︒=-︒
可见，底角只能是锐角。
（2）性质。
✍等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”
，只有一条。
✍等边对等角。
如图5，在△ABC 中，∵AB=AC ∴∠B=∠C 。
✍三线合一。
（3）判定。
✍有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC 中，∵AB=AC ， ∴△ABC 是等腰三角形 。
✍有两个角相等的三角形是等腰三角形。
底边底角底角顶角腰腰D C B A 图5 图4
如图5，在△ABC 中，∵∠B=∠C ，∴△ABC 是等腰三角形 。
7、等边三角形：
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质。
✍等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
✍三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
✍等边三角形的三个内角都等于60°。
如图6，在△ABC 中 ， ∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。
（3）判定。
✍三条边都相等的三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC 中，∵AB=AC=BC ， ∴△ABC 是等边三角形 。
✍三个内角都相等的三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC 中，∵∠A=∠B=∠C ， ∴△ABC 是等边三角形 。
✍有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC 中 ， ∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ）
∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）
∴△ABC 是等边三角形 。
（4）重要结论。
在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
如图7，∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° 图6 A B C
∴BC=21
AB ，或AB=2BC
8、平面直角坐标系中的轴对称：
),(),(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2） ),(),(b a y b a -横反向，纵不变轴对称关于
点（x ，y ）关于原点对称的点的坐标为（-x ，-y ）。
关于谁谁不变，关于原点都相反 点P （x ，y ）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y ＝x 对称的点的坐标是（y ，x ）
点P （x ，y ）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y ＝ －x 对称的点的坐标是（－y ，－x ） 点P （x ，y ）关于直线x ＝m 对称的点的坐标是（2m －x ，y ）；
点P （x ，y ）关于直线y ＝n 对称的点的坐标是（x ，2n －y ）；
说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。
对称点的作法见11（1）。
对称轴的画法：在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对
对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：✍有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。
✍成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
9、常见的轴对称图形：
（1）英文字母。
A B CD E H I K M O T U V W X Y
（2）中文。
日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田， 天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。
图7
（3）数字。
0 3 8
（4）图形。
说明：✍圆有无数条对称轴。
✍正n边形有n条对称轴。