2019年高考理科数学分类汇编：平面向量(解析版)

∴ =-2 m2+8＞ 0，解得 2 x 2 ，
设 A（x1 ，y1 ）， B（ x2， y2），则 x1+x2=- m， x1x2
m2 1
，
2
y1y2=（ x1+m）（ x2+m） =x1x2+m（ x1 +x2）+m2， AO =（ -x1， -y1）， AB =（ x2-x1， y2-y1），
专题 07 平面向量
1．【 2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6 2π
C．
3
【答案】 B
π
B．
3 5π
D．
6
【解析】因为 (a b)
b，所以 ( a b) b a b b2 =0，所以 a b b2 ，所以 cos = a b ab
为坐标原点，若 AO AB
3
，则实数 m=
2
A． 1
3
B．
2
y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O
2
C．
2
1
D．
2
【答案】 C
【解析】联立
y x2
x y2
m 1
，得 2x2+2mx+m2- 1=0，
7
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，
6 AO EC 3 AD AC AE
3
1
AB AC AC AB
2
3
3 AB AC AC AE ，
2
3
12
21
AB AC AB AC AB AC
2
3
3
3
32
12
2
AB AC AB AC
23
3
1 23 2
AB AC AB
AC AB AC ，
2
2
1 23 2
AB
得 AB
AC , 即 AB 3 AC ,故
3，
6
解得 cos a, b
1
，即
a 与 b 夹角为
π
，
2
3
所以，由 “| a b |
3 ”不能推出 “a 与 b 夹角为 2π” 3
因此， “a 与 b 夹角为
2π
”是“| a
b|
3
3 ”的既不充分也不必要条件 .
故选 D
【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必
要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型
.
12．【 辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试数学 （二 )】在 △ ABC 中，AB AC 2 AD ，AE DE 0 ，
若 EB xAB y AC ，则
A ． y 3x
B． x 3y
C． y 3x
D． x 3y
【答案】 D
【解析】因为 AB AC 2 AD ，所以点 D 是 BC 的中点，又因为 AE DE 0 ，所以点 E 是 AD 的
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型
.
11．【2019 届北京市通州区三模数学试题】设
a ， b 均为单位向量，则
“a 与 b 夹角为
2π
”是 “| a
b|
3”
3
的
A ．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 【答案】 D
D ．既不充分也不必要条件
3
2
2
AC
【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想程思想解题 .
7．【 2019 年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1,2,3, 4,5,6) 取遍 时，
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是 ________；最大值是 _______.
3 ∵ AO AB ,
2
AO AB
2
x1
2
x1x2 +y1 -y1y2=1
m2 1
m2
1
22
2
+m -m =2- m =
3
，
2
2
2
解得 m=
2． 2
故选： C．
【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中
档题．
14．【天津市和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】
中点，所以有：
BE BA AE
31
x
,y
44
1 AB AD
2
11
AB
( AB AC )
22
x 3y ，故题选 D.
【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理
3
1
AB AC ，因此
4
4
.解题的关键是对向量式的理解、对
向量加法的几何意义的理解 .
13．【 2019 年辽宁省大连市高三 5 月双基考试数学试题】已知直线
c (4,5) ，若 (a 1
A．
2 C． 2
【答案】 C
b) c，则实数 1
B．
2 D． 2
【解析】因为 a (1,2) ， b ( 2,3) ，
所以 a + b = 1 2 ,2 3 ，
又 (a b) c，所以 (a b) c 0 ，
即 4 1 2 +5 2 3 =0 ，解得 = 2 .
故选 C.
1 1 AB BC ，
3
2
2
且： AB BC 4, AB BC 2 2 cos120 2 ，
44
故
11
2 1 ，解得：
2.
33
故选： B. 【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，
8
意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .
15．【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学试题】在矩形 ABCD 中， AB 3, AD 4, AC 与 BD 相
b) (2 a
b)
3
B．
2 3
D．
2
5
【解析】 a b 2a b 2a2 b2 a b 2 3 1 3 3 1 . 22
故选 A. 【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题． 10．【安徽省江淮十校 2019 届高三年级 5 月考前最后一卷数学试题】已知向量
a (1,2) ， b ( 2,3) ，
2
1
3
5
6
2
2
4
5
6
00.
所以当 1 3 4 5 6 1, 2 1 时，有最小值 ymin 0 .
因为 1 3 5 和 2 4 5 的取值不相关， 6 1 或 6
1，
所以当 1 3 5 和 2 4 5 分别取得最大值时， y 有最大值，
所以当
1
2
5
6 1, 3
4
1 时，有最大值 ymax
22 42
故答案为 0； 2 5 .
【解析】因为 a ， b 均为单位向量，
若 a 与 b 夹角为 2π， 3
则 |a b|
| a |2 | b |2 2a b
2 1 1 2 1 1 cos 1 ，
3
因此，由 “a 与 b 夹角为
2π
”不能推出
“| a
b|
3
3 ”；
若 | a b | 3 ，则 | a b | | a |2 | b |2 2a b 1 1 2 1 1 cos a, b
A．- 3 C． 2 【答案】 C
B．- 2 D． 3
【 解 析 】 由 BC AC AB (1,t 3) ， BC 12 (t 3)2 1 ， 得 t 3 ， 则 BC ( 1 , 0，)
AB BC (2,3) (1,0) 2 1 3 0 2 ．故选 C．
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
【解析】 建立如图所示的直角坐标系， ∠ DAB =30°， AB 2 3, AD 5, 则 B (2 3,0) ， D ( 5 3 , 5) . 22
因为 AD ∥ BC ， BAD 30 ，所以 ABE 30 ， 因为 AE BE ，所以 BAE 30 ，
所以直线 BE 的斜率为 3 ，其方程为 y 3
【答案】 0； 2 5 .
【解析】以 AB, AD 分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，如图 .
则 AB (1,0), BC (0,1), CD ( 1,0), DA (0, 1), AC (1,1),BD ( 1,1) ,
令
y 1 AB 2 BC 3 CD 4 DA 5 AC 6 BD 又因为 i (i 1, 2,3, 4,5,6) 可取遍 1，
已知菱形 ABCD 的边长
为 2， BAD 120 ，点 E ， F 分别在边 BC ，DC 上， BC 3BE ， DC DF ，若 AE AF 1，
则 的值为
A ．3
3
C．
2
【答案】 B 【解析】由题意可得：
B．2
5
D．
2
AE AF AB BE AD DF
1 AB BC
3
1 BC AB
1 21 2 AB BC 3
【名师点睛】 本题考查充要条件的概念与判断 ?平面向量的模 ?夹角与数量积 ,同时考查了转化与化归数学 思想 .