关于对固体热容的探讨
固体热容量的爱因斯坦理论
固体热容量的爱因斯坦理论如前所述，固体中原子的热运动可以看成3N 个振子的振动。
爱因斯坦假设这3N 个振子的频率都相同。
以ω表示振子的圆频率，振子的能量级为)21(+=n n ωε n=0,1,2,⋯ （7.7.1）由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布，配分函数为ωβωβωβ --∞=+--==∑ee eZ n n 12)2/1(1 （7.7.2） 根据式(7.1.4)，固体的内能为 1323l n 31-+=∂∂-=ωβωωβ e N N Z NU （7.7.3） 式(7.7.3)的第一项是3N 个振子的零点能量。
与温度无关；第二项是温度为T 时3N 个振子的热激发能量定容热容量C V 为 22)1()(3)(-=∂∂=kTkTV V ee kTNk T U C ωωω （7.7.4）引入爱因斯坦特征温度E θ ωθ =E k （7.7.5）可将热容量表为 22)1()(3-=T T EV EEe e TNk C θθθ （7.7.6）因此根据爱因斯坦的理论，C V 随温度降低而减少，并且C V 作为TEθ的函数是一个谱适函数。
现在讨论(7.7.6)式在高温和低温范围的极限结果。
当T E θ≥时，可以取近似。
由式得Nk C V 3= （7.7.7）式(7.7.7)和能量均分定理的结果一致。
这个结果的解释是，当T E θ≤时，能级间距远小于kT ，能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。
固体材料的热力学
固体材料的热力学热力学是研究物质内部转化热能与机械能之间关系的科学，对于固体材料的热力学性质的研究具有重要意义。
本文将从固体材料的热力学基本原理、热力学性质、热力学过程以及热力学在固体材料研究中的应用方面展开论述。
1. 固体材料的热力学基本原理固体材料的热力学基本原理可以归纳为以下几点：能量守恒定律、熵增定律和热力学平衡条件。
能量守恒定律指出能量在固体材料中的转化过程中总量保持不变；熵增定律描述了固体材料在自发变化过程中熵的增加趋势；热力学平衡条件则是指固体材料达到平衡状态时内外部各项热力学性质都保持一致。
2. 固体材料的热力学性质固体材料的热力学性质包括了热容、热导率、热膨胀系数和热传导等方面。
热容指的是固体材料在吸热或释热过程中单位质量所吸收或释放的热量；热导率衡量了固体材料导热的能力；热膨胀系数则用于描述固体材料因温度变化而引起的线膨胀或体膨胀现象；热传导则是指热量通过固体材料传递的过程。
3. 固体材料的热力学过程固体材料的热力学过程主要包括等温过程、绝热过程和等焓过程。
等温过程是指固体材料在保持温度不变的条件下发生的热力学变化过程；绝热过程是指固体材料在没有热量交换的情况下进行的热力学变化过程；等焓过程则是指固体材料在保持焓不变的条件下进行的热力学变化过程。
4. 热力学在固体材料研究中的应用热力学在固体材料研究中具有广泛的应用。
首先，热力学可以用于研究固体材料的相变行为，如固相到液相或液相到气相的转变过程；其次，热力学可以用于解释固体材料的热稳定性，即在不同温度下材料的热分解或热化学反应情况；此外，热力学还可以用于研究固体材料的热膨胀行为以及固体材料的热力学性能等方面。
总结：本文通过讲述固体材料的热力学基本原理、热力学性质、热力学过程以及热力学在固体材料研究中的应用方面，展现了固体材料的热力学特性和基本规律。
热力学的研究能够为固体材料的设计、开发和应用提供理论依据，也为固体材料的性能优化和应用拓展提供了有益的参考。
固体物理学之晶格热容
hω0 2 hω0 / kBT ( ) e k BT CV = 3 Nk B hω0 / kBT (e − 1) 2
及其简单的 一个假定
上式为爱因斯坦热容函数。在与实际实验比 较中，可以尽量选取ω0使理论值和实验值尽 可能吻合。
晶格热容计算的简化模型 －－－爱因斯坦模型
爱因斯坦温度ΘE：
k B Θ E = hω
晶格热容计算的简化模型 －－－爱因斯坦模型
分析讨论：
按照上式可以作出格波振动能与频 率的关系曲线。可以看出，格波频 率越高，其热振动能越小。爱因斯 坦模型考虑的格波频率很高，热振 动能很小，对热容量贡献不大，当 温度很低时，就微不足道了。爱因 斯坦把所有格波都视为光学波，没 有考虑长声学波在甚低温下对热容 的主要贡献，导致理论热容合实验 热容在甚低温下的偏差很大。
E
0
ω
晶格热容计算的简化模型 －－－德拜模型
德拜模型：把格波当成弹性波考虑，而且考虑了频率分布。
ω = vq
德拜模型具体分析的是各向同性的弹性介质，对 于一定的波数矢量q，有一个纵波( ω = Cl q )和 两个独立的横波( ω = Ct q )。德拜模型中各种 不同的波矢q的纵波和横波，构成了晶体的全部 振动模。 传播方向垂直－－横波 传播方向平行－－纵波
2 hω j / k B T
C = kB
j V
1、量子理论值与频率和温度有关，温度趋于0时，晶体热容将趋于0 2、在高温极限情况下( k BT >> h ω j ⇒ h ω j / k B T << 1 )，把量子理论值表达式中 的指数按的级数展开，得到与经典理论值相同的结果。
dE j (T ) dT
∫
ωm
0
固体物理-固体热容
03_08_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
在热力学中， 在热力学中，热容反映固体中原子热振动能量状态 改变时需要的能量，是固体的内能对温度求导。 改变时需要的能量，是固体的内能对温度求导。 ∂E CV = ( )V ∂T E------固体的平均内能 （晶格热振动）晶格热容，增加 晶格热振动）晶格热容， 离子的振动能量 固体的热容 （电子的热运动）电子热容，增 电子的热运动）电子热容， 加自由电子的动能。 加自由电子的动能。
晶体热容
hω0 CV = 3NkB fB ( ) kBT
hω0 hω0 2 ehω0 / kBT fB ( ) =( ) hω0 / kBT kBT kBT (e −1)2
—— 爱因斯坦热容函数 爱因斯坦特征温度
hω0 θE = kB
CV = 3NkB (
—— 大多数固体
θE
T
)
2
e
θE /T /T
• 定压热容 • 定容热容 • 定压摩尔热容和定容摩尔热容的关系：
Cp − Cv =
α v2 v m T
K
dV α v , 体膨胀系数， α v = , K −1 ; VdT dV K , 压缩系数， K = − ,m2 / N; Vdp V m , 摩尔体积， m 3 / mol ; K T , 物体的热力学温度，
调查结果
强调科普性的东西 强调固体物理的应用 倾向的专题： 超导体和半导体；生物材料；纳米 材料；磁性材料；记忆合金；热电 材料；石墨烯（碳纳米管）；隐形 材料；光电材料；液晶材料 爱因斯坦相对论，宇宙大爆炸，时 空，黑洞
计算机在材料上的应用；碳纤维；萤光材料；耐高温冲击陶瓷；固体穿 透材料；晶体物理的基础；晶体学中的惯习现象；通信、电子材料原理 (电子材料及技术）轻合金材料及精密成型；军事和国防材料（黑体、灰 体、白体）等等
热力学中的热容量
热力学中的热容量热容量是热力学中一个重要的概念，用于描述物质的热特性。
它是指单位物质在温度变化时吸收或释放的热量。
在本文中，我们将深入探讨热容量的概念、计算方法以及应用。
1. 热容量的概念热容量（C）是指物质在温度变化过程中吸收或释放的热能。
它可以用热量变化（ΔQ）除以温度变化（ΔT）来表示，即C=ΔQ/ΔT。
单位热容量的热容量常用J/℃或cal/℃表示。
热容量的大小与物质的质量有关。
通常情况下，热容量是一个物质的固有性质，与环境温度无关。
但在某些特殊情况下，热容量可能与环境温度有关。
2. 热容量的计算方法热容量的计算方法取决于物质的性质和所处的状态。
下面我们将介绍几种常见的热容量计算方法。
2.1 固体物质的热容量对于固体物质而言，其热容量常用质量热容量（Cm）来表示，即单位质量物质在温度变化时的热容量。
质量热容量可以用公式Cm=C/m来计算，其中C为固体物质的热容量，m为固体物质的质量。
对于某些物质而言，其质量热容量可能随温度变化而发生变化。
在这种情况下，可以使用平均热容量（Cp）来描述物质的热特性。
平均热容量可以用公式Cp=(Q2-Q1)/(m*(T2-T1))来计算，其中Q2和Q1分别为两个温度下物质所吸收或释放的热量，T2和T1分别为两个温度。
2.2 液体物质的热容量对于液体物质而言，其热容量常用摩尔热容量（Cm）来表示，即单位摩尔物质在温度变化时的热容量。
摩尔热容量可以用公式Cm=C/n来计算，其中C为液体物质的热容量，n为液体物质的摩尔数。
对于某些液体物质而言，其摩尔热容量可能随温度变化而发生变化。
在这种情况下，可以使用平均摩尔热容量（Cp）来描述物质的热特性。
平均摩尔热容量可以用公式Cp=(Q2-Q1)/(n*(T2-T1))来计算，其中Q2和Q1分别为两个温度下物质所吸收或释放的热量，T2和T1分别为两个温度。
2.3 理想气体的热容量对于理想气体而言，其热容量常用摩尔热容量（Cm）来表示。
固体热容的统计探讨
Ｃ：Ｎ－ ３（） ｋ ￣ －
固体摩尔热容 为：
置是可以分辨某位置是第 几号原 子 ， 构成 定域 系。因此 由 ，个原子构成的 系统 ， ｖ 可看成 玻耳兹曼 系统 ， 应遵从玻耳兹
曼分布 。 ２ １２ 玻尔兹曼统计 ．．
Ｃ ３－ ‰＝ （） Ｒ ￣ －
德罗常数。
２ １３ 讨 论 ．．
用量子统计方法 ， 且注 意到 ， 并 在量 子统计 中 ， 系综 理论 统
ｓｖ ，
ｎ ｚｌ＝ ３ ｖ ，
＋
第一项是 ３ Ｎ振子的零点能量 ， 第二项是温度为 时 ３ Ｎ个
振子的热激发能量。
计 的结果要 比玻耳兹 曼统计 的结 果更精 确 、 与实验相 符 更
合。
固体热容量 ｃ 为 ：
①
其中： Ｒ＝Ｎ Ｋ＝８３Ｊｍ ｌＫ， ＝６０ ／ｏ 为阿夫加 Ａ ．１ ｏ・ ／ ．２×１ ｍ ｌ
每一个原子的振动 为三维 的， 固体 中原子 的热 运 动可
收稿 日期 ：０８ ２ ｌ ２０ —０ 一 ０ 作 者简 介 Ｉ 张宝 会 （９３ ） 男 ， 东平 原 人 ， 教 授 。 １６一 ， 山 副
ｃ ：（ ３ ｋ ） Ⅳ（
２ 固体 热容统计 ２ １ 玻尔兹曼统计 ． ２ １１ 模 型 …㈣ 一 ．．
引入爱 因斯坦的特征温度 ， ＝
热容量表达 为：
由 Ⅳ个 固体原子 （ 或离子 ， 如金属原子失去 电子后 ， 成
为离子 ） 构成的系统 ， 每一个原 子都在 自己的平 衡位置 （ 晶 格） 附近作微振动 ， 则上 ，个原子全 同不可辨 ， 按照位 原 ｖ 但
微观状态 出现的概率 ， 再根据统计原理 ， 某微 观量 的平 均 求
固体热容的统计探讨
Exploration of Heat Capacity of Solid by Statistical
Methods
作者： 张宝金;庞岩涛;李红艳
作者机构： 山东建筑大学理学院,山东济南250014
出版物刊名： 山东教育学院学报
页码： 96-99页
主题词： 系综;量子统计;频谱;热容
摘要：根据热力学统计物理理论，主要讨论在低温下，固体的热容随温度的变化规律。
一种统计方法是：将固体原子系统看作近独立粒子系统，统计运算固体热容随温度的变化，称为爱因斯坦理论；另一种方法则是：应用系综统计理论，统计运算固体热容随温度的变化情况，称为德拜理论。
对两理论的结果进行比较，德拜理论在定量上与实验符合的更好些，而爱因斯坦理论与实验，只是定性上相符合。
可以看出，在处理有相互作用的复杂系统时，系综统计理论的方法更占优势，最终统计的结果也更与实验相符。
固体比热容
对于气体，在不同变化过程中其热容与比热容的值都是 不同的；对于固体和液体，这种差别很小，可以忽略。
气体在等体变化过程中的比热容称为比定容热容， 用符号 C表V 示。
气体在等压变化过程中的比热容称为比定压热容， 用符号 CP表示。
气体的比定压热容与比定容热容之比称为比热容比 ，用符号 表示，即
CV / CP
C
mc(t2 ) (m0c0 C)( t1) (1)
由此可得金属块的比热
c (m0c0 C)( t1)
(2)
m (t2 )
量热器的热容可以根据其质量和比热容算出。设量热
器和搅拌器相同物质制成，其质量为m1
则
，比热容为c1
，
C m1c1 C
(3)
式中C 为温度计插入水中的部分的热容。C 的值可由下
块悬挂浸没在其中。
水的比热容 c0为 4.187 103 J kg1oC1
实验结果分析和处理
1.将实验中测出的各个数值填入下表：
前8分钟
t（℃）
t
次
次 （℃）
中间2分钟
后8分钟
t（℃）
t（℃）
t（℃）
t（℃）
次
次
次
次
1
5
1
5
1
5
2
6
2
6
2
6
3
7
3
7
3
7
4
8
4
8
4
8
t2(℃) m 0（kg） m （kg） m1（kg） C（J·k—1·℃—1） （J·k—1·℃—1） V（cm3）
注意事项
❖ 投冰前应将其拭干，且不得直接用手触摸；其质量 不能直接放在天平盘上称衡，而应由投冰前、后量 热器连同水的质量差求得。
3.3固体热容的量子理论
3.3 固体热容的量子理论一. 经典理论二. 爱因斯坦模型（Einstein 1907年）D b1912三. 德拜模型（Debye 1912年）四. 实际晶体的热容参考：黄昆书 3.8节（p122-132）Kittel 书5.1节（79－87）前面提到：热容是固体原子热运动在宏观性质上的最直接体现，因而对固体原子热运动的认识实际上首先是从固体热容研究开始的。
我们讨论固体热容仍是以揭示原子热运动特征为目的，而完整地介绍热容统计理论应是统计物理的内容。
而完整地介绍热容统计理论应是统计物理的内容固体热容由两部分组成：部分来自晶格振动的贡献，称为固体热容由两部分组成：一部分来自晶格振动的贡献称为晶格热容；另一部分来自电子运动的贡献，称为电子热容。
除非在极低温度下，电子热容是很小的（常温下只有晶格热容的1％）。
这里我们只讨论晶格热容。
经典理论的失败固体比热Dulong-Petit 定律曾在多年间被用作量度原子质量的一种技巧,然而，后来詹姆斯·杜瓦及海因里希·夫里德里希·韦伯的研究表明杜隆-珀蒂定律只于高温时成立；在低温时或像金刚石这种异常地硬的固体，比热还要再低一点。
在低温时或像金刚石这种异常地硬的固体热要再低点双原子气体比热气体比热的实验观测也引起了对均分定理是否有效的质疑。
定理预测简单单元子气体的摩尔比热容应约为3cal/(mol·K)，而双原子气体则约为()7cal/(mol·K)。
实验验证了预测的前者，但却发现双原子气体的典型摩尔比热容约为5cal/(mol·K)，并于低温时下跌到约3cal/(mol·K)。
麦克斯韦于1875年指出实验与均分定理的不合比这些数字暗示的要坏得多。
金属的比热根据古典德鲁德模型，金属电子的举止跟几乎理想的气体一样，因此它们应该向(3/2)NekB 的热容，其中Ne 为电子的数量。
不过实验指出电子对热容的供给并不多很多的金属的摩尔比热容与绝缘体几乎样给并不多：很多的金属的摩尔比热容与绝缘体几乎一样。
固体比热容的测量实验报告
固体比热容的测量实验报告实验目的：本次实验旨在测量固体的比热容，了解不同固体材料的热性质，并掌握比热容测量的基本原理和方法。
实验原理：当一个物体吸收或释放热量时，其温度会发生变化。
根据热力学定律，单位质量物质温度的变化量与吸收或释放的热量之间存在一定的关系，即比热容。
实验仪器：1. 热容器：用于装载待测固体样品的容器，能够保持样品的热量不受外界干扰。
2. 热电偶：用于测量固体样品温度的变化。
3. 电热器：用于向固体样品供给一定的热量。
4. 温度计：用于监测容器和样品的温度变化。
实验步骤：1. 将待测固体样品称量，并记录其质量m。
2. 将热容器预热，保证容器内温度均匀。
3. 将待测固体样品放入热容器中，注意使样品与容器紧密接触。
4. 在初始温度下记录样品和容器的温度，记为T1。
5. 打开电热器，向固体样品供给一定的热量，并记录一段时间内的时间t和样品温度的变化。
6. 根据测得的数据计算固体样品的比热容C，公式为：C = (Q / m * ΔT)，其中Q为固体样品吸收或释放的热量，ΔT为样品温度变化量。
实验结果：根据实验数据计算得到固体样品的比热容为C = 0.87 J/g·K。
实验讨论：固体的比热容是固体材料的一个重要热性质参数，对于材料的热传导和保温性能具有重要影响。
实验测得的比热容值可以用于评估材料的热性能。
实验中可能存在一些误差，例如热容器的热量损失、温度测量的误差、样品与容器间的传热不均匀等。
为提高实验精度，可以采取措施如增加测量时间、减少热量损失、改进温度测量方法等。
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第１８期总第１７２期 ２００８年９月 内蒙古科技与经济 Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆Ｅｃｏｎｏｍｙ Ｎｏ，１８，ｔｈｅ １７２ｔｈ ｉｓｓｕｅ
Ｓｅｐ．２００８
关于对固体热容的探讨 白巴根那 （包头轻工职业技术学院，内蒙古包头０１４０３５）
摘 要：在经典理论的基础上，详细讨论了量子热容理论，通过与实验结果的比较，进一步加深了对 这一概念的正确理解。 关键词：热容；德拜温度；爱因斯坦特征温度；光学波；长声学波 中图分类号：０４８２．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－－６９２１（２００８）１８一ｏ０８２～０２
热容是反映物体热学性质的重要物理量，研究 固体热容有助于我们深入了解固体的热学性质。因 此，固体热容的研究在固体理论中占有重要地位。 固体热容理论的建立经历了由经典理论到量子理论 的发展过程。 １ 固体热容的经典理论 热容是与系统能量有关的重要物理里量，它的 大小与物体的性质及传递热量的过程有关，可以反 映出物体的固有属性。固体与我们的生活息息相 关，因此研究固体热容就具有十分重要的意义。 固体中的原子在其平衡位置附近作微振动，假 设各原子的振动是相互独立的简谐振动，原子在一
一２ １ 个振动自由度的能量￡＝ ＋＿去＿ｍ ｑ ，根据能量均 ｍ
‘ 分定理，可得出以下结论：热容量为３Ｎｋ，是一个与
温度无关的常数。这一结论称作杜隆一珀替定律。 该定律与实验结果相比，在室温附近及较高温度很 符合，但在低温时，测得的热容量很小，热容数值随 温度降低很快，当温度趋于零时，热容也趋于零。这 种现象是经典统计理论所不能解释的。在量子论建 立以后，发现能量均分定理存在局限性，而需用新公 式代替。 ２固体热容的量子理论 根据量子热容理论，各个简谐振动的能量是量
子化的，即频率为的振动能量为ｅ：＾ （ ＋妻）。 利用玻尔兹曼统计理论，得到在温度Ｔ时的平 均能量为 】：
云＝ ： （１） ｅ厅～ｌ Ｎ个原子构成的晶体，品格振动等价于３Ｎ个 谐振子的振动，总的热振动能为：
Ｅ （２） ｅｇｇ～ｌ 引入模式密度Ｄ（ ）：单位频率区间的格波振动 模式数。由于频率是准连续的，加式可用积分表示： 则：Ｅ： ｒｈ￣ｏＤ（ｏ））ｄｏ） （３）
Ｊ ０ ｅ百～１ ｃ ＝ （等） （４）
因此问题的关键是求模式密度，但这又是很复 杂的，为了回避这一困难，在求固体热容时，人们通 常采用近似的方法。 ２．１爱因斯坦理论 爱因斯坦应用普朗克量子论带圃体中原子的振 动，他假定晶体中所有原子都以相同的频率作振动， 这一假定实际上是忽略了谐振子之间的差异，认为 ３Ｎ个谐振子是全同的。由于每一个谐振子都定域
收稿日期：２００８—０２—１８ ・８２ ・
在其平衡位置附近做微振动，振子是可分辨的，遵从 玻尔兹曼分布。根据式（１）得：
Ｅ：３Ｎ （５） ｅ玎一１ （ ｈｏＪ］ 。等
则：Ｃ ：３Ｎｋ— 。＿一 （６） ［ｅ 一１］ 引入爱因斯坦特征温度０Ｅ： ｋＯＥ＝＾ｃ￡， （７） 在高温ｔ》ｅＥ时，定容热容量为： Ｃ ：３Ｎｋ （８） 这与经典统计理论相同。究其原因，这是由于 此时能级间距远小于ｋＴ，能量量子化效应可忽略， 因此经典统计是适用的。 在低温Ｔ《ｅ 时，定容热容量为： 丹 一 Ｃ ＝３ＮＮ［ ］ ｅ访 （９）
因此在低温时，定容热容量按指数衰减。当温 度趋于零时，定容量也趋于零。这是由于当温度趋 于零时，振子能级间距ｈｃ￡，远大于ｋＴ，振子由于热运 动取得能量ｈｍ而跃进到激发态的概率是极小的， 因此平均而言几乎全部振子冻结在基态。 这个结论与实验结果定性符合，但是爱因斯坦 固体热容理论在定量上与实验符合得不好。实验测 得的定容热容量，比爱因斯坦理论值趋于零速度慢。 这是由于在爱因斯坦理论中作了过分简化的假设， 即：３Ｎ个振子都有相同的频率。这忽视了各格波对 热容贡献的差异。 按照爱因斯坦温度的定义，可估计出爱因斯坦 频率大约为１０”ＨＺ［Ｉ Ｊ，相当于光学支频率。由于格 波频率越高，其热振动能越小，爱因斯坦考虑的格波 频率很高，其热振动能很小，对热容的贡献本来不 大，当温度很低时，就更微不足道了。因此在其低温 度下，晶体的热容量主要有长声学波来决定。爱因 斯坦把所有格波都视为光学波，实际上没考虑长声 学波在甚低温时对热容的主要贡献，自然会导致其 理论热容在甚低温下与实验热容偏差很大。这也说 明，要在甚低温下使理论热容与实验相符，应主要考 虑长声学格波的贡献。 ２．２德拜理论 由于长声学波就是弹性波，德拜将固体看作各 向同性连续弹性媒质，晶体的４３Ｎ个简偕振动是弹 性媒质的基本波动，固体上任意的弹性媒质都可分 解为３Ｎ个简偕振动的叠加。固体上传播的弹性波 有纵波和横波两种，它们的传播速度相同。 根据计算的总得模式密度为： 气、，，．．２ Ｄ（ ）＝ （１０）
，ｒ Ｖ Ｖｃ为晶体体积，ｖ为弹性波的速度。
维普资讯 http://www.cqvip.com 白巴根那・关于对固体热容的探讨 ２００８年第１８期 ｃ ： 忌ｃ 普 ， 引入符号：ｘ＝ ＝ 为德拜温 度。 ． 。 Ｃ ： （１２）
当温度较高时：志Ｔ》＾ 《１ Ｃ ＝３ＮＫ （ｔ３） 此结论与经典热容理论相同。 在低温下：忌Ｔ《 ｃ￡Ｊ 《１
一４ 则：Ｃ ：３ＮＫ （２－］ （１４） Ｊ
Ｌ，Ｄ 因此定容热容量与成正比，这称作律。这一结
论对于绝缘体是与实验事实相符合的，并且温度越 低符合程度越好。但对于金属，情况就是有些差异。 因此对于固体热容，由于原子在平衡位置的相 互势能是体积的函数，这一部分内能对热能无贡献。 对热容有贡献的内能，对于绝缘体，就是晶体振动能 量，对于金属，它由两部分构成：一部分是晶体格振 动能，另一部分是价电子的热动能。 因此对于金属，除了晶格振动能还需计及电子 对热容的贡献。在长温下，由于费米球内部离费米 面远的状态全被电子占据，这些电子从晶体格振动 获取的能量不足以使其越迁到费米面附近或以外的 空状态，能够发生跃迁的仅是费米面附近的小数电 子。也就是说，绝大多数的电子其能量不随温度变 化，其能量随温度变化的只是少数电子，这就势必 导致电子平均能量的温度变化率很小的局面。因此 当温度Ｔ在３Ｋ以上时，金属可忽略电子对热容的 贡献，所以仍符合 律。 通过计算得出电子定容热容量 ０】： ２ 个 Ｃ ＝Ｎｋ ［ ］ （１５） ‘ 上Ｆ Ｔ 为费米温度
由此得出定容热容量与温度一次方成正比。因 此在低温范围，电子热容量减小比较缓慢。所以在 足够低温度下，电子热容量将大于离子振动的热容 量而成为对金属热容量的主要贡献。因此当时，晶 体热容速度减小，此时电子的热容量达到不可忽略 的程度，金属的热容量应计及价电子与晶格振动两 部分贡献。此时，德拜理论不仅可以很好的解释绝 缘体的热容量，对于金属，如果考虑了电子热动能 后，也可以很好的解释了。但德拜理论却有其他缺 憾之处。
由－…ｚ－。－＝０ｏ计算得出，德拜温度是一个常数， 与温度无关。但事实却不然，用实验测出在不同温 度下的定容热容量，求出德拜温度，结果发现德拜温 度与温度无关。究其原因，这是由于：①它忽略了晶 体的各项异性。实际的固体是具有一定的对称性的 晶体结构，呈各向异性，并且当波长与原子间平均距 离可以比拟时，晶体的各向异性对模式密度的影响 变的很重要，因此各向同性的连续介质模型是不符 合的。②它忽略了光学波和高频声学波对热容的贡 献。当弹性波频率很高时光学波和高频声学波对热 容的贡献不可忽视，但光学波和高频声学波是色散 波，它们的模式密度比弹性波要复杂的多。③德拜 理论只适用于单原子晶体，对分子晶体不适用。 ２．３玻思一卡尔曼理论 针对这些缺点，玻恩对固体的晶格做了细致的 研究。玻恩指出，当化合物中各原子在固体状态下 构成一个分子集体时，则原子的振动近似分为两类，
一类是分子作为一个整体振动的，这与德拜理论所 讨论的相同，可称为声频振动方式。另一类是原子 的相同振动，这一类振动频率一般较高，称为光频振 动方式。 固体热容量在这种情形下应包含两部分，一项 是利用德拜理论求出的热容，称为德拜项，对应光频 部分。但这个理论不能适用于氯化钾一类的晶体， 因为氯化钾是两个离子，并不够成一个分子集团，它 们可近似当作独立的原子，所以在氯化钾情形下用 两个德拜项更恰当。玻恩的固体热容公式虽在更严 密的理论基础上导出，但与实验符合程度并不比德 拜公式有所改善。例如录化钾晶体在１０Ｋ以下，玻 恩公式中第二项完全不起作用，因而仍然得到律。 但实验指出，氯化钾的热容在１０Ｋ以下不遵守 律 Ｊ。由此可见，玻恩公式和德呗公式一样，在低温 下发生困难。 总之，对于所讨论的上述各种热容理论，它们都 有自己的适用条件和局限性。在一般情况下，讨论 的温度范围是在室温附近，因此经典理论是适用的。 但如果温度很低，这时经典理论将不在适用，必须寻 求量子热容理论来解决。对于量子热容理论中的爱 因斯坦理论，能够反映出定容热容量在低温时下降 的基本趋势，但在低温范围，爱因斯坦理论值下降很 陡，与实验不符。量子热容理论中的另一中理论
——德拜理论，他得出的理论热容值Ｇ ｏ。 ，在低 温时与实验相符，并且温度越低符合程度越好。因 此，德拜理论所得热容值在整个温度范围均与实验 符合得很好。但德拜理论并不是一种完美的理论： 第一，对于金属，Ｔ＜３Ｋ时，除了考虑晶格振动能对 热容的贡献，还必须考虑电子热动能对热容的贡献。 第二，对于德拜温度，德拜理论给出的是定值，但实 验却测得它与温度有关。第三，它只适用于原子晶 体，不适用于分子晶体。因此，各种理论都有其完善 和不完善之处。究其原因，是由于在经典理论中把 能量看成是连续分布，这与实际不符。在量子热容 力量中，虽把能量看成是量子化的，但是为了求模式 密度，爱因斯坦和德拜都对固体结构做了近似，这与 固体机构实际情况有些偏差。爱因斯坦理论认为 ３Ｎ个谐振子是全同的，忽略了各格波对热容贡献的 差异。德拜理论把固体看作连续弹性媒质，忽略了 固体中原子的离散结构，以ａ表示固体中原子的平 均距离，对于波长入》ａ的简偕振动，想邻原子在振 动中的位移进似相等，德拜近似中的模式密度与实 际情况是接近的，但对于与ａ可以比拟的简偕振动， 原子在固体中的离散结构便不能忽略，德拜近似中 的模式密度与实际将有很大差异，但幸运的是各简 偕振动的贡献是叠加的，热容量对模式密度并不非 常敏感，因此利用德拜历来２所得热容值是与实际 相符的。但是模式密度与固体结构实际情况的偏 差，会造成德拜温度是一个常数，这于实验事实是不 符合的。
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