上海高三立体几何复习教师版

学员编号：年级：课时数：

学员姓名：辅导科目：学科教师：

课题立体几何

授课类型T同步：知识梳理 C 专题：夹角与距离问题T 能力：高考真题与模拟题

教学目的1、梳理高考立体几何基础知识点；

2、复习立体几何常规题型与解题方法；

3、检测知识掌握情况。

教学内容

T同步：知识梳理

（一）立体几何考纲

内容记忆性水平解释性理解水平探究性理解水平

空间图形平面及

其表示

法

体验从现实世界中抽象出空间形式

的过程。会用平行四边形以及字母

表示平面。

平面的

基本性

质

在观察、实验的基础上归纳平面的

基本性质。

通过用基本性质解释实际事例和证明

有关推论，加深对基本性质的理解。

会用文字语言、图形语言、集合语言

表述平面的基本性质，并会用于进行

简单的推理论证。掌握确定平面的方

法。

几何体

的直观

图

会用“斜二测”方法画简单的几何体

（长方体、棱锥）以及长方体的截面

（如截平面过已知不共线的、位于棱

上的三点，且仅以平面的基本性质为

画图依据）等。掌握画空间图形的基

本技能，具有一定的空间想象能力。空间直

线与平

面的位

置关系

初步会将平行线的传递性、等角定

理等由平面推广到空间，并对等角

定理进行证明。会求简单情形下的

异面直线所成的角。

会用文字语言、图形语言、符号语言、

集合语言表示这些位置关系；会用反

证法证明两条直线是异面直线。通过

用演绎法对空间有关问题（如平面基

本性质的推论、等角定理、两条直线

是异面直线等）进行证明和推算，具

有一定的演绎推理能力。

简单几柱体认识圆柱的基本特征体会化“曲”为“直”、祖暅原理和

图形割补等思想方法。

掌握棱柱的有关概念以及直棱柱的有

关性质。会解决柱体的表面积、体积

的计算问题。

何 柱 体

的 研 究

锥体 认识圆锥的基本特征 体会化“曲”为“直”、祖暅原理和

图形割补等思想方法。 掌握棱锥的有关概念以及正棱锥的有关性质。会解决椎体的表面积、体积的计算问题。

球 认识球的基本特征。知道球的表面积和体积的计算公式。知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学与实际的联系。

会用球的表面积和体积公式进行有关的度量计算。类比有关圆的研究，对球及有关截面的性质进行探讨。

（二）基础知识梳理

平面及其基本性质

平面的特征：无厚度、无边界，在空间中无限延伸，像桌面一样“平”. 点、线、面的集合表示：

图形

符号语言

文字语言（读法） A

a

A a ?

点A 在直线a 上 A

a

A a ?

点A 不在直线a 上

A a ? 点A 在平面α内

A

α

A a ? 点A 不在平面α内

b a A

a b A =

直线a 、b 交于A 点 a

α

α?≠

a

直线a 在平面α内

a

α

a a =? 直线a 与平面α无公共点

a

A

α

a A a =

直线a 与平面α交于点A

l α

β= 平面α、β相交于直线l

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

A

α

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1： 一条直线和直线外的一点确定一个平面.

推论2：两条相交直线确定一个平面.

推论3：两条平行直线确定一个平面.

空间直线与直线的位置关系

公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行

定理1 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线：不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线。 异面直线判定方法： ①依据定义（常用反证法）

②经过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线

异面直线所成的角： 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O 作 直线 a ′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

可知，两异面直线的夹角范围是??

?

2,0(π

空间直线与平面的位置关系

直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a ∩α=A a ∥α

1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

3、线面垂直的判定定理：定理2 如果直线l 与平面α上的两条相交直线a,b 都垂直，那么直线l 与平面α垂直。

4、线面垂直的性质定理：如果直线l 与平面α垂直，则直线l 垂直于α内的所有直线

5、线面角：直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角 直线与平面所成的角的范围]2

,

0[π

6、点到面的距离：设M 是平面α外一点，过点M 作平面α的垂线，垂足为N ，MN 之间的距离为点M 到平面的距离

7、直线和面的距离：直线l 平行于平面α，在直线上任取一点，把点到平面的距离叫做直线和平面的距离

8、平行平面的距离：若βα平面平面//，在平面α上任取一点M ，我们把点M 到平面β的距离叫做平面α和平面β的距离。

9、异面直线之间的距离：直线a ，b 是异面直线，当点M ，N 分别在a,b 上，且直线a MN ⊥，且b MN ⊥,垂足M,N 之间的距离叫做异面直线a,b 之间的距离。

空间平面与平面的位置关系

二面角：设两个平面AB =?βα，AB 将两个平面分割成两个半平面，由βα，的半平面及其交线AB 所组成的空间图形叫做二面角，记作βα-AB -.交线AB 叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：在二面角βα-AB -的棱AB 上任取一点O ，过O 分别在面βα，上做棱AB 的垂线OM,ON 射线OM,ON 所成的角叫做二面角βα-AB -的平面角。二面角的范围],0[π

简单几何体

1. 棱柱：一般地，如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都互相平行，那么这个多面体叫做棱柱。

⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.

②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.

⑵{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}.

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

长方体

正四棱柱

正方体

底面是平行四边形

侧棱垂直底面

底面是矩形

底面是正方形

侧面与

底面边长相等

⑶棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的．．．矩形．．

. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. ②正棱锥的侧面积：'Ch 2

1

S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

多面体的面积和体积公式

名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全)

体 积(V)

棱 柱

棱柱 直截面周长×l

底侧S S 2+

h S h S ?=?直截面底

直棱柱 ch

h S ?底

棱

棱锥

各侧面积之和

底侧S S +

h S ?底3

1

锥

正棱锥

'2

1ch 表中S 表示面积，'

c 、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，'

h 表示斜高，l 表示侧棱长.

旋转体的表面积、体积和球面距离 圆柱及相关概念

1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。 2．相关概念：

（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；

（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高； （3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线

圆锥及相关概念

1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 2．相关概念：

（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；

（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高； （3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线 球及相关概念：

1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。另外将圆绕直径旋转180°度得到的几何体也是球。 2．相关概念：

（1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面，

也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合； （2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；

（3）半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；

（4）直径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径； （5）球的表面积公式：24R S π=. （6）球的体积公式：33

4

R V π=.

①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 3. ①内切球：

②外接球：

O

r

O

R

C 专题：夹角与距离问题

（一）线线角（两直线夹角）

1、空间内两直线所成角范围 0,

2π??

????

当空间两直线12l l 、所成角为直角时，12l l ⊥

当空间两直线12l l 、所成角为零角时，若12l l ?=?，则12l l 若12l l ?≠?，则12l l = 2、异面垂直

(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直[来源:学§科§网Z§X§X§K]

(2)记法:异面直线a,b 互相垂直,记为a ⊥b (3)分类:

???

共面垂直（相交）

两直线垂直异面垂直

3、异面直线所成的角的定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上

异面直线所成的角的范围：]2

,

0(π

平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。

1．如果a,b 是异面直线，b,c 也是异面直线，则a,c 的位置关系是（ D ）. A ．异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.

[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

2．若直线a,b 都垂直于直线c ，则a,b 的位置关系是（ D ）

A ．平行； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.

4．长方体1111ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，12AA =，求异面直线1BD AC 和所成角大小.

答案：145

29

7arccos

5． 在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点.AB=CD=2， 3EF =，求AB 与CD 所成角的大小.

答案：3

π

6．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、AC 、BC 两两垂直，E 为线段AB 的中点，2AC BC ==

，PC t =，当t 变化时，

1

A B

B

D

C

C A

A

B

C

D E

F

P

1D

求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围.

答案：)2

,4(

π

π

例1.如图，三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E 是PC 的中点。 （1）求异面直线AE 和PB 所成角的大小； （2）求三棱锥A —EBC 的体积【答案】：（1）取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF//PB ， 所以∠AEF 就是异面直线AE 和PB 所成角或其补角； ……………3分 ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA ⊥平面ABC ，

分

6;4

1

arccos 4

1

222322cos ;

2,2,3 =∠∴=??-+=∠===∴AEF AEF EF AE AF

所以异面直线AE 和PB 所成角的大小为.4

1arccos

（2）因为E 是PC 中点，所以E 到平面ABC 的距 离为

,12

1

=PA …………10分 .3

3

144331=??==--ABC E EBC A V V

例2.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径.

（1）求证：1BP A P ⊥；

（2）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，

120AOP ∠=?，求异面直线1A B 与AP 所成的角（用

反三角函数值表示结果）.

【答案】：（1）证明：易知AP BP ⊥，又由1AA ⊥平面PAB ，得1AA ⊥BP ，

从

而

1

A 1

O 1

B A

O

B P

M

A B

D

C

O

BP ⊥平面1PAA ，故1BP A P ⊥； （4分）

（2）解：以O 为原点，分别以OB ，1OO 为x ，z 轴的正向，并以AB 的垂直平分线为y 轴，建立空间直角坐标

系.

由题意2

11412V OA AA AA =π??=π?=π，解得13AA =.

易得相关点的坐标分别为：()2,0,0A -，()

130P ,,-，()12,0,3A -，()2,0,0B .得()

3,3,0AP =-，

()14,0,3A B =-， （9分）

设1A B 与AP 的夹角为θ，异面直线1A B 与AP 所成的角为α， 则1123

cos 05

A B AP A B AP

θ?=

=

>?，得23arc cos 5αθ==，即异面直线1A B 与AP 所成的角为23arc cos 5.

课堂检测

1.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ABCD ⊥底面，2OA =，M 为OA 的中点．

（Ⅰ）求四棱锥O ABCD -的体积；

（Ⅱ）求异面直线OB 与MD 所成角的大小． 【答案】：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD 的面积4=S ， 所以，求棱锥ABCD O -的体积3

8

2431=??=

V （Ⅱ）方法一（综合法）

设线段AC 的中点为E ，连接ME ，

则EMD ∠为异面直线OC 与MD 所成的角（或其补角） 由已知，可得5,3,2===

MD EM DE ，

222)5()3()2(=+

DEM ?∴为直角三角形 3

2tan ==

∠∴EM

DE

EMD ，

36arctan

=∠∴EMD ．所以，异面直线OC 与MD 所成角的大小3

6arctan ．

（二）线面角（直线与平面夹角）

直线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。规

定：（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；（2）一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是?0角。线面角的范围是[0，

2

π

] 作法：作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影。

例1.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1. (1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小； (2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积. 【答案】：（1）因为11BC

B C ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线11

B C 与

AC 所成角

∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4

BCA π

∠=

，

即异面直线11B C 与AC 所成角大小为4

π

。

（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1A A ABC ⊥平面，所以1A CA ∠即为直线A 1C 与平面ABC 所成角，所以14

A CA π

∠=

。

Rt ABC ?中，AB=BC=1得到2AC =，1Rt AA C ?中，得到12AA AC ==，

所以11

2

3

6

ABC ABC S AA -=

=

1A V 例2.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）

E 是棱11D C 的中点，

F 是侧面D D AA 11的中心．

（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；

（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示） 【答案】：（1）3

1

11311111=??=

=--F D A E EF D A V V ． （2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，

GEF Rt ?中22tan =

∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是2

2arctan ． A

B

C

D A 1

B 1

C 1

F

E

D 1

课堂检测

1.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与

平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】：过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，

∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角 由题意，得EF =11

1.2

CC = ∵ 1

1, 5.2

CF CB DF =

=∴= ∵ EF ⊥DF ， ∴ 5

tan .5EF EDF DF ∠== 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是5

arctan 5

（三）面面角（二面角）

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的大小用它的平面角来度量。 说明：①二面角的平面角范围是[0,180]；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

平面角的作法：

（1）定义法：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角

E

D1

C1

A1

B1

A

B

C

D

F

D1

C1

A1

B1

A

B

C

D

E

l αβ--的平面角；

（2）三垂线定理及其逆定理法；

典例精讲

例1.四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°

【答案】:（1）正方形ABCD 是四棱锥P —ABCD 的底面, 其面积

为,2

a 从而只要算出四棱锥的高就行了.

⊥PB 面ABCD,

∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ，

∴PA ⊥DA ，

∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.

而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tg60°=3a , 3

23

3331a a a V =?=

∴锥.

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形. 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，

CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.

设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ， .2

2

a AD AE OA a =<<=∴

在.0)2)(2(2)2(cos ,2

222<-+=??-+=∠?AE OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中

故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°. 变式练习：

1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为________ 【答案】：60

2.将∠A 为60°的棱形ABCD 沿对角线BD 折叠，使A 、C 的距离等于BD ，则二面角A-BD-C 的余弦值是______ 【答案】：

1

3

3.正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为______ 【答案】：6

arcsin

3

例2.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

2

3，D 为AB 的中点.

（1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.

【答案】:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900

，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1.

∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1

∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段

∵CE=

23，AC=1 , ∴CD=.2

2 ∴2

1

)()(22=

-=

CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角. 在Rt △CEA 中，CE=2

3

，BC=AC=1, ∴∠B 1AC=600 ∴260

cos 1

2

1==

AB ， ∴2)()(2211=-=AB AB BB , ∴ 2tan 1

1==

∠BC

BB CB B , ∴2arctan 1=∠CB B .

（四）点(线、面）到面的距离

A B C D A1E

B1C1

1222,2ABD

S ?=??=（2013年徐汇区二模）21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分

6分，第2小题满分8分.

如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为

侧棱1CC 的中点．

（1）求异面直线1A D 与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求直线11A B 到平面DAB 的距离.

方法二：

由题意可得11//A B ABD 平面,

所以，11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离，设为h .…………….8分 由题意得15,2A D AD BD AB ====， 等腰ADB ?底边AB 上的高为512-=，

则12AA B S ?=， 且D 到平面

11ABB A 的距离为3，………………………………………12分

由11A ABD D A AB V V --=得……………………………………………………………13分

，则3h =，

所以，直线11A B 到平面DAB 的距离为3.……………14分

（2013年，上海理）19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.

【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线

BC 1平行于平面DA 1C ；

直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111

(12)1323V =????= 而1AD C ?中，11

5,2AC DC AD ===，故13

2

AD C S ?= 所以，13123233

V h h =??=?=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2

3．

D B

C

A

B 1

C 1A 1

第21题图

111

333

ABD A AB S h S ????=?D 1

C 1

B 1

A 1

D C B

A

T 能力：高考真题与模拟题 （2008年，上海） 13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件

C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件

16如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结

果用反三角函数值表示）．

16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，

∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分 由题意，得EF =11

1.2

CC = ∵ 1

1, 5.2

CF CB DF =

=∴=…………………………..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴ 5

tan .5

EF EDF DF ∠=

=……………..10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是5

arctan

5

….12分 5.如图，若正四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面边长为2，

高为4，则异面直线BD1与AD 所成角的大小是_____arctan 5______________

（2010年，上海）

6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，

则该四棱椎的体积是 96 。20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题

满分7分.

D1

C1

A1B1

A

B

C

D

E

E

D1

C1

A1

B1

A B

C

D

F

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上

底

面）.

(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

[来源:Z&xx&https://www.360docs.net/doc/f314468600.html,]

20、(1)圆柱体的高为1.22r -，故

222(1.22)(3 2.4)S r r r r r πππ=+-=-+

当0.4r =时，2

max 1.5080 1.51()S m =≈；

（2011年，上海）

20.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积

（2012年，上海）5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是

PC 的中点.已知∠BAC =

2

π，AB=2，AC=23，

P A=2.求：

（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）

（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三

角函数值表示）.（6分）

19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =

2

π，AB=2，AC=23，

P A=2.求：

（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）

（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三

角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=??=?ABC S ， 2分 三棱锥P -ABC 的体积为

3

3431

31232=??=?=?PA S V ABC . 6分 （2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则

ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分

在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，

4

32

2222222cos ==

∠??-+ADE ，所以∠ADE =43arccos . 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . （2013年，上海）

10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1

r

= 3 ．

19．（本题满分12分）

如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

P A

B C

D

P

A

B C

D

P

A B

C

D

E

O

B A

C

第19题图