导数lim的运算法则
导数的定义及求导的运算法则
lim
x0
f (x) x
f (0)
(x 1) 1
lim
1.
x0
x
所以 f(0) f(0) 1，由定理 3.1.1 知，函数 f (x) 在点
x 0 处可导，并且 f (0) 1.
2023/4/22
37-9
续解 当 x 0 时， f (x) ex , f (x) (ex ) ex;
lim y x x0 x
lim
x0
y x
lim x x0
f
(x0 ) 0 0,
即表明函数 y f (x) 在点 x0 点连续.
2023/4/22
37-13
注 1（逆否命题） 如果函数 y f (x) 在点 x0 处不连续，则 函数 y f (x) 在点 x0 处不可导.
lim f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x0
x
当 x 0, f (0) 0,
y y x
o
x
f ' (0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f
'
(0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f (0) 不存在.
即
(|
x
|)
1 1
x0 .
x0
例
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
导数基本公式
§2.2 导数的基本公式与运算法则利用定义 xy x ∆∆→∆0lim 求函数()x f y = 的导数是比较复杂的。
自然希望有一些基本公式和运算法则来简化求导过程。
（一） （二） 幂函数的导数公式：（三） 若()x u ，()x v 都可导，则此公式可以推广为()()()[]()()()x u x u x u x u x u x u n n '+⋅⋅⋅+'+'='+⋅⋅⋅++2121.（四） 乘积的导数公式：()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u ⋅'+'⋅='⋅.即当 ()c x u = 时，则有或写为如果计算()()()[]'⋅⋅x w x v x u 可以用如下步骤：()()()[]()()[]()()()[]()x w x v x u x w x v x u x w x v x u '⋅⋅+⋅'⋅='⋅⋅()w uv w v u vw u w uv w v u v u '+'+'='+'+'=（五）商的导数特别，当c u =而21)1(xx -='. (六) 对数的导数这是因为.log 1log log 111ln 1)'(ln ln 1)'ln ln ()'(log e xea x x a x a a x x a a a a ⋅=⋅=⋅=== （七） 三角函数的导数（1利用 xx x sin cos cot = 可证明 利用 xx cos 1sec =，可证明 ()().cot csc csc .tan sec sec 'x x x x x x ⋅-='⋅= （八） 复合函数的求导法则定理2.1 设函数()u f y = 与 ()x u ϕ= 构成复合函数()[]x f y ϕ=. 若 ()x u ϕ= 在点x 处有导数()x u x ϕ'='，且()u f y=在对应点u 处有导数 ()u f y u'='，则复合函数 ()[]x f y ϕ= 在点x 处也有导数，且对于多层复合函数，有类似求导法则。
常用三角函数极限导数公式表
同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα·cotα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαsin²α＋cos²α＝1 sinα·cscα＝1 cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα1＋tan²α＝sec²αcosα·secα＝1 1＋cot²α＝csc²α诱导公式sin（－α）＝－sinαsin（π/2－α）＝cosαsin（π/2＋α）＝cosαcos（－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（－α）＝－tanαtan（π/2－α）＝cotαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（－α）＝－cotαcot（π/2－α）＝tanαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαsin（π＋α）＝－sinαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（π－α）＝－cosαcos（π＋α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanαtan（3π/2－α）＝cotαcot（π－α）＝－cotαcot（π＋α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαsin（2π－α）＝－sinαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（3π/2＋α）＝sinαcos（2π－α）＝cosαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（3π/2＋α）＝－cotαtan（2π－α）＝－tanαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（3π/2＋α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtanα－tanβtan（α＋β）＝——————tan（α－β）＝——————1－tanα·tanβ1＋tanα·tanβ万能公式2tan(α/2)1－tan2(α/2) 2tan(α/2)sinα＝——————cosα＝——————tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2α三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—2 2三角函数的积化和差公式1sinα·cosβ＝—[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα·sinβ＝—[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα·cosβ＝—[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα·sinβ＝－—cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）常用等价无穷小公式sin x~ x tan x~ x 1−cos x~ 12x2arc tan x~ x arc sin x~ x ln(1+x)~ x e x−1~ x a x−1~ xlna (1+x)μ−1~μx两个重要极限lim x→0sin xx=1limx→∞(1+1x)x=e limx→0(1+x)1x=e洛必达法则对于00型、∞∞型，可用，分子分母分别求导。
导数的定义及计算
导数的定义及计算导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率或斜率。
在本文中，我们将介绍导数的定义及计算方法，并通过一些具体的例子来加深理解。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限操作，h表示自变量x的变化量，也可以解释为一个无限小的增量。
根据这个定义，我们可以得出导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率。
二、导数的计算方法1. 基本导数公式导数有一些基本的计算公式，这些公式可以帮助我们计算各种类型函数的导数。
下面是一些常用的基本导数公式：- 常数函数导数：常数函数的导数为0。
- 幂函数导数：幂函数f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：指数函数f(x) = a^x（其中a>0且a≠1）的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
- 对数函数导数：对数函数f(x) = ln(x)（其中x>0）的导数为 f'(x) = 1/x。
- 正弦函数导数：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为 f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数导数：余弦函数f(x) = cos(x)的导数为 f'(x) = -sin(x)。
通过运用这些基本导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的运算法则导数还具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。
下面是导数的运算法则：- 和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
- 积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) +f(x)·g'(x)。
导数的概念及其计算
x 0
x
x 0 x
我们称它称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0) 或 y |xx0 , 即 f(x0) lx i0 m f(x0Δ x)xf(x0).
当x= x0变化时，f’(x)便是一个函数，我们称它为f(x)
的导函数（简称导数）。
C(x) 5284 100 x
C '(x)5 2 8 4'(1 0 0x) 5 2 8 4 (1 0 0x)' 5284
(1 0 0x)2
(100 x)2
(1)C'(90)(105 0289 40)252.84
5284
(2)C'(98)
1321
(10098)2
答:(1)纯净度为90％时，费用的瞬时变化率为 52.84元/吨；(2)纯净度为98％时，费用的瞬时变 化率为1321元/吨。
C．4x－5 D．4x－3
4. 函数 y=sin2x 在点 M( , 3 )处的切线斜率为（ C ）
62
A.－1
B.－2
C.1
D.2
例 6．已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线 y=x
－3 相切,求 a、b、c 的值.
分解析:∵:本f题(1考)=查1,导∴数a+的b几+c何=1意. 义.函数在 x=2 处的导数①等于直线
2. 若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x+y+1=0,则（ C ）
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)=0
C.f′(x0)<0
D.f′(x0)不存在
高等数学 第二章 极限和导数25极限的运算法则PPT课件
x2
x 2
x 2 x 2
幂的极限 等于极限
的幂
2(lim x)225
x 2
22235
li( m a 0x n a 1x n 1 a n )
结论： x x 0
a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n
例2 xl im2x2x33x15.
解 lim (x23x5)lim x2lim 3xlim 5
结论xl ：imx0xRli(mxx0)R(xxxli)mxx 00 R Q((xx0)) (QPQ (( xx(00x))0)R0(x)0)
注 若 Q(x0)0, 不能直接用商的运算法则 . 请看下例:
例3
求x l im 1x2 x2 x13.
（
0 0
型）
解lim (x22x3) 0, 商的极限法则不能直接用
x x 0
x x 0
lim [f(x)g(x) ]AB
x x0
lim f(x ) lig m (x )
x x 0
x x 0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
lim [f(x)n ][lim f(x)n ]
x x0
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
思考题 在某个过程中，若 f (x有)极限， g(x无) 极限，
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限.
解
xl im 27xx3334xx2215
lim (2
x
lim (7
x
3 x 4 x
5
x3 1
x3
) )
2. 7
lim
x
2 7
3
x 4
x
5
x3 1
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数lim的运算法则
导数lim的运算法则是指在求导数极限时，如果一个函数是两个函数的和、差、积、商、复合函数等形式，那么可以通过一定的计算规则将其转化为已知导数极限的形式，从而求出导数极限。
具体的运算法则包括加减运算法则、乘法运算法则、除法运算法则、复合函数运算法则等。
其中，加减运算法则指如果一个函数是两个函数的和或差，则其导数极限等于这两个函数的导数极限之和或差；乘法运算法则指如果一个函数是两个函数的积，则其导数极限等于第一个函数在该点的值乘以第二个函数在该点的导数极限加上第二个函数在该点的值乘以第一个函数在该点的导数极限；除法运算法则指如果一个函数是两个函数的商，则其导数极限等于分子函数在该点的导数极限乘以分母函数在该点的值减去分母函数在该点的导数极限乘以分子函数在该点的值，然后再除以分母函数在该点的平方；复合函数运算法则指如果一个函数是另一个函数的复合函数，则可以通过链式法则将其求导，即先求内层函数的导数极限，再将其代入外层函数中求导数极限。
这些导数极限的运算法则在实际的数学和物理问题中都有广泛的应用。
- 1 -。