学案导学与随堂笔记苏教数学选修全套备课精选单元测试：第一章 计数原理 章末检测A

第1章 计数原理(A)

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有________种．

2．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有________种．

3．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．

4．从5名男生和5名女生中选3名组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为________．

5．从1,2,3，…，100中任取2个数相乘，其积能被3整除的有________组．

6．编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为________．

7．在? ??

??1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则第六项的系数是________．

8．在?

????x 2－13x 8的展开式中，常数项是________．

9．若(3x －13x

2)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含1x 3项的系数是________． 10．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，则n 的值为________．

11．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有________个．

12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有________对．

13．在(x ＋1x

)9的展开式中，x 3的系数是________． 14．对于二项式(1－x )1 999，有下列四个命题：

①展开式中T 1 000＝－C 9991 999x 999；

②展开式中非常数项的系数和是1；

③展开式中系数最大的项是第1 000项和第1 001项；

④当x ＝2 000时，(1－x )1 999除以2 000的余数是1.其中正确命题的序号是________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)有A ，B ，C 三个城市，上午从A 城去B 城有5班汽车，2班火车，都能在12∶00前到达B 城，下午从B 城去C 城有3班汽车，2班轮船．某人上午从A 城出发去B 城，要求12∶00前到达，然后他下午去C 城，问有多少种不同的走法？

16.(14分)用0,1,2,3,4,5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？

17．(14分)求(x ＋1x

－1)5展开式中的常数项．

18．(16分)有9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？

(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；

(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．

19．(16分)已知S n ＝2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n －1n 21＋1(n ∈N *)，求证：当n 为偶数时，

S n －4n －1能被64整除．

20．(16分)已知(3

x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992，求展开式中二项

式系数最大的项和系数最大的项．

第1章计数原理(A)

答案

1．90

解析分三步进行：先从六个班中选两个班给第一名老师，有C26种方法；再从剩余的四个班中选两个班给第二名老师，有C24种方法；最后两个班给第三名老师，共C26×C24×C22＝90(种)方法．

2．1 440

解析用捆绑法，将甲、乙作为一个元素，N＝A66·A22＝1 440(种)．

3．192

4．110

解析方法一(直接法)分为三类：一女二男，二女一男，三女．所以共有C15·C25＋C25·C15＋C35＝110(种)组队方案．

方法二(间接法)无限制条件的方案数减去全是男生的方案数，所有共有C310－C35＝120－10＝110(种)组队方案．

5．2 739

解析乘法满足交换律，因此是组合问题．把1,2,3，…，99,100分成2组：{3,6,9，…，99}，共计33个元素；{1,2,4,5，…，100}，共计67个元素，故积能被3整除的有C233＋C133·C167＝2 739(组)．

6．109

解析问题的正面有3种情况：有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这3种情况都难以求解．从反面入手，只有2种情况：全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座．全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5人中选3人有C35种选法，安排其余2人不对号入座，只有1种坐法．因此，反面情况共有1＋C35·1＝11(种)不同坐法.5人无约束条件入座5个座位，有A55＝120(种)不同坐法．所以满足要求的坐法种数为120－11＝109.

7．462

解析由题意知，2n－1＝1 024＝210，所以n＝11.所以第六项的系数为C511＝462.

8．7

9．21

解析 赋值法：令x ＝1，得n ＝7，

由通项公式得T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·(－13x

2)r ＝(－1)r ·37－r ·C r 7·x 21－5r 3

， 令21－5r 3

＝－3，得r ＝6， ∴1x

3的系数为(－1)6·37－6·C 67＝21. 10．11

11．240

12．36

解析 15条直线中任选两条，有C 215＝105(对)直线；其中平行直线有C 23＋3＝6(对)；相交直线有6×C 25(同一顶点处)＋3(每个侧面的对角线)＝63(对)．所以异面直线共有105－6－63＝36(对)．

13．84

解析 T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·x －r ＝C r 9·

x 9－2r ， 令9－2r ＝3，∴r ＝3.∴x 3的系数是C 39＝84.

14．①④

解析 展开式中T 1 000＝C 9991 999(－x )999＝－C 9991 999

x 999，所以①正确；展开式中各项系数和为0，而常数项为1，所以非常数项的系数和为－1，②错；展开式中系数最大的项是第1 001项，③错；将二项式展开，即可判断④对．

15．解 根据分类计数原理，上午从A 城到B 城，并在12∶00前到达，共有5＋2＝7(种)不同的走法．

下午从B 城去C 城，共有3＋2＝5(种)不同的走法．

根据分步计数原理，上午从A 城去B 城，然后下午从B 城去C 城，共有7×5＝35(种)不同的走法．

16.解 分三步：①确定末位数字，从1,3,5中任取一个有C 13种方法；②确定首位数字，

从另外的4个非零数字中任取一个有C 14种方法；③将剩余的4个数字排中间有A 44种排法，故

共有C 13C 14A 44＝288(个)六位奇数．

17．解 (x ＋1x

－1)5＝5， 通项为T k ＋1＝C k 5(x ＋1x

)5－k (－1)k (0≤k ≤5)． 当k ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1，

当0≤k <5时，(x ＋1x

)5－k 的通项为 T r ＋1＝C r 5－k ·x 5－k －r ·(1x

)r ＝C r 5－k x 5－k －2r (0≤r ≤5－k )． ∵0≤k <5，且k ∈Z,5－k －2r ＝0，

∴k 只能取1或3，相应r 的值分别为2或1，

∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51.

18．解 (1)分三步完成：

第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法； 第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法； 第三步：把剩下的书给丙有C 22种方法，

∴共有不同的分法为C 49·C 35·C 22＝1 260(种)．

(2)分两步完成：

第一步：按4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；

第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法，

∴共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7 560(种)．

19．证明 S n ＝(2＋1)n ＝3n ， ∵n 为偶数，设n ＝2k (k ∈N *)，

∴S n －4n －1＝9k －8k －1＝(8＋1)k －8k －1＝(C 0k 8k －2＋C 1k 8

k －3＋…＋C k －2k )·82，(*) 当k ＝1时，9k －8k －1＝0，显然S n －4n －1能被64整除；

当k ≥2时，(*)式能被64整除．

∴n 为偶数时，S n －4n －1能被64整除．

20．解 令x ＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n ＝4n ，

又展开式二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，

由题意知4n －2n ＝992，即(2n )2－2n －992＝0，

(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，n ＝5.

所以展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三项和第四项，

它们是T 3＝C 25(3x 2)3·

(3x 2)2＝90x 6. T 4＝C 35(3x 2)2·(3x 2)3＝270x 223

， 设展开式中第k ＋1项的系数最大．

又T k ＋1＝C k 5(3x 2)5－k (3x 2)k ＝C k 5·3k ·x 10＋4k 3

， 得?????

C k 5·3k ≥C k －15·3k －1，C k 5·3k ≥C k ＋15·3k ＋1， 即????? 3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，

解得72≤k ≤92

，又∵k ∈N ，∴k ＝4. 所以展开式中第5项系数最大，

T 5＝C 45·34·x 263＝405x 263

.