选修21椭圆测试题
选修2-1第二章椭圆测试卷
考试时间：120分钟
一、选择题
1的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率
）
A
B
C
．
D
2．直线:310()l ax y a a R +-+=∈，椭圆22:1
2536x y C +=，直线l 与椭圆C 的公共点
的个数为（ ）
A. 1个 B . 1个或者2个 C. 2个 D. 0个
3．椭圆22
1
25x y m +=的一个焦点坐标为(3,0)，那么m 的值为（ ）
A. 16-
B. 4-
C. 16
D. 4
4．过椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右
焦点，若
1260
F PF ∠=，则椭圆的离心率为 （ ）
A
．2 B
．3 C ．12 D ．1
3
5．已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点，且
2PF ∣∣=12F F ∣∣,△12PF F 的面积等于（ ）
A 、24
B 、36
C 、48
D 、96
6．与椭圆1
422
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是 （ ） A. 122
2=-y x B. 1
422=-y x C. 13322=-y x D.1222
=-y x
7． 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )
A.12
B.2
D.2
8．椭圆22
12516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆周长
为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)
x y 和
22(,)
x y ，则
21
y y -的值为（ ）
A. B.103 C.203 D.5
3
9．已知圆O ：22
1x y +=，点P 是椭圆C ：2
214x y +=上一点，过点P 作圆O 的两条
切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ?的面积的最小值是
A ．1
2
B ．1
C ．1
4 D
．2
10．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k =
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2
11．ABC ?是等腰三角形，B ∠=?
120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为
12．已知F 1,F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且
122F PF π
∠=
记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ
的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A
．2-B
．3- C
．4-D
1
二、填空题
13． 若椭圆22
221x y a b +=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线
221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程为： .
14．点
(3,0)
M-，点(3,0)
N，动点P满足10
PM PN
=-
，则点P的轨迹方程是
15．已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=
（0
a b
>>），圆O：222
x y b
+=，过椭圆上任一与顶点
不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为B
A,，直线AB与x轴、y轴分别交于
点
N
M,，则
22
22
a b
ON OM
+=
16．已知P
F1,F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=900,则△F1PF2的
面积为___________;
三、解答题
17．已知椭圆
)0
(1
:
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
C
的离心率为2
2
，并且直线
b
x
y+
=是抛物
线
x
y4
2=
的一条切线。
（1）求椭圆的方程
（2）过点
)
3
1
,0(-
S
的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是
否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在求出T的坐标；若不存在，说明理由。
18．（12分）如图，AB是过椭圆左焦点F的一弦，C是椭圆的右焦点，已知|AB|=|AC|=4，∠BAC=90°，求椭圆方程.
19．椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
的长轴长是短轴长的两倍，且过点
(2,1)
A
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线
:10
l x y
--=与椭圆C交于不同的两点,
M N，求MN的值.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆
22
22
1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
：
的离心率为，其中左焦点F(-2,0).
（1）求椭圆C的方程；
（2） 若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2
=1上，
求m 的值.
21．已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32
．
（I ）求椭圆方程；
（II ）设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M ，又点A 和点B 在椭圆上，且M 分有向线段AB 所成的比为2，求线段AB 所在直线的方程．
参考答案
1．B
【解析】因为抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由e=0.5,排除D，故选B
2．C
【解析】要分析直线与椭圆的公共点的个数，只要联立方程组，结合判别似的情况来得到
结论，因为
:310()
l ax y a a R
+-+=∈与
22
:1
2536
x y
C+=
联立后判别式大于零，则必然有
两个不同的交点，故选C. 3．C
【解析】因为椭圆
22
1
25
x y
m
+=
的一个焦点坐标为
(3,0)，那么可知焦点在x轴上，那么
A=5,c=3,b=4,因此m=16,故选C 4．B
【解析】由题意知点P的坐标为（-c,
2
b
a）,或（-c,-
2
b
a），因为1260
F PF
∠=
，那么
2
2
2c
2ac
b
a
==
，这样根据a,b,c
的关系式化简得到结论为3，选B
5．C
【解析】因为c=5,所以2
||10
PF=
,121
||||26,||61016,
PF PF a PF
-==∴=+=
所以△12
PF F
的三边长分别为10,10,16,所以长度为16上的高为6,
1
16648
2
S
?
=??=
. 6．A
【解析】由椭圆方程
得12
(
F F
,所
以c=所以223
a b
+=…(1),设所求双曲线方程为
22
22
1
x y
a b
-=
并且过点Q（2，1）,所以22
41
1
a b
-=
…(2)，解由（1）（2）组成的方程组得
22
2,1
a b
==,所以所求双曲线方程为
1
2
2
2
=
-y
x
.
7．B
【解析】因为椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，那么利用勾股定理，以及a,b,c
的关系式可知离心率为2，选B
8．D
【解析】解：椭圆：22
1
2516x y +=，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦点F 1（-3，0）、F 2（ 3，0），
△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=12，
而△ABF 2的面积=△A F 1F 2的面积+△BF1F2的面积=12 ×|y 1|×|F 1F 2|+12×|y 2|×|F 1F 2|=1
2
×（|y 1|+|y 2|）×|F 1F 2|=3|y 2-y 1|（A 、B 在x 轴的上下两侧）
又△ABF2的面积═12 ×|r （|AB|+|BF 2|+|F 2A|=12 ×1
2（2a+2a ）=a=5．
所以 3|y 2-y 1|=5，
|y 2-y 1|=5
3． 故选A ． 9．A 【解析】令
112200(,),(,),(,)
A x y
B x y P x y ,由切线公式可得直线PA:
111
x x y y +=,直线PB:
221x x y y +=,所以P 满足
10101x x y y +=和
20201
x x y y +=,所以可得直线AB 的方程为
001
x x y y +=①.由①式得
0011(
,0),(0,)M N x y ,所以?OMN 面积0000
111122S x y x y =??=②
另
002sin ,cos x y ββ
==带入②得则
1
2sin 2S β=
,所以当sin2β=1时面积最小,
此时S min =1
2.
10．B
【解析】解：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵ AF =3 FB ，∴y 1=-3y 2，
∵
e= 2 ，设a=2t ，c= 3t ，b=t ，
∴x 2+4y 2
-4t2=0，直线AB 方程为x=sy+ 3t ．代入消去x ，
∴(s 2
+4)y2+23 sty-t2=0，
∴y 1+y 2
=- ，y 1y 2=-22t S 4+，-2y 2
=- ，-3y 22
=-22t S 4+， 解得s 2
=12，k= 2故选B
11．B 由题意知设焦距为2c ，则|AB|=2c,|BC|=2c,则|AC|=2|AB|cos30°
=,
所以由双曲线的定义知2||||1)a AC BC c =-=
,c e a ∴=
==,故选 B. 【解析】故选B. 12．D
【解析】由题意知点P 在圆222x y c +=上，由222
22221x y c x y a b ?+=??+=??消y 得2242
22P c a a x c -=,
又因为△F 1OQ
与四边形
OF 2PQ
的面积之比为
1: 2，可得
221
1
12||||1||2,,2,||||3||34
p p P FO OQ OQ c FQ QP x F F y y =∴=∴=∴=
,
22424222
2
2,840,44)4c a a c e e e e c -=∴-+=∴=-=+舍,
1e =,选D 。
13．22
142x y +=
【解析】因为椭圆过抛物线焦点为(2,0),
并且焦点为
12(F F
所以
a=2,222
2
2
2,1
42x y c b a c =∴=-=∴+=.
14．22
1
2516x y +=
【解析】根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以点(3,0)M -，点(3,0)N 为焦点，长轴长
为10的椭圆的方程。因此而控制，动点P 满足的轨迹方程是22
12516x y +=。 15．2
2
a b
【解析】略 16．9
【解析】解：∵a=5，b=3；∴c=4，
设|PF 1|=t 1，|PF 2|=t 2，则t 1+t 2=10①t 12+t 22=82②，由①2
-②得t 1t 2=18，
∴S △F1PF2=12t 1t 2=1
2×18=9．
故答案为：9．
17．（1）所求椭圆方程为1
222
=+y x
（2）在直角坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件
【解析】本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析
I ）先跟据直线y=x+b 是抛物线C 2：y 2
=4x 的一条切线，求出b 的值，再由椭圆离心率为
2，求出a 的值，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先假设存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量 PA →
，
PA →PA →
的数量积为0，得到关于直线斜率k 的方程，求k ，若能求出，则存在，若求不出，
则不存在．
18
．22
1
=
【解析】先设此椭圆标准方程，根据椭圆定义可知|BC|=4a-8及勾股定理求得a ，进而根据椭圆定义求得|AF|，进而根据勾股定理求得2c ，进而求得b ，则椭圆方程可得．
19．（1）22182x y +=；（2
）
MN ==
【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）由条件2a b =，所以22
22:1
4x y C b b +=，代入点(2,1)
可得b =（2）联立椭圆和直线方程可得直线
2
5840x x --=，所以 121284
,55x x x x +==-
，结合相交弦的公式得到结论。
解：（1）由条件2a b =，所以22
22:14x y C b b +=，代入点(2,1)
可得b =，椭圆C 的标
准方程为22
182x y +=；
（2）联立椭圆和直线方程可得直线2
5840x x --=，所以
121284
,55x x x x +==-
由相交弦长公式可得
5MN ==
20．解：（1） 22184x y +=.（2
）
m =. 【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1
）由题意，得2222,.c a c a b c ?=
???
=??=+???得到a,b,c 的值。得到椭圆的方程。
（2）设点A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1),(x 2, y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，
由
22
1,84.x y y x m ?+
=???=+?
消y 得，3x 2+4mx+2m 2
-8=0结合韦达定理，和判别式得到参数m 值。
解：（1）
由题意，得2222,.c a c a b c ????
=??=+???………………………………………………3分
解得 2.a b ?=??=??∴椭圆C 的方程为22184x y +=.…………………………………………6分
（2） 设点A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1),(x 2, y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，
由
22
1,84.x y y x m ?+
=???=+?
消y 得，3x 2+4mx+2m 2
-8=0,……………………………………………8分
Δ=96-8m 2
＞0,∴-23＜m ＜23.
12分
∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2
=1上，
222()()133m m ∴-
+=，
5m ∴=±
.………………………………………………… 14分 21．（I ）19522=+y x . （II ）2
33
+±=x y ．
【解析】本试题主要考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，求解
直线的方程的综合运用。
（1）利用椭圆的性质来表示得到参数ab,c 的值，进而得到椭圆的方程。
（2）根据直线与椭圆方程联立方程组，然后得到二次方程，结合韦达定理得到根与系数的关系，由M 分有向线段所成的比为2，进而得到斜率的值