第12讲函数(线性目标函数和综合函数)模型及其应用高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1

【知识要点】

一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．

数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．

数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．

二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．

三、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；

（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

四、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义.

（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =（注意确定函数的定义域）；

（3）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/=x f ；

（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；

如果函数的定义域不是闭区间，0)(/=x f 又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.

五、解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，

并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

六、解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．

【方法讲评】

函数模型线性目标函数

使用情景一般与线性规划问题有关.

解题步骤

（1）根据题意，设出变量,x y；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)

z f x y

=；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(

y f x z

=为参数）；

（6）观察图形，找到直线()(

y f x z

=为参数）在可行域上使z取得欲求最值的位置，

以确定最优解，给出答案.

【例1】某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A B C D

、、、四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？

设备

产品

甲 2 1 4 0

乙 2

0 4

【解析】设计划期内生产甲x 件，生产乙y 件，

则???????????≥≥≤≤≤+≤+00124164821222y x y x y x y x 即 ???????????≥≥≤≤≤+≤+0

4826y x y x y x y x 【点评】（1）线性规划的问题要严格按照基础知识里的步骤解答，列线性约束条件，要全面不要遗漏.（2）线性规划问题的求解过程，实质是数形结合的应用过程，所以解答时要解释清楚.

【反馈检测1】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(420v ≤≤)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x y 、小时.(1)作图表示满足上述条件x y 、的范围；(2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+- (元)，那么v w 、分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？函数模型

综合函数使用情景一般与复杂的综合函数有关

解题步骤

（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义；（2）分析实际问题中各量之间

的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =（注

意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/=x f ；（4）如果函数的

定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）

者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，0)(/=x f 又只有一个解，则该函数

就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明. 学科#网

【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()(010),35

k C x x x =≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式.

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.

（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即2

24006(35)x =+. 【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（2）理解函数()f x 的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.

【反馈检测2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313812800080

y x x =-+ (0120)x <≤已知甲、乙两地相距100千米.

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第12讲：

函数（线性目标函数和综合函数）模型及其应用参考答案

【反馈检测1答案】（1）见下图；（2）10x =,12.5v =,30w =,p 的最小值为93元.

【反馈检测1详细解析】(1) 由题意得：50v y =,300w x

=,420v ≤≤,30≤w ≤100, ∴310x ≤≤,52522

y ≤≤.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x y +应在9至14小时之间，即9≤x y +≤14,②

因此满足①②的点(,)x y 的存在范围是图中阴影部分(包括边界).

【反馈检测2答案】（1）从甲地到乙地要耗油17.5升；（2）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.

【反馈检测2详细解析】（1）若40x =千米/小时，每小时耗油量为7y =升/小时. 共耗油100717.540?

=升.所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.

（2）设当汽车以x 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，()0120x <≤，耗油量为S 升. 则 32100131800158128000801280

4S x x x x x ??=-+=+- ???， 21800'640S x x =-，令'0S =，解得，80x =.

列表：

单调递减极小值11.25 单调递增

所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.

线性规划教学目标1.解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念

线性规划教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。教学重点：线性规划问题。教学难点：线性规划在实际中的应用。教学过程： 1．复习回顾：上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课：例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件：，求z的最大值和最小值. 解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．（如右图）．作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以 zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念．线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．

高中数学(人教版A版必修五)配套单元检测：第3章：3.3.2 简单的线性规划问题(二)

3．3.2 简单的线性规划问题(二) 课时目标 1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型． 1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)． 2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题 1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( ) A.????? a 1x ＋a 2y ≥c 1， b 1 x ＋b 2 y ≥c 2 ，x ≥0，y ≥0 B.????? a 1x ＋b 1y ≤c 1， a 2 x ＋b 2 y ≤c 2 ， x ≥0， y ≥0 C.????? a 1x ＋a 2y ≤c 1， b 1 x ＋b 2 y ≤c 2 ，x ≥0，y ≥0 D.????? a 1x ＋a 2y ＝c 1， b 1 x ＋b 2 y ＝c 2 ， x ≥0， y ≥0 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( ) A.14 B.35 C ．4 D.53 3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值．解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ．二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ．因此 4 5 max = y ，无最小值．例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ．同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ．注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值．解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．因此 7max =y ，1min -=y ．例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y

高中函数图像大全

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R。注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数 1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图

求线性目标函数的最值

求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件????? 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0， x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3 过点A 时，z 取得最小值，联立????? 2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10 求非线性目标函数的最值 2．已知实数x ，y 满足????? x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0， 3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由????? x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25 ．所以d 2的最小值为45 ，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是??? ?45，13．答案：??? ?45，13 线性规划中的参数问题 3．已知x ，y 满足????? x ≥2，x ＋y ≤4， 2x －y －m ≤0. 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．

解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由????? 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得????? x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小， ∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5．答案：5 [通法在握] 1．求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a ． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．

高中数学线性规划问题

高中数学线性规划问题一．选择题（共28小题） 1．（2015?马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x ﹣3y的最小值（） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 2．（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 3．（2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（） A．﹣3 B．1 C．D．3 4．（2015?福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1 6．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣ y的最大值为（） A．10 B．8 C．3 D．2 7．（2014?安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（） A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1 8．（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2 9．（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A． B． C．12 D．16 10．（2015?广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（） A．4 B． C．6 D． 11．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y 的最大值为（） A．8 B．7 C．2 D．1

12．（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2 B．﹣2 C．D．﹣ 13．（2015?开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（） A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D． 14．（2016?荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为（） A．3 B．﹣3 C．1 D． 15．（2015?鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s= 的取值范围是（） A．[1，] B．[，1] C．[1，2] D．[，2] 16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u= 的值范围是（） A．[，] B．[﹣，﹣] C．[﹣，] D．[﹣，]

高中数学常见函数图像

高中数学常见函数图像1. 2.对数函数：

3.幂函数：定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =；当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =；当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数．在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴

线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东张吉林线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124 z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二直线的斜率型例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界)，

31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1) z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434 a b a b ?+=?--=?解得65a b ?=???--?=?? 因此min z =。综上可知函数的值域为???? 三平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析：目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：

人教版高中数学总复习[知识梳理简单的线性规划(基础)

简单的线性规划【考纲要求】 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。【知识网络】【考点梳理】【不等式与不等关系394841 知识要点】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）； ②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。简称：“直线定界，特殊点定域”方法。考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧. 要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号简单的线性规划二元一次不等式（组）表示的区域简单应用不等式（组）的应用背景

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0