第01课时(正弦定理(1))

1．如右图，ABC Rt ?中的边角关系：

=A sin _________；=B sin _________；=C sin _________；

边=c _________=_________=_________．

2．任意ABC ?中的边角关系是否也可以如此？如何证明？

3．正弦定理：

4．练习：

（1）在ABC ?中，已知14=a ，7=b ，?=30B ，则=A _________；（2）在ABC ?中，已知6=

a ，?=45A

，?=75B ，则=c _________；

（3）一个三角形的两个内角分别为?30和?45，如果?45角所对的边长为8，那么?30角所对的边长是_________；

例题剖析

例1 尝试用其他方法证明正弦定理．

例2 在ABC ?中，?=30A ，?=135C ，10=a ，求b ，c ．

例3 根据下列条件解三角形：

（1）26=a ，326=b ，?=30A ；（2）26=a ，13=b ，?=30A ．

利用正弦定理解以下两类斜三角形：

（1）已知两角与任一边,求其他两边和一角；

（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．仿照正弦定理的证法一，证明C ab S ABC sin 2

?，并运用此结论解决下面问题：

（1）在ABC ?中，已知2=a ，3=b ，?=150C ，求ABC S ?；

（2）在ABC ?中，已知10=c ，?=45A ，?=30C ，求b 和ABC S ?；

巩固练习

1．在ABC ?中，

（1）已知?=75A ，?=45B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知?=30A ，?=120B ，12=b ，求a ，c ．

2．根据下列条件解三角形：（1）40=b ，20=c ，?=45C ；（2）67=b ，14=a ，?=60B ．

课堂小结

利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

例4

课后训练

班级：高一（）班姓名：____________

一基础题

1．在ABC ?中，已知?=45B ，22=c ，3

34=

b ，则=C __________．

2．在ABC ?中，已知?=45A ，?=75B ，1=c ，则=a __________． 3．在ABC ?中，已知b a 2=，?=30B ，则=C __________． 4．在ABC ?中，

（1）已知?=135A ，?=15B ，1=c ，求这个三角形的最大边的长；（2）已知?=30A ，?=45C ，16=b ，求a ，c ，B ．

5．根据下列条件解三角形：（1）6=

b ，2=

c ，?=45C ；

（2）47=b ，38=c ，?=110C ；

（3）14=a ，67=b ，?=60B ．

6．在ABC ?中，已知5:4:3sin :sin :sin =C B A ，求c b a ::．

7．在ABC ?中，已知4=a ，5=b ，ABC ?的面积为35，求C ．

二提高题

8．在ABC ?中，已知?=45B ，2=b ，求a 的取值范围．

9．在ABC ?中，已知?=30B ，32=AB ，2=AC ，求ABC ?的面积．

三能力题

10．已知下列各三角形的两边和其中一边的对角，先判断三角形是否有解？如果有解，再做出解答．

（1）?===10587A b a ，，（2）?===802010A b a ，，

（3）?===601065A b a ，，（4）?===30632A b a ，，

11．由第10题，你能得出什么一般结论？

111正弦定理第1课时

111正弦定理第1课时https://www.360docs.net/doc/f22173497.html,work Information Technology Company.2020YEAR

1.1.1 正弦定理（第1课时）湖北省天门中学胡圣兵一、教学设计 1、教学内容解析本节课作为正弦定理的第一课时，主要包括章引言、正弦定理的发现、探索、证明和简单应用。正弦定理与初中学习的三角形的边角关系有着密切的联系，是解三角形的重要工具之一，既是三角函数知识的应用。又是初中解直角三角形内容的直接延伸，在日常生活、工业生产、天文、航海、航天、测量等领域中都有着广泛应用，对培养学生应用教学的意识起到重要作用。本节课让学生从已有的知识出发，通过探究得到正弦定理的内容，并能运用正弦定理解题。根据以上分析，本节课的教学重点确定为：正弦定理的探索发现及其初步应用。 2、学生学情诊断学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修四中又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这就为探索任意三角形的边角关系提供了基础。学生的困难在于如何将直角三角形中的正弦定理迁移到斜三角形中，特别是用向量的方法证明正弦定理的思路也是学生难以想到的。根据以上分析，本节课的教学难点确定为：正弦定理的探索和证明。 3、教学目标设置

（1）知识与技能目标：掌握正弦定理的内容及证明；能初步应用正弦定理解题。（2）过程与方法目标：使学生懂得认识事物有一个逐步深入的过程，对于三角形的边角关系从定性分析上升到定量分析；了解从特殊到一般的归纳方法以及分类讨论解决问题的方法。（3）情感、态度和价值观目标：通过对正弦定理的探究发现的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过对正弦定理在各个领域中应用的了解，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，激发对数学的情感，培养学习数学的兴趣，不断提高自身的文化素质。4、教学策略分析本节课将以学生熟悉的生活实例，创设问题情境，带领学生进入解三角形内容的学习，激起学生的求知欲；在正弦定理的探究过程中，采用从直角三角形出发，通过学生的合作交流，得到任意三角形中的结论，并让学生归纳整理，完成正弦定理的再创造过程，用向量的方法，几何的方法证明正弦定理，分层递进，逐步深入探究，让学生在不断的猜想与解决中体会合作的乐趣。从而熟悉正弦定理的内容，并能初步应用。在教学中采用多媒体辅助教学，使得信息技术与教学内容的整合过程完美自然，课堂容量大而不失层次。教学流程：

高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计

2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月正弦定理第一课时

一、教学内容解析本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。二、教学目标设置《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；

《正弦定理》教案1苏教版

《正弦定理》教案1（苏教版必修5）课题：11.1 正弦定理教学目标： (1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力; (3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力. 教学重点：正弦定理及其证明过程教学难点：正弦定理的推导与证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：几何画板教学过程：一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,

都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt△ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系? sinA=,sinB=,sinC==1,...... 即c=,c=,c=． ∴== 探索2:在任意三角形里, ==还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动数学实验: 分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立? 分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立? 数学猜想: ==; 三.建构数学: 数学证明:证法一:证明二：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC= 两边同除以即得：== 证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理 =2R，＝2R 证明四：（向量法）探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?

正弦定理第二课时教案1

§1.1 正弦定理第二课时教案主备人：刘权备课组长：刘权共2课时第二课时一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数二、重难点：重点：正弦定理的应用；难点：已知两边及其中一边对角时三角形解的个数三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时，常用的结论（1）在ABC ?中，A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式： ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；（2）正弦定理的变形形式： 1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

正弦定理(第一课时)教学设计

《正弦定理》（第一课时）教学设计点明课题本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教学背景分析?? ? ??教学目标分析学生现实分析教材地位分析.3.2.1 二、教学展开分析??? ?? ??教学过程实施教学媒体选择教学策略与学法指导教学重点、难点分析.4.3.2.1 三、教学结果分析一、教学背景分析 1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。 2.学生现实分析 (1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识： c a A = sin c b A = cos

①勾股定理： ②三角函数式，如： (2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识： ① ②大边对大角，小边对小角 ③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量） (4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 3.教学目标分析知识目标： (1)正弦定理的发现 (2)证明正弦定理的几何法和向量法 (3)正弦定理的简单应用能力目标： (1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力 (2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力情感目标： (1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题 (3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思二、教学展开分析 1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。 π=++C B A 2 22c b a =+

高中数学必修5第一章1.1第1课时正弦定理

第1课时正弦定理 A 级基础巩固一、选择题 1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：由2B ＝A ＋C ?3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°. 答案：C 2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32 解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×223 2 ＝2 3. 答案：B 3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sin B ，1532 ＝10sin B ，所以sin B ＝33 ，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B

＝63 . 答案：D 4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．a ＝b ?sin 2A ＝sin 2B C.a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．答案：B 5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝2R ，由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，

6.4.2 第二课时余弦定理、正弦定理(原卷版)-高一数学同步备课系列

6.4.2第二课时余弦定理、正弦定理【课时分层练】 2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】一、单选题 1．在ABC 中，内角A ?B ?C 所对的边分别是a ?b ?c ，已知14 b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．在ABC 中，2sin 22C a b a -=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 3．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72?的等腰三角形（另一种是两底角为36?的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中， 12 BC AC =．根据这些信息，可得sin54?=（）． A B C D

4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（） A ．4003m B ．300m C ．400m D ．600m 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（） A ． B ． C ． D ．6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差，1b =，则a c +的取值范围是（） A ．(]1,2 B ．(]0,2 C ．( D ．( 7．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积，若三角形的三边长分别为,,a b c ，则其面积S =，其中()12 p a b c =++，现有一个三角形边长,,a b c 满足7,5a b c +==，则此三角形面积最大值为（） A ． B C ． D 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知21sin 222A b c +=，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．若3A π ∠=，4AC = ， ABC S =，则 sin sin a b A B +=+（） A ． B ．3 C D

1.1正弦定理(优质课比赛)

《正弦定理》第一课时尊敬的各位专家、评委、老师们：大家好！我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理（选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时）这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。首先是教学背景分析我分三小点来说明：一、教学背景分析 1、教材分析随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。 2、学情分析正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标： 3、教学目标（1）知识和技能引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力；通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. （3）情感态度价值观通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析）二、教法学法分析 1、教法分析根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。

正弦定理教学设计重难点

正弦定理教学设计教材分析：本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一课时内容，本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题与与三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。教学目标：（一）知识与技能 1.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2.能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。（二）过程与方法 1.学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——正弦定理。 2.在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。（三）情感、态度与价值观 1.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识。 2.在运用正弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界。 3.通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值，应用价值，进而领会数学的人文价值，美学价值，不断提高自身的文化素养。教学重点：正弦定理的猜想与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学过程：一、创设情景，导入新课船从港口A 航行到港口B ，测得AB 的距离为6千米，在港口B 卸货后将继续向港口C 航行，但此时船员发现仪表坏了，将不能测量距离，如果船上有测角仪，测得B 60∠=?，45C ∠=?，我们能否帮他计算出 AC 的距离？这是一个实际问题，我们可以将此转化为数学问题： “在△ABC 中，已知B 60∠=?，45C ∠=?， AB = 6千米，求AC 的长.” 老师：这里△ABC 是斜三角形，已知两角一边，求边长AC. 思考能否求出AC ？学生：过点A 作高 B A C ?6

高中数学第二章正弦定理教学设计北师大版必修5

《正弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造

正弦定理第一课时(教学设计)

《正弦定理》

§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计）一、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学重点和难点重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用难点：正弦定理的实际应用三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：

六、教学设计 1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理 ①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。（2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =，故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点 D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考：问题：您能用其他方法证明这一关系吗？方法二、向量法证明正弦定理如图，以A 为原点，以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，C 点在y 轴上的射影为c '。 A B C D b a a b D A B C

《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形；（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。三、教学目标： 1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之

间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。四、教学重点与难点：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点： ①正弦定理的证明； ②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。五、学法与教法学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C = = ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。六、教学过程创设问题情境：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出两点间A 、C 的距离55m ，∠ACB=600，∠BAC=450求A 、B 两点间的距离。引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．启发学生发现问题实质是：已知△ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度，求AB 距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边． B C A

正弦定理教案公开课

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）民和高级中学刘永宏【三维目标】一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观 1. 在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力和处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重点与难点】重点：正弦定理的证明和应用难点：1向量知识在证明正弦定理时的应用； 2 正弦定理在解三角形时的应用思路. 【教学教法的选择】以问题驱动、层层铺垫，运用“发现—探究”教学模式。【学法与教学用具】学法指导：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、直尺、【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学设计】教学流程及过程学生活动设计意图一. 复习引入、发现问题问题1、在Rt △ABC,C 为直角,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b ,sinC=c c =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 引导学生发现问题

正弦定理第一课时(教学设计新部编版)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《正弦定理》安徽省濉溪二中吕家强2012年9月19日

六、教学设计 1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理 ①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。（2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B = ，故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. （约需2 A B C D b a a b D A B C

《正弦定理》新授课的教学设计

巧妙提问，探寻课堂知识生长点 ————《正弦定理》新授课的教学设计一、教学内容分析：《正弦定理》是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A 1 “正弦定理和余弦定理”的第1课，是解三角形的版)第一章《解三角形》：1 重要工具。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。二、学生学情分析：由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中涉及三角函数与平面向量等多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的积极建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则采用巧妙提问、实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，从学生已有知识出发，巧妙提问，层层推进，引入课题，猜想验证，理论证明，最后把所学知识应用于实际问题。四、教学目标：让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。五、教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应

正弦定理教学设计韩婷

《正弦定理》教学设计宁夏六盘山高级中学韩婷

正弦定理（第1课时）一、教学目标分析 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现并证明正弦定理；能理解其内容的实质和作用；会运用正弦定理解决一些简单的三角度量问题。 2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；在正弦定理的证明方法中，渗透分类讨论思想和“从特殊到一般、一般到特殊”化归转化的思想方法。 3、情感、态度与价值观：以实际问题为背景，激发学生的好奇心与求知欲；又通过正弦定理的发现与证明过程培养学生的探索精神和创新能力。逐步培养应用数学知识参与社会活动的意识和成就感二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边、角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。难点：正弦定理的发现及证明三、教学方法：本节课主要采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以解决问题为落脚点，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形中边角关系的探究中去。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

五、教学媒体： 1、预、学案的使用：学生通过课前使用预案、课堂上使用学案，明确学习的目标和学习的重点；课后回收学案，教师可以及时了解学生课堂上的活动效率，以便个别指导，查漏补缺。 2、PPT和《几何画板》的使用，不仅形象直观地呈现问题，而且可节省大量的时间、空间。六、教学过程设计：

高中数学第一章第1课时—— 正弦定理(1)学案(教师版) 苏教版必修5

听课随笔第1章解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→? ?? 【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1.1 正弦定理第1课时【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求 1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法； 2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价 1．正弦定理：在△ABC 中， ===C c B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________；（2）_________________________________ ________________________________ 【精典范例】【例1】在ABC ?中，30A =?，105C =?，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．【解】【例2】根据下列条件解三角形：（1 ）60,1b B c ==?=；（2 ）45,2c A a ==?=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．【解】追踪训练一 1．在△ABC 中， 0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（） A )13(5- B )13(5+ C 10 D )26(5+ 2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ， 3 2 sin = B ，则A sin = （）

1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案

1.1正弦定理和余弦定理【课题】：1.1.2余弦定理【教学目标】： (1)知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形 (2)过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理 (3)情态与价值：使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系【课前准备】：多媒体电脑平台.

22 2 2 2 2 2 22222cos c a b a b a b c a b a b a b ab C =-=+-?=+-??+-（）（）

22 2 2 2 2 2 22222cos c a b a b a b c a b a b a b ab C =-=+-?=+-??+-（）（） BC = a . 2 (sin )a C C cos A

1.在△ABC 中： (1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－292 2×20×21 ＝0，∴B ＝90°. (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7. (4)由cos A ＝2222 b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋ 1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 2.在△ABC 中，已知222 a a b c b +=-，则内角C 等于（） A ．90 B ．60 C ．120 D ． 30 解： 222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1 cos 2 C ∴=- 0180C <<,120C ∴= 3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积222 4a b c S +-=，则角 C =_________ 解：2222cos cos 1 sin ,tan 1,454422 a b c ab C ab C S ab C C C +-= ===∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状解： sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴= ,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则 222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角 △ABC 为钝角三角形（中档题） 5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =1 3 ，则其外接圆的半径为（）