离心率总结

高考数学题中永不消逝的 “离心率”

余继光

312030绍兴柯桥山阴路785号柯桥中学

每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的“离心率”问题，为什么会如此呢？其一，离心率是圆锥曲线的重要几何特征；其二，圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切，容易产生知识交汇；其三，离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力． 1．离心率与向量运算

例1．（2005江苏）点)1,3(-P 在椭圆

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的左准线上，过点P 且方向为

)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A ．3

3 B ．3

1 C ．

2

2 D ．

2

1

探究：设Q （x 0，－2），F 1（－c ，0） 则由PQ ∥a 得

33x --= －

2

5，解得x 0=－5

9

又k PQ +k 1

QF =0，

2x c --+

33x --=0

∴3c=－5x 0－6，c=1，而－

c

a

2

=－3，∴a=3，e=

3

3，选择A

变式：点P （－1，－3）在双曲线

2

2a

x －

2

2b

y =1（a ＞0，b ＞0）的左准线上，过点P 且方向

为a =（－2，5）的光线经直线y=2反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为

（ ）A ．3 B ．2 C ．2 D ． 5

19

探究：D

反思：圆锥曲线的离心率是高考中常考的一个知识点，年年高考年年有，变幻无穷新视角，今年江苏高考题将平面解析几何的基础问题——斜率、平行、离心率与向量有机结合，并与物理的光学知识结合，形成一个体现综合能力的基础题，我们要挖掘平行条件、反射条件以及准线知识才能确定离心率的大小，其中平面向量充当一个“舞手”

将圆锥曲线描绘的五彩缤纷．在平面解析几何中，涉及线段长度，线与线的夹角，以及线与线的位置关系，而这些关系都可以用向量加以描述，因此向量与解析几何的融合呈现出一个命题特点．

例2．（2009年浙江）过双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，

该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12

A B B C =

，则双曲线的离心率是

A ．

B

C

D 解析：过A 点直线x+y=a ，两条渐近线方程为b x －ay=0， bx+ay=0，则B （

b

a a

+2

，

b

a a

b +），C （

b

a a

-2

，－

b

a a

b -）

2AB =2（－

b

a a

b +，

b

a a

b +），BC =（

2

2

2

2b

a b a -，－

2

2

2

2b

a b a -）

所以－

b

a a

b +=

2

22

b a b a -，即b 2―ab ―2a 2=0，

a

b =2，e 2=1+（

a

b ）2=5，选择C

变式：过椭圆2

2a

x +

2

2b

y =1，a ＞b ＞0的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与椭圆和圆

x 2+y 2=a 2的交点分别为,B C ．若2AB =BC ，则椭圆的离心率为_____ 解析：A （a ，0），C （0，a ），设B （m ，n ），由2AB =BC ，得m=

3

2a ，n=

3

a ，B （m ，n ）

在椭圆上，所以2

2b

a =5，e 2

=1－

2

2a

b =

5

4，e=

5

52

例3．（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆

222

2

x y a

b

+

=1( a b >>0)

的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ??

???

作圆的两切线互相垂直，则离心率e =

解析：设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是

等腰直角三角形，故

2

a

c

=，解得2

c e a

=

=

变式．（2008全国1）在A B C △中，A B B C =，7cos 18

B =-．若以A B ，为焦点的椭圆

经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 解析：设AB=BC=1，由余弦定理222

||||||

7cos 2||||

18

AB BC AC B AB BC +-=

=-

?，解得53

A C =

然

后结合椭圆的定义8||||23

C A C B a +==

和焦距21c =，离心率38

c e a

=

=

.

例4．（2007浙江）已知双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是

准线上一点，且1212,||||4PF PF PF PF ab ⊥?=，则双曲线的离心率是（）

A.

C.2

D.3

思路：设P （

c

a

2

，y ），1PF =－（

c

a

2

+c ，y ）

2PF =－（

c

a

2

－c ，y ），∴

2

4c

a －c 2+y 2=0，

又（|1PF ||2PF |）2

=[（

c

a

2

+c ）2+y 2

][ （

c

a

2

－c ）2+y 2]=（4ab ）2，

∴（2c 2+2a 2）（2c 2－2a 2）=16a 2b 2，∴c 2=3a 2，选择B 变式：已知椭圆

2

2a

x +

2

2b

y =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0），F 2（c ，0），P

是准线上一点，且1PF ·2PF =a 2

，|1PF ||2PF |= 2ac

思路：设P （

c

a

2

，y ），1

PF

=－（

c

a

2

+c ，y ）

2PF =－（

c

a

2

－c ，y ），∴2

4c

a －c 2

+y 2

=a 2

，

又（|1PF ||2PF |）2

=[（

c

a

2

+c ）2+y 2

][ （

c

a

2

－c ）2+y 2]=（4ab ）2，

∴（2c 2+3a 2）（2c 2－a 2）=4a 2c 2，∴4c 2=3a 2，e=2

3

2．离心率的实际应用

例5．(2008湖北)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F

为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和

22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11

c a ＜

22

c a .

其中正确式子的序号是（）

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D. ②④

解析：a 1－c 1=a 2－c 2，②正确；a 1+c 2=a 2+c 1，两边平方后可得a 12+2a 1c 2+c 22=a 22+2a 2c 1+c 12， a 12

－c 12

+2a 1c 2 = 2a 2c 1+ a 22

－c 22，b 12+2a 1c 2 = 2a 2c 1+b 22

，b 1＞b 2，∴2a 1c 2 ＜2a 2c 1，③正确，

选择B

内外二圈的钢骨架是离心率相同的椭圆， 外层椭圆

2

2)

(ma x

+

2

2)

(mb y

=1（a ＞b ＞0，m ＞1）

顶点A （ma ，0），B （0，mb ），向内层椭圆

2

2a

x +

2

2b

y =1引切线AC ，BD ，若切线AC 与BD

的斜率之积为－16

9，求椭圆的离心率

解析：设切线AC 方程为y=k 1（x －ma ），切线BD 方程为y －mb=k 2x ，于是由 ??

?-==+)

()()()(12

22ma x k y ab ay bx ，消去y 得，（b 2+a 2k 21）x 2－2ma 3 k 21x+m 2a 4k 2

1－（ab ）2=0 △=（－2ma 3 k 2

1）2－4（b 2+a 2k 2

1）（m 2a 4k 2

1－（ab ）2）=0

∴k 2

1

=

2

2a

b 1

12

-m

，

同理可得

??

?+==+mb

x k y ab ay bx 22

22)()()(，消去y 得，（b 2+a 2k 2

2）x 2+2mba 2 k 2x+m 2a 2b 2－（ab ）2=0 △=（2mba 2k 2）2－4（b 2+a 2k 2

2）（m 2a 2b 2－（ab ）2）=0

k 22

=

2

2a

b （m 2

－1），∴－

16

9=－

2

2a

b ，

2

2a

b =

16

9，e 2

=1－

16

9=

16

7，e=

4

7

3．离心率与几何图形

例6．（2008年浙江）若双曲线12

22

2=-

b

y a

x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则

双曲线的离心率是（）

A.3

B.5

C.3

D.5

解析：∵

c

a c c a

c 2

2

-

+

=23，∴5a 2=3c 2，e=5

变式：过双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的右焦点作其一条渐近线的垂线与双曲线的两支都相交，则双

曲线的离心率的范围是______

解析：过右焦点与其一条渐近线的垂线方程设为ax+by=ac ，代入双曲线方程，化简得 （b 4－a 4）x 2+2a 4c x －a 2（a 2c 2+b 4）=0，可验证其判别式大于0，由两根之积小于0可得b 2－a 2

＞0，∴e 2

=1+（

a

b ）2

＞2，∴e ＞2

例7．（2010年辽宁）设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（） A ．

C

2

．

2

解析：设双曲线方程为

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>，则F （c,0）,B(0,b)

直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=b x a

垂直，所以1b b c a

-

=- ，即b 2

=ac 所以c 2-a 2=ac ,即e 2-e -1=0,

所以2

e =

或2

e =

（舍去）

变式：设双曲线的两个焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若M F 1中点在双曲线上，那么此双曲线的离心率为（） A ．

C ．

D ．

2

13+

解析：|F 1F 2|=2c ，|MF 1|=c ，|MF 2|=3c ，3c － c=2a ，

，选择C

例8．（2011年浙江）已知椭圆2212

2

:

1x y C a

b

+

=（a >b >0）与双曲线 2

2

2:14

y

C x -

=有公

共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段A B 三等分，则（） A ．2132

a =

B ．2a =13

C ．212

b =

D ．2b =2

解析：a 2

－b 2

=5，???=+=2

222222b a y a x b x y ，解得x 2=22224a b b a +，y 2

=222

244a b b a + 又x 2+y 2

=92

a

，222

245a b b

a + =92

a

，a 2=11b 2

，由?????==-2

22

2115b

a b a ，b 2=21

，选择C 变式：已知椭圆2212

2

:

1x y C a

b

+

=（a >b >0）与双曲线 2

2

2:14

y

C x -

=有公共的焦点，2

C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段A B 三等分，则椭圆的离心率为_____

解析：a 2－b 2

=5，???=+=2

222222b

a y a x

b x y ，解得x 2=22224a b b a +，y 2

=222

244a b b a + 又x 2+y 2

=

9

2

a

，

2

2

2245a

b b

a + =

9

2

a

，a 2=11b 2，e 2

=1－

2

2a

b =

11

10，e=

11

10

例9．（2011年山东）已知双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的两条渐近线均与圆

22

:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）

A.

2

2

15

4

x

y

-

= B.

2

2

14

5

x

y

-

= C.

2

2

13

6

x

y

-

= D.

2

2

16

3

x

y

-

=

解析：圆22

:(3)4C x y -+=，3,c =而

32b c

=，则2

2,5b a ==，应选A 。

变式：已知双曲线222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的两条渐近线均与圆22

:650C x y x +-+=相

交，则双曲线的离心率取值范围为____

解析：圆心（3，0），半径为2，渐近线bx －ay=0，

2

2

3b

a b +≤2，

2

2a

b ≤

5

4，1＜e 2

≤

5

9

1＜e ≤5

53

4．离心率与

例10．（2011年福建）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率等于（）

A ．

132

2

或

B ．

23

或2 C ．1

2

或2

D ．2332

或

解析：1122::4:3:2PF F F PF =，r 1：2c ：r 2=4：3：2，r 1=3

8c ，r 2=3

4c ，

若圆锥曲线为椭圆，则2a=r 1+r 2=

3

8c+

3

4c=4c ，e=

2

1

若圆锥曲线为双曲线，则2a=r 1－r 2=3

8c －3

4c=

3

4c ，e=2

3

例11．（2008江西）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆

内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

A ．(0,1)

B ．1

(0,]2 C ．(0,

)2

D ．2

解析：满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则半焦距c 小于半短轴b ，于是a

c ＜a

b ，

e 2=1－（

a

b ）2＜1－e 2，0＜e 2＜

2

1，选择C 例12．（2008湖南）若双曲线222

2

1x y a

b

-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为

32

a 的点到右焦点的距

离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

解析：2

033,2

2

a

ex a e a a a c

-=?

->

+

23520,e e ?--

>2e ∴

>或13

e <-

(舍去)，故选B.

例13．（2008陕西）双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过

1F 作倾斜角为30

的直线交双曲线右支于M 点，若2M F 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为

（ ）A B C D 3

解析：|MF 2|=

a

b

2

，tan30°=c a b

22

，b 2=332ac ，c 2－a 2=33

2ac ，3e 2－

e －3=0，